專題27 解三角形的應(yīng)用-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專用）解析版

2/2專題27解三角形的應(yīng)用（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 10【考點(diǎn)1】解三角形應(yīng)用舉例 10【考點(diǎn)2】求解平面幾何問題 16【考點(diǎn)3】三角函數(shù)與解三角形的交匯問題 21【分層檢測(cè)】 30【基礎(chǔ)篇】 30【能力篇】 38【培優(yōu)篇】 43考試要求：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).2.方位角從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點(diǎn)的方位角為α(如圖2).3.方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.1.不要搞錯(cuò)各種角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混.2.解決與平面幾何有關(guān)的計(jì)算問題關(guān)鍵是找清各量之間的關(guān)系，從而應(yīng)用正、余弦定理求解.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2022·全國(guó)·高考真題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．2．（2021·全國(guó)·高考真題）魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距二、填空題3．（2021·浙江·高考真題）在中，，M是的中點(diǎn)，，則，.4．（2021·浙江·高考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則.三、解答題5．（2021·全國(guó)·高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.參考答案：1．B【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以三點(diǎn)共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.2．A【分析】利用平面相似的有關(guān)知識(shí)以及合分比性質(zhì)即可解出．【詳解】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出．3．【分析】由題意結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得，再由余弦定理可得.【詳解】由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得（負(fù)值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案為：；.4．25【分析】分別求得大正方形的面積和小正方形的面積，然后計(jì)算其比值即可.【詳解】由題意可得，大正方形的邊長(zhǎng)為：，則其面積為：，小正方形的面積：，從而.故答案為：25.5．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)?，所以．?）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)?，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因?yàn)椋?，解得或，?dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡(jiǎn)得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點(diǎn)E，則．由，得．在中，．在中．因?yàn)?，所以，整理得．又因?yàn)?，所以，即或．下同解?．[方法五]：平面向量基本定理因?yàn)?，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因?yàn)椋裕塾捎嘞叶ɡ淼?，所以④?lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】解三角形應(yīng)用舉例一、單選題1．（2024·山東臨沂·一模）在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺(tái)，在的正東方.某次演習(xí)時(shí)，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀測(cè)回報(bào)兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點(diǎn)為18公里外的點(diǎn)，則炮臺(tái)與彈著點(diǎn)的距離為（

）A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里2．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）鼎湖峰，矗立于浙江省縉云縣仙都風(fēng)景名勝區(qū)，狀如春筍拔地而起，其峰頂鑲嵌著一汪小湖.某校開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，有建模課題組的學(xué)生選擇測(cè)量鼎湖峰的高度，為此，他們?cè)O(shè)計(jì)了測(cè)量方案.如圖，在山腳A測(cè)得山頂P得仰角為45°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走了90米到達(dá)B點(diǎn)（A，B，P，Q在同一個(gè)平面內(nèi)），在B處測(cè)得山頂P得仰角為60°，則鼎湖峰的山高為（

）米.A． B．C． D．二、多選題3．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）如圖，在海面上有兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)在的正北方向，距離為，在某天10：00觀察到某航船在處，此時(shí)測(cè)得分鐘后該船行駛至處，此時(shí)測(cè)得，則（

）

A．觀測(cè)點(diǎn)位于處的北偏東方向B．當(dāng)天10：00時(shí)，該船到觀測(cè)點(diǎn)的距離為C．當(dāng)船行駛至處時(shí)，該船到觀測(cè)點(diǎn)的距離為D．該船在由行駛至的這內(nèi)行駛了4．（2024·甘肅蘭州·一模）某學(xué)校開展測(cè)量旗桿高度的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，學(xué)生需通過建立模型、實(shí)地測(cè)量，迭代優(yōu)化完成此次活動(dòng)．在以下不同小組設(shè)計(jì)的初步方案中，可計(jì)算出旗桿高度的方案有A．在水平地面上任意尋找兩點(diǎn)，，分別測(cè)量旗桿頂端的仰角，，再測(cè)量，兩點(diǎn)間距離B．在旗桿對(duì)面找到某建筑物（低于旗桿），測(cè)得建筑物的高度為，在該建筑物底部和頂部分別測(cè)得旗桿頂端的仰角和C．在地面上任意尋找一點(diǎn)，測(cè)量旗桿頂端的仰角，再測(cè)量到旗桿底部的距離D．在旗桿的正前方處測(cè)得旗桿頂端的仰角，正對(duì)旗桿前行5m到達(dá)處，再次測(cè)量旗桿頂端的仰角三、填空題5．（2024·廣東湛江·二模）財(cái)富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)，是湛江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)的標(biāo)志性建筑，同時(shí)也是已建成的粵西第一高樓.為測(cè)量財(cái)富匯大廈的高度，小張選取了大廈的一個(gè)最高點(diǎn)A，點(diǎn)A在大廈底部的射影為點(diǎn)O，兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)B、C與O在同一水平面上，他測(cè)得米，，在點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為（），在點(diǎn)C處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45°，則財(cái)富匯大廈的高度米.6．（2021·山東濱州·二模）最大視角問題是1471年德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點(diǎn)B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為米時(shí)看A，B的視角最大.參考答案：1．D【分析】設(shè)炮彈第一次命中點(diǎn)為，在中利用余弦定理求出，又二倍角公式求出，最后在中利用余弦定理計(jì)算可得.【詳解】依題意設(shè)炮彈第一次命中點(diǎn)為，則，，，，在中，即，解得，所以，又為銳角，解得（負(fù)值舍去），在中，所以，即炮臺(tái)與彈著點(diǎn)的距離為公里.故選：D2．B【分析】在中，利用正弦定理求，進(jìn)而在中求山的高度.【詳解】由題知，，，則，，又，所以，所以，，在中，，根據(jù)正弦定理有，且，則，在中，.所以山高為米.故選：B.3．ACD【分析】利用方位角的概念判斷A，利用正弦定理、余弦定理求解后判斷BCD．【詳解】A選項(xiàng)中，,，因?yàn)樵贒的正北方向，所以位于的北偏東方向，故A正確.B選項(xiàng)中，在中，，，則,又因?yàn)椋詋m,故B錯(cuò)誤.C選項(xiàng)中，在中，由余弦定理，得，即km，故C正確.D選項(xiàng)中，在中，，，則.由正弦定理，得AC=km，故D正確.故選：ACD．4．BCD【分析】根據(jù)各選項(xiàng)的描述，結(jié)合正余定理的邊角關(guān)系判斷所測(cè)數(shù)據(jù)是否可以確定旗桿高度即可.【詳解】對(duì)于A：如果，兩點(diǎn)與旗桿底部不在一條直線上時(shí)，就不能測(cè)量出旗桿的高度，故A不正確．對(duì)于B：如下圖，中由正弦定理求，則旗桿的高，故B正確；對(duì)于C：在直角三角形直接利用銳角三角函數(shù)求出旗桿的高，故C正確；對(duì)于D：如下圖，中由正弦定理求，則旗桿的高，故D正確；故選：BCD.5．204【分析】根據(jù)仰角設(shè)出長(zhǎng)度，再根據(jù)余弦定理列出的邊長(zhǎng)關(guān)系，解方程求解即可.【詳解】設(shè)米，因?yàn)樵邳c(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為，所以，所以.因?yàn)樵邳c(diǎn)C處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45°，所以米.由余弦定理，可得，即，解得.故答案為：2046．【分析】根據(jù)題意，，分別求得，表達(dá)式，即可求得表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，即可得答案.【詳解】過C作，交AB于D，如圖所示：則，設(shè)，在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以取最大值時(shí)，最大，所以當(dāng)離此樹的水平距離為米時(shí)看A，B的視角最大.故答案為：反思提升：1.在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角.2.準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖.3.運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運(yùn)用.4.測(cè)量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解.5.方向角是相對(duì)于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角.【考點(diǎn)2】求解平面幾何問題一、單選題1．（2024·山東·二模）在中，設(shè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，設(shè)甲：，設(shè)乙：是直角三角形，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2．（2021·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）下列命題中，不正確的是（

）A．線性回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心B．若平面平面，平面平面，則平面平面C．若“，則”的逆命題為假命題D．若為銳角三角形，則.二、多選題3．（2022·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）在中，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．4．（2024·遼寧葫蘆島·一模）在正四棱臺(tái)中，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．四棱臺(tái)的表面積是B．四棱臺(tái)的體積是C．的最小值為D．的最小值為三、填空題5．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，，點(diǎn)D，E是邊BC上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在B，E之間，，則.6．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形中，，則四邊形的面積的最大值為．參考答案：1．D【分析】利用正弦定理定理、和角的正弦公式化簡(jiǎn)命題甲，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】在中，由正弦定理及，得，即，整理得，由正弦定理得，則或，即或，因此甲：或，顯然甲不能推乙；乙：是直角三角形，當(dāng)角或是直角時(shí)，乙不能推甲，所以甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件.故選：D2．B【分析】根據(jù)回歸方程的特征可判定A正確；根據(jù)線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，可判斷B不正確；根據(jù)不等式的性質(zhì)，可判斷C正確；根據(jù)三角形的性質(zhì)和正弦函數(shù)的單調(diào)性，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，由回歸直線的概念知線性回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心，所以A正確；對(duì)于B中，若平面平面，平面平面，則平面平面或平面與平面相交，所以B不正確；對(duì)于C中，命題“，則”逆命題為“，則”因?yàn)?，其中的符?hào)不確定，所以為假命題，所以C正確；對(duì)于D中，若為銳角三角形，可得，即，又由在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，所以D正確.故選：B.3．ABC【分析】根據(jù)題意得，結(jié)合邊的關(guān)系即可判斷A；根據(jù)邊的關(guān)系及基本不等式即可判斷BC；用邊長(zhǎng)為的三角形的周長(zhǎng)判斷D【詳解】對(duì)于A，，即，也就是，另一方面，在中，，則成立，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，邊長(zhǎng)為的三角形，滿足，但，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．4．ABD【分析】求出四棱臺(tái)的表面積即可判斷A；由正四棱臺(tái)的體積公式計(jì)算出體積，即可判斷B；將側(cè)面展開在同一平面，結(jié)合余弦定理即可判斷CD．【詳解】對(duì)于A，由題可知，四邊形為正方形，所以，分別取的中點(diǎn)，則為側(cè)面高，因?yàn)閭?cè)面為等腰梯形，側(cè)面高，所以一個(gè)側(cè)面的面積為，故正四棱臺(tái)的表面積為，故A正確；對(duì)于B，連接，取中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，則正四棱臺(tái)的高為，，則，在梯形中，，所以四棱臺(tái)的體積，故B正確；

對(duì)于C，將側(cè)面展開且處于同一平面，連接與交于點(diǎn)，如圖所示，則，所以，由上述結(jié)論可知，，由余弦定理得，，解得，則，所以，因?yàn)闉槔馍系膭?dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），所以點(diǎn)不能共線，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，最短，由余弦定理得，，解得，所以的最小值為，故D正確；故選：ABD．

5．/【分析】由余弦定理求出，的值，結(jié)合題意即可推出，繼而利用正弦定理，即可求得答案.【詳解】由題意知在中，，則，,而，又，則，且，故，即，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了正余弦定理的應(yīng)用問題，解答的關(guān)鍵是求出，從而可利用正弦定理求解答案.6．6【分析】在中，利用正弦定理可得，進(jìn)而可求得的面積，在中，由余弦定理可得，進(jìn)而可得的面積，即可得結(jié)果.【詳解】在中，由正弦定理，可得，所以的面積；在中，由余弦定理，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，且，則，所以的面積；顯然當(dāng)B、D位于直線AC的兩側(cè)時(shí)，四邊形ABCD的面積較大，此時(shí)四邊形的面積.所以四邊形的面積的最大值為.故答案為：6.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與解三角形有關(guān)的交匯問題的關(guān)注點(diǎn)（1）根據(jù)條件恰當(dāng)選擇正弦、余弦定理完成邊角互化；（2）結(jié)合三角恒等變換、三角函數(shù)以及基本不等式分析運(yùn)算．反思提升：平面幾何中解三角形問題的求解思路(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果.【考點(diǎn)3】三角函數(shù)與解三角形的交匯問題一、解答題1．（2024·北京·三模）已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的值；(2)在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.c為在上的最大值，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：的面積為S，且.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)條件計(jì)分.2．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，，，且的外接圓半徑為4.(1)若，，求的面積；(2)若，求的最大值.3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）十字測(cè)天儀廣泛應(yīng)用于歐洲中世紀(jì)晩期的航海領(lǐng)域，主要用于測(cè)量太陽(yáng)等星體的方位，便于船員確定位置．如圖1所示，十字測(cè)天儀由桿和橫檔構(gòu)成，并且是的中點(diǎn)，橫檔與桿垂直并且可在桿上滑動(dòng)．十字測(cè)天儀的使用方法如下：如圖2，手持十字測(cè)天儀，使得眼睛可以從點(diǎn)觀察．滑動(dòng)橫檔使得，在同一水平面上，并且眼睛恰好能觀察到太陽(yáng)，此時(shí)視線恰好經(jīng)過點(diǎn)，的影子恰好是．然后，通過測(cè)量的長(zhǎng)度，可計(jì)算出視線和水平面的夾角（稱為太陽(yáng)高度角），最后通過查閱地圖來確定船員所在的位置．

(1)在某次測(cè)量中，，橫檔的長(zhǎng)度為20，求太陽(yáng)高度角的正弦值．(2)在桿上有兩點(diǎn)，滿足．當(dāng)橫檔的中點(diǎn)位于時(shí)，記太陽(yáng)高度角為，其中，都是銳角．證明：．4．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形ABCD中，，，點(diǎn)B，D在直線AC的兩側(cè)，，．(1)求∠BAC；(2)求與的面積之和的最大值．5．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，.(1)求A；(2)若，求的取值范圍.6．（2023·陜西榆林·三模）已知分別為的內(nèi)角所對(duì)的邊，，且．(1)求；(2)求的取值范圍．參考答案：1．(1)1(2)【分析】利用三角恒等變換整理可得，結(jié)合最小正周期分析求解；以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)最值可得.若選條件①：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)分析求解；若選條件②：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)分析求解；若選條件③：利用面積公式、余弦定理可得，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)分析求解.【詳解】（1）由題意可知：，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，所以.（2）由（1）可知：，因?yàn)?，則，可知當(dāng)，即時(shí)，取到最大值3，即.若條件①：因?yàn)?，由正弦定理可得，又因?yàn)?，可得，且，則，可得，所以，由正弦定理可得，可得，則，因?yàn)殇J角三角形，則，解得，可得，則，可得所以的取值范圍為；若條件②；因?yàn)?，由正弦定理可得：，則，因?yàn)?，則，可得，即，且，所以，由正弦定理可得，可得，則，因?yàn)殇J角三角形，則，解得，可得，則，可得所以的取值范圍為；若選③：因?yàn)椋瑒t，整理得，且，所以，由正弦定理可得，可得，則，因?yàn)殇J角三角形，則，解得，可得，則，可得所以的取值范圍為.2．(1)4；(2).【分析】（1）在三角形中，根據(jù)正弦定理求得，再在三角形中，利用三角形面積公式即可求得結(jié)果；（2）設(shè)，在三角形中分別用正弦定理表示，從而建立關(guān)于的三角函數(shù)，進(jìn)而求三角函數(shù)的最大值，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，的外接圓半徑為4，所以，解得.在中，，則，解得.又，所以；在中，，，，所以.（2）設(shè)，.又，所以.因?yàn)?，所?在中，，由正弦定理得，即，解得.在中，，由正弦定理得，即，解得，所以.又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1，所以的最大值為.3．(1)(2)證明見解析【分析】（1）方法一，根據(jù)三邊長(zhǎng)度，利用余弦定理，求，再求正弦值；方法二，先求，再根據(jù)二倍角公式求；（2）首先由正切公式，求得，再根據(jù)不等關(guān)系，放縮為，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可比較角的大小.【詳解】（1）方法一，由題意，．由于是的中點(diǎn)，且，所以，且．由余弦定理，．從而，即太陽(yáng)高度角的正弦值為．方法二由題意，．由于是的中點(diǎn)，且，所以，且．于是，并且，從而即太陽(yáng)高度角的正弦值為．（2）由題意，，．由于，是銳角，則，，所以，從而．根據(jù)，可知．由于函數(shù)在單調(diào)遞增，且，，所以，即．4．(1)(2)1【分析】（1）在中，利用余弦定理求，結(jié)合勾股定理分析運(yùn)算；（2）設(shè)，利用正弦定理和面積公式用表示面積，結(jié)合三角恒等變換分析運(yùn)算.【詳解】（1）在中，由余弦定理，即，因?yàn)?，所?（2）設(shè)，則，在中，由正弦定理，可得，因?yàn)榈拿娣e，的面積，可得與的面積之和，因?yàn)?，則，可知當(dāng)，即時(shí)，取到最大值1，即與的面積之和的最大值為1.5．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)結(jié)合三角恒等變換分析運(yùn)算；（2）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，再利用三角恒等變換結(jié)合正弦函數(shù)分析運(yùn)算.【詳解】（1）∵，即，由于，則，即，兩邊同乘以可得：，則，且，解得.（2）由題意及正弦定理，得，，則，由（1）可知，且為銳角三角形，則，解得，則，所以，故的取值范圍是.6．(1)(2)【分析】（1）利用向量的數(shù)量積的定義及正弦定理的邊角化即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形的內(nèi)角和定理，利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式及降冪公式，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可解.【詳解】（1），由及正弦定理，得，得，代入得，又因?yàn)椋裕?）由（1）知，所以.所以，因?yàn)?所以，所以，所以，故的取值范圍是.反思提升：解三角形與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下兩方面：(1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)式進(jìn)行解三角形；(2)解三角形與三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，，則（

）A．為銳角三角形 B．為直角三角形C．為鈍角三角形 D．的形狀無(wú)法確定2．（2023·陜西寶雞·二模）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）在中，邊上的高等于，則（

）A． B． C． D．4．（2024·吉林·二模）如圖，位于某海域處的甲船獲悉，在其北偏東方向處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救.甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東，且與甲船相距的處的乙船，已知遇險(xiǎn)漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為（

）A． B．C． D．二、多選題5．（20-21高三上·河北張家口·階段練習(xí)）在中，角、、的對(duì)邊分別是、、．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．，，則的外接圓半徑是4B．若，則C．若，則一定是鈍角三角形D．若，則6．（2023·重慶·三模）如圖，為了測(cè)量障礙物兩側(cè)A，B之間的距離，一定能根據(jù)以下數(shù)據(jù)確定AB長(zhǎng)度的是（

）A．a(chǎn)，b， B．，，C．a(chǎn)，， D．，，b7．（2024·甘肅蘭州·一模）某學(xué)校開展測(cè)量旗桿高度的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，學(xué)生需通過建立模型、實(shí)地測(cè)量，迭代優(yōu)化完成此次活動(dòng)．在以下不同小組設(shè)計(jì)的初步方案中，可計(jì)算出旗桿高度的方案有A．在水平地面上任意尋找兩點(diǎn)，，分別測(cè)量旗桿頂端的仰角，，再測(cè)量，兩點(diǎn)間距離B．在旗桿對(duì)面找到某建筑物（低于旗桿），測(cè)得建筑物的高度為，在該建筑物底部和頂部分別測(cè)得旗桿頂端的仰角和C．在地面上任意尋找一點(diǎn)，測(cè)量旗桿頂端的仰角，再測(cè)量到旗桿底部的距離D．在旗桿的正前方處測(cè)得旗桿頂端的仰角，正對(duì)旗桿前行5m到達(dá)處，再次測(cè)量旗桿頂端的仰角三、填空題8．（15-16高三下·河南·階段練習(xí)）如圖所示，在一個(gè)坡度一定的山坡的頂上有一高度為的建筑物，為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角，在山坡的處測(cè)得，沿山坡前進(jìn)到達(dá)處，又測(cè)得，根據(jù)以上數(shù)據(jù)得．9．（21-22高二上·河南·期末）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，其中，，則S的最大值為．10．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）割圓術(shù)是估算圓周率的科學(xué)方法，由三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立，他用圓內(nèi)接正多邊形面積無(wú)限逼近圓面積，從而得出圓周率為3.1416，在半徑為1的圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為．四、解答題11．（2024·安徽淮北·二模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知(1)試判斷的形狀；(2)若，求周長(zhǎng)的最大值.12．（21-22高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD中，BC⊥CD，AC=，AD=1，∠CAD=30°．(1)求∠ACD；(2)若△ABC為銳角三角形，求BC的取值范圍．參考答案：1．C【分析】根據(jù)余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.【詳解】由于,故為鈍角，進(jìn)而三角形為鈍角三角形故選：C2．C【分析】確定角范圍后，由正弦定理表示出，再利用三角函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】因?yàn)槭卿J角三角形，所以，，所以，，由正弦定理得，所以．故選：C．3．B【分析】根據(jù)三角函數(shù)，結(jié)合圖形，即可求解.【詳解】如圖，邊上的高為，，且，所以，則，則，，所以，則.故選：B4．B【分析】由圖可知，由正弦定理即可求出BC的值.【詳解】由題意知，，由正弦定理得，所以.故乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為.故選：B.5．BC【解析】根據(jù)正弦定理可求出外接圓半徑判斷A，由條件及正弦定理可求出，可判斷B,由余弦定理可判斷C，取特殊角可判斷D.【詳解】由正弦定理知，所以外接圓半徑是2，故A錯(cuò)誤；由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正確；因?yàn)椋訡為鈍角，一定是鈍角三角形，故C正確；若，顯然，故D錯(cuò)誤.故選：BC6．ACD【分析】由三角形全等的條件或者正、余弦定理即可判定.【詳解】法一、根據(jù)三角形全等的條件可以確定A、C、D三項(xiàng)正確，它們都可以唯一確定三角形；法二、對(duì)于A項(xiàng)，由余弦定理可知，可求得，即A正確；對(duì)于B項(xiàng)，知三個(gè)內(nèi)角，此時(shí)三角形大小不唯一，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由正弦定理可知，即C正確；對(duì)于D項(xiàng)，同上由正弦定理得，即D正確；故選：ACD.7．BCD【分析】根據(jù)各選項(xiàng)的描述，結(jié)合正余定理的邊角關(guān)系判斷所測(cè)數(shù)據(jù)是否可以確定旗桿高度即可.【詳解】對(duì)于A：如果，兩點(diǎn)與旗桿底部不在一條直線上時(shí)，就不能測(cè)量出旗桿的高度，故A不正確．對(duì)于B：如下圖，中由正弦定理求，則旗桿的高，故B正確；對(duì)于C：在直角三角形直接利用銳角三角函數(shù)求出旗桿的高，故C正確；對(duì)于D：如下圖，中由正弦定理求，則旗桿的高，故D正確；故選：BCD.8．【分析】根據(jù)題意，得到，由正弦定理計(jì)算，求出，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】∵，，∴，在中，由正弦定理有，即，即，在中，由正弦定理有，即，所以，因此.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，熟記正弦定理即可，屬于常考題型.9．【分析】應(yīng)用余弦定理有，再由三角形內(nèi)角性質(zhì)及同角三角函數(shù)平方關(guān)系求，根據(jù)基本不等式求得，注意等號(hào)成立條件，最后利用三角形面積公式求S的最大值.【詳解】由余弦定理知：，而，所以，而，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：10．【分析】求出圓內(nèi)接正十二邊形的面積和圓的面積，再用幾何概型公式求出即可．【詳解】半徑為1的圓內(nèi)接正十二邊形，可分割為12個(gè)頂角為，腰為1的等腰三角形，∴該正十二邊形的面積為，根據(jù)幾何概型公式，該點(diǎn)取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為，故答案為：．11．(1)是直角三角形(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求得，利用余弦定理列出方程，得到，即可求解；（2）由（1）和，得到，則周長(zhǎng)為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：由，可得，所以，即，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以是直角三角形（2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得，所以周長(zhǎng)為，因?yàn)?，可得，所以，?dāng)時(shí)，即為等腰直角三角形，周長(zhǎng)有最大值為.12．(1)(2)【分析】（1）在中，由余弦定理求得，根據(jù)，得到，即可求解；（2）在中，由正弦定理求得，根據(jù)為銳角三角形，求得，得到，進(jìn)而求得的取值范圍．【詳解】（1）解：在中，由余弦定理得：，所以，又因?yàn)?，所以．?）解：由，且，可得，在中，由正弦定理得，所以，

因?yàn)闉殇J角三角形，，，所以，可得，則，所以，所以，所以的取值范圍為．【能力篇】一、單選題1．（2024·江西南昌·三模）如圖，在扇形OAB中，半徑，，C在半徑OB上，D在半徑OA上，E是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則平行四邊形BCDE的周長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2022·重慶·三模）在矩形中，，，E，F(xiàn)分別在邊AD，DC上（不包含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，且滿足，則的面積可以是（

）A．2 B． C．3 D．4三、填空題3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且，則的面積S的取值范圍為．四、解答題4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知平面四邊形中，．(1)若四點(diǎn)共圓，求；(2)求四邊形面積的最大值．參考答案：1．A【分析】由于點(diǎn)E在弧上運(yùn)動(dòng)，引入恰當(dāng)?shù)淖兞浚瑥亩磉_(dá)，再利用正弦定理來表示邊，來求得周長(zhǎng)關(guān)于角的函數(shù)，然后求出取值范圍；也可以建立以圓心為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，同樣設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，用坐標(biāo)法求出距離，然后同樣把周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的函數(shù)，進(jìn)而求出取值范圍.【詳解】（法一）如圖，連接設(shè)，則，，故．在中，由正弦定理可得，則．在中，由正弦定理可得，則．平行四邊形的周長(zhǎng)為．因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，則，即平行四邊形BCDE的周長(zhǎng)的取值范圍是．（法二）以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，從而，，，，故平行四邊形的周長(zhǎng)為．因?yàn)椋?，所以，則，即平行四邊形的周長(zhǎng)的取值范圍是．故選：A.2．BC【分析】以為原點(diǎn)，所在的直線為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用勾股定理可得，，，再利用由余弦定理和基本不等式得，從而求出的范圍，由可得，再根據(jù)選項(xiàng)可得答案.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)?，，，所以，，，由余弦定理得得，可得，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，即，解得，或，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，，而，，，，故選：BC.3．【分析】利用正弦定理解三角形，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求三角形的面積的取值范圍.【詳解】由題意及正弦定理，得．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以，由正弦定理，得，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以解得，所以，所以，從而．4．(1)(2)．【分析】（1）由于四點(diǎn)共圓，所以，因此，然后在兩個(gè)三