專題19 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）解析版

2/2專題19利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 14【考點1】判斷、證明或討論零點的個數(shù) 14【考點2】根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍 22【考點3】與函數(shù)零點相關(guān)的綜合問題 31【分層檢測】 44【基礎(chǔ)篇】 44【能力篇】 54【培優(yōu)篇】 59真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、解答題2．（2023·全國·高考真題）（1）證明：當(dāng)時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．3．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．4．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．5．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．6．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．參考答案：1．B【分析】寫出，并求出極值點，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個零點，則，即，解得，故選：B.2．（1）證明見詳解（2）【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.【詳解】（1）構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域為，若，則，因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點，不合題意，所以.當(dāng)時，令因為，且，所以函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當(dāng)時，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時，取，則，由（1）可得，構(gòu)建，則，且，則對恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一的零點，當(dāng)時，則，且，則，即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點睛：1.當(dāng)時，利用，換元放縮；2.當(dāng)時，利用，換元放縮.3．(1)(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時，由（1）得當(dāng)時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.4．(1)(2)證明見的解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域為，則令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設(shè)要證,即證因為,即證又因為,故只需證即證即證下面證明時，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個解又因為有兩個零點，故兩邊取對數(shù)得：，即又因為，故，即下證因為不妨設(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題是極值點偏移問題，關(guān)鍵點是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握5．(1)(2)【分析】（1）先算出切點,再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對分類討論,對分兩部分研究【詳解】（1）的定義域為當(dāng)時,,所以切點為,所以切線斜率為2所以曲線在點處的切線方程為（2）設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點,不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點,不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng),令則所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以在上有唯一零點又沒有零點,即在上有唯一零點(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)，，又，而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點,上無零點即在上有唯一零點所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個零點,求的取值范圍為【點睛】方法點睛：本題的關(guān)鍵是對的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.6．(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時：，當(dāng)時，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結(jié)論成立.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．考點突破考點突破【考點1】判斷、證明或討論零點的個數(shù)一、單選題1．（2022·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，則的所有可能的值為（

）A．3 B．4 C．2或3或4或5 D．2或3或4或5或6二、多選題2．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．將函數(shù)圖象上各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象D．函數(shù)的零點個數(shù)為7三、填空題3．（2021·浙江·模擬預(yù)測）已知實數(shù)且，為定義在上的函數(shù)，則至多有個零點；若僅有個零點，則實數(shù)的取值范圍為．四、解答題4．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù).(1)判斷的零點個數(shù)并說明理由；(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.5．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)時，求的零點個數(shù)；(2)若時，恒成立，求a的取值范圍.6．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，求證：；(2)求函數(shù)的零點個數(shù).參考答案：1．A【分析】畫出函數(shù)圖象，令，則，所以，即方程必有兩個不同的實數(shù)根，再利用韋達(dá)定理及函數(shù)圖象分類判斷即可.【詳解】根據(jù)題意作出函數(shù)的圖象：，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以；函數(shù)，時單調(diào)遞減，所以，對于方程，令，則，所以，即方程必有兩個不同的實數(shù)根，且，當(dāng)時，，3個交點；當(dāng)時，，也是3個交點；故選：A．【點睛】函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．2．ABD【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合五點法作答求出函數(shù)的解析式，再分析判斷ABC；換元并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合圖形判斷D作答.【詳解】觀察圖象知，函數(shù)的周期，則，而，即有，由知，，因此，A正確；顯然，當(dāng)時，，因此單調(diào)遞增，B正確；將圖象上各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡茫賹⑺脠D象向右平移個單位長度，得，而，C錯誤；由，得，令，則，令，顯然當(dāng)時，，即恒有，函數(shù)在上無零點，當(dāng)時，，令，，函數(shù)在上都遞減，即有在上遞減，，，因此存在，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，有在上遞增，在遞減，，，于是存在，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)在上遞減，在遞增，，，從而函數(shù)在上存在唯一零點，而函數(shù)周期為，在上單調(diào)遞增，如圖，，，，從而函數(shù)在上各有一個零點，又0是的零點，即函數(shù)在定義域上共有7個零點，所以函數(shù)的零點個數(shù)為7，D正確.故選：ABD【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).3．【分析】令（，且），可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)論.【詳解】令（，且），可得，等式兩邊取自然對數(shù)得，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以，，且當(dāng)時，，如下圖所示：由圖象可知，直線與函數(shù)的圖象至多有兩個交點，所以，函數(shù)至多有個零點.若函數(shù)只有一個零點，則或，解得或.故答案為：；.【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．4．(1)一個零點，理由見解析(2)【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)特殊點函數(shù)值、單調(diào)性，即可判斷零點個數(shù)；（2）首先不等式變形為，并構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)（1）的結(jié)果討論和兩種情況，討論不等式恒成立的問題.【詳解】（1）.當(dāng)時，.函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，；當(dāng)時，.在上有且僅有一個零點；（2），.設(shè).①當(dāng)時，由，當(dāng)時，不合題意.②當(dāng)時，由①在上單調(diào)遞增.又在上恒成立.設(shè).在上恒成立，在上單調(diào)遞減.又在上恒成立.，滿足題意.綜上，的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用（1）的結(jié)果，對不等式進(jìn)行放縮，從而轉(zhuǎn)化為求恒成立問題.5．(1)2個；(2)【分析】（1）變形得到，得到一個零點為，令，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和極值情況，得到答案；（2）求導(dǎo)，分和兩種情況，結(jié)合單調(diào)性和極值情況，得到不等式，求出答案.【詳解】（1）時，，顯然，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又，則有且只有1個零點，∴時，有2個零點和.（2），當(dāng)時，時，，時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時，，所以符合題意，當(dāng)時，可由，解得或，若，即時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∵，∴，此時要使在時恒成立，還需滿足，即，若，即時，恒成立，故在R上遞增，則時，符合題意；若，即時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時，，即符合題意，綜上所述：.【點睛】方法點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.6．(1)證明見解析(2)個【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，從而得到的最小值，即可證明；（2）由（1）可得當(dāng)時，，則，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，得到的最小值，從而求得零點個數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時，，則，令，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，.（2）由（1）知當(dāng)時，，即，，，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，最小值為，，，無零點.反思提升：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點常用方法(1)構(gòu)造函數(shù)g(x)，利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的性質(zhì)，結(jié)合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點的個數(shù).(2)利用零點存在定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)有多少個零點.【考點2】根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍一、單選題1．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)若恰有5個不同零點，則正實數(shù)的范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2021·山東聊城·二模）用符號表示不超過的最大整數(shù)，例如：，.設(shè)有3個不同的零點，，，則（

）A．是的一個零點B．C．的取值范圍是D．若，則的范圍是.三、填空題3．（2021·安徽安慶·三模）已知函數(shù)有三個零點，，，且，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，則的范圍為．四、解答題4．（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)(1)若時函數(shù)有三個互不相同的零點，求m的范圍；(2)若函數(shù)在內(nèi)沒有極值點，求a的范圍；5．（23-24高三上·遼寧沈陽·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，求實數(shù)的范圍.6．（2023·天津濱海新·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)若，求的單調(diào)區(qū)間.(2)若，且在區(qū)間上恒成立，求a的范圍；(3)若，判斷函數(shù)的零點的個數(shù).參考答案：1．D【分析】畫出的圖象，將恰有5個不同零點轉(zhuǎn)化為與有5個交點即可.【詳解】由題知，零點的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為與交點的個數(shù)，當(dāng)時，所以時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，如圖所示：

所以時有最大值：所以時，由圖可知必有兩個交點；當(dāng)時，因為，，所以，令，則則有且，如圖所示：

因為時，已有兩個交點，所以只需保證與有三個交點即可，所以只需，解得.故選：D【點睛】思路點睛：函數(shù)零點問題往往可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合方便分析求解.2．AD【分析】令，可得或，可知的一個零點是，另外兩個零點是方程的2個解，從而可得到，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，可知直線與函數(shù)的圖象有2個不同交點，利用數(shù)形結(jié)合方法，可求出的范圍，及另外兩個零點所在區(qū)間，進(jìn)而結(jié)合的含義，可選出答案.【詳解】由題意，令，則或，顯然是方程的解，也是方程的解，所以選項A正確；因為有3個不同的零點，所以方程有2個不同的解，且兩解都不等于，易知，可得，令，則直線與函數(shù)的圖象有2個不同交點，求導(dǎo)得，，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.又當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，取得最大值.可畫出函數(shù)的圖象，如下圖所示，根據(jù)圖象可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象沒有交點；當(dāng)或時，直線與函數(shù)的圖象只有1個交點；當(dāng)，即時，直線與函數(shù)的圖象有2個不同交點.又因為，且直線與函數(shù)的圖象的2個不同交點的橫坐標(biāo)不等于，所以，即，綜上所述，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有2個不同交點，且兩個交點的橫坐標(biāo)都不等于e，此時有3個不同的零點，故C錯誤；不妨設(shè)，是直線與函數(shù)的圖象的2個不同交點，且，則，，根據(jù)的圖象，當(dāng)趨近與0時，趨近于1，趨近于無窮大，此時趨近于無窮大，故選項B錯誤；對于選項D，由，，可得，，因為，所以，則，則，，所以，即，故選項D正確.故選：AD.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.3．【分析】通過換元法將方程變?yōu)?，其中；利用?dǎo)數(shù)可求得的大致圖象，從而確定其與的交點個數(shù)，將所求式子化為，利用韋達(dá)定理可求得結(jié)果.【詳解】由，兩邊同時除以變形為，有設(shè)即，所以令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，當(dāng)時，其大致圖像如下．要使關(guān)于x的方程有三個不相等的實數(shù)解，，，且．結(jié)合圖像可得關(guān)于t的方程一定有兩個不等的實數(shù)根，且，從而．，，則，．所以.故答案為：【點睛】方法點睛：已知函數(shù)零點(方程根)個數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解4．(1)(2)【分析】（1）參變分離，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值即可求得的取值范圍；（2）根據(jù)極值點與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系并二次函數(shù)根的分布計算即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，因為有三個互不相同的零點，所以，即有三個互不相同的實數(shù)根．令，則．令，令，所以在和均為減函數(shù)，在為增函數(shù)，即的極小值為，極大值為，

故m的取值范圍．（2）由題意可知，在上沒有變號零點，又因為，所以，解之得．故a的范圍為.5．(1)(2)或【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程；（2）首先得，這樣問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，這樣求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論極值點與定義域的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，，，，所以函數(shù)在處的切線方程為；（2），易知，所求問題等價于函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，因為，，得，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，在上單調(diào)遞增.①當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，此時函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，滿足題意.②當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，要使在上沒有零點，只需，即，解得，所以.③當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上滿足，此時函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，滿足題意.綜上所述，實數(shù)的范圍是或.6．(1)的單調(diào)減區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為.(2)(3)時，的零點個數(shù)為1【分析】對于（1），求導(dǎo)即可得單調(diào)區(qū)間；對于（2），在區(qū)間上恒成立等價于在上的最小值大于1；對于（3），判斷出單調(diào)性，后由零點存在性定理可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，.則，由，得；由，得.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）在區(qū)間上恒成立，則在上的最小值大于1，①當(dāng)時，，得在上單調(diào)遞增，故，又，則，即不合題意.②當(dāng)時，，由，得或；由，得.故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.i當(dāng)，即時，.ii當(dāng)，即時，，由題有，又，則.綜上a的范圍為（3）由題，.則，設(shè)，則，當(dāng)，得；當(dāng)，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則，又，則，故.則在上單調(diào)遞增.注意到，設(shè)，則，由，得；由，得.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則，得恒成立，又，則，又，故，使，即時，有唯一零點·.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題涉及恒成立問題及求含參函數(shù)零點個數(shù)，難度較大.（1）問較為基礎(chǔ)，（2）問難點在于時，不清楚與大小，采用可避免討論，（3）問難點在于零點所在區(qū)間的尋找.反思提升：1.函數(shù)零點個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，根據(jù)圖象的幾何直觀求解.2.與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結(jié)合特殊點判斷函數(shù)的大致圖象，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.也可分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點情況.【考點3】與函數(shù)零點相關(guān)的綜合問題一、單選題1．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的定義域為RB．若函數(shù)在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則C．當(dāng)時，可能有三個零點D．當(dāng)時，函數(shù)的極小值大于極大值二、多選題2．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知函數(shù)，下列說法正確的有（

）A．當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增B．當(dāng)時，函數(shù)有唯一極值點C．若函數(shù)只有兩個不等于1的零點，則必有D．若函數(shù)有三個零點，則三、填空題3．（2024·安徽·模擬預(yù)測）對于函數(shù)，當(dāng)該函數(shù)恰有兩個零點時，設(shè)兩個零點中最大值為，當(dāng)該函數(shù)恰有四個零點時，設(shè)這四個零點中最大值為，求.四、解答題4．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，證明：有且僅有一個零點．(2)當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍．(3)證明：．5．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)已知實數(shù).①求證：函數(shù)有且僅有一個零點；②設(shè)該零點為，若圖象上有且只有一對點，關(guān)于點成中心對稱，求實數(shù)的取值范圍.6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)的兩個極值點分別為，證明：；(3)設(shè)，求證：當(dāng)時，有且僅有2個不同的零點．（參考數(shù)據(jù)：）參考答案：1．D【分析】對于A：，通過求導(dǎo)找到零點，進(jìn)而確定定義域；對于B：求出，，，進(jìn)而可得切線方程，從而得到面積；對于CD：求出，利用零點存在定理，確定零點位置，從而得到極值，進(jìn)而可判斷零點個數(shù)以及極值關(guān)系.【詳解】記，則，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，，，所以函數(shù)有唯一零點，因為有意義需使，所以函數(shù)的定義域為，所以A錯誤；因為，，，所以函數(shù)在點P處的切線方程為，，此直線與x軸、y軸的交點分別為，，由三角形的面積公式得，解得或，所以B錯誤；當(dāng)時，，當(dāng)時，記，則，明顯單調(diào)遞增，而，，由零點存在定理知存在，使得，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，，當(dāng)時，記，，所以在上單調(diào)遞增，，，由零點存在定理知存在，使得，即當(dāng)時，，從而有，當(dāng)時，，從而有，綜上可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，且，，所以，．又因為，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，所以最多只有兩個零點，C錯誤，D正確．故選：D.【點睛】方法點睛：1．函數(shù)零點的判定常用的方法有：（1）零點存在性定理；（2）數(shù)形結(jié)合；（3）解方程f(x)＝0.2．研究方程f(x)＝g(x)的解，實質(zhì)就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零點．3．轉(zhuǎn)化思想：方程解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題；已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題．2．ACD【分析】對于A：直接代入求單調(diào)性即可；對于B：直接代入求極值即可；對于C：將函數(shù)兩個不等于1的零點轉(zhuǎn)化為有兩個不等于1的根，，求導(dǎo)，研究其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定，然后證明和對應(yīng)的值一樣即可；對于D：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個極值點，求導(dǎo)解答即可.【詳解】對于A：當(dāng)時，，則，令，則，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故，所以在上單調(diào)遞增，A正確；對于B：當(dāng)時，，則，令，則，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故，所以在上單調(diào)遞增，無極值，B錯誤；對于C：令，得，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，且，若函數(shù)只有兩個不等于的零點，即函數(shù)與有兩個交點，則不妨取，當(dāng)時，，所以函數(shù)與的兩個交點橫坐標(biāo)互為倒數(shù)，即，C正確；對于D：明顯，所以是函數(shù)的一個零點，且，函數(shù)有三個零點，且函數(shù)在上為連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)必有兩個極值點（不為1），因為，所以，設(shè)，則當(dāng)時，令，得，單調(diào)遞減，，得，單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞減，不可能有3個零點，所以，令，得，單調(diào)遞減，，得，單調(diào)遞增，所以，所以，所以，D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：導(dǎo)數(shù)問題要學(xué)會將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比如選項C，將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，選項D，將零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為極值點個數(shù)問題.3．【分析】函數(shù)恰有兩個零點等價于與直線有且只有兩個交點，根據(jù)圖象可知：與直線在點相切，函數(shù)恰有四個個零點等價于與直線有且只有四個交點，根據(jù)圖象可知：與直線在點相切，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及三角恒等變換化簡可得答案.【詳解】函數(shù)恰有兩個零點等價于與直線有且只有兩個交點，函數(shù)恰有四個個零點等價于與直線有且只有四個交點，與直線的圖象如下：根據(jù)圖象可知，與直線有且只有兩個交點時，則與在點處相切，且切點的橫坐標(biāo)為，此時對應(yīng)的函數(shù)解析式為，所以，則，又，所以，則同理，與直線有且只有四個交點時，則與在點處相切，且切點的橫坐標(biāo)為，此時對應(yīng)的函數(shù)解析式為，所以，則，又，所以，則所以故答案為：.4．(1)證明見解析；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點存在性定理推理即得.（2）等價變形給定的不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即得.（3）利用（2）的結(jié)論得，再賦值并借助不等式性質(zhì)，等比數(shù)列前n項和公式推理即得.【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)定義域為，則，令，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，則，即在上恒成立，在上單調(diào)遞增，而，，所以根據(jù)零點存在定理知，有且僅有一個零點．（2）當(dāng)時，等價于，令，求導(dǎo)得，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，則，于是當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，因此，所以a的取值范圍為．（3）由（2）可知，當(dāng)時，有，則，因此，所以．【點睛】思路點睛：不等式恒成立或存在型問題，可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.5．(1)取極小值，無極大值(2)①證明見解析；②.【分析】（1）求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極值.（2）①把問題轉(zhuǎn)化成，換元，令，，所以或，再分別判斷這兩個方程解得情況.②問題轉(zhuǎn)化成方程只有一個正根.根據(jù)零點的存在性求參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取極小值.（2）①令，換元，，即或.構(gòu)造函數(shù)，顯然單調(diào)遞增，且，方程必定存在一負(fù)根.對于函數(shù)，當(dāng)時，當(dāng)時，恒成立，方程無根.當(dāng)實數(shù)時，函數(shù)有且僅有一個零點.②由上可知.構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)對稱性不妨假設(shè)，若存在唯一正根，則..，，，，令，即.令，構(gòu)造函數(shù)，，且顯然在上單調(diào)遞減，存在正零點的必要條件是.易證明當(dāng)時，，，只要當(dāng)時，就有，故是存在正零點的充要條件，而，且，，在上單調(diào)遞增，，又，故，即實數(shù)的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.6．(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)得，設(shè)，分類討論的根的情況，可得的單調(diào)區(qū)間；（2）求導(dǎo)根據(jù)題意可得方程在上有兩個不同的實數(shù)解，可得解得，要證，需證，進(jìn)而換元可證結(jié)論；（3）在上有且僅有2個不同的根，等價于直線與函數(shù)的圖象在上有2個交點，求導(dǎo)得，分，討論可證結(jié)論．【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，．設(shè)，則函數(shù)為二次函數(shù)，對稱軸為直線，且．令，則．當(dāng)，即時，，故當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．當(dāng)時，，故當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）．因為函數(shù)有兩個極值點，所以方程在上有兩個不同的實數(shù)解，則解得，所以．要證，即證．不妨設(shè)，則只需證．設(shè)，則只需證．令．則，所以在上單調(diào)遞增，所以，得證．（3）由得，在上有且僅有2個不同的根，等價于直線與函數(shù)的圖象在上有2個交點．設(shè)，①當(dāng)時，令，，所以在上單調(diào)遞增．又因為，即當(dāng)時，存在，且的圖象連續(xù)，所以在上有且僅有1個零點，即存在，使．當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以在上存在唯一的極小值點．①當(dāng)時，又，記，則，則在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時，恒成立，則，所以當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象在上有1個交點．②當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．已證在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．又因為，由①知，所以當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象在上有1個交點．③當(dāng)時，，設(shè)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，則當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象在上無交點．

綜上，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象在上有2個交點．即當(dāng)時，有且僅有2個不同的零點．【點睛】方法點睛：求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求導(dǎo)后能轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題，常利用判別式進(jìn)行分類討論求解；函數(shù)有兩個極值點即為導(dǎo)函數(shù)有兩個零點，在此基礎(chǔ)上證不等式恒成立問題，常轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)，通過求最大值與最小值證明；函數(shù)有幾個零點問題，常轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象有幾個交點問題處理.反思提升：在求解函數(shù)問題時，很多時候都需要求函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的零點，但所述情形都難以求出其準(zhǔn)確值，導(dǎo)致解題過程無法繼續(xù)進(jìn)行時，可這樣嘗試求解：先證明函數(shù)f(x)在區(qū)間I上存在唯一的零點(例如，函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)函數(shù)且在區(qū)間I的兩個端點的函數(shù)值異號時就可證明存在唯一的零點)，這時可設(shè)出其零點是x0.因為x0不易求出(當(dāng)然，有時是可以求出但無需求出)，所以把零點x0叫做隱零點；若x0容易求出，就叫做顯零點，而后解答就可繼續(xù)進(jìn)行，實際上，此解法類似于解析幾何中“設(shè)而不求”的方法.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．為增函數(shù) B．有兩個零點C．的最大值為2e D．的圖象關(guān)于對稱2．（2024·四川涼山·二模）若，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（22-23高三下·江西·階段練習(xí)）若函數(shù)有零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．有兩個零點 B．點是曲線的對稱中心C．有兩個極值點 D．直線是曲線的切線二、多選題5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，下列正確的是（

）A．若函數(shù)有且只有1個零點，則B．若函數(shù)有兩個零點，則C．若函數(shù)有且只有1個零點，則，D．若有兩個零點，則6．（21-22高三上·湖北·期中）已知函數(shù)，下列結(jié)論成立的是（）A．函數(shù)在定義域內(nèi)無極值B．函數(shù)在點處的切線方程為C．函數(shù)在定義域內(nèi)有且僅有一個零點D．函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個零點，，且7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，則（

）A．若有極值點，則B．當(dāng)時，有一個零點C．D．當(dāng)時，曲線上斜率為2的切線是直線三、填空題8．（2023·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）若函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍為．9．（2021·海南·二模）函數(shù)的零點個數(shù)為.10．（20-21高三上·吉林長春·期中）若函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)的值為.四、解答題11．（20-21高二下·重慶·期末）已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直.（1）求的值；（2）若函數(shù)在上無零點，求的取值范圍.12．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)若有兩個不同的零點，證明．參考答案：1．D【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合選項依次計算，即可求解.【詳解】A：，令，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯誤；B：由選項A知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在R上沒有零點，故B錯誤；C：由選項A知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)的最小值為，故C錯誤；D：，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，故D正確.故選：D2．C【分析】求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，極值，畫圖，根據(jù)圖象得零點個數(shù).【詳解】,當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，又，，，，則的草圖如下：由圖象可得函數(shù)的零點個數(shù)為.故選：C.3．C【分析】通過導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到其最小值，令最小值小于等于零進(jìn)行求解即可.【詳解】已知函數(shù)，則，，當(dāng)時，；當(dāng)時，.在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，則，又，所以.故選：C.4．C【分析】利用導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性和極值、最值即可求解A,C，再根據(jù)奇函數(shù)的對稱關(guān)系可判斷B，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷D.【詳解】，令解得，令解得或，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，且，所以在各有一個零點，共3個零點，A錯誤；為奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于對稱，所以的圖象關(guān)于點對稱，B錯誤；由單調(diào)性可知有兩個極值點為，C正確；對于D，令，解得則，但是當(dāng)時，對于直線，有，即直線不經(jīng)過切點，D錯誤，故選:C.5．AD【分析】根據(jù)函數(shù)零點的性質(zhì)，結(jié)合常變量分離法，導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由，當(dāng)時，令，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，故，函數(shù)的圖象如下圖所示：當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象沒有交點，所以函數(shù)沒有零點，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點，所以函數(shù)只有一個零點，而，所以選項A正確，選項C不正確；當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象只有二個交點，所以函數(shù)只有二個零點，因此選項B不正確，選項D正確，故選：AD6．ABD【分析】求出定義域與導(dǎo)函數(shù)可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷B；利用函數(shù)單調(diào)性以及零點存在性定理可判斷C；根據(jù)選項C可判斷D.【詳解】A，函數(shù)定義域為，，在和上單調(diào)遞增，則函數(shù)在定義域內(nèi)無極值，故A正確；B，由，則，又，函數(shù)在點處的切線方程為即，故B正確；C，在上單調(diào)遞增，又，，所以函數(shù)在存在，使，又，即，且，即為函數(shù)的一個零點，所以函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個零點,故C錯誤.D，由選項C可得，所以，故D正確.故選：ABD7．BC【分析】對A，判斷當(dāng)時情況即可；對B，求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理判斷即可；對C，根據(jù)得關(guān)于對稱，再判斷的對稱性判斷即可；對D，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】對A，由題得，當(dāng)時，遞增，不存在極值點，故A選項錯誤；對B，當(dāng)時，，令得或，令得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．因為，，，所以函數(shù)在上有一個零點，在上無零點．綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B選項正確；對C，由得關(guān)于對稱，令，該函數(shù)的定義域為R，因為，則是奇函數(shù)，圖象的對稱中心是原點，將的圖象向上平移一個單位長度得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C選項正確；對D，令，可得．又，，所以當(dāng)切點為時，切線方程為，當(dāng)切點為時，切線方程為，故D選項錯誤.故選：BC．8．【分析】分離常數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為y＝與y＝的圖象有兩個交點，令（x∈R），利用導(dǎo)數(shù)求出的最值，再給合的正負(fù)分析即可得答案．【詳解】解：因為有兩個零點，即有兩個零點?有兩個解，即y＝與y＝的圖象有兩個交點，令（x∈R），則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，又因當(dāng)時，＝＜0，當(dāng)時，＝＞0，當(dāng)時，＝＝0，要使y＝與y＝的圖象有兩個交點，所以0＜＜，即故的取值范圍為．故答案為：．9．1【解析】根據(jù)函數(shù)零點的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷即可,.【詳解】因為，所以單調(diào)遞增，又因為，所以有且僅有1個零點.故答案為：110．1【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出單調(diào)區(qū)間，由題意，只需即可求解.【詳解】由，（），則，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在時取得極小值.所以函數(shù)有且只有一個零點，只需，即，解得.故答案為：111．（1）；（2）【分析】（1）首先求出導(dǎo)函數(shù)，由即可求解.（2）由題意可得在上無解，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)無交點即可求解.【詳解】（1）由函數(shù)，，，所以可得，解得.（2）若函數(shù)在上無零點，即在上無解，即在上無解，令，，，在上，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，若在上無解，則或，即或.所以的取值范圍為12．(1)(2)證明見解析【分析】（1）直接用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可；（2）構(gòu)造并證明時，并對該不等式代入特殊值即可得證.【詳解】（1）首先由可知的定義域是，從而.故，從而當(dāng)時，當(dāng)時.故在上遞增，在上遞減，所以具有最大值.所以命題等價于，即.所以的取值范圍是.（2）不妨設(shè)，由于在上遞增，在上遞減，故一定有.在的范圍內(nèi)定義函數(shù).則，所以單調(diào)遞增.這表明時，即.又因為，且和都大于，故由在上的單調(diào)性知，即.【能力篇】一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·遼寧·三模）已知函數(shù)為實數(shù)，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，則與有相同的極值點和極值B．存在，使與的零點同時為2個C．當(dāng)時，對恒成立D．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為三、填空題3．（23-24高三下·四川雅安·開學(xué)考試）已知，分別是函數(shù)和的零點，且，，則．四、解答題4．（22-23高二上·山東濱州·期末）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點，求的取值范圍.參考答案：1．D【分析】進(jìn)行合理換元和同構(gòu)，轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有兩個交點，轉(zhuǎn)化為交點問題，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，最后得到參數(shù)的取值范圍即可.【詳解】令，所以．令，定義域為，令，易知在上單調(diào)遞增，且．所以，則函數(shù)有兩個零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有兩個交點．則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則，解得，即實數(shù)的取值范圍是．故選：D．2．AC【分析】對于A，分別各自求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系即可判斷；對于B，分別求出與的零點為2個時的范圍，看它們的交集是否為空集即可判斷；對于C，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，對分類討論，只需判斷是否成立即可；對于D，原問題等價于對恒成立，從而即可進(jìn)一步求解.【詳解】對于A，當(dāng)時，，當(dāng)時，有，此時均單調(diào)遞減，當(dāng)時，有，此時均單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，均各自取到相應(yīng)的極值，且，所以當(dāng)時，則與有相同的極值點和極值，故A正確；，令，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，當(dāng)，，當(dāng)時，有極大值，，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出直線的圖象與函數(shù)的圖象，如圖所示，所以方程有兩個根當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)從1的左邊趨于1時，趨于正無窮，當(dāng)從1的右邊趨于1時，趨于負(fù)無窮，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，令，則，，當(dāng)時，，當(dāng)時，有極小值，，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出直線的圖象與函數(shù)的圖象，如圖所示，方程有兩個根當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述，不存在，使與的零點同時為2個，故B錯誤；設(shè)，，，當(dāng)時，顯然，若，即，在此情況下：當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，即在的情況下，對恒成立，若，即，在此情況下：當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以在的情況下，對恒成立，綜上所述，當(dāng)時，對恒成立，故C正確；對于D，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，這意味著對恒成立，也就是說對恒成立，即對恒成立，注意到在上單調(diào)遞減，所以，也就是說的取值范圍為，故D錯誤.故選：AC.3．1【分析】求，判斷函數(shù)在上