專題18 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒(能)成立問題-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）解析版

2/2專題18利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒(能)成立問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 12【考點1】分離參數(shù)法求參數(shù)范圍 12【考點2】分類討論法求參數(shù)范圍 20【考點3】雙變量的恒(能)成立問題 27【分層檢測】 37【基礎(chǔ)篇】 37【能力篇】 46【培優(yōu)篇】 50真題自測真題自測一、解答題1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時，．3．（2023·全國·高考真題）（1）證明：當(dāng)時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．4．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．5．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．參考答案：1．(1)答案見解析.(2)【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號即可;（2）構(gòu)造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.【詳解】（1）令,則則當(dāng)當(dāng),即.當(dāng),即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減（2）設(shè)設(shè)所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當(dāng),符合題意.若當(dāng),所以..所以,使得,即,使得.當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.所以當(dāng),不合題意.綜上,的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當(dāng),對應(yīng)當(dāng).2．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.【詳解】（1）因為，定義域為，所以，當(dāng)時，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，證畢.3．（1）證明見詳解（2）【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.【詳解】（1）構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域為，若，則，因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點，不合題意，所以.當(dāng)時，令因為，且，所以函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當(dāng)時，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時，取，則，由（1）可得，構(gòu)建，則，且，則對恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一的零點，當(dāng)時，則，且，則，即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點睛：1.當(dāng)時，利用，換元放縮；2.當(dāng)時，利用，換元放縮.4．(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結(jié)合裂項相消法可證題設(shè)中的不等式.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點睛】思路點睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點處導(dǎo)數(shù)的符號合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.5．(1)(2)證明見的解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域為，則令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設(shè)要證,即證因為,即證又因為,故只需證即證即證下面證明時，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個解又因為有兩個零點，故兩邊取對數(shù)得：，即又因為，故，即下證因為不妨設(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題是極值點偏移問題，關(guān)鍵點是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握考點突破考點突破【考點1】分離參數(shù)法求參數(shù)范圍一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時，曲線在處的切線方程為B．在上的最大值與最小值之和為0C．若在上為增函數(shù)，則a的取值范圍為D．在上至多有3個零點三、填空題3．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.四、解答題4．（23-24高二下·江蘇·期中）設(shè)函數(shù)，．(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；(2)在（1）的條件下求的單調(diào)區(qū)間和極小值：(3)若在上存在增區(qū)間，求的取值范圍．5．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處取到極值，求實數(shù)a的值；(2)若,對于任意,當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．6．（23-24高三下·四川巴中·階段練習(xí)）函數(shù)；(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)在恒成立，求整數(shù)的最大值.參考答案：1．D【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在上有解，得到在上有解，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解.【詳解】因為函數(shù)，可得，因為函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，可得在上有解，即在上有解，令，則，且，當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以.故選：D．【點睛】結(jié)論點睛：“恒成立問題”與“有解問題”在等價轉(zhuǎn)化上的區(qū)別：恒成立問題有解問題①恒成立；恒成立．②恒成立；恒成立．③恒成立；恒成立．④．①有解；有解．②有解；有解．③有解；有解．④，使得．2．BCD【分析】A項，求得切線斜率，寫出切線方程即可；B項，函數(shù)是奇函數(shù)，由圖象對稱性可知；C項，在上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立，分離參數(shù)法求解范圍；D項，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，至多兩個零點，則至多個零點.【詳解】選項A，當(dāng)時，，則，且，曲線在處的切線方程為，故A錯誤；選項B，，，則是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故在上的最值點也關(guān)于原點對稱，所以在上的最大值與最小值之和為，故B正確；選項C，若在上為增函數(shù)，則恒成立，即恒成立，設(shè)，則，且為上的增函數(shù)，注意到，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.則有最小值，最小值為，要使恒成立，則.故a的取值范圍為，故C正確；選項D，，令得，，設(shè)，由C選項的分析，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即方程至多兩個根，當(dāng)有兩個根時，不妨設(shè)兩根為，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.則在上至多有3個零點，故D項正確.故選：BCD.3．【分析】利用參變分離可得，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即得.【詳解】因為關(guān)于的不等式在上恒成立，即在上恒成立.令，則，令，則，易得在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，即，則，所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，故，所以在上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題的關(guān)鍵是利用參變分離，再運用函數(shù)的思想研究不等式，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值.4．(1)(2)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，極小值為2(3)【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性以及極值的關(guān)系即可求解；（3）將在上存在增區(qū)間轉(zhuǎn)化為有解，分離參數(shù)，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）由題可得，因為曲線在點處的切線與直線垂直，所以，解得；（2）由（1）知，令，解得由，解得，由，解得，所以的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，當(dāng)時，取得極小值；（3）由在上存在增區(qū)間，即在上有解，即在上有解，所以，令，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以即的取值范圍為.5．(1)1；(2).【分析】（1）根據(jù)，求得，再進行驗證即可；（2）由題可得在單調(diào)遞減，則在恒成立，結(jié)合分離參數(shù)法，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，即可求得結(jié)果.【詳解】（1），，若函數(shù)在處取到極值，則，解得；又當(dāng)時，，，故當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；則當(dāng)時，滿足在處取到極值，故.（2）當(dāng)時，，，即，令；對于任意,當(dāng)時，不等式恒成立，即對于任意,當(dāng)時，恒成立，也即在單調(diào)遞減；又，故，由題可知，在恒成立，即在恒成立，也即在恒成立，令，則，又對稱軸為，其在單調(diào)遞減，，故在恒成立，則在單調(diào)遞減，又，則，也即的取值范圍為：.6．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和(2)2【分析】（1）求導(dǎo)后分解因式，解不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）由題意求出，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可求解．【詳解】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)或單調(diào)遞增；故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和（2）因為，所以，即，故，在恒成立，即，則在恒成立，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以方程有且只有一個實根，且，，所以在上，，單調(diào)遞減；在,上，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，從而，又為整數(shù)，所以的最大值為：2．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查不等式恒成立求參數(shù)，關(guān)鍵是利用零點存在定理判斷.反思提升：分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題的策略(1)分離變量.構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.【考點2】分類討論法求參數(shù)范圍一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2024·江西·二模）若恒成立，則實數(shù)的取值可以是（

）A．0 B． C． D．三、填空題3．（2024·上海虹口·二模）已知關(guān)于的不等式對任意均成立，則實數(shù)的取值范圍為.四、解答題4．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知，函數(shù).(1)當(dāng)時，求的最小值；(2)若時，恒成立，求的取值范圍.5．（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)，其中.(1)討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求.6．（2024·浙江紹興·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：1．C【分析】分和兩種情況討論，分別得出不等式，由不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)分別求出函數(shù)的最值即可求解．【詳解】當(dāng)時，由得；當(dāng)時，由得．令，則，令，解得，所以當(dāng)，；當(dāng)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此的最小值為，故當(dāng)時，；令，則，令，解得，所以當(dāng)，；當(dāng)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此的最大值為，故當(dāng)時，．綜上，．故選：C．2．ABD【分析】分類討論的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值的關(guān)系即可求解．【詳解】由題知，，①當(dāng)時，在恒成立，②當(dāng)時，由，則，即恒成立，設(shè)，則，令得，所以當(dāng)時，，則在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則在單調(diào)遞增，所以，則，所以，即滿足題意；③當(dāng)時，設(shè)，則，令，，當(dāng)時，，則在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，且，，所以，使得；當(dāng)時，，即，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，即，設(shè)，則，設(shè)，，設(shè)，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，又因為當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，解得，又，所以，綜上，，故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：當(dāng)時，，使得，當(dāng)時，設(shè)，求得最小值；當(dāng)時，設(shè)，求得最小值，令即可．3．【分析】根據(jù)題意，分且和且，兩種情況討論，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和基本不等式，求得函數(shù)的最值，即可求解.【詳解】因為關(guān)于的不等式對任意均成立，①當(dāng)對任意均成立時，可得對任意均成立，令，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以，又由對任意均成立，可得對任意均成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以，所以.②當(dāng)且對于任意均成立時，結(jié)合①可知且，此時無解.綜上可得，實數(shù)實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．4．(1)0；(2).【分析】（1）由已知可得，進而可求的單調(diào)區(qū)間；（2）求導(dǎo)得，令進而求導(dǎo)，分類討論可求的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；（2），設(shè)，①若，由（1）知，不合題意；②若，設(shè)單調(diào)遞減，，令，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞增，，不合題意；③，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，；綜上，.5．(1)答案見解析(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，對求導(dǎo)，得，對分類討論，即可求出結(jié)果；（2）先探求恒成立的必要條件，從而得到，再證明時，在上恒成立，即可解決問題.【詳解】（1）因為，易知其定義域為，，當(dāng)時，在上恒成立，當(dāng)時，由，得到，所以，當(dāng)時，，時，，綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間.（2）令，由于恒成立，且，又在區(qū)間上連續(xù)，所以是的一個極大值點，又，所以，得到，下證明時，在上恒成立，由（1）知，時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，又恒成立，所以，綜上所述，.【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于根據(jù)條件得到是的一個極大值點，從而得恒成立的一個必要條件，再證明時，在上恒成立，即可解決問題.6．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進而求出切線方程；（2）分和討論，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合不等式放縮判斷導(dǎo)數(shù)正負，結(jié)合單調(diào)性驗證恒成立是否滿足.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，所以切線斜率為，又，所以，切線方程是.（2）①當(dāng)時，因為，所以，所以.記，則，令，則.因為當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以.②當(dāng)時，，因為當(dāng)時，，令，則，若，則，即在區(qū)間上單調(diào)遞增.若，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增.因為，，所以，存在，使得，所以，當(dāng)時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，不滿足題意.綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.反思提升：根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關(guān)鍵是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可.【考點3】雙變量的恒(能)成立問題一、單選題1．（2024·河南鄭州·三模）設(shè)，且，則（

）A．若，則 B．若，則存在且不唯一C． D．二、多選題2．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，下面四個結(jié)論中正確的是（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)有且只有一個零點C．函數(shù)的值域為D．對任意兩個不相等的正實數(shù)，若，則三、填空題3．（2023·山西臨汾·模擬預(yù)測）已知，恒成立，則．四、解答題4．（2024·重慶·模擬預(yù)測）函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個極值點，曲線上兩點，連線斜率記為k，求證：；(3)盒子中有編號為1~100的100個小球（除編號外無區(qū)別），有放回的隨機抽取20個小球，記抽取的20個小球編號各不相同的概率為p，求證：．5．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線的方程，并判斷是否經(jīng)過一個定點；(2)若，滿足，且，求的取值范圍．6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)若存在零點，求a的取值范圍；(2)若，為的零點，且，證明：．參考答案：1．C【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)零點存在性定理即可求解A，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求解最值即可求解B，令，得構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性即可求解CD.【詳解】對于A，當(dāng)時，則，記，由于均為單調(diào)遞增函數(shù)，故為單調(diào)遞增，由于，故零點大于，故A錯誤，對于B，若，由得，記，則，由于均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，故在單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，，故存在唯一的，使得，即，且在單調(diào)遞減，當(dāng)在單調(diào)遞增，故，又，故，故無零點，故不存在使得，故B錯誤，對于C，先證，記，，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以，故，設(shè)，由于，所以，故則，由于，所以，故在單調(diào)遞增，故，故故C正確，對于D,，所以在單調(diào)遞減，故,則，故D錯誤，故選:C【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．2．AB【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷時，的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可求值域，然后結(jié)合時，，從而可判斷選項A，C；首先利用導(dǎo)數(shù)判斷時，的零點個數(shù)；然后再利用單調(diào)性判斷時，的零點個數(shù)，從而可判斷選項B；不妨設(shè)，根據(jù)題意把要證明，轉(zhuǎn)化為證明；然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可證明，從而判斷選項D.【詳解】當(dāng)時，，所以，所以當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，且當(dāng)時，故時，，又當(dāng)時，，所以，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，值域為，所以A正確，C錯誤；當(dāng)時，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)在上沒有零點；當(dāng)時，令，所以只需求函數(shù)在上零點個數(shù)，又因為在上單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)在上只有一個零點．所以函數(shù)有且僅有一個零點，所以B正確；當(dāng)時，若，因為函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以不妨設(shè)，則，所以要證，只需證，即只需證，又因為，所以只需證.因為，所以令函數(shù)，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以，即，所以，從而成立，所以D錯誤.故選：AB.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).3．【分析】構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，再由必要性入手得到，再證明當(dāng)時滿足題意，從而得解.【詳解】依題意，，因為恒成立，所以恒成立，令，則，上式化為恒成立，令，則，注意到，而恒成立，即，所以，即，故；當(dāng)時，，顯然在上單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；綜上，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，從而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問題，由此得解.4．(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)后對分類討論即可得；（2）借助斜率公式表示出后化簡，可轉(zhuǎn)化為證明，借助換元法令，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合（1）問中所的即可得解；（3）借助概率公式可得，借助放縮法可得，結(jié)合（2）中所得可得，即可得證.【詳解】（1）定義域為，，對于方程，，當(dāng)，即時，，，在上單增，當(dāng)，即或時，方程有兩不等根，，，而，，所以當(dāng)時，，在上恒成立，在上單增；當(dāng)時，，或時，，時，，所以在和上單增，在上單減，綜上，當(dāng)時，在上單增；當(dāng)時，在和上單增，在上單減；（2），所以要證，即證，即證，也即證（*）成立．設(shè)，函數(shù)，由（1）知在上單增，且，所以時，，所以（*）成立，原不等式得證；（3）由題可得，因為，，…，，所以，又由（2）知，，取，有，即，即，所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：最后一問關(guān)鍵點在于得出后，借助（2）問中所得，取，代入可得，即可得解.5．(1)，經(jīng)過一個定點(2)【分析】（1）利用求導(dǎo)法則得，根據(jù)條件及導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線的點斜式計算即可；（2）利用導(dǎo)函數(shù)有兩個零點得出的關(guān)系及范圍，消元化簡得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性及最值即可.【詳解】（1）因為，所以（c為常數(shù)）．因為，所以，所以．又，所以曲線在點處的切線的方程為，即，所以經(jīng)過定點．（2）令，可得．因為，滿足，且，所以關(guān)于的方程有兩個不相等的正實數(shù)根，則，所以，令函數(shù)，則，令，得，因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又當(dāng)時，，所以的取值范圍為，即的取值范圍為．6．(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，解不等式即可求解；（2）由零點的定義可得，只需證，令，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式即可.【詳解】（1）的定義域為，令，即，等價于，設(shè)，則（），令，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，則的最小值為，，要使得存在零點，則，即，得．（2）由為的零點，得，即，即兩式相減得，即.要證當(dāng)時，，只需證，只需證，，，．令，，只需證，，則在上單調(diào)遞增，∴，即可得證.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的求解策略形如的求解策略：1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；3，數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)的圖象在的圖象的上方（或下方），進而得到不等式恒成立.反思提升：含參不等式能成立問題(有解問題)可轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決，常見的轉(zhuǎn)化有：(1)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)min.(2)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)max.(3)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)min.(4)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)max.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·陜西·模擬預(yù)測），有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·安徽蕪湖·期中）已知函數(shù)存在兩個零點，則實數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（22-23高二上·山東菏澤·期末）已知函數(shù)與函數(shù)的圖像上恰有兩對關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）A． B． C．e D．二、多選題5．（23-24高三上·新疆伊犁·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A． B．C． D．6．（22-23高二下·甘肅定西·階段練習(xí)）若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)a的可能取值是（

）A．－10 B．－9 C．2 D．37．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的正整數(shù)可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4三、填空題8．（23-24高二下·天津濱海新·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.9．（20-21高二下·河北石家莊·期末）已知函數(shù)，，如果對任意的，，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是．10．（23-24高二上·陜西榆林·期末）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的最小值為.四、解答題11．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，不等式在上存在實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．12．（21-22高三上·安徽滁州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，在處取得極小值．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的極值；(3)設(shè)函數(shù)，若對于任意，總存在，使得，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：1．C【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解最值，進而即可.【詳解】由在上恒成立，令，則．令，則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減；則，所以，故選:C．2．C【分析】采用參變分離法，將函數(shù)存在兩個零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的圖象及趨勢特征即得參數(shù)范圍.【詳解】由，，可得：，令，依題意，函數(shù)存在兩個零點，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點.又，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故時，取得極大值，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，故要使函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點.，需使，解得.故選：C.3．C【分析】根據(jù)題意函數(shù)與的圖像上恰有兩對關(guān)于軸對稱的點，得到方程有兩解，分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，結(jié)合題意分析即可得.【詳解】因為函數(shù)與的圖像上恰有兩對關(guān)于軸對稱的點，所以，即有兩解，所以有兩解，令，則，所以當(dāng)時，0，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，，且時，的值域為，時，的值域為，因此有兩解時，實數(shù)的取值范圍為，故選：C.4．A【分析】在上恒成立，即，構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到，得到，求出答案.【詳解】由題意得在上恒成立，，故，即，令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，故，故a的最小值為.故選：A5．CD【分析】根據(jù)存在性和任意性的定義，結(jié)合對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：因為，所以本選項不正確；B：當(dāng)時，，所以本選項不正確；C：畫出兩個函數(shù)的圖象如下圖所示：

顯然有一個交點，因此本選項正確；D：設(shè)，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故，所以本選項正確，故選：CD6．BCD【分析】根據(jù)已知，把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程根的問題，再分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖行進行求解.【詳解】函數(shù)有三個零點，等價于有3個根，即函數(shù)與函數(shù)有3個交點，令，則，由有：或，由有：，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又，，所以的大致圖象為：

所以，解得，故A錯誤.故選：BCD.7．ABC【分析】根據(jù)題意可得，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類討論解決恒成立問題.【詳解】若恒成立，則恒成立，構(gòu)建，則，∵，故，則有：當(dāng)，即時，則當(dāng)時恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即符合題意，故滿足條件的正整數(shù)為1或2；當(dāng)，即時，令，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，構(gòu)建，則當(dāng)時恒成立，故在上單調(diào)遞減，則，∵，故滿足的整數(shù)；綜上所述：符合條件的整數(shù)為1或2或3，A、B、C正確，D錯誤.故選：ABC.8．【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)在上的最小值即可得解.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，由不等式在上恒成立，得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：9．【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，求導(dǎo)函數(shù)，分別求出函數(shù)的最大值，的最小值，進而可建立不等關(guān)系，即可求出a的取值范圍．【詳解】由，可得，當(dāng)，，所以在單調(diào)遞減，，，在上單調(diào)遞增，，對任意的，都有成立，，，故答案為：．10．【分析】由函數(shù)單調(diào)性得恒成立，分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)求最值即得.【詳解】因為函數(shù)是上的增函數(shù)，所以，即：.令，則，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以，要使恒成立，則，故的最小值為.故答案為：.11．(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負判斷函數(shù)的遞增遞減區(qū)間即得；（2）通過代入不等式整理成在上存在實數(shù)解問題，故可轉(zhuǎn)化成求函數(shù)在得最小值問題，計算即得.【詳解】（1）當(dāng)時，，∴，由，得，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）原條件等價于：在上存在實數(shù)解．化為在上存在實數(shù)解，令，

則，∴在上，，得，故在上單調(diào)遞增，∴的最小值為，∴時，不等式在上存在實數(shù)解．12．(1)(2)極小值；極大值(3)．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)在極值處導(dǎo)函數(shù)為，極小值為聯(lián)立方程組即可求得，，求得函數(shù)解析式，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，檢驗求得，值是否滿足題意；（2）由（1）即可求得極大值和極小值；（3）依題意只需即可，當(dāng)時，函數(shù)有最小值，即對任意總存在，使得的最小值不大于；對于，分、、三種情況討論即可．【詳解】（1）∵，則，由題意可得，解得，則函數(shù)的解析式為，且，令，解得：，則當(dāng)變化時，的變化情況如下表：減極小值增極大值減故符合題意，即.（2）由（1）可得：當(dāng)時，函數(shù)有極小值；當(dāng)時，函數(shù)有極大值2.（3）∵函數(shù)在時，，在時，且，∴由（1）知：當(dāng)時，函數(shù)有最小值，又∵對任意總存在，使得，則當(dāng)時，的最小值不大于，對于開口向上，對稱軸為，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，故的最小值為，得；當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，故的最小值為，得；當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為，得或，不合題意，舍去；綜上所述：的取值范圍是.【能力篇】一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)對任意成立，則的最小值為（

）A．4 B．3 C． D．2二、多選題2．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在，使得的圖象與軸相切B．存在，使得有極大值C．若，則D．若，則關(guān)于的方程有且僅有3個不等的實根三、填空題3．（2022高三上·河南·專題練習(xí)）已知，，若曲線上總存在不同的兩點，使曲線在兩點處的切線互相平行，則的取值范圍為．四、解答題4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，.(1)若的最小值為0，求的值；(2)當(dāng)時，證明：方程在上有解.參考答案：1．D【分析】求得，結(jié)合，得到，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意，轉(zhuǎn)化為，令，利用求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，進而求得實數(shù)的最小值.【詳解】由函數(shù)，可得，且，若時，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以存在，使得時，，不符合題意，則有，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，則，令，可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，所以的最小值為.故選：D.2．ACD【分析】對求導(dǎo)，分析單調(diào)性即可判斷極值，由，可參變分離，根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性極值最值趨勢即可判斷.【詳解】由題知，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在處的切線斜率為0，此時的圖象與軸相切.故A正確.由，當(dāng)時，，所以在R上單調(diào)遞減，無極大值，當(dāng)時，時，時，，所以的圖像先減后增，有極小值無極大值，故B錯誤.當(dāng)時，即，即令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，令，因為，所以當(dāng)或時，當(dāng)時，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為，又時，，所以最大值為，所以當(dāng)時，恒成立，即恒成立，故C正確.由C選項的判斷知，極小值為，又時，，所以當(dāng)時，有且僅有3個不等的實根，故有且僅有3個不等的實根，故D正確.故選：ACD.3．【分析】由曲線在兩點處的切線互相平行，可得，求導(dǎo)整理可得，結(jié)合基本不等式可得對于恒成立，利用換元法結(jié)合倒數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，即可得的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)，所以，由題意可得，，且，即有，整理得，因為，所以，所以對于恒成立，令，則，，令，，則，對于恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，即的取值范圍是．故答案為：．4．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的最小值求參數(shù)即可；（2）轉(zhuǎn)化為在上有解，根據(jù)圖象特征即可證明；【詳解】（1）由已知得，則.令，解得.當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以，所以.（2）要證在上有解，即證在上有解，即證在上有解.令，則.設(shè)，則.