專題26 正弦定理和余弦定理-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）解析版

2/2專題26正弦定理和余弦定理（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測】 3【考點(diǎn)突破】 19【考點(diǎn)1】利用正、余弦定理解三角形 19【考點(diǎn)2】判斷三角形的形狀 24【考點(diǎn)3】和三角形面積有關(guān)的問題 28【分層檢測】 33【基礎(chǔ)篇】 33【能力篇】 43【培優(yōu)篇】 46考試要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理余弦定理正弦定理公式a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__Ceq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R常見變形cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA2.在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無解3.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a邊上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R).(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑).1.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3.在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·全國·高考真題）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．三、填空題4．（2023·全國·高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．5．（2022·全國·高考真題）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，．四、解答題6．（2023·全國·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.7．（2023·全國·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．8．（2023·全國·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．(1)若，求；(2)若，求．9．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．10．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．11．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．12．（2021·全國·高考真題）在中，角、、所對(duì)的邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．參考答案：1．C【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.【詳解】法一：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，，所以，則，又，，所以，則，又，，所以，則，在中，，則由余弦定理可得，故，則，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.法二：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，因?yàn)榈酌鏋檎叫危?，所以，在中，，則由余弦定理可得，故，所以，則，不妨記，因?yàn)?，所以，即，則，整理得①，又在中，，即，則②，兩式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.故選：C.2．C【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，且為斜邊，則有，又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，

顯然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，顯然平面平面，直線平面，則直線在平面內(nèi)的射影為直線，從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，顯然是銳角，，所以直線與平面所成的角的正切為.故選：C3．AC【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，利用正弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用情況一

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為B，所以，因?yàn)椋栽陔p曲線的左支，，，，設(shè)，由即，則，選A情況二若M、N在雙曲線的兩支，因?yàn)?，所以在雙曲線的右支，所以，，，設(shè)，由，即，則，所以，即，所以雙曲線的離心率選C[方法二]：答案回代法特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點(diǎn)都在左支,，，則，特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點(diǎn)在左右兩支，在右支，，，則，[方法三]：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，若分別在左右支，因?yàn)?，且，所以在雙曲線的右支，又，，，設(shè)，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線的離心率若均在左支上，同理有，其中為鈍角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故選：AC.4．【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．【詳解】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因?yàn)椋獾茫?，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因?yàn)?，所以，，又，所以，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題壓軸相對(duì)比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識(shí)技能考查常規(guī)．5．/【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時(shí)所以當(dāng)取最小值時(shí)，，即.

6．(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.【詳解】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.7．(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.【詳解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.8．(1)；(2).【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運(yùn)算律建立關(guān)系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.【詳解】（1）方法1：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，

則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以.（2）方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.9．(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.10．(1)見解析(2)14【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，所以，即，所以；?）解：因?yàn)椋桑?）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為.11．(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【詳解】（1）因?yàn)椋?，而，所以；?）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．12．（1）；（2）存在，且.【分析】（1）由正弦定理可得出，結(jié)合已知條件求出的值，進(jìn)一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）分析可知，角為鈍角，由結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)的值.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，，故.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】利用正、余弦定理解三角形一、單選題1．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測）在中，，為內(nèi)一點(diǎn)，，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江金華·三模）已知橢圓，、分別為其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且，若的面積為，則（

）A． B．3 C． D．4二、多選題3．（2024·山東濟(jì)南·三模）已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，外接圓半徑為R．若，且，則（

）A． B．面積的最大值為C． D．邊上的高的最大值為三、填空題4．（2024·四川成都·三模）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若且，則的值為四、解答題5．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）在中，角的對(duì)邊分別是，且.(1)求的值；(2)若的面積為，求的周長.6．（2024·江西·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，其外接圓的半徑為，且．(1)求角；(2)若的角平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，求的面積．參考答案：1．B【分析】在中，設(shè)，，即可表示出，，在中利用正弦定理得到，再由兩角差的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，即可得解.【詳解】在中，設(shè)，令，

則，，在中，可得，，由正弦定理，得，所以，可得，即．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答關(guān)鍵是找到角之間的關(guān)系，從而通過設(shè)元、轉(zhuǎn)化到中利用正弦定理得到關(guān)系式.2．B【分析】設(shè)，，由題意可得，，結(jié)合余弦定理可得，消元可得，求解即可.【詳解】設(shè)，，則，化簡得：，所以，，另外，由余弦定理得：，結(jié)合以上兩個(gè)式子，消去可得，又因?yàn)?，所以化簡可得：，所以，可?故選：B.3．AD【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角求出，再結(jié)合三角形面積公式、余弦定理逐項(xiàng)計(jì)算判斷得解.【詳解】在中，由及正弦定理，得，而，則，由余弦定理得，而，解得，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令邊上的高為，則，解得，D正確.故選：AD4．/【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理，求得，再由余弦定理，即可求解.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)?，可得，所以，由余弦定理?故答案為：.5．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將條件式邊化角，化簡求出；（2）根據(jù)余弦定理以及三角形的面積公式求解出的值，從而求出周長.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，因?yàn)?，所以，所?（2）由（1）易知，因?yàn)?所以，由余弦定理，得.又因?yàn)?，所以代入得，所以，所?又因?yàn)?，所以，所以的周長為.6．(1)；(2)．【分析】（1）利用正弦定理以及兩角和的正弦公式化簡可求得，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用正弦定理可求得的值，利用可得，余弦定理可得，兩式聯(lián)立可得，然后利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，又，所以，所以，即，，故，，即，又，則．（2）由（1）可知，，又外接圓的半徑為；由正弦定理可知，所以，因?yàn)槭堑钠椒志€，故，又，由，可得，即．①由余弦定理可知，，即．②由①②可知．所以，又，則，所以.反思提升：(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時(shí)可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系.【考點(diǎn)2】判斷三角形的形狀一、單選題1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角A，，所對(duì)的邊分別為，，，面積為，若，，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形2．（2024·河北秦皇島·三模）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，則（

）A．為直角三角形 B．為銳角三角形C．為鈍角三角形 D．的形狀無法確定二、多選題3．（2021·黑龍江雞西·模擬預(yù)測）在中，有如下四個(gè)命題正確的有（

）A．若，則為銳角三角形B．若，則的形狀為直角三角形C．內(nèi)一點(diǎn)G滿足，則G是的重心D．若，則點(diǎn)P必為的外心三、填空題4．（2021·浙江寧波·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，若，則，三角形的形狀為.四、解答題5．（2024·上海寶山·二模）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知.(1)求角的大??；(2)若的面積為，求的最小值，并判斷此時(shí)的形狀.6．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為．(1)判斷的形狀，并證明；(2)求的最小值．參考答案：1．B【分析】利用正弦定理的邊角變換，結(jié)合誘導(dǎo)公式與倍角公式求得B；利用面積公式與向量數(shù)量積的定義求得A，從而得解【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以；因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，則是直角三角形，故選：B2．A【分析】由正弦定理得，利用正余弦的二倍角公式、兩角和與差的正弦展開式化簡可得，解方程可得答案.【詳解】由，可得，則，，，即，由，故只能為銳角，可得，因?yàn)?，所以?故選：A.3．BC【分析】對(duì)于A，由可得角為銳角，從而可判斷，對(duì)于B，對(duì)兩邊平方化簡，再結(jié)合余弦定理可得結(jié)論，對(duì)于C，由向量加法和共線及三角形重心概念判斷，對(duì)于D，由向量運(yùn)算性質(zhì)和三角形垂心概念可判斷【詳解】解：對(duì)于A，由，得，所以，所以角為銳角，但不能判斷三角形為銳角三角形，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)椋?，即，所?得，因?yàn)?，所以，所以三角形為直角三角形，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以（為的中點(diǎn)），所以三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)在邊的中線上，同理，可得點(diǎn)在其它兩邊的中線上，所以G是的重心，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，所以?所以，所以點(diǎn)在邊的高上，同理可得點(diǎn)也在其它兩邊的高上，所以點(diǎn)為的垂心，所以D錯(cuò)誤，故選：BC4．等腰三角形【分析】由給定等式邊化角得，再用余弦定理求出即可得解.【詳解】中，由正弦定理及給定等式得：，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋裕?，所以；因，，于是為等腰三角?故答案為：；等腰三角形.5．(1)(2)4，為等邊三角形【分析】（1）由正弦定理角化邊可得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求；（2）由三角表面積可求得，根據(jù)均值不等式可求得的最小值，根據(jù)取得最小值可判斷三角形的形狀.【詳解】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，因?yàn)槭侨切蝺?nèi)角，所以；（2）由三角形面積公式得：，解得，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，此時(shí)為等邊三角形.6．(1)為鈍角三角形，證明見解析(2)【分析】（1）由三角恒等變換可得，從而有，進(jìn)而得，，，即可得結(jié)論；（2）結(jié)合正弦定理及，可得，再利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）為鈍角三角形，證明如下：證明：因?yàn)椋ǘ督枪降膽?yīng)用）所以，所以或（舍去），（提示：若，則，則，與題意不符）則，所以，所以為鈍角三角形．（2）由（1）知，由正弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，最小，最小值為．反思提升：1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁.2.無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的限制.【考點(diǎn)3】和三角形面積有關(guān)的問題一、單選題1．（2024·貴州畢節(jié)·三模）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，若點(diǎn)D滿足，且，則（

）A． B．2 C． D．42．（2024·貴州遵義·三模）在中，角的對(duì)邊分別為，D為的中點(diǎn)，已知，，且，則的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·江西·二模）已知中，為的角平分線，交于點(diǎn)為中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．的面積為D．在的外接圓上，則的最大值為三、填空題4．（2024·山東·二模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，且，則面積的最大值為．四、解答題5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是且向量滿足.(1)求A；(2)若，求BC邊上的高.6．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，．(1)求角A；(2)若的面積為，周長為6，求．參考答案：1．A【分析】由得，進(jìn)而得到，再結(jié)合三角形的面積公式求解即可.【詳解】由得，，故，即，得，設(shè)的高為，可得，

由得，，故，而，故，則，故，化簡得，故A正確.故選：A2．D【分析】先利用正弦定理化邊為角求出角，在向量化求出邊，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，即，又，所以，又，所以，在中，D為的中點(diǎn)，則，則，即，解得（舍去），所以.故選：D.3．ACD【分析】對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一判斷，由余弦定理求出，再由角平分線定理可知，利用三角形面積公式求出，再設(shè)，將表示為的三角函數(shù)求最值即可判斷.【詳解】在中，由余弦定理得，由角平分線定理得：，所以A正確；由得，解得，所以B錯(cuò)誤；，所以C正確；在中，設(shè)，則，由正弦定理得：，其中，所以D正確.故選：ACD.4．【分析】先由已知條件結(jié)合余弦定理和求出，再由余弦定理結(jié)合基本不等式求出最大值，即可由正弦定理形式面積公式求出面積最大值.【詳解】因?yàn)?，所以由余弦定理，得，所以，又，則，所以由余弦定理以及基本不等式得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即面積的最大值為，故答案為：.5．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量平行關(guān)系得到方程，結(jié)合正弦定理得到，求出；（2）由余弦定理得到，根據(jù)三角形面積得到方程，求出答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，又，解得；?）因?yàn)?，所以，即化簡得，解得?舍去)，由的面積，又，故，解得.6．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理和三角恒等變換可得，結(jié)合角A的范圍分析求解；（2）利用面積公式可得，再根據(jù)余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，又因?yàn)?，可得，且，則，可得，整理得，又因?yàn)?，則，所以，即.（2）因?yàn)?，則，由余弦定理可得，解得．反思提升：與三角形面積有關(guān)問題的解題策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·重慶·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，．則a的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·云南昆明·三模）已知中，，，，則的面積等于（

）A．3 B． C．5 D．3．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知，分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．4．（2024·陜西渭南·三模）已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，且，則是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形二、多選題5．（21-22高一下·江蘇南京·期中）三角形中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，下列條件能判斷是鈍角三角形的有（

）A．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4 B．C． D．6．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖所示，設(shè)單位圓與x軸的正半軸相交于點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，，P，則下列說法正確的是（

）A．B．扇形的面積為C．D．當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為7．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測）若的三個(gè)內(nèi)角的正弦值為，則（

）A．一定能構(gòu)成三角形的三條邊B．一定能構(gòu)成三角形的三條邊C．一定能構(gòu)成三角形的三條邊D．一定能構(gòu)成三角形的三條邊三、填空題8．（2024·山東威?！ざ＃┰谥校茿，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，．則=．9．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且，平分交于，，則面積的最小值為；若，則的面積為．10．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，且，則的面積為.四、解答題11．（2024·河南·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．(1)求角；(2)若，求的值．12．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形中，，，的角平分線與相交于點(diǎn)，且.(1)求的大??；(2)求的值.參考答案：1．A【分析】由題意，根據(jù)誘導(dǎo)公式及和差公式進(jìn)行化簡求出，進(jìn)而，結(jié)合正弦定理計(jì)算即可求解.【詳解】由，，得，即，所以，又，所以，即，所以，又，由正弦定理，得，所以.故選：A2．B【分析】由余弦定理及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系得出，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】由余弦定理得，，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，所以，故選：B．3．B【分析】設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義得到，即可表示出，，再在中利用余弦定理計(jì)算可得.【詳解】如圖，由于，，且，，設(shè)，則，故，所以，即，則，，，，在中由余弦定理.故選：B4．D【分析】由正弦定理和得到，，求出，得到答案.【詳解】，即，故，，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)椋?，故為等腰直角三角?故選：D5．AC【分析】根據(jù)余弦定理、正弦定理，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)閍＝2，b＝3，c＝4，所以角C最大，由，所以是鈍角三角形，因此本選項(xiàng)正確；B：由，不能判斷是鈍角三角形，所以本選項(xiàng)不正確；C：根據(jù)正弦定理，由，由余弦定理可知：，所以是鈍角三角形，因此本選項(xiàng)正確；D：根據(jù)正弦定理，由，所以是直角三角形，不符合題意，故選：AC6．ACD【分析】由題意圓的半徑在平面直角坐標(biāo)系中寫出的坐標(biāo)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可得A選項(xiàng)；選項(xiàng)B，利用扇形的面積公式計(jì)算即可；選項(xiàng)C，利用兩點(diǎn)間的距離公式寫出化簡即可；選項(xiàng)D，分別表示出來化簡即可【詳解】由題意圓的半徑選項(xiàng)A：由題意得所以所以，故A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以扇形的面積，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，故C正確；選項(xiàng)D：因?yàn)椋怨蔇正確故選：ACD.7．AD【分析】根據(jù)正弦定理邊角化，結(jié)合三角形三邊滿足的關(guān)系即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A，由正弦定理得，所以，，作為三條線段的長一定能構(gòu)成三角形，A正確，對(duì)于B，由正弦定理得，例如，則，由于，，故不能構(gòu)成三角形的三條邊長，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,由正弦定理得，例如：、、，則、、，則，，，作為三條線段的長不能構(gòu)成三角形，C不正確；對(duì)于D，由正弦定理可得，不妨設(shè)，則，故，且，所以，故D正確，故選：AD8．【分析】在中，由余弦定理可得，結(jié)合已知求得，再由正弦定理可求得.【詳解】在中，由余弦定理可得，所以，所以，因?yàn)椋?，所以解得，由，可得，在中，由正弦定理可得，所?故答案為：.9．/【分析】由，求得，利用基本不等式，求得面積的最小值的最小值，再由余弦定理，求得，求得的面積.【詳解】由題意，平分交于且，可得，即，整理得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最小值，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋獾?，因此．故答案為：?

10．【分析】設(shè)的外接圓半徑為，由已知條件及正弦定理可得到，進(jìn)而有，再使用已知條件及余弦定理即可推知，最后用面積公式即可.【詳解】設(shè)的外接圓半徑為，則.所以，故，從而.而，故，得.故答案為：.11．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由二倍角公式得到，即可得解；（2）利用余弦定理及得到、，代入目標(biāo)式子計(jì)算可得.【詳解】（1）由題意可得，所以由正弦定理得．即，在中，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以．?）由（1）得，又，故，即，即，故．把代入，可得或（舍去），所以．12．(1)(2)【分析】（1）在中利用正弦定理結(jié)合已知條件求出，即可得解；（2）依題意可得，由求出，再在中利用余弦定理計(jì)算可得.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，所以，又，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所?因?yàn)槠椒郑?因?yàn)?，所以，又，，所以，解得，因?yàn)?，所以，所?【能力篇】一、單選題1．（2024·陜西·模擬預(yù)測）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則面積的最大值為（

）A． B． C．12 D．15.2．（2024·陜西咸陽·三模）為了進(jìn)一步提升城市形象，滿足群眾就近健身和休閑的需求，2023年某市政府在市區(qū)多地規(guī)劃建設(shè)了“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公園”中，準(zhǔn)備修一條三角形健身步道，已知扇形的半徑，圓心角，是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，是半徑上的動(dòng)點(diǎn)，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2024·寧夏銀川·三模）已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與雙曲線E的右支交于A，B兩點(diǎn)，若，且雙曲線E的離心率為，則（

）A． B． C． D．4．（2024·湖北·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，若正三角形的一邊為圓的一條弦，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．2參考答案：1．C【分析】先利用正弦定理化邊為角，可得出的關(guān)系，再利用余弦定理求出，進(jìn)而可得出，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】由，由正弦定理得，即，所以，由余弦定理得，所以，所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.故選：C.2．A【分析】設(shè)，在中利用正弦定理及三角形面積公式列出函數(shù)關(guān)系，再求