第2章圓錐曲線（單元培優(yōu)卷）

第2章圓錐曲線（單元培優(yōu)卷）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，16題每題4分，712題每題5分，1．已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則此拋物線的準(zhǔn)線方程是．【分析】根據(jù)題意建立方程求出，再根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，即可求解．【解答】解：拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，該拋物線的準(zhǔn)線方程是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題．2．直線被圓截得的弦長(zhǎng)為．【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算即得．【解答】解：圓的圓心，半徑，點(diǎn)到直線的距離，所以所求弦長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3．從某個(gè)角度觀察籃球（如圖，可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪廓為圓，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長(zhǎng)八等分，且，則該雙曲線的離心率為．【分析】設(shè)圓半徑為，利用半徑表示出和圓上第一象限的八等分點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程可得，然后可得離心率．【解答】解：設(shè)圓半徑為，雙曲線方程為．已知，得，設(shè)雙曲線與圓在第一象限的交點(diǎn)為，則，代入雙曲線方程，得，解得．．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．4．已知雙曲線左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為右支上一動(dòng)點(diǎn)，圓與的延長(zhǎng)線、的延長(zhǎng)線和線段都相切，則1．【分析】畫出圖形，根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，圓的幾何性質(zhì)，向量數(shù)量積的定義，化歸轉(zhuǎn)化，即可求解．【解答】解：如圖，設(shè)圓與的延長(zhǎng)線、的延長(zhǎng)線和線段分別切于點(diǎn)，，，連接，則，，，由雙曲線方程為，可得，，，又為右支上的一動(dòng)點(diǎn)，，又，，，由題意可知，又，，，．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，圓的幾何性質(zhì)，向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題．5．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交該雙曲線于點(diǎn)、，且，，則△的面積為24．【分析】設(shè)，則根據(jù)題意可知，，，，又易知，在△中，由勾股定理建立方程，即可求解．【解答】解：設(shè)，則根據(jù)題意可知，，，，又易知，在△中，由勾股定理可得：，解得，又，，，△的面積為．故答案為：24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，方程思想，屬中檔題．6．已知拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線的法向量，與軸以及的左支分別相交，兩點(diǎn)，若，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2．【分析】求出直線的方程，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，結(jié)合，可得，的值，從而可得實(shí)軸長(zhǎng)．【解答】解：由拋物線方程知，，又直線的法向量，所以直線的方程為，令，得，所以，設(shè)，，由，得，，，所以，，代入雙曲線方程，得，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，所以，解得，，所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線與雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．7．已知拋物線與橢圓有公共焦點(diǎn)，橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，是這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則△的面積為．【分析】利用拋物線方程得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出橢圓方程，聯(lián)立橢圓與拋物線可求出坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算焦點(diǎn)三角形的面積即可．【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，；橢圓方程為，聯(lián)立，得，或（舍去），，即點(diǎn)，又，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，拋物線的幾何性質(zhì)，屬中檔題．8．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直軸的直線與交于，兩點(diǎn)，且，若圓與的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，則．【分析】令，求得，解直角三角形可得雙曲線的漸近線方程，再由直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式，計(jì)算可得所求弦長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)，令，可得，即有，可得，解得，即有，所以漸近線方程為，由對(duì)稱性，不妨取進(jìn)行計(jì)算，由圓心到直線的距離，可得弦長(zhǎng)．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．9．雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線一定經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)．已知雙曲線，如圖從的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)和．若，則的離心率為．【分析】分別延長(zhǎng)，交雙曲線的左焦點(diǎn)為，根據(jù)題意得，且，設(shè)，則，，設(shè)，則，再根據(jù)求出的值，從而可得，，再根據(jù)離心率的定義即可求解．【解答】解：如圖，分別延長(zhǎng)，交雙曲線的左焦點(diǎn)為，因?yàn)?，兩邊平方得，，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，，設(shè)，則，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，，所以離心率為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．10．參加數(shù)學(xué)興趣小組的小何同學(xué)在打籃球時(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)籃球放在地面上時(shí)，籃球的斜上方燈泡照過(guò)來(lái)的光線使得籃球在地面上留下的影子有點(diǎn)像數(shù)學(xué)課堂上學(xué)過(guò)的橢圓，但他自己還是不太確定這個(gè)想法，于是回到家里翻閱了很多參考資料，終于明白自己的猜想是沒(méi)有問(wèn)題的，而且通過(guò)學(xué)習(xí)，他還確定地面和籃球的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)）就是影子橢圓的焦點(diǎn)．他在家里做了個(gè)探究實(shí)驗(yàn)：如圖所示，桌面上有一個(gè)籃球，若籃球的半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度，在球的右上方有一個(gè)燈泡（當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)），燈泡與桌面的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，燈泡垂直照射在平面的點(diǎn)為，影子橢圓的右頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度，則這個(gè)影子橢圓的離心率．【分析】建立直角坐標(biāo)系，由題意可知，，，求得直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得、的坐標(biāo)，再利用到的距離求得點(diǎn)坐標(biāo)，則可得出，，求解，即可得到橢圓的離心率．【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，，由題意可得，，則，，設(shè)，，則到的距離，解得（舍去）．，則，又設(shè)，由，得．，則，得，，，解得．橢圓的離心率．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓離心率的求法，解題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意求解與，屬難題．11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，若是等腰直角三角形，則或8．【分析】根據(jù)拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，分別對(duì)直角頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論，利用三角形相似以及焦點(diǎn)弦公式列方程即可解得的取值為或8．【解答】解：易知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線的方程為，，，，，，設(shè)的中點(diǎn)為，，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，顯然△，則，，則，可得，因?yàn)槭堑妊苯侨切危?dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，如下圖所示：易知，，，所以，可得，，可得，又，所以，即，解得，可得，所以，同理可得當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，如下圖所示：易知線段的中點(diǎn)為，，可得以為直徑的圓的方程為，當(dāng)時(shí)，解得，即，此時(shí)與軸平行，又是等腰直角三角形，所以，即直線與軸垂直，顯然此時(shí)，，，滿足題意．故答案為：或8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，是難題．12．設(shè)、是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且滿足，直線和圓交于兩點(diǎn)后、，若對(duì)于任意的，，均存在正數(shù)，使得的面積均不小于，則的最大值為．【分析】設(shè)到直線的距離為，利用三角形的面積均不小于列不等式，由此求得的取值范圍，再利用點(diǎn)到直線的距離公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于，的不等式根據(jù)的取值范圍，求得的取值范圍，由此求得關(guān)于，的不等式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的最大值．【解答】解：設(shè)到直線的距離為，則，解得，即，所以，因?yàn)椋?，時(shí)，，所以，因?yàn)榇嬖跐M足條件，所以，化簡(jiǎn)得，且，由得，所以，因?yàn)?，解不等式無(wú)解，所以（a）在，上單調(diào)遞減，所以，故的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于難題．二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題只有一個(gè)正確答案，13/14題每題4分，15/16題5分。13．如果直線經(jīng)過(guò)雙曲線的中心，且與該雙曲線不相交，則的斜率的取值范圍是A． B． C． D．【分析】設(shè)直線方程為，與雙曲線聯(lián)立消去得，，因?yàn)橹本€與該雙曲線不相交，所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以，即可求出答案．【解答】解：依題意知，直線的斜率存在，設(shè)為，雙曲線的中心為，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)雙曲線的中心，所以設(shè)直線方程為，由，消去得，，因?yàn)橹本€與該雙曲線不相交，所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以，即，解得或，所以直線的斜率的取值范圍是：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與雙曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題．14．中記載了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅在計(jì)算球的體積時(shí)使用的一個(gè)原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，此即祖暅原理．已知雙曲線，若雙曲線右焦點(diǎn)到漸近線的距離記為，雙曲線的兩條漸近線與直線，以及雙曲線的右支圍成的圖形（如圖中陰影部分所示）繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（其中，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得，利用祖暅原理求解體積，即可根據(jù)離心率公式求解．【解答】解：焦點(diǎn)到的距離，令，可得截面為一個(gè)圓環(huán)．由可得；由，解得．所以截面的面積為，由對(duì)稱性和祖暅原理可得所得幾何體的體積為，即有，即有，即，故，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的離心率的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．15．在平面上，若曲線具有如下性質(zhì)：存在點(diǎn)，使得對(duì)于任意點(diǎn)，都有使得．則稱這條曲線為“自相關(guān)曲線”．判斷下列兩個(gè)命題的真假①所有橢圓都是“自相關(guān)曲線”．②存在是“自相關(guān)曲線”的雙曲線．A．①假命題；②真命題 B．①真命題；②假命題 C．①真命題；②真命題 D．①假命題；②假命題【分析】由新定義求解曲線上任一點(diǎn)到定點(diǎn)距離的取值范圍，當(dāng)任意，都有時(shí)，曲線滿足定義，結(jié)合橢圓與雙曲線的性質(zhì)判斷．【解答】解：對(duì)于①，不妨設(shè)橢圓方程為，，則橢圓上一點(diǎn)到距離為，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，可得，，總存在使得，此時(shí)滿足題意，故任意橢圓都是“自相關(guān)曲線”，故①正確，對(duì)于②，對(duì)于給定的雙曲線和點(diǎn)，顯然存在最小值，而橫坐標(biāo)趨近于無(wú)窮大時(shí)，趨近于無(wú)窮大，，，故不滿足題意，不存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”，故②錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線與方程的關(guān)系，關(guān)鍵在于新定義的理解，轉(zhuǎn)化為求曲線上任一點(diǎn)到定點(diǎn)距離的取值范圍，再結(jié)合橢圓與雙曲線的性質(zhì)判斷即可，屬于中檔題．16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，若離心率，則稱橢圓為“黃金橢圓”．則下列三個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)是①在黃金橢圓中，；②在黃金橢圓中，若上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)分別為，，則；③在黃金橢圓中，以，，，為頂點(diǎn)的菱形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)，．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】本道題結(jié)合橢圓的基本性質(zhì)，結(jié)合三角形三邊關(guān)系，建立等式，證明，即可．【解答】解：對(duì)于①，因?yàn)椋?，又，故，所以，，成等比?shù)列，故①正確；對(duì)于②，如圖，由題可知，，又因?yàn)?，，所以，所以△為直角三角形，即，故②正確；對(duì)于③，如圖所示，設(shè)與內(nèi)切圓相切于點(diǎn)，連接，由切線性質(zhì)可知，則，將代入上式，可得，即內(nèi)切圓半徑為，所以內(nèi)切圓過(guò)兩個(gè)焦點(diǎn)，故③正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于較難題目．三、解答題（本大題共有5題78分，1719題每題14分，20/21每題18分），解答下列各題必須寫出必要的步驟。17．已知直線和圓．（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；若相交，求直線被圓截得的弦長(zhǎng)；（2）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程．【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式以及直線與圓的位置關(guān)系求解；（2）利用直線與圓相切，以及點(diǎn)到直線的距離公式的關(guān)系求解．【解答】解：（1）由圓可得，圓心，半徑，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為．（2）若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，則方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，滿足題意；若過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線斜率存在，則設(shè)切線方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，所以切線方程為，即，綜上，過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．18．如圖，已知橢圓和拋物線，的焦點(diǎn)是的上頂點(diǎn)，過(guò)的直線交于、兩點(diǎn)，連接、并延長(zhǎng)之，分別交于、兩點(diǎn)，連接，設(shè)、的面積分別為、．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意即可求出的值．（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，、，，聯(lián)立直線與拋物線，即可得出的值．（3）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)點(diǎn)所在象限和均值不等式，即可得出答案．【解答】解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，故．（2）若直線與軸重合，則該直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，、，，聯(lián)立，可得，△恒成立，則，．（3）設(shè)直線、的斜率分別為、，其中，，聯(lián)立，可得，解得，點(diǎn)在第三象限，則，點(diǎn)在第四象限，同理可得，且，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．的取值范圍為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，屬于中檔題．19．已知橢圓的上頂點(diǎn)為，離心率，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線、分別與軸交于點(diǎn)、．（1）求橢圓的方程；（2）已知命題“對(duì)任意直線，線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)”為直命題，求的重心坐標(biāo)；（3）是否存在直線，使得？若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（其中、分別表示、的面積）【分析】（1）由條件列方程求出，可得，由此能求出橢圓的方程．（2）對(duì)任意直線，線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)，取，則直線，聯(lián)立，可得，解得，，直線，解得，由，得，由此能求出的重心．（3）設(shè)滿足條件的直線存在，其斜率為，，設(shè)，，，，不妨令，由，得，由△，利用韋達(dá)定理、直線方程、弦長(zhǎng)公式、三角形面積公式，由此能求出直線的方程．【解答】解：（1）由條件：，可知，，，，橢圓的方程為．（2）由條件，對(duì)任意直線，線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)，我們只需要取一條特殊的直線，不妨取，則直線，聯(lián)立，可得，解得，，直線，解得，，，設(shè)的重心為，由，得，．（3）設(shè)滿足條件的直線存在，其斜率為，，設(shè)，，，，不妨令，由，消去得，由△，解得，由韋達(dá)定理得，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，，，，，即，，，，，直線的方程為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理、直線方程、弦長(zhǎng)公式、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20．如圖，已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）橢圓上任意點(diǎn)，軸上一點(diǎn)，若的最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)的任一弦（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，記，，的斜率分別為，，，求證：，，成等差數(shù)列．【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)和離心率求出，，從而求出，得到橢圓方程；（2）設(shè)，，討論對(duì)稱軸與定義域的關(guān)系即可得出答案．（3）先得到直線的斜率一定存在，設(shè)出直線的方程，求出，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，進(jìn)而表達(dá)出，，，從而得證．【解答】解：（1）由題意，點(diǎn)在橢圓上得，可得①，又由，所以②，由①②聯(lián)立且，可得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，令，對(duì)稱軸為，因?yàn)椋?dāng)，即，，故符合題意；當(dāng)，即，，所以，解得，不符合題意；當(dāng)，即，，解得；所以實(shí)數(shù)的取值范圍為：．（3）證明：由（1）知，橢圓的方程為，可得橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)，顯然直線斜率存在，設(shè)的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，易知△，設(shè)，，，，則有，，由直線的方程為，令，可得，即，從而，，，又因?yàn)椋?，共線，則有，即有，所以，將，代入得，又由，所以，即，，成等差數(shù)列．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．21．已知橢圓，拋物線若直線與曲線交于點(diǎn)、，直線與曲線分別交于點(diǎn)、．當(dāng)時(shí)，則稱直線是