2024中考數(shù)學全國真題分類卷 第十六講 銳角三角函數(shù)及其實際應(yīng)用(含答案)_第1頁
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2024中考數(shù)學全國真題分類卷第十六講銳角三角函數(shù)及其實際應(yīng)用命題點1特殊角的三角函數(shù)值1.(2023天津)tan45°的值等于()A.2B.1C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),3)命題點2直角三角形的邊角關(guān)系2.(2023陜西)如圖,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tanC=2,則邊AB的長為()第2題圖A.3eq\r(2)B.3eq\r(5)C.3eq\r(7)D.6eq\r(2)3.(2022玉林)如圖,△ABC底邊BC上的高為h1,△PQR底邊QR上的高為h2,則有()第3題圖A.h1=h2B.h1<h2C.h1>h2D.以上都有可能4.(2023樂山)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=eq\r(5),點D是AC上一點,連接BD.若tanA=eq\f(1,2),tan∠ABD=eq\f(1,3),則CD的長為()A.2eq\r(5)B.3C.eq\r(5)D.2第4題圖5.(2023連云港)如圖,在6×6正方形網(wǎng)格中,△ABC的頂點A,B,C都在網(wǎng)格線上,且都是小正方形邊的中點,則sinA=______.第5題圖6.(2022上海)如圖,已知△ABD中,AC⊥BD,BC=8,CD=4,cos∠ABC=eq\f(4,5),BF為AD邊上的中線.(1)求AC的長;(2)求tan∠FBD的值.第6題圖命題點3銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用類型一解一個直角三角形7.(2023福建)如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44cm,則高AD約為(參考數(shù)據(jù):sin27°≈0.45,cos27°≈0.89,tan27°≈0.51)()A.9.90cmB.11.22cmC.19.58cmD.22.44cm第7題圖8.(2023金華)一配電房示意圖如圖所示,它是一個軸對稱圖形,已知BC=6m,∠ABC=α,則房頂A離地面EF的高度為()第8題圖A.(4+3sinα)mB.(4+3tanα)mC.(4+eq\f(3,sinα))mD.(4+eq\f(3,tanα))m9.(2023柳州)如圖,某水庫堤壩橫斷面迎水坡的坡角為α,sinα=eq\f(3,5),堤壩高BC=30m,則迎水坡面AB的長度為________m.第9題圖10.(2023寧波)每年的11月9日是我國的“全國消防安全教育宣傳日”,為了提升全民防災減災意識.某消防大隊進行了消防演習.如圖①,架在消防車上的云梯AB可伸縮(最長可伸至20m),且可繞點B轉(zhuǎn)動,其底部B離地面的距離BC為2m,當云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時,底部B到EF的距離BD為9m.(1)若∠ABD=53°,求此時云梯AB的長;(2)如圖②,若在建筑物底部E的正上方19m處突發(fā)險情,請問在該消防車不移動位置的前提下,云梯能否伸到險情處?請說明理由.(參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈1.3)第10題圖類型二背靠背型11.(2023安徽)如圖,為了測量河對岸A,B兩點間的距離,數(shù)學興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測點C,測得A,B均在C的北偏東37°方向上,沿正東方向行走90米至觀測點D,測得A在D的正北方向,B在D的北偏西53°方向上.求A,B兩點間的距離.參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75.第11題圖12.(2023宿遷)如圖,某學習小組在教學樓AB的頂部觀測信號塔CD底部的俯角為30°,信號塔頂部的仰角為45°.已知教學樓AB的高度為20m,求信號塔的高度(計算結(jié)果保留根號).第12題圖13.(2022遂寧)小明周末與父母一起到遂寧濕地公園進行數(shù)學實踐活動,在A處看到B,C處各有一棵被湖水隔開的銀杏樹,他在A處測得B在北偏西45°方向,C在北偏東30°方向,他從A處走了20米到達B處,又在B處測得C在北偏東60°方向.(1)求∠C的度數(shù);(2)求兩棵銀杏樹B,C之間的距離(結(jié)果保留根號).第13題圖類型三母子型考向1同一個觀測點觀測兩個位置點14.(2023天津)如圖,某座山AB的頂部有一座通訊塔BC,且點A,B,C在同一條直線上.從地面P處測得塔頂C的仰角為42°,測得塔底B的仰角為35°.已知通訊塔BC的高度為32m,求這座山AB的高度(結(jié)果取整數(shù)).參考數(shù)據(jù):tan35°≈0.70,tan42°≈0.90.第14題圖源自人教九下P76第1題考向2兩個觀測點觀測同一個位置點15.(2023山西)隨著科技的發(fā)展,無人機已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活,如代替人們在高空測量距離和角度.某校“綜合與實踐”活動小組的同學要測量AB,CD兩座樓之間的距離,他們借助無人機設(shè)計了如下測量方案:無人機在AB,CD兩樓之間上方的點O處,點O距地面AC的高度為60m,此時觀測到樓AB底部點A處的俯角為70°,樓CD上點E處的俯角為30°,沿水平方向由點O飛行24m到達點F,測得點E處俯角為60°,其中點A,B,C,D,E,F(xiàn),O均在同一豎直平面內(nèi).請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓AB與CD之間的距離AC的長(結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù):sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,eq\r(3)≈1.73).第15題圖16.(2023甘肅省卷)灞陵橋位于甘肅省渭源縣城南清源河(渭河上游)上,始建于明洪武初年,因“渭水繞長安,繞灞陵,為玉石欄桿灞陵橋”之語,得名灞陵橋(圖①),該橋為全國獨一無二的純木質(zhì)疊梁拱橋.某綜合實踐研究小組開展了測量汛期某天“灞陵橋拱梁頂部到水面的距離”的實踐活動,過程如下:方案設(shè)計:如圖②,點C為橋拱梁頂部(最高點),在地面上選取A,B兩處分別測得∠CAF和∠CBF的度數(shù)(A,B,D,F(xiàn)在同一條直線上),河邊D處測得地面AD到水面EG的距離DE(C,F(xiàn),G在同一條直線上,DF∥EG,CG⊥AF,F(xiàn)G=DE).數(shù)據(jù)收集:實地測量地面上A,B兩點的距離為8.8m,地面到水面的距離DE=1.5m,∠CAF=26.6°,∠CBF=35°.問題解決:求灞陵橋拱梁頂部C到水面的距離CG(結(jié)果保留一位小數(shù)).參考數(shù)據(jù):sin26.6°≈0.45,cos26.6°≈0.89,tan26.6°≈0.50,sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70.根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù),請你完成求解過程.第16題圖考向3兩個觀測點觀測兩個位置點17.(2023重慶A卷)如圖,三角形花園ABC緊鄰湖泊,四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.經(jīng)測量,點C在點A的正東方向,AC=200米,點E在點A的正北方向.點B,D在點C的正北方向,BD=100米,點B在點A的北偏東30°,點D在點E的北偏東45°.(1)求步道DE的長度(精確到個位);(2)點D處有直飲水,小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水,可以經(jīng)過點B到達點D,也可以經(jīng)過點E到達點D.請計算說明他走哪一條路較近?(參考數(shù)據(jù):eq\r(2)≈1.414,eq\r(3)≈1.732)第17題圖源自人教九下P84第9題類型四擁抱型18.(2022自貢)在一次數(shù)學課外實踐活動中,小明所在的學習小組從綜合樓頂部B處測得辦公樓底部D處的俯角是53°,從綜合樓底部A處測得辦公樓頂部C處的仰角恰好是30°,綜合樓高24米.請你幫小明求出辦公樓的高度.(結(jié)果精確到0.1.參考數(shù)據(jù)tan37°≈0.75,tan53°≈1.33,eq\r(3)≈1.73)第18題圖類型五實物模型19.(新趨勢)·真實問題情境(2023成都)2023年6月6日是第27個全國“愛眼日”,某數(shù)學興趣小組開展了“筆記本電腦的張角大小、頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關(guān)系”的實踐探究活動.如圖,當張角∠AOB=150°時,頂部邊緣A處離桌面的高度AC的長為10cm,此時用眼舒適度不太理想.小組成員調(diào)整張角大小繼續(xù)探究,最后聯(lián)系黃金比知識,發(fā)現(xiàn)當張角∠A′OB=108°時(點A′是A的對應(yīng)點),用眼舒適度較為理想.求此時頂部邊緣A′處離桌面的高度A′D的長.(結(jié)果精確到1cm;參考數(shù)據(jù):sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08)第19題圖20.(新趨勢)·真實問題情境(2023常德)第24屆冬季奧林匹克運動會于今年2月4日至20日在北京舉行,我國冬奧選手取得了9塊金牌、4塊銀牌、2塊銅牌,為祖國贏得了榮譽,激起了國人對冰雪運動的熱情.某地模仿北京首鋼大跳臺建了一個滑雪大跳臺(如圖①),它由助滑坡道、弧形跳臺、著陸坡、終點區(qū)四部分組成.圖②是其示意圖,已知:助滑坡道AF=50米,弧形跳臺的跨度FG=7米,頂端E到BD的距離為40米,HG∥BC,∠AFH=40°,∠EFG=25°,∠ECB=36°.求此大跳臺最高點A距地面BD的距離是多少米(結(jié)果保留整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,tan25°≈0.47,sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)第20題圖21.(2023江西)圖①是某長征主題公園的雕塑,將其抽象成如圖②所示的示意圖,已知AB∥CD∥FG,A,D,H,G四點在同一直線上,測得∠FEC=∠A≈72.9°,AD=1.6m,EF=6.2m.(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)(1)求證:四邊形DEFG為平行四邊形;(2)求雕塑的高(即點G到AB的距離).(參考數(shù)據(jù):sin72.9°≈0.96,cos72.9°≈0.29,tan72.9°≈3.25)第21題圖22.(2023嘉興)小華將一張紙對折后做成的紙飛機如圖①,紙飛機機尾的橫截面是一個軸對稱圖形,其示意圖如圖②,已知AD=BE=10cm,CD=CE=5cm,AD⊥CD,BE⊥CE,∠DCE=40°.(1)連接DE,求線段DE的長;(2)求點A,B之間的距離.(結(jié)果精確到0.1cm.參考數(shù)據(jù):sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36,sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)第22題圖參考答案與解析1.B2.D【解析】∵AD是△ABC的高,∴AD⊥BC,∵BD=2CD=6,∴CD=3,又∵tanC=2,∴eq\f(AD,CD)=2,即eq\f(AD,3)=2,∴AD=6.在Rt△ABD中,AB=eq\r(AD2+BD2)=eq\r(62+62)=6eq\r(2).3.A4.C【解析】如解圖,過點D作DE⊥AB于點E,∵tanA=eq\f(1,2),且BC=eq\r(5),∴AC=2eq\r(5),∴AB=5,∵tanA=eq\f(DE,AE)=eq\f(1,2),tan∠ABD=eq\f(DE,EB)=eq\f(1,3),∴AE∶EB=2∶3,∴EB=eq\f(3,5)AB=3,∴DE=1,∴BD=eq\r(BE2+DE2)=eq\r(10),∵BC=eq\r(5),∴CD=eq\r(BD2-BC2)=eq\r(5).第4題解圖5.eq\f(4,5)【解析】如解圖,過點C作CD⊥AB于點D,∵點A,B,C都在網(wǎng)格線上,且都是小正方形邊的中點,∴CD=4,AD=3,∴AC=eq\r(AD2+CD2)=5,∴sinA=eq\f(CD,AC)=eq\f(4,5).第5題解圖6.解:(1)在Rt△ABC中,cos∠ABC=eq\f(BC,AB)=eq\f(4,5),∵BC=8,∴AB=10,由勾股定理,得AC=eq\r(AB2-BC2)=6;(2)如解圖,過點F作FN⊥BD于點N,第6題解圖∵BF為AD邊上的中線,AC⊥BD,∴FN為△ACD的中位線,∴FN=eq\f(1,2)AC=3,CN=eq\f(1,2)CD=2,∴tan∠FBD=eq\f(FN,BN)=eq\f(FN,BC+CN)=eq\f(3,10).7.B【解析】由題意知AD⊥BC,AB=AC,∴BD=CD=eq\f(1,2)BC=22,∵tanB=eq\f(AD,BD),∴AD=BD·tanB=22×tan27°≈22×0.51=11.22cm.8.B【解析】如解圖,過點A作BC的垂線,垂足為D,∵AB=AC,∴D為BC的中點.∵BC=6m,∴BD=3m.∵∠ABC=α,∴tan∠ABD=eq\f(AD,BD),∴AD=3tanα,又∵BC與EF的距離為4m,即BE=4m,∴A離地面EF的高度為BE+AD(4+3tanα)m.第8題解圖9.50【解析】由題意知,AB=eq\f(BC,sinα)=eq\f(30,\f(3,5))=50m.10.解:(1)在Rt△ABD中,∠ABD=53°,BD=9m,∴AB=eq\f(BD,cos∠ABD)=eq\f(9,cos53°)≈eq\f(9,0.6)=15(m).答:此時云梯AB的長為15m;(2)云梯能伸到險情處,理由如下:∵AE=19m,BC=2m,∴AD=19-2=17m.在Rt△ABD中,BD=9m,∴AB=eq\r(AD2+BD2)=eq\r(172+92)=eq\r(370)(m).∵eq\r(370)<20,∴在該消防車不移動位置的前提下,云梯能夠伸到險情處.11.解:如解圖,由題意可知CE∥AD,∠ECA=37°,∠BDA=53°,∴∠A=37°,∠ABD=90°,在Rt△BCD中,CD=90,∠BDC=37°,∴BD=CD·cos37°≈90×0.8=72,在Rt△ABD中,∠A=37°,BD=72,∴AB=eq\f(BD,tan37°)≈eq\f(72,0.75)=96(米).答:A,B兩點間的距離為96米.第11題解圖12.解:如解圖,過點A作AE⊥CD于點E,第12題解圖∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴四邊形ABDE是矩形,∴AB=DE=20,∵在Rt△ADE中,∠DAE=30°,∴tan30°=eq\f(DE,AE),即eq\f(\r(3),3)=eq\f(20,AE),解得AE=20eq\r(3),∵在Rt△ACE中,∠CAE=45°,∴CE=AE=20eq\r(3),∴CD=CE+DE=(20eq\r(3)+20)m.答:信號塔的高度為(20eq\r(3)+20)m.13.解:(1)∵BE∥AD且∠EBD=60°,∴∠BDA=∠EBD=60°.∵∠BDA=∠C+∠CAD且∠CAD=30°,∴∠C=∠BDA-∠CAD=30°;(2)如解圖,過點B作BG⊥AD于點G,則∠AGB=∠BGD=90°.在Rt△AGB中,∵AB=20米,∠BAG=45°,∴AG=BG=20·sin45°=10eq\r(2),在Rt△BGD中,∵∠BDA=60°,∴BD=eq\f(BG,sin60°)=eq\f(10\r(2),sin60°)=eq\f(20\r(6),3),DG=eq\f(BG,tan60°)=eq\f(10\r(2),tan60°)=eq\f(10\r(6),3),∵∠C=∠CAD=30°,∴CD=AD=AG+DG=(10eq\r(2)+eq\f(10\r(6),3))米.∴BC=BD+CD=(10eq\r(2)+10eq\r(6))米.答:兩棵銀杏樹B,C之間的距離為(10eq\r(2)+10eq\r(6))米.第13題解圖14.解:根據(jù)題意得,BC=32m,∠APC=42°,∠APB=35°.在Rt△PAC中,tan∠APC=eq\f(AC,PA),∴PA=eq\f(AC,tan∠APC).在Rt△PAB中,tan∠APB=eq\f(AB,PA),∴PA=eq\f(AB,tan∠APB),∵AC=AB+BC,∴eq\f(AB+BC,tan∠APC)=eq\f(AB,tan∠APB),∴AB=eq\f(BC·tan∠APB,tan∠APC-tan∠APB)=eq\f(32×tan35°,tan42°-tan35°)≈eq\f(32×0.70,0.90-0.70)=112(m).答:這座山AB的高度約為112m.15.解:如解圖,延長AB和CD分別與直線OF交于點G和點H,則∠AGO=∠EHO=90°.又∵∠GAC=90°,∴四邊形ACHG是矩形,∴GH=AC.由題意,得AG=60,OF=24,∠AOG=70°,∠EOF=30°,∠EFH=60°.在Rt△AGO中,∠AGO=90°,tan∠AOG=eq\f(AG,OG),∴OG=eq\f(AG,tan∠AOG)=eq\f(60,tan70°)≈eq\f(60,2.75)≈21.82.∵∠EFH是△EOF的外角,∴∠FEO=∠EFH-∠EOF=60°-30°=30°,∴∠EOF=∠FEO,∴EF=OF=24.在Rt△EHF中,∠EHF=90°,cos∠EFH=eq\f(FH,EF),∴FH=EF·cos∠EFH=24×cos60°=12,∴AC=GH=GO+OF+FH=21.82+24+12≈58(m).答:樓AB與CD之間的距離AC的長約為58m.第15題解圖16.解:設(shè)CF=x,在Rt△ACF中,AF=eq\f(CF,tan∠CAF)=eq\f(x,tan26.6°)≈eq\f(x,0.50),在Rt△BCF中,BF=eq\f(CF,tan∠CBF)=eq\f(x,tan35°)≈eq\f(x,0.70),∵AF-BF=AB=8.8,∴eq\f(x,0.50)-eq\f(x,0.70)=8.8,解得x=15.4,∴CF=15.4.∵FG=DE=1.5,∴CG=CF+FG=15.4+1.5=16.9.答:灞陵橋拱梁頂部C到水面的距離CG約為16.9m.17.解:(1)如解圖,過點E作EH⊥DC于點H.第17題解圖由題意得,EH=AC=200米.∵在Rt△EHD中,∠HDE=45°,∴DE=eq\r(2)EH=200eq\r(2)≈200×1.414≈283米.答:步道DE的長度約為283米;(2)∵DH=EH=200,BD=100,∴BH=DH-BD=100,∵在Rt△ABC中,∠ABC=30°,∴AB=400,BC=200eq\r(3),∴HC=BC-BH=(200eq\r(3)-100)米,∴AE=HC=(200eq\r(3)-100)米,從點A經(jīng)過點B到達點D的路線長為AB+BD=400+100=500米;從點A經(jīng)過點E到達點D的路線長為AE+DE=200eq\r(3)-100+200eq\r(2)≈529.2>500.答:小紅經(jīng)過點B到達點D的路線較近.18.解:在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=24,∠ABD=90°-53°=37°,∴AD=AB·tan∠ABD=24×tan37°≈24×0.75=18(米),在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠CAD=30°,∴CD=AD·tan30°=18×eq\f(\r(3),3)=6eq\r(3)≈10.38≈10.4(米).答:辦公樓的高度約為10.4米.19.解:∵∠AOB=150°,∴∠AOC=30°,∴在Rt△AOC中,sin∠AOC=eq\f(AC,OA),即sin30°=eq\f(10,OA),解得OA=20cm,∴OA′=OA=20cm.∵∠A′OB=108°,∴∠A′OD=72°,∴在Rt△A′OD中,sin∠DOA′=eq\f(A′D,A′O),即sin72°=eq\f(A′D,20),解得A′

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