山西省太原五十一中學(xué)2022年數(shù)學(xué)九上期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)E，連接BE，過點(diǎn)D作BE的平行線交AC于點(diǎn)F，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．2．對(duì)于實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“*”；關(guān)于的方程恰好有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B．C． D．3．若.則下列式子正確的是（）A． B． C． D．4．二次函數(shù)的圖象如圖，有下列結(jié)論:①，②，③時(shí)，，④，⑤當(dāng)且時(shí)，，⑥當(dāng)時(shí)，.其中正確的有（）A．①②③ B．②④⑥ C．②⑤⑥ D．②③⑤5．方程x2﹣6x+5＝0的兩個(gè)根之和為（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．56．如下是一種電子記分牌呈現(xiàn)的數(shù)字圖形，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是()A． B． C． D．7．四邊形為平行四邊形，點(diǎn)在的延長線上，連接交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．8．已知△ABC與△DEF相似且對(duì)應(yīng)周長的比為4：9，則△ABC與△DEF的面積比為A．2：3 B．16：81C．9：4 D．4：99．如圖，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是內(nèi)心，O是外心，則∠BIC等于（）A．130° B．125° C．120° D．115°10．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜3 B．m＞3 C．m≤3 D．m≥311．如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C，D在反比例函數(shù)的圖象上，AC//BD//y軸，已知點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為1，2，△OAC與△ABD的面積之和為，則k的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．12．已知反比例函數(shù)y＝2x﹣1，下列結(jié)論中，不正確的是（）A．點(diǎn)（﹣2，﹣1）在它的圖象上B．y隨x的增大而減小C．圖象在第一、三象限D(zhuǎn)．若x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小二、填空題（每題4分，共24分）13．若，且，則的值是______．14．如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，則∠B=_____度．15．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，若點(diǎn)P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，則的最小值為________.16．圓錐的側(cè)面展開的面積是12πcm2，母線長為4cm，則圓錐的底面半徑為_________cm．17．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=1．若（x+1）※（x﹣2）=6，則x的值為_____．18．如圖，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2厘米的速度向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C同時(shí)出發(fā)，以每秒3厘米的速度向A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也相應(yīng)停止運(yùn)動(dòng)，那么，當(dāng)以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為_________________三、解答題（共78分）19．（8分）某小學(xué)學(xué)生較多，為了便于學(xué)生盡快就餐，師生約定：早餐一人一份，一份兩樣，一樣一個(gè)，食堂師傅在窗口隨機(jī)發(fā)放（發(fā)放的食品價(jià)格一樣），食堂在某天早餐提供了豬肉包、面包、雞蛋、油餅四樣食品．（1）按約定，“小李同學(xué)在該天早餐得到兩個(gè)油餅”是事件；（可能，必然，不可能）（2）請(qǐng)用列表或樹狀圖的方法，求出小張同學(xué)該天早餐剛好得到豬肉包和油餅的概率．20．（8分）解方程21．（8分）已知關(guān)于的方程．（1）當(dāng)取何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若、為方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，且滿足，求的值．22．（10分）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在BC，AC上，且BD＝CE，AD與BE相交于點(diǎn)F，(1)證明：△ABD≌△BCE；(2)證明：△ABE∽△FAE；(3)若AF＝7，DF＝1，求BD的長．23．（10分）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問題：“今有邑方不知大小，各開中門，出北門三十步有木，出西門七百五十步見木，問：邑方幾何？”.其大意是:如圖，一座正方形城池，A為北門中點(diǎn)，從點(diǎn)A往正北方向走30步到B出有一樹木，C為西門中點(diǎn)，從點(diǎn)C往正西方向走750步到D處正好看到B處的樹木，求正方形城池的邊長.24．（10分）如圖，內(nèi)接于⊙，，高的延長線交⊙于點(diǎn)，，．（1）求⊙的半徑；（2）求的長．25．（12分）如圖，在坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn).直線.拋物線的解析式為.直線的解析式為；若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的解析式；設(shè)拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，如果直線與拋物線在軸上方的部分形成了封閉圖形(記為圖形).請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.26．如圖，在社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量在樓房CD頂上廣告牌DE的高度，他們先在點(diǎn)A處測(cè)得廣告牌頂端E的仰角為60°,底端D的仰角為30°，然后沿AC方向前行20m，到達(dá)B點(diǎn)，在B處測(cè)得D的仰角為45°（C，D，E三點(diǎn)在同一直線上）.請(qǐng)你根據(jù)他們的測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算這廣告牌DE的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：，）.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【分析】由平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷.【詳解】∵DE//BC，∴，故A正確；∵DF//BE，∴△ADF∽△ABF,∴，故B正確；∵DF//BE，∴，∵，∴，故C正確；∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC,∴，∵DF//BE，∴，∴，故D錯(cuò)誤.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，由平行線得出比例關(guān)系是關(guān)鍵.2、C【分析】設(shè)，根據(jù)定義得到函數(shù)解析式，由方程的有三個(gè)不同的解去掉函數(shù)圖象與直線y=t的交點(diǎn)有三個(gè)，即可確定t的取值范圍.【詳解】設(shè)，由定義得到，∵方程恰好有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴函數(shù)的圖象與直線y=t有三個(gè)不同的交點(diǎn)，∵的最大值是∴若方程恰好有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則t的取值范圍是，故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查新定義的公式，拋物線與直線的交點(diǎn)與方程的解的關(guān)系，正確理解拋物線與直線的交點(diǎn)與方程的解的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.3、A【分析】直接利用比例的性質(zhì)分別判斷即可得出答案．【詳解】∵2x-7y=0，∴2x=7y．A．，則2x=7y，故此選項(xiàng)正確；B．，則xy=14，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．，則2y=7x，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．，則7x=2y，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，正確將比例式變形是解題的關(guān)鍵．4、D【分析】①只需根據(jù)拋物線的開口、對(duì)稱軸的位置、與y軸的交點(diǎn)位置就可得到a、b、c的符號(hào)，從而得到abc的符號(hào)；②只需利用拋物線對(duì)稱軸方程x==1就可得到2a與b的關(guān)系；③只需結(jié)合圖象就可得到當(dāng)x=1時(shí)y=a+b+c最小，從而解決問題；④根據(jù)拋物線x=圖象在x軸上方，即可得到x=所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)；⑤由可得，然后利用拋物線的對(duì)稱性即可解決問題；⑥根據(jù)函數(shù)圖像，即可解決問題.【詳解】解：①由拋物線的開口向下可得a>0，

由對(duì)稱軸在y軸的右邊可得x=＞0，從而有b<0，

由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上可得c<0，

則abc>0，故①錯(cuò)誤；

②由對(duì)稱軸方程x==1得b=-2a，即2a+b=0，故②正確；

③由圖可知，當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c最小，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)m（），都滿足，即，故③正確；

④由圖像可知，x=所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為正，

∴x=時(shí)，有a-b+c>0，故④錯(cuò)誤；

⑤若，且x1≠x2，

則，

∴拋物線上的點(diǎn)（x1，y1）與（x2，y2）關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴1-x1=x2-1，即x1+x2=2，故⑤正確．⑥由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值有正數(shù)，也有負(fù)數(shù)，故⑥錯(cuò)誤；∴正確的有②③⑤；故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的性質(zhì)（開口、對(duì)稱軸、對(duì)稱性、最值性等）、拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想即可解決問題．5、B【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出方程的兩根之和為，即可得出選項(xiàng)．【詳解】解：方程x2﹣6x+5＝0的兩個(gè)根之和為6，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是熟練正確理解題意，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.6、C【分析】根據(jù)軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形的概念可判別.【詳解】（A）既不是軸對(duì)稱也不是中心對(duì)稱;（B）是軸對(duì)稱但不是中心對(duì)稱；（C）是軸對(duì)稱和中心對(duì)稱；（D）是中心對(duì)稱但不是軸對(duì)稱故選：C7、D【分析】根據(jù)四邊形為平行四邊形證明，從而出，對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】∵四邊形為平行四邊形∴∴∴∴∵，∴故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的線段比例問題，掌握平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)以及判定是解題的關(guān)鍵．8、B【解析】直接根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比，面積比等于相似比的平方解答.【詳解】解：∵△ABC與△DEF相似且對(duì)應(yīng)周長的比為4：9，∴△ABC與△DEF的相似比為4:9，∴△ABC與△DEF的面積比為16:81.故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，即相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方．9、B【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠BOC=2∠A，求出∠A度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)三角形的內(nèi)心得出∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，求出∠IBC+∠ICB的度數(shù)，再求出答案即可.【詳解】∵在△ABC中，∠BOC=140°，O是外心，∴∠BOC=2∠A，∴∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=110°，∵I為△ABC的內(nèi)心，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠IBC+∠ICB==55°，∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=125°，故選：B.【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形內(nèi)心和外心以及圓周角定理的性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.10、A【解析】分析：根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得△=（-2）2-4m＞0，求出m的取值范圍即可．詳解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△=（-2）2-4m＞0，∴m＜3，故選A．點(diǎn)睛：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b2-4ac．當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．11、B【分析】首先根據(jù)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)AC//BD//y軸,及反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得出C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出AC,BD的長，根據(jù)三角形的面積公式表示出S△OAC,S△ABD的面積，再根據(jù)△OAC與△ABD的面積之和為，列出方程，求解得出答案.【詳解】把x=1代入得：y=1,∴A(1,1),把x=2代入得：y=,∴B(2,),∵AC//BD//y軸,∴C(1,k),D(2,)∴AC=k-1,BD=-，∴S△OAC=（k-1）×1,S△ABD=(-)×1,又∵△OAC與△ABD的面積之和為，∴（k-1）×1＋(-)×1=，解得：k=3;故答案為B.【點(diǎn)睛】:此題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握反比例函數(shù)k的幾何意義是解本題的關(guān)鍵.12、B【分析】由反比例函數(shù)的關(guān)系式，可以判斷出（-2，-1）在函數(shù)的圖象上，圖象位于一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小，進(jìn)而作出判斷，得到答案．【詳解】A、把（﹣2，﹣1）代入y＝2x﹣1得：左邊＝右邊，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；B、k＝2＞0，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；C、k＝2＞0，圖象在第一、三象限，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；D、若x＜0時(shí)，圖象在第三象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；不正確的只有選項(xiàng)B，故選：B．【點(diǎn)睛】考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，特別注意反比例函數(shù)的增減性，當(dāng)k＞0，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當(dāng)k<0，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．二、填空題（每題4分，共24分）13、-20；【分析】由比例的性質(zhì)得到，從而求出a和b+c的值，然后代入計(jì)算，即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，∴，，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例的性質(zhì)，正確得到，．14、1【分析】如圖，連接OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAC=∠C=20°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】如圖，連接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=20°，∴∠OAB=∠OAC+∠BAC=20°+40°=1°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=1°，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)A的半徑相等、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15、【分析】連接AC，連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥CD交于點(diǎn)E，則AE為所求.由銳角三角函數(shù)的知識(shí)可知PC=PE，然后通過證明△CDO∽△AED，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：連接AC，連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥CD交于點(diǎn)E，則AE為所求.當(dāng)x=0時(shí)，y=3,∴C(0,3).當(dāng)y=0時(shí)，0=-x2+2x+3，∴x1=3，x2=-1，∴A（-1，0）、B（3，0），∴OA=1，OC=3，∴AC=，∵二次函數(shù)y=-x2+2x+3的對(duì)稱軸是直線x=1,∴D(1,0),∴點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱，∴sin∠ACO=，由對(duì)稱性可知，∠ACO=∠OCD，PA=PD，CD=AC=，∴sin∠OCD=，∵sin∠OCD=，∴PC=PE，∵PA=PD，∴PC+PD=PE+PA，∵∠CDO=∠ADE,∠COD=AED,∴△CDO∽△AED,∴,∴,∴；故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，銳角三角函數(shù)的知識(shí)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，難度較大，屬中考?jí)狠S題.16、1【分析】由題意根據(jù)圓錐的側(cè)面積=π×底面半徑×母線長，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．【詳解】解：設(shè)底面半徑為rcm，12π=πr×4，解得r=1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面積的計(jì)算公式．17、2【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算對(duì)式子進(jìn)行變形得到關(guān)于x的方程，解方程即可得解.【詳解】由題意得，（x+2）2﹣（x+2）（x﹣2）=6，整理得，3x+3=6，解得，x=2，故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查了解方程，涉及到完全平方公式、多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算等，根據(jù)題意正確得到方程是解題的關(guān)鍵．18、秒或1秒【分析】此題應(yīng)分兩種情況討論．（1）當(dāng)△APQ∽△ABC時(shí)；（2）當(dāng)△APQ∽△ACB時(shí)．利用相似三角形的性質(zhì)求解即可【詳解】解：（1）當(dāng)△APQ∽△ABC時(shí)，設(shè)用t秒時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．，則AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t．于是=，解得，t=（2）當(dāng)△APQ∽△ACB時(shí)，，設(shè)用t秒時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．則AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t．于是，解得t=1．故答案為t=或t=1．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意將對(duì)應(yīng)邊轉(zhuǎn)換，得到兩組相似三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、（1）不可能事件；（2）.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)隨機(jī)事件的概念即可得“小李同學(xué)在該天早餐得到兩個(gè)油餅”是不可能事件；（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖，再由概率公式求解即可．試題解析：（1）小李同學(xué)在該天早餐得到兩個(gè)油餅”是不可能事件；（2）樹狀圖法即小張同學(xué)得到豬肉包和油餅的概率為．考點(diǎn)：列表法與樹狀圖法．20、；【分析】（1）根據(jù)因式分解法即可求解；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】∴x-2=0或2x-6=0解得；===1.【點(diǎn)睛】此題主要考查一元二次方程的求解及特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知方程的解法及特殊角的三角函數(shù)值.21、（1）當(dāng)且時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）【分析】（1）由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得＞0，繼而求得m的取值范圍；

（2）由根與系數(shù)的關(guān)系，可得和，再根據(jù)已知得到方程并解方程即可得到答案．【詳解】（1）關(guān)于的方程，，，∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴＞0，

解得：，

∵二次項(xiàng)系數(shù)，

∴，

∴當(dāng)且時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）∵為方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

∴，，∴，解得：，(不合題意，舍去)，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系．注意當(dāng)＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；注意若是一元二次方程（a≠0）的兩根時(shí)，，．22、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）BD＝2．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證得△ABD≌△BCE；

（2）由△ABD≌△BCE得∠BAD=∠CBE，又∠ABC=∠BAC，可證∠ABE=∠EAF，又∠AEF=∠BEA，由此可以證明△AEF∽△BEA；

（3）由△ABD≌△BCE得：∠BAD=∠FBD，又∠BDF=∠ADB，由此可以證明△BDF∽△ADB，然后可以得到，即BD2=AD?DF=（AF+DF）?DF．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，在△ABD與△BCE中∵，∴△ABD≌△BCE（SAS）；（2）由（1）得：∠BAD＝∠CBE，又∵∠ABC＝∠BAC，∴∠ABE＝∠EAF，又∵∠AEF＝∠BEA，∴△AEF∽△BEA；（3）∵∠BAD＝∠CBE，∠BDA＝∠FDB，∴△ABD∽△BDF，∴，∴BD2＝AD?DF＝（AF+DF）?DF＝8，∴BD＝2．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定,等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定,等邊三角形的性質(zhì).23、正方形城池的邊長為300步【分析】本題只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，列出方程，通過解方程即可求出小城的邊長．【詳解】依題意得AB=30步，CD=750步.設(shè)AE為x步，則正方形邊長為2x步，根據(jù)題意，Rt△ABE∽R(shí)t△CED∴即.解得x1=150，x2=-150（不合題意，舍去），∴2x=300∴正方形城池的邊長為300步.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用.24、（1）⊙的半徑為；（2）【分析】（1）作直徑，連接，由圓周角定理得，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可求出BF，然后求出半徑；（2）過作于，于，得到四邊形是矩形，利用直角三角形的性質(zhì)求出DG，由垂徑定理得到AG=EG=ADDG，然后求出DE的長度.【詳解】解：（1）如圖，在⊙中，作直徑，連接，∴，∵，∴，∴⊙的半徑為；（2）如圖，過作于，于∴，四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，特殊角的三角函