2024中考數(shù)學(xué)全國(guó)真題分類卷 模型八 利用兩點(diǎn)之間線段最短求最值 強(qiáng)化訓(xùn)練(含答案)

2024中考數(shù)學(xué)全國(guó)真題分類卷模型八利用兩點(diǎn)之間線段最短求最值強(qiáng)化訓(xùn)練類型一“一線兩點(diǎn)”型(一動(dòng)點(diǎn)＋兩定點(diǎn))1.(2022永州)如圖，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4，3)，B(0，－3)，在x軸上找一點(diǎn)P，使線段PA＋PB的值最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．第1題圖2.(2023眉山)如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接PE，PB，若AB＝4，BC＝4eq\r(3)，則PE＋PB的最小值為_(kāi)_______．第2題圖3.(2018銅仁)已知在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(0，1)，B(－1，0)，動(dòng)點(diǎn)P在反比例函數(shù)y＝eq\f(2,x)的圖象上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段PA與線段PB之差的絕對(duì)值最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．4.(2023遵義)如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)M，N分別為BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AN＝CM，AB＝eq\r(2).當(dāng)AM＋BN的值最小時(shí)，CM的長(zhǎng)為_(kāi)_______.第4題圖5.(挑戰(zhàn)題)(2023成都)如圖，在菱形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CD交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，連接BE，點(diǎn)P是線段BE上一動(dòng)點(diǎn)，作P關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)P′，點(diǎn)Q是AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接P′Q，DQ.若AE＝14，CE＝18，則DQ－P′Q的最大值為_(kāi)_______．第5題圖類型二“—點(diǎn)兩線”型(兩動(dòng)點(diǎn)＋一定點(diǎn))6.如圖，在△ABC中，∠ABC＝50°，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，當(dāng)△PMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)是()A.120°B.90°C.80°D.60°第6題圖7.(2023聊城)如圖，一次函數(shù)y＝x＋4的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C(－2，0)是x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為直線y＝x＋4和y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CEF周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為()A.E(－eq\f(5,2)，eq\f(3,2))，F(xiàn)(0，2)B.E(－2，2)，F(xiàn)(0，2)C.E(－eq\f(5,2)，eq\f(3,2))，F(xiàn)(0，eq\f(2,3))D.E(－2，2)，F(xiàn)(0，eq\f(2,3))第7題圖類型三“兩點(diǎn)兩線”型(兩動(dòng)點(diǎn)＋兩定點(diǎn))8.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝2eq\r(10)，點(diǎn)D，E在BC邊上，BD＝CE＝1，點(diǎn)G，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則四邊形DEFG周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______．第8題圖9.(2023濱州)如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10.若點(diǎn)E是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC且分別交對(duì)角線AC，直線BC于點(diǎn)O，F(xiàn)，則在點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，AF＋FE＋EC的最小值為_(kāi)_____________________．第9題圖類型四“定長(zhǎng)＋定點(diǎn)”型10.(2023鄂州)如圖，定直線MN∥PQ，點(diǎn)B，C分別為MN，PQ上的動(dòng)點(diǎn)，且BC＝12，BC在兩直線間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終有∠BCQ＝60°.點(diǎn)A是MN上方一定點(diǎn)，點(diǎn)D是PQ下方一定點(diǎn)，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24eq\r(3)，當(dāng)線段BC在平移過(guò)程中，AB＋CD的最小值為()A.24eq\r(13)B.24eq\r(15)C.12eq\r(13)D.12eq\r(15)第10題圖11.(2022聊城)如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B(－4，6)，D(0，4)，線段EF在邊OA上移動(dòng)，保持EF＝3，當(dāng)四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)_______．第11題圖12.(2023自貢)如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動(dòng)，若EF＝1，則GE＋CF的最小值為_(kāi)_______．第12題圖參考答案與解析1.(2，0)【解析】由題意可知，當(dāng)點(diǎn)P為AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，PA＋PB的值最小，最小為AB的長(zhǎng)．設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b，∵點(diǎn)A(4，3)，B(0，－3)在直線上，∴直線AB的解析式為y＝eq\f(3,2)x－3，當(dāng)y＝0時(shí)，0＝eq\f(3,2)x－3，解得x＝2，∴P(2，0).2.6【解析】如解圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，交AC于點(diǎn)F，連接B′E交AC于點(diǎn)P，則PE＋PB的最小值為B′E的長(zhǎng)度，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4eq\r(3)，∴tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠ACB＝30°，由對(duì)稱的性質(zhì)可知，BB′＝2BF，BB′⊥AC，∴BF＝eq\f(1,2)BC＝2eq\r(3)，∠CBF＝60°，∴BB′＝2BF＝4eq\r(3)，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝BF，∴△BEF是等邊三角形，∴EF＝B′F，設(shè)∠FB′E＝α，則∠FEB′＝α，∴2α＝60°，∴∠FB′E＝30°，∴∠B′EB＝90°，∴B′E＝eq\r(B′B2－BE2)＝eq\r(（4\r(3)）2－（2\r(3)）2)＝6，∴PE＋PB的最小值為6.第2題解圖3.(1，2)或(－2，－1)【解析】如解圖，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b，將A(0，1)，B(－1，0)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝1,－k＋b＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1,b＝1))，∴直線AB的解析式為y＝x＋1，直線AB與反比例函數(shù)y＝eq\f(2,x)圖象的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，此時(shí)|PA－PB|＝AB，即線段PA與線段PB之差的絕對(duì)值取得最大值，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1,y＝\f(2,x)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝－1))，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)或(－2，－1).第3題解圖4.2－eq\r(2)【解析】如解圖①，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H.設(shè)AN＝CM＝x.∵AB＝AC＝eq\r(2)，∠BAC＝90°，∴BC＝eq\r(（\r(2)）2＋（\r(2)）2)＝2.∵AH⊥BC，∴BH＝AH＝1，∴AH＝BH＝CH＝1，∴AM＋BN＝eq\r(12＋（1－x）2)＋eq\r(（\r(2)）2＋x2)，要求AM＋BN的最小值，相當(dāng)于在x軸上尋找一點(diǎn)P(x，0)，到E(1，1)，F(xiàn)(0，eq\r(2))的距離和的最小值，如解圖②，作點(diǎn)F關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，當(dāng)E，P，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)，PE＋PF的值最小，此時(shí)直線EF′的解析式為y＝(eq\r(2)＋1)x－eq\r(2)，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝2－eq\r(2)，∴AM＋BN的值最小時(shí)，CM的值為2－eq\r(2).第4題解圖【一題多解】2－eq\r(2)【解析】如解圖③，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，且AD＝AC，連接DN，BD，∴∠DAN＝∠ACM，又∵AN＝CM，∴△AND≌△CMA，∴DN＝AM，∴AM＋BN＝DN＋BN≥BD，當(dāng)B，N，D三點(diǎn)共線時(shí)，AM＋BN取得最小值，此時(shí)如解圖④所示，∵在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝eq\r(2)，∴BC＝eq\r(2)AB＝2，∵△AND≌△CMA，∴∠ADN＝∠CAM，∵AD＝AC＝AB，∴∠ADN＝∠ABN，∵AD∥BC，∴∠ADN＝∠MBN，∴∠ABN＝∠MBN，設(shè)∠CAM＝α，∴∠BAM＝∠BAC－α＝90°－α，∴∠ABM＝∠ABN＋∠MBN＝2α＝45°，∴α＝22.5°，∴∠AMB＝∠BAM＝67.5°，∴AB＝BM＝eq\r(2)，∴CM＝BC－BM＝2－eq\r(2)，即BN＋AM取得最小值時(shí)CM的長(zhǎng)為2－eq\r(2).第4題解圖5.eq\f(16\r(2),3)【解析】如解圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥BC于點(diǎn)K，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)R，連接EP′并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)J，連接BQ，BP′，∵四邊形ABCD是菱形，∴點(diǎn)B、D關(guān)于AC對(duì)稱，∴DQ＝BQ，當(dāng)點(diǎn)P是定點(diǎn)時(shí)，DQ－QP′＝BQ－QP′，當(dāng)B，P′，Q三點(diǎn)共線時(shí)，DQ－QP′的值最大，最大值是線段BP′的長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，點(diǎn)P′與J重合，當(dāng)點(diǎn)Q與A重合時(shí)，此時(shí)BQ－QP′的值最大，最大值是線段BJ的長(zhǎng)．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC，∵AE＝14，EC＝18，∴AC＝32，AO＝OC＝16，∴OE＝AO－AE＝16－14＝2，∵DE⊥CD，∴∠DOE＝∠EDC＝90°，∵∠DEO＝∠DEC，∴△EDO∽△ECD，∴eq\f(ED,EC)＝eq\f(EO,ED)，即DE2＝EO·EC＝36，∴DE＝EB＝EJ＝6(負(fù)值已舍去)，∴BC＝CD＝eq\r(EC2－DE2)＝eq\r(182－62)＝12eq\r(2)，OD＝eq\r(DE2－OE2)＝eq\r(62－22)＝4eq\r(2)，∴BD＝8eq\r(2)，∵S△DCB＝eq\f(1,2)OC·BD＝eq\f(1,2)BC·DK，∴DK＝eq\f(16×8\r(2),12\r(2))＝eq\f(32,3).∵∠DEB＋∠DCK＝180°，∠DEB＋∠BER＝180°，∴∠BER＝∠DCK，∴sin∠BER＝eq\f(BR,BE)＝sin∠DCK＝eq\f(DK,CD)＝eq\f(\f(32,3),12\r(2))＝eq\f(4\r(2),9)，∴RB＝BE×eq\f(4\r(2),9)＝eq\f(8\r(2),3)，∵EJ＝EB，ER⊥BJ，∴JR＝BR＝eq\f(8\r(2),3)，∴JB＝eq\f(16\r(2),3)，∴DQ－P′Q的最大值為eq\f(16\r(2),3).第5題解圖6.C【解析】如解圖，分別作點(diǎn)P關(guān)于BA，BC的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，連接P1，P2，交BA于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，連接BP1，BP，BP2，∴BP1＝BP＝BP2，∠BP1M＝∠MPB，∠NPB＝∠NP2B，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得MP＝P1M，PN＝P2N，∴△PMN周長(zhǎng)的最小值為P1P2的長(zhǎng)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠P1BP2＝2∠ABC，∴∠BP1P2＋∠BP2P1＝180°－2∠ABC＝80°，∴∠MPN＝∠BPM＋∠BPN＝∠BP1M＋∠BP2M＝∠BP1P2＋∠BP2P1＝80°.第6題解圖7.C【解析】如解圖，作C(－2，0)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)G(2，0)，作C(2，0)關(guān)于直線y＝x＋4的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD，連接DG交AB于E，交y軸于F，∴DE＝CE，CF＝GF，∴CE＋CF＋EF＝DE＋GF＋EF＝DG，此時(shí)△CEF周長(zhǎng)最小，由y＝x＋4得A(－4，0)，B(0，4)，∴OA＝OB，△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°.∵C，D關(guān)于直線AB對(duì)稱，∴∠DAB＝∠BAC＝45°，∴∠DAC＝90°.∵C(－2，0)，∴AC＝OA－OC＝2＝AD，∴D(－4，2)，∴直線DG解析式為y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(2,3)，在y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(2,3)中，令x＝0得y＝eq\f(2,3)，∴F(0，eq\f(2,3))，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋4,y＝－\f(1,3)x＋\f(2,3)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,2),y＝\f(3,2)))，∴E(－eq\f(5,2)，eq\f(3,2)).第7題解圖8.12【解析】如解圖，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)N，連接MN交AB于G，交AC于F，得到四邊形DEFG的周長(zhǎng)最小，延長(zhǎng)MD交NE的延長(zhǎng)線于T，設(shè)DM交AB于點(diǎn)J，EN交AC于點(diǎn)K.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得出，BC＝7，∵BD＝CE＝1，∴DE＝5，∵點(diǎn)D，M關(guān)于AB對(duì)稱，∴DJ＝JM，DJ∥AC，∴△BJD∽△BAC，∴eq\f(DJ,AC)＝eq\f(BD,BC)，∴eq\f(DJ,3)＝eq\f(1,7)，∴DJ＝eq\f(3,7)，∵∠A＝∠AJT＝∠AKE＝90°，∴四邊形AJTK是矩形，∴∠T＝90°，ET∥BJ，∴△BDJ∽△EDT，∴eq\f(DB,DE)＝eq\f(DJ,DT)，∴eq\f(1,5)＝eq\f(\f(3,7),DT)，∴DT＝eq\f(15,7)，∴MT＝DT＋2DJ＝3，同理EK＝eq\f(2\r(10),7)，在Rt△DTE中，根據(jù)勾股定理得，ET＝eq\f(10\r(10),7)，∴TN＝ET＋2EK＝2eq\r(10)，∴MN＝eq\r(TM2＋NT2)＝7，∴四邊形DEFG的周長(zhǎng)的最小值為DE＋EF＋FG＋DG＝DE＋FN＋FG＋GM＝DE＋MN＝5＋7＝12.第8題解圖9.eq\f(25＋5\r(5),2)【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN∥EF使得AN＝EF，連接NE，∴四邊形ANEF是平行四邊形，∴AF＝NE，∴AF＋CE＝NE＋CE.∴當(dāng)N，E，C三點(diǎn)共線時(shí)，NE＋CE最小，最小值為CN的長(zhǎng)．∵EF⊥AC，E，F(xiàn)分別在邊AD，直線BC上，∴EF始終保持不變，∴AF＋FE＋EC的最小值為CN＋FE.∵四邊形ABCD是矩形，AB＝5，AD＝10，∴CD＝AB＝5，∠D＝90°，∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝5eq\r(5).∵EM⊥BC，∴∠EMF＝∠AEM＝90°，EM＝CD＝5.又∵EF⊥AC，∴∠AOE＝90°，∴∠AEO＋∠FEM＝∠AEO＋∠OAE，∴∠FEM＝∠OAE，∴tan∠FEM＝tan∠DAC，∴eq\f(FM,EM)＝eq\f(CD,AD)，即eq\f(FM,5)＝eq\f(5,10)，解得FM＝eq\f(5,2).在Rt△EFM中，由勾股定理得EF＝eq\r(FM2＋EM2)＝eq\f(5\r(5),2)，∴AN＝eq\f(5\r(5),2).又∵EF⊥AC，AN∥EF，∴NA⊥AC，∴∠CAN＝90°，∴在Rt△ACN中，由勾股定理得CN＝eq\r(AC2＋AN2)＝eq\f(25,2)，∴AF＋FE＋EC的最小值為CN＋EF＝eq\f(25＋5\r(5),2).第9題解圖10.C【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥PQ于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DL⊥PQ于點(diǎn)L，過(guò)點(diǎn)A作PQ的垂線AR，交PQ的平行線DR于點(diǎn)R，AR，MN交于點(diǎn)K，延長(zhǎng)DF至T，使DT＝BC＝12，連接AT交MN于點(diǎn)B′，作B′C′∥BC，交PQ于點(diǎn)C′，則當(dāng)BC在B′C′時(shí)，AB＋CD最小，最小值為AT的長(zhǎng)，可得AK＝AE·sin60°＝eq\f(\r(3),2)AE＝2eq\r(3)，DL＝eq\f(\r(3),2)DF＝4eq\r(3)，BG＝eq\f(\r(3),2)BC＝6eq\r(3)，∴AR＝2eq\r(3)＋6eq\r(3)＋4eq\r(3)＝12eq\r(3)，∵AD＝24eq\r(3)，∴sin∠ADR＝eq\f(AR,AD)＝eq\f(1,2)，∴∠ADR＝30°，∵∠PFD＝∠BCQ＝60°，∴∠