8.6.1直線與直線垂直

文字語言圖形語言符號(hào)語言α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b平行平面與平面平行的性質(zhì)定理兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，它們的交線_____a∥b空間直線的位置關(guān)系共面位置關(guān)系異面相交平行——同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn)——同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)—不能同在任何同一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)

異面直線無法放在任何一個(gè)平面內(nèi).一.異面直線的定義【定義】不同在任何同一平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.【判定定理】已知直線l與平面相交于點(diǎn)A，直線m在平面上且

不經(jīng)過點(diǎn)A，求證：直線l與m是異面直線

常用反證法證明兩條直線是異面直線.二.異面直線的判定兩條異面直線不相交,哪來的“角”?如何規(guī)定兩條異面直線所成的“角”?三.異面直線所成的角三.異面直線所成的角abob’a’一、異面直線所成的角600一、異面直線所成的角例2

如圖，在正方體ABCD－EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心，

求：(1)BE與CG所成的角；(2)FO與BD所成的角.一、異面直線所成的角解(1)∵CG∥FB，∴∠EBF是異面直線BE與CG所成的角.

在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°，∴BE與CG所成的角為45°.例2

如圖，在正方體ABCD－EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心，

求：(1)BE與CG所成的角；(2)FO與BD所成的角.一、異面直線所成的角解(2)如圖，連接FH，∵FB∥AE且FB∥AE，AE∥HD，AE＝HD，∴FB＝HD，F(xiàn)B∥HD，∴四邊形FBDH是平行四邊形，∴BD∥FH，∴∠HFO或其補(bǔ)角是FO與BD所成的角，連接HA，AF，則△AFH是等邊三角形，又O是AH的中點(diǎn)，∴∠HFO＝30°，∴FO與BD所成的角為30°.【悟】求兩異面直線所成角的三個(gè)步驟(1)作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角.(2)證：證明作出的角就是要求的角.(3)計(jì)算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二證三計(jì)算”來概括.同時(shí)注意異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°.一、異面直線所成的角【練1】在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成的角為30，

E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成角的大小.解如圖所示，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，由AB＝CD知EG＝FG，從而可知∠GEF為EF與AB所成的角，∠EGF或其補(bǔ)角為AB與CD所成的角.∵AB與CD所成的角為300，∴∠EGF＝300或150°，由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當(dāng)∠EGF＝30°時(shí)，∠GEF＝75°；當(dāng)∠EGF＝150°時(shí)，∠GEF＝150，故EF與AB所成角的大小為150或75°.一、異面直線所成的角二、直線與直線垂直例3

如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，CD1與DC1相交于點(diǎn)O，

求證：AO⊥A1B.證明

∵ABCD－A1B1C1D1是正方體，∴A1D1//BC，

A1D1=BC∴四邊形A1D1CB是平行四邊形，∴A1B∥D1C，∴直線AO與A1B所成角即為直線AO與D1C所成角，如圖，連接AC，AD1，易證AC＝AD1，又O為CD1的中點(diǎn)，∴AO⊥D1C，∴AO⊥A1B.要證兩異面直線垂直，構(gòu)造兩異面直線所成的角.證明這個(gè)角是直角，即得兩直線垂直.【練2】如圖,在正三棱柱ABC－A′B′C′中,E為棱AC的中點(diǎn),AB＝BB＝2.

求證：BE⊥AC′.二、直線與直線垂直證明如圖，取CC′的中點(diǎn)F，連接EF，BF，∵E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC′的中點(diǎn)，∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角為∠BEF，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.F1.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且異面的

直線有

（）A.1條

B.2條

C.3條

D.4條√解

和AC垂直且異面的直線有A1B1和BB1，故選B.三、課堂練習(xí)三、課堂練習(xí)2.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是

DD1，AB，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與GF所成的角是A.90°B.60°C.45°D.30°解

如圖，連接B1G，B1F2＝B1G2＋FG2.∴∠FGB1＝90°，即異面直線A1E與GF所成的角為90°.∵A1E∥B1G，∴∠FGB1為異面直線A1E與GF所成的角或其補(bǔ)角.連接FB1，√三、課堂練習(xí)3.如圖所示，在等邊三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊中點(diǎn)，G，H，I，J分別為

AF，AD，BE，DE的中點(diǎn).將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐后，GH與IJ所成角

的度數(shù)為

（）A.90°

B.60°C.45°D.0°解

將三角形折成三棱錐，如圖所示，GH與IJ為異面直線，

三棱錐A－DEF中,IJ∥AD,GH∥DF,

所以∠ADF即為所求，

因此GH與IJ所成角為60°.√三、課堂練習(xí)4.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的

正切值為()解

如圖，連接BE，∵AB∥CD，∴AB2＋BE2＝AE2，∴AB⊥BE，∴異面直線AE與CD所成的角等于相交直線AE與AB所成的角，∠EAB(或其補(bǔ)角).不妨設(shè)正方體的棱長為2，則CE＝1，BC＝2，√三、課堂練習(xí)5.如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，AD的中點(diǎn)，∠GEF＝120，

則BD與AC所成角的度數(shù)為______.解

依題意知，EG∥BD，EF∥AC，

所以∠GEF或其補(bǔ)角即為異面直線AC與BD所成的角，

又∠GEF＝120°，

所以異面直線BD與AC所成的角為60°.三、課堂練習(xí)6.在如圖所示的正方體中，M，N分別為棱BC和CC1的中點(diǎn)，則異面直線AC和MN

所成的角為__

.解

如圖所示，連接BC1，AD1，∵M(jìn)N∥BC1∥AD1，∴∠D1AC或其補(bǔ)角是異面直線AC和MN所成的角，連接CD1.∵△ACD1是等邊三角形，∴∠D1AC＝60°.即異面直線AC和MN所成的角為60°.60°三、課堂練習(xí)7.如圖所示，圓錐的底面直徑AB＝4，高OC＝

，D為底面圓周上的一點(diǎn)，

且∠AOD＝120°，則直線AD與BC所成的角為______.解

如圖，延長DO交底面圓于點(diǎn)E，連接BE，CE，E由AB，DE均為圓的直徑知AD∥BE，且AD＝BE,所以∠CBE即為異面直線AD與BC所成的角或其補(bǔ)角.所以∠CBE＝60°.60°三、課堂練習(xí)8.如圖，空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，

并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN＝_____.解

如圖，取AD的中點(diǎn)P，連接PM，PN，∴∠MPN＝90°，∴MN＝5.P則BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN或其補(bǔ)角即為異面直線AC與BD所成的角，三、課堂練習(xí)9.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F(xiàn)分別是BD1和AD的中點(diǎn).

求證：CD1⊥EF.證:如圖，取CD1的中點(diǎn)G，連接EG，DG.∵F是AD的中點(diǎn)，且AD∥BC，AD＝BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∵E是BD1的中點(diǎn)，G∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其補(bǔ)角)是異面直線CD1與EF所成的角.∴四邊形EFDG是平行四邊形，又∵A1A＝AB，∴四邊形ABB1A1，四邊形CDD1C1都是正方形，又G為CD1的中點(diǎn)，∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，∴異面直線CD1與EF所成的角為90°，∴CD1⊥EF.三、課堂練習(xí)10.在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,且AB＝

，∠ABC＝1200

若A1B⊥AD1，求AA1的長.解如圖所示，連接CD1，AC.∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥CD1，∴∠AD1C(或其補(bǔ)角)為異面直線A1B和AD1所成的角，