華東師大版九年級數(shù)學(xué)上全冊教案

22.1.二次根式(1)

教學(xué)內(nèi)容：二次根式的概念及其運用

教學(xué)目標(biāo)：1、理解二次根式的概念，并利用&(a20)的意義解答具體題目.

2、提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實際問題.

教學(xué)重難點關(guān)鍵：1.重點：形如JZ(a^O)的式子叫做二次根式的概念；

2.難點與關(guān)鍵：利用“JZ(ae0)”解決具體問題.

教學(xué)過程：一、回顧

當(dāng)a是正數(shù)時，而表示a的算術(shù)平方根，即正數(shù)a的正的平方根.

當(dāng)a是零時，而等于0,它表示零的平方根，也叫做零的算術(shù)平方根.

當(dāng)a是負數(shù)時，沒有意義.

二、概括：4a(a20)表示非負數(shù)a的算術(shù)平方根，也就是說，4a(a20)是一個非負數(shù)，它的平方

等于a.即有：(1)-J~a^0(a》0)；(2)(八')？=a(a20).

形如JZ(a20)的式子叫做二次根式.

注意：在二次根式JZ中，字母a必須滿足a20,即被開方數(shù)必須是非負數(shù).

三、例題講解

例題：x是怎樣的實數(shù)時，二次根式H萬有意義？

分析要使二次根式有意義，必須且只須被開方數(shù)是非負數(shù).

解：被開方數(shù)x-l》0,即x2l.

所以，當(dāng)x》l時，二次根式&萬有意義.

思考：叱等于什么？

我們不妨取a的一些值，如2,-2,3,-3,……分別計算對應(yīng)的a2的值，看看有什么規(guī)律：

概括：當(dāng)a20時，〃了=。；當(dāng)a<0時，=—a.

這是二次根式的又一重要性質(zhì).如果二次根式的被開方數(shù)是一個完全平方，運用這個性質(zhì)，可以將它“開方”

出來，從而達到化簡的目的.例如：

="(2X)2=2X(X20)；=-J(x2)2=x2.

四、練習(xí)：x取什么實數(shù)時，下列各式有意義.

(?)J3-4x；(2)j3x-2；(3)；(4)J3x-4+J4-3x

五、拓展

例：當(dāng)x是多少時，J2X+3+」一在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?

1+1

分析：要使j2x+3+」—在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須同時滿足，2x+3中的20和」一

中的x+lHO.

X+\X+1

解A：依題意”，得,《2x+3>0

[x+lwO

3

由①得：X，--

2

由②得：x#-l

當(dāng)Xe--且xW-l時，J2X+3+——在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

21

例：(1)已知y=j2—x+Jx-2+5,求二的值.(答案:2)

y

⑵若疝F+二1=0,求aZ^+b?00"的值.(答案:一)

六、歸納小結(jié)(學(xué)生活動，老師點評)本節(jié)課要掌握：

1.形如&(a20)的式子叫做二次根式，“J-”稱為二次根號.

2.要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負數(shù).

七、布置作業(yè)：教材P4：1、2

八、反思及感想：

22.1二次根式(2)

教學(xué)內(nèi)容：1.4a(a20)是一個非負數(shù)；2.(JZ)2=a(a20).

教學(xué)目標(biāo)：1、理解血(a>0)是非負數(shù)和(五)2=a(a20),并利用它們進行計算和化簡.

2、通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出JZ(a20)是一個非負數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平

方根的意義導(dǎo)出(&)2=a(a20)；最后運用結(jié)論嚴(yán)謹解題.

教學(xué)重難點關(guān)鍵：1.重點：8(a>0)是一個非負數(shù)；(&)2=a(a20)及其運用.

2.難點、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出JZ(a^O)是一個非負數(shù)；?用探究的方法導(dǎo)出(JZ)2=a

(aNO).

教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入(學(xué)生活動)口答

1.什么叫二次根式？

2.當(dāng)a20時，后叫什么？當(dāng)a<0時，而有意義嗎？

二、探究新知

議一議：(學(xué)生分組討論，提問解答)

4ci(a20)是一個什么數(shù)呢？

老師點評：根據(jù)學(xué)生討論和上面的練習(xí)，我們可以得出

五(a20)是一個非負數(shù).

做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

22

(V?)=；(V2)=；(M)2=.(6)2=:

(，)2=------；(&J-------；(瓜)2=--------

老師點評：①、"是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義,

②、衣是一個平方等于4的非負數(shù)，因此有(、/?)2=4.

同理可得：(V2)2=2,(處)2=9,(g)2=3,(.-)2=~,(2=—>(Vo)2=0,所以：(\[a)2

\3372

a(a20)

三、例題講解

4.卓2

1|尹23飛了

例1計算：1.(2.(3石)

分析：我們可以直接利用(yfa)2=a(a20)的結(jié)論解題.

解：1.(JIY

2.(375)2=32?(氐2=327=45,

(立)烏二

4.

2224

四、鞏固練習(xí)

計算下列各式的值:

(V18)22(趙)2(捶)2(4g)2(36)2_(56)2

V34V8

五、應(yīng)用拓展

例2計算

1.(Vx+T)2(x20),2.(VZ7)2,3.(y/a2+2a+l)2,4.(49+)2

分析：(1)因為x20,所以x+l>0；

(2)a2>0；

(3)a2+2a+l=(a+1)20；

(4)4X2-12X+9=(2X)2-2?2x?3+32=(2x-3)2^0.

所以上面的4題都可以運用(JZ)2=a(a20)的重要結(jié)論解題.

解：(1)因為x2O,所以x+l>0,(V-V+1)2=x+l

(2)Va2>0,A(Vo7)2=a2

(3)Va2+2a+l=(a+1)2,又：(a+1)2>0,

a~+2a+l20,；?>/a~~+2a+1=a~+2a+1

(4)V4X2-12X+9=(2X)<2?2x?3+32=(2x-3)2,又；(2x-3)2>0

.".4X2-12X+9^0,，(j4f—12x+9)2=4X2-12X+9

例3在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)X2-3(2)X4-4(3)2X2-3

六、歸納小結(jié)：本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.yfa(aNO)是一個非負數(shù)；2.()2=a(a》0);反之:a=(>/a)2(a》0).

七、布置作業(yè)：教材P4：3、4

八、反思及感想：

22.1二次根式(3)

教學(xué)內(nèi)容J/=a(a2O)

教學(xué)目標(biāo)：1、理解必=a(a20)并利用它進行計算和化簡.

2、通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究而'=a(a20),并利用這個結(jié)論解決具體問題.

教學(xué)重難點關(guān)鍵：1.重點：J/=a(a>0).

2.難點：探究結(jié)論.

3.關(guān)鍵：講清a20時，而=2才成立.

教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：(老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內(nèi)容)

1.形如JZ(a20)的式子叫做二次根式；

2.y/a(aNO)是一個非負數(shù);

3.(Vaf=a(a，0).

那么，我們猜想當(dāng)a》0時，，/=2是否也成立呢？下面我們就來探究這個問題.

二、探究新知：(學(xué)生活動)填空：

V?--------；Vo.oi2=-------：=------；

序=--------；后=--------；腎=--------

(老師點評)：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得至IJ：

因此，一般地：J/=a(a20)

三、例題講解：

例1化簡：(1)V9(2)7(-4)2(3)V25(4)J(-3>

分析：因為(1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,(4)(-3)2=32,

所以都可運用J/=a(a20)?去化簡.

解：(1)囪=^/5^=3(2)4尸-4

(3)725=7?=5(4)?-3)2=后=3

四、鞏固練習(xí)：(見小黑板)

五、應(yīng)用拓展

例2填空：當(dāng)a20時，"=_____；當(dāng)a<0時，"=—，?并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題.

(1)若J/=a,則a可以是什么數(shù)？(2)若J/=-a,則a可以是什么數(shù)？

(3)J7>a,則a可以是什么數(shù)？

分析：???J/=a(a20),...要填第一個空格可以根據(jù)這個結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使氣)2”中的數(shù)

是正數(shù)，因為，當(dāng)aWO時，后=?—a)2,那么-a20.

(1)根據(jù)結(jié)論求條件；(2)根據(jù)第二個填空的分析，逆向思想；(3)根據(jù)(1)、(2)可知府=|a|,而|a|

要大于a,只有什么時候才能保證呢？a<0.

解：(1)因為J?=a,所以a20；(2)因為，^=-a,所以aWO；

(3)因為當(dāng)aNO時=a,要使>a,即使a>a所以a不存在；當(dāng)a<0時，=-a,要使>a,即使-a>a,

a<0綜上，a<0

例3當(dāng)x>2,化-J(x-2)2-J(l-2x)2.

六、歸納小結(jié)：本課掌握：J/=a(a20)及運用，同時理解當(dāng)a<0時，〃B=-a的應(yīng)用拓展.

七、布置作業(yè):1.先化簡再求值：當(dāng)a=9時，求a+Jl—2a+」2的值,甲乙兩人的解答如下：

甲的解答為：原式=a+,(1-a)?=a+(1-a)=1；乙的解答為：原式=a+Q(1-a)。=a+(a-1)=2a-l=17.

兩種解答中，的解答是錯誤的，錯誤的原因是.

2.若|1995-a|+V?-2000=a,求a-1995?的值.(提示：注意根式有意義的隱含條件)

3.若-3WxW2時，試化簡|x-2|+J(X+3)2-10x+25。

八、反思及感想：

22.2二次根式的乘除(1)

教學(xué)內(nèi)容：4a,s[b—\[ab(a20,b20),反之，茄=夜,-Jb(a'O,bN0)及其運用.

教學(xué)目標(biāo)：1、理解血?血=而(a20,b20),而=&?&(a20,b20),并利用它們進行計算和化簡

2、由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出?揚=疝(a》0,b20)并運用它進行計算；?利用逆向思維，得

出=,4b(a20,b^O)并運用它進行解題和化簡.

教學(xué)重難點關(guān)鍵

1、重點：4a,4b—4ab(a20,b20),\[ab=\[a?、歷(a20,b20)及它們的運用.

2、難點：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出,4b=\[ab(a>0,b20).

3、關(guān)鍵：要講清疝(a<O,b<O)=&x揚，如J(-2)x(-3)=74-2)x-(-3)

或J(—2)x(—3)=7^=&義』.

教學(xué)過程：一、設(shè)疑自探一一解疑合探

自探.(學(xué)生活動)請同學(xué)們完成下列各題.

1.填空：(1)"義囪=,,4x9=；(2)V16xV25=1J16x25=.

(3)7100X736=,V100x36=.

參考上面的結(jié)果，用“>、<或=”填空.

V4x79____A/4^9,716X725_____,16x25,^/i00x736V100x36

2.利用計算器計算填空

(1)V2X73V6,(2)V2X75VlO,

(3)V5XV6V301(4)V?X6亞，

(5)V7XV10屈.

(學(xué)生活動)讓3、4個同學(xué)上臺總結(jié)規(guī)律.

老師點評：(1)被開方數(shù)都是正數(shù)；(2)兩個二次根式的乘除等于一個二次根式，?并且把這兩個二次根式中的

數(shù)相乘，作為等號另一邊二次根式中的被開方數(shù).

一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為

\[a,yfb=yfab.(a20,b>0)

反過來：[=&??(a20,b20)

合探1.計算：(1)&XJ7,(2)/lxV9,(3)79X727,(4)叵X?

V3V2

分析：直接利用JZ,\[b='Jab(a20,b20)計算即可.

合探2化簡(1)V9X16,(2)716x81,(3),81x100,(4)板歹，(5)后

分析：利用=?yfb(a》0,b>0)直接化簡即可.

二、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下！

三、應(yīng)用拓展：判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：

(1)J(-4)X(-9)=QX"

(2)X岳=4X層X岳=4怎X后=4屈=8百

四、鞏固練習(xí)⑴計算(生練，師評)①我②3ax2M③歷?

(2)化簡：V20;V18;V24;用；J12—

五、歸納小結(jié)(師生共同歸納)

本節(jié)課掌握：(1)4a,>Jb—4ab=(a20,b》0),4ab=4a,\[b(a20,b20)及運用.

六、作業(yè)設(shè)計(寫在小黑板上)

(一)、選擇題

1.直角三角形兩條直角邊的長分別為岳cm和厄cm,?那么此直角三角形斜邊長是()

A.3V2cmB.36cmC.9cmD.27cm

2.化簡aJZT的結(jié)果是（）.A.J工B.4aC.-4~aD.-JZ

3.等式五=1=1*2—1成立的條件是（）

A.xNlB.xe-lC.-IWxWlD.x21或xW?l

4.下列各等式成立的是（）.

A.4石X26=8底B.56X48=205C.4Gx30=75D.56義4夜=20指

（二）、填空題：

1.71014=.

2.自由落體的公式為S=；K（g為重力加速度，它的值為lOmM）,若物體下落的高度為720m,則下落的時間是

（三）、綜合提高題探究過程：觀察下列各式及其驗證過程.

(2)3

同理可得:4梏=/+信§忌=/十言,

通過上述探究你能猜測出：aIa=_______（a>0），并驗證你的結(jié)論.

7a2-1

七、反思及感想:

22.2二次根式的乘除（2）

教學(xué)內(nèi)容：巫=叵（a20,b>0）,反過來叵=①（aNO,b>0）及利用它們進行計算和化簡.

yJhVbVbJb

教學(xué)目標(biāo);1、理解巫=叵（a20,b>0）和叵=返（aNO,b>0）及利用它們進行運算.

>fbVbVb

2、利用具體數(shù)據(jù)，通過學(xué)生練習(xí)活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出逆向等式及利用它

們進行計算和化簡.

教學(xué)重難點關(guān)鍵

1.重點：理解且=叵（a20,b>0）,叵=￡_（a>0,b>0）及用它們進行計算和化簡.

4bNb\h4b

2.難點關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.

教學(xué)過程；一、設(shè)疑自探一一解疑合探

自探.（學(xué)生活動）請同學(xué)們完成下列各題：

1.填空(1)8=：(2)A=___>匣=_____；

>/?6一腎V36V36

(3)V4=，產(chǎn)=;(4)>/36=，/36=

VT6V16x/8lV81-

規(guī)律：?____巨；____叵；巫一田;_[36.

V16V16V36736>?16V16聞V81

2.利用計算器計算填空：

鼻=，（4）包=

(1)0=，(2)V2=,(3)

V8

規(guī)律：6[3；也回；鼻回；后回。

A/4V473V3V5V5瓜V8

每組推薦一名學(xué)生上臺闡述運算結(jié)果.（老師點評），根據(jù)大家的練習(xí)和回答,

我們進行合探：

二次根式的除法規(guī)定：

一般地，對二次根式的除法規(guī)定：

,關(guān)(a>0,b>0)

反過來;

下面我們利用這個規(guī)定來計算和化簡一些題目.

分析：上面小題利用%=

4號（aNO,b>0）便可直接得出答案.

[a_yfa

分析：直接利用（a20,b>0）就可以達到化簡之目的.

二、應(yīng)用拓展

已知但三=比三，且x為偶數(shù)，求（1+x）任-5x+1的值.

Vx-6Vx-6V-x2-l

(a_4a

分析：式子只有a20,b>0時才能成立.

因此得到9-xNO且x-6>0,即6<xW9,又因為x為偶數(shù)，所以x=8.

三、歸納小結(jié)（師生共同歸納）

本節(jié)課要掌握巫=叵（a20,b>0）和叵=叵（a20,b>0）及其運用.

~JbVbVb-Jb

四、作業(yè)：（寫在小黑板上）

（一）、選擇題：

1.計算出一媽+后的結(jié)果是（）.

A.175；B.1；C.72；D.V2

777

2.閱讀下列運算過程：1>/3J3,22752>/5數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號去掉的過程

y/3A/3X>/33V5V5X5/55

2

稱作“分母有理化”，那么,化簡定的結(jié)果是（).

A.2B.6C.-A/6D.76

3

(二人填空題1.分母有理化：(1)_J_=;(2)1=；(3)Vio=.

3鼻VT2275

2.已知x=3,y=4,z=5,那么J五+J百的最后結(jié)果是

（三）、綜合提高題計算

五、反思及感想:

22.2二次根式的乘除（3）

教學(xué)內(nèi)容

最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進行二次根式的化簡運算.

教學(xué)目標(biāo)：1、理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式.

2、通過計算或化簡的結(jié)果來提煉出最簡二次根式的概念，并根據(jù)它的特點來檢驗最后結(jié)果是否滿足最簡二

次根式的要求.

重難點關(guān)鍵：1.重點：最簡二次根式的運用.

2.難點關(guān)鍵：會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式.

教學(xué)過程

一、設(shè)疑自探一一解疑合探

自探1.（學(xué)生活動）請同學(xué)們完成下列各題（請三位同學(xué)上臺板書）

計算（1）正，（2）3V2,（3）娓

>/5V2742a

老師點評：—2AA7

V55V273^/2aa

自探2.觀察上面計算題的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有什么特點？（有如下兩個特點：1.被開

方數(shù)不含分母；2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.）

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

合探1.把下面的二次根式化為最簡二次根式：（1）3日;⑵,jx2y4+x4y2；（3）標(biāo)/

合探2.如圖，在RtZSABC中，ZC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,A

求AB的長.

AB=，2.5?+6?=

因此AB的長為6.5cm.

二、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下！

三、應(yīng)用拓展

觀察下列各式，通過分母有理化，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：

1_lx（V2-l）_V2-1_r,

萬丁g）（夜_1廣百7

1=1x（6-揚出-立_尼萬

6+函+&）（癢揚一3-2''

同理可得：1=&出,……

V4+>/3

從計算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算

（!+1+1+……1）（A/2002+1）的值.

V2+1>/34-V274+73V2002+V2OO1

分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達到化簡的目的.

四、歸納小結(jié)（師生共同歸納）：本節(jié)課應(yīng)掌握：最簡二次根式的概念及其運用.

五、作業(yè)設(shè)計（寫在小黑板上）

（一）、選擇題

1.如果產(chǎn)（y>0）是二次根式，那么，化為最簡二次根式是（）.

A.叵（y>0）B.JE（y>0）C.6（y>0）D.以上都不對

6y

2.把（a-1）/1中根號外的（a-1）移入根號內(nèi)得（）.

Va-1

A.y]Cl—1B.yj\—（1C.-yj（1—1D.-y/l—Cl

3.在下列各式中，化簡正確的是（）

B.[X.=±yV2C.>ja4b=a2s[bD.—x2=xjx-l

4.化簡一3號的結(jié)果是（）A.->/2；B.-2；C.-逅；D.-72

727303

（二）、填空題

1.化簡“4+。2=.（x20）

2.a尸耳化簡二次根式號后的結(jié)果是.

（三）、綜合提高題

1.已知a為實數(shù)，化簡：7^7-aF1，閱讀下面的解答過程，請判斷是否正確？若不正確，?請寫出正確的解

答過程：

解：A/—6?-a/_J_=ay/—a-a,J_\[—a=（a-1）>[—a

a

2.若x、y為實數(shù)，且y=-T+g-x：+1,求Jx+y^x-y的值.

x+2

六、反思及感想:

22.3二次根式的加減⑴

教學(xué)內(nèi)容：二次根式的加減

教學(xué)目標(biāo)：理解和掌握二次根式加減的方法.

重難點關(guān)鍵：1.重點：二次根式化簡為最簡根式.

2.難點關(guān)鍵：會判定是否是最簡二次根式.

教學(xué)過程：

一、設(shè)疑自探一一解疑合探

自探(學(xué)生活動)：計算下列各式.

(1)2V2+3A/2；(2)2\/8-35/8+5>/8；(3)+2+3《9x7；(4)3-2V3+V2

因此，二次根式的被開方數(shù)相同是可以合并的，如2J5與物表面上看是不相同的，但它們可以合并嗎？可以

的.(板書)372+78=3V2+2V2=5V2和3指+a=3石+36=66

所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，?再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并.

合探1.計算：(1)78+718(2)J16x+，64x

分析：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進行合并.

合探2.計算

(1)3748-9^1+3>/12(2)(748+720)+(712-75)

二、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下！

三、應(yīng)用拓展

+22

已矢口4x?+y2?4x-6y+10=0,求(ZxJ9xy/一)-(x/T-5x叵)的值.

3曠算VxVx

分析：本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得(2X-1)2+(y-3)2二()，

即*=',y=3.其次，根據(jù)二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，?再合并同類二次根式，最

2

后代入求值.

四、歸納小結(jié)(師生共同歸納)：本節(jié)課應(yīng)掌握：

(1)不是最簡二次根式的，應(yīng)化成最簡二次根式；(2)相同的最簡二次根式進行合并.

五、作業(yè)設(shè)計(寫在小黑板上)

(一)、選擇題

1.以下二次根式：①巫；②亞；③后;④后中，與G是同類二次根式的是().

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①36+3=66；②;夕=1;③行+n=我=2后；④亨=2及，其中錯誤的有

().A.3個B.2個C.1個D.0個

(二)、填空題

1.在次、17^'2反、Ji石、2后》、3屁、-2足中，與扃是同類二次根式的有.

33aV8

2.計算二次根式5G-3揚-76+9揚的最后結(jié)果是.

（三）、綜合提高題

1.已知石弋2.236,求（底-舊）-（F+1745）的值.（結(jié)果精確到0。）

2.先化簡，再求值.

(6x)-(4x[+436xy),其中x=2_,y=27.

六、反思及感想:

22.3二次根式的加減⑵

教學(xué)內(nèi)容：利用二次根式化簡的數(shù)學(xué)思想解應(yīng)用題.

教學(xué)目標(biāo)：運用二次根式、化簡解應(yīng)用題.

重難點關(guān)鍵：講清如何解答應(yīng)用題既是本節(jié)課的重點，又是本節(jié)課的難點、關(guān)鍵點.

教學(xué)過程：

一、設(shè)疑自探一一解疑合探

上節(jié)課，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個步驟：第一步，先將二次根式化成最簡二

九

AP

次根式；第二步，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，下面我們研究三道題以做鞏固.

自探1.如圖所示的RtZXABC中，/B=90°,點P從點B開始沿BA邊以1厘米/?秒的速度向點A移動；同時，

點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C移動.問：幾秒后aPBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是

多少厘米？（結(jié)果用最簡二次根式表示）

分析：設(shè)x秒后4PBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,?根據(jù)三角形面積公式就可以求出x的值.

解：設(shè)x后aPBQ的面積為35平方厘米.則有PB=x,BQ=2x

依題意，得：—x,2x=35X2=35X=V35

2

所以標(biāo)秒后aPBQ的面積為35平方厘米.

PQ=^PB2+BQ2=Vx2+4x2=Vsx7=J5x35=5V7

答：屈秒后APEQ的面積為35平方厘米,PQ的距離為5近厘米.

自探2.要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）?

解：由勾股定理，得AB=^AEr+BCr=A/42+22=>/20=275

BC=^BCT+CDT=>/22+l2=居

所需鋼材長度為AB+BC+AC+BD=26+石+5+2=36+7=3X2.24+7^13.7（m）

答：要焊接一個如圖所示的鋼架，大約需要13.7m的鋼材.）

三、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下！

四、應(yīng)用拓展

若最簡根式3飛4a+3。與根式一1+6人是同類二次根式,求&、b的值.

注：（?同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡二次根式）

分析：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同；?事實上，根式J2加—多3+6好不

是最簡二次根式，因此把：2"2一>3+662化簡成⑻?j2a-b+6,才由同類二次根式的定義得3a/b=?2,

2a-b+6=4a+3b.

解：首先把根式J2"2—4+6從化為最簡二次根式:

hab1—/J」+6Z?2=J12（2a-1+6）=|b|?」2a-b+6

由題意得[4"+3〃=2。一〃+6二12。+4〃=6；.a=l,b=l

[3a-Z?=2\3a-b=1

五、歸納小結(jié)（師生共同歸納）：本節(jié)課應(yīng)掌握運用最簡二次根式的合并原理解決實際問題.

六、作業(yè)設(shè)計（寫在小黑板上）

（一）、選擇題

1.已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和5,那么斜邊的長應(yīng)為（）.

A.572B.A/50C.2逐D.以上都不對

2.小明想自己釘一個長與寬分別為30cm和20cm的長方形的木框，?為了增加其穩(wěn)定性，他沿長方形的對角線又釘

上了一根木條，木條的長應(yīng)為（）米.

A.13V100B.V1300C.10>/13D.5713

(二)、填空題

1.某地有一長方形魚塘，已知魚塘的長是寬的2倍，它的面積是1600m2,?魚塘的寬是m.

2.已知等腰直角三角形的直角邊的邊長為0,?那么這個等腰直角三角形的周長是.

(三)、綜合提高題

1.若最簡二次根式|(3加2一2與八目4m2一10是同類二次根式,求m、n的值.

2.同學(xué)們，我們以前學(xué)過完全平方公式a2±2ab+b?=(a±b)2,你一定熟練掌握了吧!現(xiàn)在，我們又學(xué)習(xí)了二次根式,

那么所有的正數(shù)(包括0)都可以看作是一個數(shù)的平方，如3=(6)2,

5=(右)2,你知道是誰的二次根式呢？下面我們觀察：

(■x/2-l)2=(^)2-2?1?V2+l2=2-272+1=3-272

反之，3-20=2-20+1=(應(yīng)-1)2.?.3-20=(0-1)273-2>/2=72-1

求：(1)《3+2&；(2)"+2君；(3)你會算,4—嗎?

(4)y[a±2y/h=4m±-Jn,貝！Im、n與a、b的關(guān)系是什么？并說明理由.

六、反思及感想：

22.3二次根式的加減(3)

教學(xué)內(nèi)容：含有二次根式的單項式與單項式相乘、相除；多項式與單項式相乘、相除；多項式與多項式相乘、相除；

乘法公式的應(yīng)用.

教學(xué)目標(biāo)：1、含有二次根式的式子進行乘除運算和含有二次根式的多項式乘法公式的應(yīng)用.

2、復(fù)習(xí)整式運算知識并將該知識運用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運算.

重難點關(guān)鍵：I、重點：二次根式的乘除、乘方等運算規(guī)律；

2、難點關(guān)鍵：由整式運算知識遷移到含二次根式的運算.

教學(xué)過程

一、設(shè)疑自探一一解疑合探

自探1.(學(xué)生活動)：請同學(xué)們完成下列各題：

1.計算：(1)(2x+y)?zx(2)(2x2y+3xy2)-rxy

2.計算：(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+l)2+(2x-l)2

老師點評：這些內(nèi)容是對八年級上冊整式運算的再現(xiàn).它主要有(1)?單項式X單項式；(2)單項式X多項式；(3)

多項式+單項式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的運用.

如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運算規(guī)律是否仍成立呢？?仍成立.

整式運算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，?當(dāng)然也可以代表二次根式，所以，

整式中的運算規(guī)律也適用于二次根式.

自探2.計算：（1）（V6+V8）xx/3（2）（4V6-3V2）H-2V2

分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運算規(guī)律，?所以直接可用整式的運算規(guī)律.

自探3.計算：（1）（石+6）（3-75）（2）（V10+V7）（V10-V7）

分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法公式運算中仍然成立.

二、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下！

三、應(yīng)用拓展：已知之二2=2-2二W，其中a、b是實數(shù)，且a+bWO,

ab

化簡J*+1-+J*+1+,并求值.

1+y/xy/x-b1-yfx

分析：由于（GR+4）=1,因此對代數(shù)式的化簡，可先將分母有理化，再通過解含有字母系

數(shù)的一元一次方程得到X的值，代入化簡得結(jié)果即可.

解：原式?「耳一丹7-+二呵+旦

(VX+1+Vx)(Vx+1->Jx)WX+1-，￥)(，%+1+，x)

(+1X+1+

—yfx^+(J=(x+l)+x-2Jx(x+1)+x+2Jx(x+D=4x+2

(X+1)—X(x+1)—X

*/----=2------/.b(x-b)=2ab-a(x-a)bx-b2=2ab-ax+a2

ab

:.(a+b)x=a2+2ab+b2:.(a+b)x=(a+b)2Va+b^Ox=a+b

，原式=4x+2=4(a+b)+2

四、歸納小結(jié)（師生共同歸納）：本節(jié)課應(yīng)掌握二次根式的乘、除、乘方等運算.

五、作業(yè)設(shè)計（寫在小黑板上）

（一）、選擇題

1.（疝-3后+2戶X0的值是（）.

A.20^/3.3V30B.3回-26C.2V30-A73D.出縣向

3333

2.計算（4+Jx-1）（Vx-Vx-1）的值是（）.A.2B.3C.4D.1

（二）、填空題

1.（-_!_+正）2的計算結(jié)果（用最簡根式表示）是.

22

2.（1-2^）（1+2^）-（26-1）2的計算結(jié)果（用最簡二次根式表示）是.

3.若x=^2-1,貝!|x?+2x+1=.

4.已知a=3+2>/^,b=3-2\/2.貝lja2b-ab?=.

（三）、綜合提高題

1.化簡4+5

V1O+>/14+>/15+V2?

2.當(dāng)xn-？J—時，求x+l+￡^+x+l-^^三的值.（結(jié)果用最簡二次根式表示）

v2-1%+1-A/X2+Xx+i+y/x2+x

六、反思及感想：

23.1一元二次方程

教學(xué)目標(biāo)：

1、知道一元二次方程的定義，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式a/+bx+c=°（awo）2、在分析、揭示

實際問題的數(shù)量關(guān)系并把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（一元二次方程）的過程中使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)

系的工具，增加對一元二次方程的感性認識。3、會用試驗的方法估計一元二次方程的解。

重點難點：

1.一元二次方程的意義及一般形式，會正確識別一般式中的“項”及“系數(shù)”。

2.理解用試驗的方法估計一元二次方程的解的合理性。

教學(xué)過程：

一做一做：

1.問題一綠苑小區(qū)住宅設(shè)計，準(zhǔn)備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬

多10米，那么綠地的長和寬各為多少？

分析：設(shè)長方形綠地的寬為x米，不難列出方程

x（x+10）=900

整理可得x2+lOx-900=0.（1）

2.問題2

學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預(yù)計到明年年底增加到7.2萬冊.求這兩年的年平均增長率.

解：設(shè)這兩年的年平均增長率為x,我們知道，去年年底的圖書數(shù)是5萬冊，則今年年底的圖書數(shù)是5（1+x）萬冊；

同樣，明年年底的圖書數(shù)又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）（l+x）=5（l+x）2萬冊.可列得方程

5（1+x）2=7.2,

整理可得5x?+lOx-2.2=0.（2）

3.思考、討論

這樣，問題1和問題2分別歸結(jié)為解方程（1）和（2）.顯然，這兩個方程都不是一元一次方程.那么這兩個方程與一元

一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點呢？

（學(xué)生分組討論，然后各組交流）共同特點：（1）都是整式方程（2）只含有一個未知數(shù)（3）未知數(shù)的最高

次數(shù)是2

二、一元二次方程的概念

上述兩個整式方程中都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的方程叫做一元二次方程）.通常可寫成

如下的一般形式：

ax2+bx+c=O（a,b、c是已知數(shù)，aWO）。其中叫做二次項，。叫做二次項系數(shù)；區(qū)叫做一次項，〃叫做一次項

系數(shù)，c叫做常數(shù)項。.

三、例題講解與練習(xí)鞏固

1.例1下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由。

2]_

（j）3%+2=5%-3（2）x2-4（3）尤+1（4）x?-4=（x+2）-

2.例2將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：

1）6y2=y2）（x-2）（x+3）=83）（X+3）（3X-4）=（X+2）2

說明：一元二次方程的一般形式af+Z^+c=°（。*0）具有兩個特征：一是方程的右邊為0；二是左邊的二次

項系數(shù)不能為0。此外要使學(xué)生意識到：二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)、常數(shù)項都是包括符號的。

3.例3方程(2a—4)x2—2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？

本題先由同學(xué)討論，再由教師歸納。

解：當(dāng)。羊2時是一元二次方程；當(dāng)。=