高中數(shù)學(xué)函數(shù)真題匯編（解析版）

高中數(shù)學(xué)

專題20函數(shù)真題匯編與預(yù)賽典型例題

1.已知正實(shí)數(shù)a滿足a<1=(9a)sa,則Ioga(3a)的值為.

【答案】-

16

a8a

【解析】a=(9a)=a=8aloga9a

由loga9a=；=>logfl9=一］=logfl3=-A

loga3a=loga3+1=A

2.設(shè)Hx)是定義在R上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間［0,1］上嚴(yán)格遞減，且滿足/'5)=Lf(2;r)=2,則

不等式組1L'Q：2的解集為.

【答案】［兀一2,8—2“］

【解析】由兀v)為偶函數(shù)及在［0,1］上嚴(yán)格遞減知，火x)在卜1,0］上嚴(yán)格遞增，再結(jié)合以2為周期可知，［1,

2］是,/(X)的嚴(yán)格遞增區(qū)間.

注意到/'5-2)=/(TT)=1,/(8-2彷=/(一2")=/(2/r)=2.

所以1￡/(x)<2?/(^-2)</(x)</(8-2TT).

而1</r-2<8-2;r<2,故原不等式組成立當(dāng)且僅當(dāng)xepr-2.8-2n\.

3.設(shè)f(x)為定義在R上的函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)*有/'(4+3)/(X-4)=-1.當(dāng)0。<7時(shí)，/(功=108二(9一動(dòng).

則/"(一100)的值為。

【答案】

【解析】

由題得f(x+14)=--^—=/(x),所以函數(shù)的周期為7,

/IATT1)

所以/(一100)=/(-100+14x7)=7(-2)=一木=--

故答案為：一三

4.設(shè)正實(shí)數(shù)u、v^w均不等于1.若log”wv+logv=51og『u+logwU=3,則logMi的值為.

【答案】；

【解析】

令log”v=a.logvw=b.則:

logpW=；,log“心=1,Ioguvw=Ioguv+(loguv)(logt,w)=a+ab.

故。+a&+b=5,a-+7b=3=>a&=-4.

從而，log“.u=(log,vv)(logt7u)=^=^.

5.設(shè)a、b為不相等的實(shí)數(shù).若二次函數(shù)+ax+b滿足/"(a)=/(b),則/"(2)的值為.

【答案】4

【解析】

山已知條件及二次函數(shù)圖像的軸對稱性得

=f(2)=4+2a+b=4.

故答案為：4

6.若正數(shù)a,。滿足2+108，。=3+10836=1。86(。+與，則工+』=_______.

ab

【答案】108

【解析】

23

試題分析：設(shè)2+log2a=3+log3b—log6(a+A?)=t=>a-2',b—3',a+b=6'—+—=0

abab

=,f~77=108?

2-2.3-3

考點(diǎn)：指數(shù)與對■數(shù)運(yùn)算.

7.設(shè)集合｛:+b|lWaSbW2｝中的最大、最小元素分別為M、m,則M-m的值為.

【答案】5-2V3

【解析】

由1<a<b<2>知'+b<-+2=5.

a1

當(dāng)。=14=2時(shí)，取得最大元素M=5.

又三+5之±+。22r-a=2>/3,當(dāng)a=b=｛5時(shí)，取得最小元素m=2、存.

aaa

因此，M-?n=5-2y/3.

8.若函數(shù)/(力=%2一。卜一1|在［0,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是—.

【答案】[0,2]

【解析】

、[x1-ax+a,xfl,+oo).、，、?(

試題分析：/(無)={-xw[l,+oo)時(shí)，/(x)=x1-ax+a-\x——

x~+ax-a,xe(-00,1)I27

+a-?,xe(-oo,l)時(shí),/(x)=x2+ax-a=^x+^\-a—?.①當(dāng)1即a>2時(shí)，"%)在[1￡]

上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，不合題意;②當(dāng)04541即0WaW2時(shí)，符合題意;③當(dāng)微<0即

a<0時(shí)，不符合題意.綜上，a的取值范圍是[0,2].

考點(diǎn)：絕對值定義、函數(shù)單調(diào)性、分類討論.

9.設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，函數(shù)/(行=￡1%+8滿足：對任意的％e[0,1],有|/(x)|w1.則ab的最大值為.

【答案】:

【解析】

易知a=f(l)-/(0),b=/(0),

則ab=r(o)(r(i)-f(o))=-(/(o)-^(i))-+；r(i)

(!)<；.

當(dāng)2f(0)=/?⑴=±1,即a=b=±：時(shí)，ab取最大值3

Z4

10.設(shè)x、y、ze[0,1].則時(shí)=J|x-y|+J\y-z\+,|z-x|的最大值是.

【答案】V2+1.

【解析】

不妨設(shè)0<x<y<z<1..則M=Jy-x+Jz-y+>/z-x.

由Jy-x+Jz-y<J2[(y-x)+(z-y)]=J(z-x)=>M<(V2+l)Vz-x<V2+1.

當(dāng)且僅當(dāng)x=0,y==,z=l時(shí)，上式等號(hào)同時(shí)成立.

11.函數(shù)f(x)=岑的值域?yàn)開___.

X—1

【答案】(―s,—^]U(L+8)

【解析】

由題得X聲,

設(shè)x=tane(-^<e《目em》則改)=嘉=后G=五木不

設(shè)u=\^2sin(9—j).因?yàn)橐蝗?lt;0<三，且6Hp

所以一三7V。一2V,且8工0,

444

所以-1<sin(。——)<—,^sin(6一三)h0，

則=2<U<1,且〃*0.故f(X)=jE(-8,一弓U(1,+co).

故答案為：(-8,-Wju(L+8)

12.設(shè)a、b為正實(shí)數(shù)，且三十；三(a-b)2=4(ab)24ijlogab=.

【答案】-1

【解析】

由2+^<2d2,得a+&<2、，2ab.

ab

又(a+b)：=4ab+(a-b)。=4ab+4(ab)3>4x2y/ab(ab)3=8a:b:,

即a+b22V2ab.①

于是，a+b=2y/2ab②

再由式①中等號(hào)成立的條件，得ab=l.與式②聯(lián)立解得

a=>/2-1,_ix(a=>/2+1,

=V2+1(&=V2—1.

故logab=-1.

故答案為：-1

13.函數(shù)/'(x)=vGK-,24-3x的值域是.

【答案】［-3,、句

【解析】

易知，f(x)的定義域是［5.8］,且f(x)在［5,8］上是增函數(shù).從而，f(x)的值域?yàn)椋?3,、，句.

14.函數(shù)/'(X)=a2x+3ax-2(a>0,a*1)在區(qū)間％e［-L1］上的最大值為8.則它在這個(gè)區(qū)間上的最小值

是.

【答案】一:

【解析】

試題分析：由題意得，令￡=<1、>0,因?yàn)閤e[-Ll],當(dāng)a>l時(shí)，則士=戶6[：0],則

r(x)=t-+3t-2=(t+7):-y.所以當(dāng)t=a時(shí)，函數(shù)取得最大值，此時(shí)最大值為

f(a)=a2+3a—2=8.解得a=2.所以函數(shù)的最小值為f(；)=(》'+3x^—2=一"；當(dāng)0<a<1時(shí)，

則t="e[a(],則f(x)=產(chǎn)+3￡—2=?+；)二所以當(dāng)t=；時(shí)，函數(shù)取得最大值，此時(shí)最大值為

/(I)=(±)=+3x^-2=8,解得a=：,所以函數(shù)的最小值為/(?=(下+3x：-2=-"，所以函數(shù)的最

小值為一

考點(diǎn)：函數(shù)的最值問題.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了函數(shù)的最值問題，其中解答中涉及到函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用、一元二次函數(shù)的

圖象與性質(zhì)的應(yīng)用、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的

能力，同時(shí)考查了換元法和轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查，屬于中檔試題，本題的解答中換元后，靈活應(yīng)用二次

函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答問題的關(guān)鍵.

15.若函數(shù)f(X)=篇，且f(n)(x)=f(/(...f(x))).則f(99)(1)=.

n不

【答案】士

【解析】

因?yàn)?志)F+L所以(總)=*+兒故尸刈⑴=5

16.若方程Igkx=21g(x+1)僅有一個(gè)實(shí)根，那么k的取值范圍是.

【答案】k<0或k=4

【解析】

kx>0

x+1>0

,kx=(x+1)-

當(dāng)且僅當(dāng)

kx>0①

r+1>0@

x:+(2-fc)x+1=0@

對③由求根公式得

xlf=1［k-2+Qk：—4k］④

A=k2-4k>0^>k<0或k>4.

(i)當(dāng)卜<0時(shí)，由③得

(%1+x2=k-2<0

(xxx2=1>0

所以Xi，4同為負(fù)根.

又由④知因琵；

所以原方程有一個(gè)解

3)當(dāng)卜=4時(shí)，原方程有一個(gè)解T=J-1=L

(m)當(dāng)k>4時(shí)，由③得

所以孫，小同為正根，且不合題意，舍去.

綜上可得k<0或卜=4為所求.

17.已知定義在叱上的函數(shù)於)為f(x)=,岬3、二1L0<9

設(shè)a,b,c是三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，滿足<。)可S))c),求a6c的取值范圍.

【答案】(81,144).

【解析】不妨假設(shè)時(shí)Xc.由于危)在(0,3］上嚴(yán)格遞減，在［3,9］上嚴(yán)格遞增，在［9,+8)上嚴(yán)格遞減，且,*3)

=0,49)=1,故結(jié)合圖像可知：

a€(0,3),bW(3,9),cG(9,+oo),并且火4)7仍)書。—(0,1).

由1Aa)=i/S)得1-log3a=log36-1.

BPlog3a+log3b=2,因此出>=32=9.于是abc=9c.

又0</(c)=4-Vc<L

故cG(9,16).進(jìn)而“兒=9。6(81,144).

所以，"c的取值范圍是(81,144).

18.已知/"（%）為R上的奇函數(shù)，/'（1）=1,且對任意x<0,均有?（W）=m〉）-求2：」（沙（土）的

值.

【答案】三

99!

【解析】

設(shè)/?=/（：）（樸=L2,…）.則/⑴=1.

在f（士）=中，取x=-：（kwZ+）.

1

注意到，六=*5=^7,及/■（》）為奇函數(shù).

阿島）=-J（T="G）=,建

n』H-1黃=<■-口rH-二1==占.

則

50\,494g\,49

（（i-l）!）（aoo-O!）=Z1（i!）（（：9T）!）二eZ1瑪9=^2u=99+嘴t）=裔XmX

ZI=1i=0

19.求所有的正實(shí)數(shù)對(a,b),使得函數(shù)/(X)=ax2+b滿足：對任意的實(shí)數(shù)

人)有f(xy)+f(x+y)>f(x)/(y).

【答案】{(a,b)|0<6<1,0<a<1,2a+b<2}

【解析】

由題意得(axV+b)+[a(x+y)2+ft]>(ax2+b)(ay2+b).①

先求*b所滿足的必要條件.

在式①中令y=0,得b+(ax2+b)>(ax2+b)b

=>(l-b)ax2+6(2-&)>0.

由于。>0,故a爐可取到任意大的正值，因此，必有1-bNO,即OVbwL

在式①中再令y=-x,得(ax4+&)+&>(ax2+b)2

n(a-a2)x4-2abx2+(2b-b2)>0.②

將式②左邊記為g(x).顯然，a-a二=0.否則，由a>0,知a=1,此時(shí)，

g(x)=-2bx2+(2b-爐)(b>0).

則g(x)可取到負(fù)值，矛盾.

故g(x)=(。-a2)(x:-^7)-+(2b-b2)

=(a—。D(爐一士)+g(2-2a-b)20對一切實(shí)數(shù)萬成立.

于是，a-a2>0,即0<a<1.

進(jìn)一步，考慮到此時(shí)匕>0,再由9(，匕)=三(2—2(1—匕)20,知2a+bw2.

從而，求得a、b滿足的必要條件為0<bwL0<a<1,2a+b<2.@

卜面證明，對滿足條件③的任意實(shí)數(shù)對(a,b)及任意非負(fù)實(shí)數(shù)x、y,式①總成立，即

h(x,y)=(a—a2)x2y2+a(l—6)(x2+y3)+2axy+(2b+b2)>0.

事實(shí)上，在條件③成立時(shí)，有a(l-b)20,a-a：>0.±(2-2a-b)20.

再結(jié)合爐+產(chǎn)>-2孫，得h(x，y)>(a-a2)x2y2+a(l—6)(-2xy)+2axy+(2b—爐)

=(a-a2)xzy2+2abxy4-(2b-h2)=(。-a2)(xy+—)+—(2-2a-b)>0.

綜上，所求的正實(shí)數(shù)對(a,b)全體為{(a,b)|0<h<1,0<a<1,2a+b<2}.

20.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)X20時(shí)，f(x)=x-,若對任意的xe［t,t+2］,不等式

f(x+t)22/(乃恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是.

【答案】［但+8)

【解析】

略

21.設(shè)函數(shù)f(x)=|lg(x+i)|，實(shí)數(shù)a、b(a<切滿足f(a)=f(-*)，f(10a+6b+21)=41g2.求a、b的

值.

［答案］a=_j,6=—7

【解析】

由題設(shè)得

|lg(a+1)1=|lg(-^+1)|=|lg^|=Hg(b+2)|.

則a+1=b+2或(a+l)(h+2)=1.

由a<b,知a+1Hb+2.故(a+l)(b+2)=1①

又由/'(a)=|lg(a+DI有意義，知0<a+L從而，0<a+l<b+l<b+2.

于是，0<a+l<l<&+2.則(10a+66+21)+1=10(。+1)+6(b+2)>1.

故/*(10。+6b+21)=Ig(6(b+2)+表］=41g2.

從而，6(b+2)+公=16.解得b=-：或b=-1(舍去).

把^=—二，代入式①解得。=一二.因此，。=—二,b=

3553

22.求函數(shù)y=7K+27+V13—%+4的最大值和最小值.

【答案】

【解析】

函數(shù)的定義域?yàn)椋?,13］因?yàn)?/p>

y=\fx+、/x+27+y'13-x=Jx+27+J13+27x(13-x)

>V27+vl3

=3V3+V13

當(dāng)*=0時(shí)等號(hào)成立.故y的最小值為+^13...................................................................5分

又由柯西不等式得

yz=(6+Vx+27+v'13-x)2

<(1+1+1)(2x+(x+27)+3(13-x))=121

所以ySil.......................................................................................................................10分

由柯西不等式等號(hào)成立的條件，得4犬=9(13-燈=x+27,解得x=9.故當(dāng)x=9時(shí)等號(hào)成立.因此y的

最大值為11.........................................................................................................................15分

23.設(shè)又=1+；+“?+；加是正整數(shù)).證明：對滿足0wa<bWl的任意實(shí)數(shù)a、b,數(shù)列5J〕中有

無窮多項(xiàng)屬于(a,切(［幻表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)).

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

證法1⑴對任意ne*有又==1+=+：+???+?

=1+-+(---+—+…+(——-——+…+—)

23+12-)V2"-1+12nl

>1+三++之)+-■■(―+???+—)=1+i+i+??-+乙>

令N°=[之]+1,m=[SjVJ+1.則

o-aA7-；,<&-a,5?<m<7n+a.

又令M=2，(E+D.則％=522<m*i)>m+l>m+h.

從而,存在neN+,N0<n<Nv使得

m+a<Sn<m+b^Sn-[Sn]e(a,&).

否則，存在M<k,使得S"*<m+a,Sk>m+b.

于是，Sjf_>b—a>與“—Srt=：<q<b—a,矛盾.

故一定存在neN+,使得Sn-[Sn]e(a.b).

(2)假設(shè)只有有限個(gè)正整數(shù)外,助,…,M，使得5n廠NJe(a,b)(l<j<k).

令c=mm[$、-[Sn,]｝?則a<c<人故不存在“eJV+,使得

Sn-[Sn]e(a,c),與(1)的結(jié)論矛盾.

所以，數(shù)列｛Sn-SnD中有無窮多項(xiàng)屬于(a.b).綜上，原命題成立.

證法2由證法1,知當(dāng)n充分大時(shí)，又可以大于任何一個(gè)正數(shù).

令2[；]+1.則%>六.

當(dāng)%%時(shí),5欠-5*_工=,<*<b-a.

同證法1可證,對于任何大于外)的正整數(shù)〃1,總存在〃〉風(fēng)，使得5rl-mw(ab),即

m4-a<Sn<m+&.

令"L=氏]+iG=L2,…).

則叫>5,”?

故一定存在％>M，使得叫+a<Sn_<+b.

從而,a<5n,-Hi,=Sn(-[SnJ<b.

這樣的i有無窮多個(gè).

所以，數(shù)列｛Sn—IS.]]中有無窮多項(xiàng)屬于(a.&).

24.設(shè)%是給定的正整數(shù)，「=卜+3記/。)(「)=/(「)=中心/⑴5)=/(/(1)(7?([22).證明：存在

正整數(shù)m,使得，的)&)為一個(gè)整數(shù)，其中，民]表示不小于實(shí)數(shù)久的最小整數(shù)(如目=1,"]=1).

【答案】見解析

【解析】

記叱(n)表示正整數(shù)”所含的2的基次.則當(dāng)m=v,(fc)+1時(shí)，/何什)為整數(shù)

卜.面對七(k)=U用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)『=0時(shí)，k為奇數(shù)，k+1為偶數(shù)，

此時(shí)，/(r)=(k+；)[k+耳=(k+7)(fc+1)為整數(shù).

假設(shè)命題u-l(u之1)對成立

對于u>1,設(shè)k的二進(jìn)制表示具有形式

k=2v+2"工即+i+2,+2/+2+…,

其中，6=0或1,i=I?+Lu+2,….

故f(r)=(k+9[k+4=(k+1)(k+l)=7+z+/c'+fr=fc,+7.①

顯然，k'中所含的2的幕次為1?一1.

故由歸納假設(shè)知，r'=M+三經(jīng)過/的『次迭代得到整數(shù).

由式①知，/3+J(r)是一個(gè)整數(shù).

1.已知“為正實(shí)數(shù)，且f(x)=；-U二是奇函數(shù)，則〃乃的值域?yàn)?

【答案】(一13

【解析】

由〃X)為奇函數(shù)可知:一意:二一十+六，解得4=2,即f(x)=：一3，

由此得f(x)的值域?yàn)?一:,5

2.函數(shù)y=號(hào)的值域?yàn)?

【答案】[。，4]

【解析】

由條件知xe[-1,1].

令二=cosa(a6[O,n-]).則

7y=-2+-c-o-s-a(vy>0),

=2y=sina-ycosa=Jl+尸sin(a+0)<Jl+y，

=>1+y2>4y2y-<p

因?yàn)閥^O，所以，ye[o.y].

3.函數(shù)/'(x)=[log?(；⑸卜蜒爾3爐)]的最小值為.

【答案】一"

8

【解析】

1

設(shè)log3X=Z,WJlogaQVx)=-1+^t,log"(3吟=R；："=2(1+2t).

?V(x)=g(t)=(-l+；t)-2(l+2t)=2t--3t-2=2(t-J)--^.

/.St=-,logx=",*=3；時(shí)，_/u)取最小值一g

443S

4.若函數(shù)式x)=/-2ax+“2—4在區(qū)間[4-2,^人心。)上的值域?yàn)閇—4,0],則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【答案】口,2]

【解析】

"."J(x)=x2—2ax+a2—4=(x—a)2—4.J(a)=-4,J(a-2)=Q,凡》;)在區(qū)間[?—2,加]上的值域?yàn)閇—4,()],凡甘)的圖

像為開口向上的拋物線.

a-2<a<a2

二a--：，解得一1&W0或1&S2.結(jié)合a>0,得1&ZW2.

二。的取值范圍為[1,2],

5.設(shè)g(n)=2：](忙〃)，期中(k.n)表示出與〃的最大公約數(shù)，貝叼(100)的值為.

【答案】520

【解析】

如果(m,n)=1)則g(nui)=g(m)g(n),所以g(100)=g(4)g(25).

又。(4)=1+2+14-4=8.g(25)=5x4+25+(25—5)=65,

所以g(100)=8x65=520.

故答案為：520

6.牛得亨先生、他的妹妹、他的兒子，還有他的女兒都是網(wǎng)球選手，這四人中有以下情況：①最佳選手的

攣生同胞與最差選手性別不同；②最佳選手與最差選手年齡相同.則這四人中最佳選手是.

【答案】牛得亨先生的女兒

【解析】

由題意知，最佳選手和最佳選手的攣生同抱年齡相同：由②，最佳選手和最差選手的年齡相同；由①，最

佳選手的攣生同胞和最差選手不是問一個(gè)人.因此，四個(gè)人中有三個(gè)人的年齡相同.由于牛得亨先生的年

齡肯定大于他的兒子和女兒，從而年齡相同的三個(gè)人必定是牛得亨先生的兒子、女兒和妹妹.由此，牛得

亨先生的兒子和女兒必定是①中所指的攣生同胞.

因此，牛得亨先生的兒子或女兒是最佳選手，而牛得亨先生的妹妹是最差選手.由①，最佳選手的李生同

胞一定是牛得亨先生的兒子，而最佳選手無疑是牛得亨先生的女兒.

故答案為：牛得亨先生的女兒

7.函數(shù)z=V2x2-2x+1+，2爐—10x+13的最小值是.

【答案】VIo

【解析】

因?yàn)閦=V2x2-2x4-1+10x+13=-0)2+(x-I)2+7(x-2)2+(x-3)2

此即為宜線產(chǎn)x上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)(0,1)與到點(diǎn)(2,3)的距離之和，根據(jù)鏡像原理，Z的最小值應(yīng)為點(diǎn)(1,

0)到點(diǎn)(2,3)的距離丫雨.

故答案為：

8.若方程a'>x(分0,存1)有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】1<a<e；

【解析】

由知x>0,故「Ina-Inx=0=Ina=號(hào)，令/'(x)=竽(x>0),則/(x)=當(dāng)xe(O,e)時(shí)，

f'{x}>0；當(dāng)xe(e,+s)時(shí)，f(x)<0.所以/'(x)在(0,e)上遞增，在(e,+oo)上遞減.故0<Ina</(e)=

1

即1<a<e：.

故答案為：l<a<5

9.已知實(shí)數(shù)a,bed滿足5a=4,45=3,3°=2,2d=5,則(abed)，“B三

【答案】1

【解析】

化5a=4.46=3,3f=2,2d=5為對數(shù)，有a=logsd=自力=粵,c=",d=臀，所以

aln5liuInsln2

(abed)2018=(意x旨旨g)：0*8=1：O1B=1.

10.已知函數(shù)f(x)滿足r(x+3=r+3那么f(x)的值域?yàn)?

【答案】［2,+8)

【解析】

X=t+；(|x|>2)

設(shè)函數(shù))，=/(4)滿足“￡+》=^+］.

y=t?+.(y>2)

丫二^+2:傘+:7一2=小一2.所以所求函數(shù)是/?(4)=爐一2(團(tuán)22),其圖像如圖，易知

f(x)=犬—2(|x|>2)的值域是［2,+oo).

11.設(shè)M是由有限個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合，且用=&u&u“?uA「o=瓦u%u?“u2o,這里

&H0,Bi*0,i=1,2,20.并對任意的1st20,都有4c4=0,81c鳥.=0,已知對任

意的l=iw20,1<;<20,若4。鳥=0,則|4uBj218.求集合M的元素個(gè)數(shù)的最小值.(這里，岡

表示集合X的元素個(gè)數(shù))

【答案】180

【解析】

記min{|AJ|A』…,14<)1，1811，18/,??，|8二0|}=￡.

不妨設(shè)恢1|二t,J41nBiH0,i=1,2,…，k;Axr\Bj=0,y=k+l,k+2,…，20.

設(shè)e4cB”i=L2,…，k.

因?yàn)閷θ我獾?V/W20,都有瓦。4=0,所以小,心，…，人互不相同，\At\>k,BPt>k.

又對任意的lWiS20,l<j<2Q,若4。4=0,貝1]|47即218,

所以當(dāng)/=k+1,k+2,…，20時(shí)，|4|+啊|=I4U耳|N18.

即,當(dāng)/=k+l,k+2,…，20時(shí)，同IN18-a

所以|M|=|B1UB2U-UB20J

=|+IB[+…+跳I+瓦+i|+…+|B2oI2+(20—k)(18—t)

=360+2kt-18k-20t=180+2(k-10)(t-9).

若tw9,則kwtw9,|M|=180+2(k-10)(t-9)N180.

若tNl。MlAfl>20t>200.所以總有|M|2180.

另一方面，取4=Bi={9(i-l)+L9(i-l)+2」”,9(i-1)+9},其中i=1,2,20,

則M=4U4U…uA20=B1UB2U-Bzo="2…,180}符合要求.

此時(shí)，\M\=180.

綜上所述，集合M的元素個(gè)數(shù)的最小值為180.

12.已知函數(shù)/'(%)=ax-bxYa,be/?+).

(1)若對于任意的xeR,均有/"(x)<1,證明：a<2通；

(2)當(dāng)>>1時(shí)，證明：對于任意的xe[0,l],|/(x)|wl成立的充分必要條件為b-lwa±2乃.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】

⑴因?yàn)閒(x)W1恒成立，所以，/■(X)max=/七)=。*一>,皋W1=.三L

又b>0.故a:<4b=>a<2v5

(2)必要性:

對于任意的xe[0,l],