重積分完整教學課件

重積分完整教學課件柱體體積=底面積×高特點：平頂.柱體體積=？特點：曲頂.曲頂柱體１．曲頂柱體的體積一、問題的提出解法:

類似定積分解決問題的思想:給定曲頂柱體:底:xOy

面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让?以D

的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點小曲頂柱體4)“取極限”令２．求平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量二、二重積分的概念積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達式面積元素對二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值．

在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為曲頂柱體體積:平面薄板的質(zhì)量:性質(zhì)１當為常數(shù)時，性質(zhì)２（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若為D的面積，性質(zhì)５若在D上特殊地則有性質(zhì)６性質(zhì)７（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）解解解例4.設D

是第二象限的一個有界閉域,且0<y<1,則的大小順序為()提示:因0<y<1,故故在D上有D解：因為原式二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（和式的極限）四、小結思考題

將二重積分定義與定積分定義進行比較，找出它們的相同之處與不同之處.

定積分與二重積分都表示某個和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關．不同的是定積分的積分區(qū)域為區(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域為平面區(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)．思考題解答練習題練習題答案

求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．如果積分區(qū)域為：其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標系計算二重積分［X－型］應用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得如果積分區(qū)域為：［Y－型］

X型區(qū)域的特點：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.

Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.若區(qū)域如圖，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.解注：積分區(qū)域既是X-型也是Y-型，也可表示成先對x后對y次序的二次積分。解解解積分區(qū)域如圖解原式例6.求兩個底圓半徑為R的直交圓柱面所圍的體積.解:

設兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為11二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）二、小結［Y－型］［X－型］思考題思考題解答練習題練習題答案一、利用極坐標系計算二重積分二重積分化為二次積分的公式（１）1)極點O在積分區(qū)域D的外部區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖二重積分化為二次積分的公式（２）2)極點O在積分區(qū)域D的邊界上區(qū)域特征如圖極坐標系下區(qū)域的面積二重積分化為二次積分的公式（３）3)極點O在積分區(qū)域D的內(nèi)部區(qū)域特征如圖解解的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于坐標計算.解解解解例7.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:

設由對稱性可知注：形如積分二重積分在極坐標下的計算公式（在積分中注意使用對稱性）二、小結思考題思考題解答練習題練習題答案一、問題的提出把定積分的元素法推廣到二重積分的應用中.若要計算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可加性(即當閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時，所求量U相應地分成許多部分量，且U等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域時，相應地部分量可近似地表示為的形式,其中在內(nèi)．這個稱為所求量U的元素，記為，所求量的積分表達式為１．設曲面的方程為：如圖，二、曲面的面積曲面S的面積元素曲面面積公式為：３．設曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得解解解方程組得兩曲面的交線為圓周在平面上的投影域為三、平面薄片的重心當薄片是均勻的，重心稱為形心.由元素法解四、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量解解薄片對

軸上單位質(zhì)點的引力為引力常數(shù)五、平面薄片對質(zhì)點的引力解由積分區(qū)域的對稱性知所求引力為幾何應用：曲面的面積物理應用：重心、轉(zhuǎn)動慣量、對質(zhì)點的引力（注意審題，熟悉相關物理知識）六、小結思考題薄片關于軸對稱思考題解答練習題練習題答案一、三重積分的定義直角坐標系中將三重積分化為三次積分．1.先單后重（先一后二）二、三重積分的計算如圖，得注意其中

為三個坐標例1.計算三重積分所圍成的閉區(qū)域.面及平面解:(先單后重)1

·

·

·

·解D·

··解如圖，解直角坐標系中將三重積分化為三次積分．2.先重后單（截面法或稱先二后一）

·

·

·解·原式解如圖,三重積分的定義和計算在直角坐標系下的體積元素（計算時將三重積分化為三次積分）三、小結思考題選擇題:練習題練習題答案一、利用柱面坐標計算三重積分規(guī)定：

柱面坐標與直角坐標的關系為如圖，三坐標面分別為圓柱面；半平面；平面．如圖，柱面坐標系中的體積元素為解知交線為解所圍成的立體如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖:另解:最簡單的解法:先重后單（先二后一）：二、利用球面坐標計算三重積分規(guī)定：如圖，三坐標面分別為圓錐面；球面；半平面．球面坐標與直角坐標的關系為如圖，球面坐標系中的體積元素為如圖，解補充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應注意：１、積分區(qū)域關于坐標面的對稱性；２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關于三個坐標軸的奇偶性．解積分域關于三個坐標面都對稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),解（1）柱面坐標的體積元素（2）球面坐標的體積元素（3）對稱性簡化運算三重積分換元法柱面坐標球面坐標三、小結思考題練習題練習題答案

一、二重積分的換元法注：如果Jacobi行列式J(u,v)只在內(nèi)個別點上或一條曲線上為零，而在其他點上不為零，則上述換元公式仍然成立。例1解例2.計算由所圍成的閉區(qū)域D

的面積S.解:令則例3解

二、小結基本要求:變換后定限簡便，求積容易．思考題思考題解答練習題練習題答案三重積分換元法解：作變換一、立體體積二、物體的重心三、物體的轉(zhuǎn)動慣量四、物體的引力機動目錄上頁下頁返回結束三重積分的應用1.能用重積分解決的實際問題的特點所求量是

對區(qū)域具有可加性

從定積分定義出發(fā)建立積分式

用微元分析法(元素法)分布在有界閉域上的整體量

3.解題要點

畫出積分域、選擇坐標系、確定積分序、

定出積分限、計算要簡便

2.用重積分解決問題的方法機動目錄上頁下頁返回結束一、立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為機動目錄上頁下頁返回結束例1.求半徑為的球面與半頂角為

的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標系下空間立體所占區(qū)域為則立體體積為機動目錄上頁下頁返回結束二、物體的重心設空間有n個質(zhì)點,其質(zhì)量分別由力學知,該質(zhì)點系的重心坐標設物體占有空間域

,有連續(xù)密度函數(shù)則

公式,分別位于為為即:采用“分割,近似代替,求和,取極限”可導出其重心

機動目錄上頁下頁返回結束將

分成

n

小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的重心坐標就近似該物體的重心坐標.的質(zhì)點,即得此質(zhì)點在第k塊上任取一點機動目錄上頁下頁返回結束同理可得機動目錄上頁下頁返回結束則得形心坐標：當薄片是均勻的，重心稱為形心.對比例2.一個煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形,剖面壁線的方程為內(nèi)儲有高為

h

的均質(zhì)鋼液,解:利用對稱性可知重心在z

軸上，爐壁面方程為因此故自重,求它的重心.若爐不計爐體的其坐標為機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束三、物體的轉(zhuǎn)動慣量設物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元因此物體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量:對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為因質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算.機動目錄上頁下頁返回結束類似可得:對x

軸的轉(zhuǎn)動慣量對y

軸的轉(zhuǎn)動慣量對原點的轉(zhuǎn)動慣量機動目錄上頁下頁返回結束對比解:

取球心為原點,z軸為l

軸,則球體的質(zhì)量例3.求均勻球體對于過球心的一條軸

的轉(zhuǎn)動慣量.設球所占域為(用球坐標)機動目錄上頁下頁返回結束

G

為引力常數(shù)四、物體的引力設物體占有空間區(qū)域

,物體對位于原點的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力利用元素法,在

上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)引力元素在三坐標軸上的投影分別為機動目錄上頁下頁返回結束對xoy

面上的平面薄片D,它對原點處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力分量為機動目錄上頁下頁返回結束例4.求半徑R的均勻球?qū)ξ挥诘膯挝毁|(zhì)量質(zhì)點的引力.解:

利用對稱性知引力分量點機動目錄上頁下頁返回結束為球的質(zhì)量機動目錄上頁下頁返回結束(t

為時間)的雪堆在融化過程中,其側面滿足方程設長度單位為厘米,時間單位為小時,設有一高度為已知體積減少的速率與側面積成正比(比例系數(shù)0.9),問高度為130cm

的雪堆全部融化需要多少小時?

機動目錄上頁下頁返回結束練習題提示:記雪堆體積為V,側面積為S,則(用極坐標)機動目錄上頁下頁返回結束由題意知令得(小時)因此高度為130cm的雪堆全部融化所需的時間為100小時.機動目錄上頁下頁返回結束定義幾何意義性質(zhì)計算法應用二重積分定義幾何意義性質(zhì)計算法應用三重積分一、主要內(nèi)容1、二重積分的定義２、二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值．性質(zhì)１當為常數(shù)時，性質(zhì)２３、二重積分的性