遼寧省沈陽市2024-2025學年高三數學上學期一模考試試題含解析

遼寧省沈陽市2024-2025學年高三數學上學期一?？荚囋囶}第I卷（選擇題）一、單選題1.若集合，且滿意，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡集合，由，可得出集合滿意的條件，即可求解.【詳解】由題意得，，由，可得，所以.故選：B.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得，再結合已知可求得，利用同角三角函數的基本關系即可求解.詳解】，，，，解得，，.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查三角函數的化簡問題，解題的關鍵是利用二倍角公式化簡求出.3.函數的部分圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據圖像求出解析式即可獲解.詳解】∵，，則.又∵，，則，∴∴.故選：C4.已知，，，則它們之間的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用當時，得，而，，從而得到，，三者的大小關系【詳解】設，，則所以在上單調遞減，所以所以當時，即，，，所以，故選：A．5.已知函數，若正實數滿意，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數，知是奇函數，又因為正實數，滿意，所以，利用基本不等式求得結果．詳解】解：由函數，設，知，所以是奇函數，則，又因為正實數，滿意，，所以，，當且僅當，時取到等號．故選：C．【點睛】本題考查了函數的奇偶性，基本不等式應用，屬于簡潔題．6.已知數列滿意，則（）A.50 B.75 C.100 D.150【答案】A【解析】【分析】由已知得，，兩式相減得，由此代入可求得答案.【詳解】解：∵，∴，.兩式相減得.則，，…，，∴，故選：A.7.已知圓的半徑為3，是圓的一條直徑，為圓上動點，且，點在線段上，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意，，結合向量數量積的性質，綻開即可求解．【詳解】解：由題意得，，，，，當時，取最小值，此時．故的最小值為．故選：B.【點睛】關鍵點點睛：由，所以取最小值時，取得最小值，分析知當時，是本題解題的關鍵.8.設函數在上的導函數為，若，，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，依據因為，得到，得出函數為上的單調遞增函數，由題設條件，令，求得，把不等式轉化為，結合單調性，即可求解.【詳解】令，可得，因為，可得，所以，所以函數為上的單調遞增函數，由不等式，可得，所以，即因為，令，可得，又因為，可得，所以所以不等式等價于，由函數為上的單調遞增函數，所以，即不等式的解集為.故選：A.二、多選題9.（多選）已知，，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】已知式平方求得，從而可確定的范圍，然后求得，再與已知結合求得，由商數關系得，從而可推斷各選項．【詳解】因為①，所以，所以．又，所以，所以，即，故A正確．，所以②，故D正確．由①②，得，，故B正確．，故C錯誤．故選：ABD．10.已知點P是的中線BD上一點（不包含端點）且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】可以證明.所以選項A正確，選項B錯誤；利用基本不等式證明選項C正確；利用基本不等式和對數函數的運算和性質證明選項D錯誤.【詳解】解：因為，所以,又三點共線，所以.所以選項A正確，選項B錯誤；，所以（當且僅當時等號成立），所以選項C正確；因為，（當且僅當時等號成立）所以，所以選項D錯誤.故選：AC11.設正數列的前n項和為，滿意，則下列說法不正確的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】依據遞推關系先求出公式，再求出的通項公式，再逐項推斷即可.【詳解】依題意，解得，，并且，，代入遞推公式得：，化簡得：，是首項為1，公差為1的等差數列，，，當n=1時，也成立，，，，經檢驗n=1時，也成立，；對于A，，故A正確，B錯誤；對于C，，故C正確，D錯誤；故選：BD.12.已知函數f(x)是定義在(-∞，0)∪(0，+∞)上的偶函數，當x>0時，.下說法正確的是（）A.當2<x≤4時，B.C.存在x0∈(-∞，0)∪(0，+∞)，使得f(x0)=2D.函數g(x)=4f(x)-1的零點個數為10【答案】AD【解析】【分析】A.首先設，，代入后求函數的解析式；B.取特別值，推斷；CD選項，都可以依據圖象推斷選項.【詳解】A.當時，，，故A正確；B.當時，，故B不正確；C.如圖，畫出函數在的圖象，函數的最大值是1，所以不存在，使，故C不正確；D.，因為函數是偶函數，所以要推斷在的零點個數，只需推斷的零點個數，依據函數圖象，函數在的零點個數，有5個，故在的零點個數是10個，故D正確.故選：AD【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是依據分段函數，求函數的解析式，以及函數零點問題，重點是理解函數的解析式，并畫出函數的圖象，并能依據條件求等區(qū)間段的解析式.第II卷（非選擇題）三、填空題13.復數的共軛復數虛部是___________.【答案】1【解析】【分析】首先依據復數代數形式的除法法則化簡復數，再得到其共軛復數，從而推斷其虛部；【詳解】解：，所以復數共軛復數為，其虛部為；故答案為：14.等差數列中的，是函數的極值點，則______.【答案】##-0.5【解析】【分析】先由題意求出，利用等差中項求出和對數的運算法則，即可求解.【詳解】函數的定義域為R，導函數函數.因為，是函數的極值點，所以，是方程的兩根，所以.因為為等差數列，所以，所以.故答案為：15.如圖，在四邊形中，．若是的角平分線，則的長為_____．【答案】5．【解析】【分析】在△ABC中依據余弦定理求得BC，正弦定理求得角B，然后依據題目條件中的角的關系，△ACD中利用正弦定理求得DC.【詳解】解：中，，由余弦定理得，所以，又，由正弦定理得，所以，又，中，，由正弦定理得，所以，即的長為5．故答案為：5．【點睛】關鍵點點睛：利用正弦定理，余弦定理解得三角形的未知邊和角.16.已知函數與的圖象有三個不同的公共點，其中是自然對數的底數，則實數的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】將函數與有有三個不同的公共點等價為，再利用換元法結合導數轉化為二次函數的性質即可求解.【詳解】解：由題知，與的圖象有三個不同的公共點即方程有三個解，且將方程化簡得：令，且則所以令得：所以在上單調遞增，在單調遞減所以當時，，當時，所以方程的一個根，另一個根或或當時，方程無意義當時，，，不符合題意則，令則，即解得：所以實數的取值范圍是：【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是先利用導數求極值，再依據一元二次方程根與系數的關系建立不等式進行求解.四、解答題17.已知數列滿意：，且．（1）求證：是等差數列，并求的通項公式；（2）是否存在正整數m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析，（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）依據題意整理得，即是等差數列，依據等差數列求通項公式；（2）把（1）中的通項公式代入求解，留意m應為正整數．【小問1詳解】由，得，∴又，∴數列是以1為首項，為公差的等差數列∴∴【小問2詳解】∵，∴則，解得，不符合題意∴不存在正整數，使得.18.在中，角的對邊分別是，，，如圖所示，點在線段上，滿意.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結合誘導公式和二倍角公式可求得，進而得到；（2）在中利用余弦定理可求得，從而求得，由平面對量數量積的定義可計算求得結果.【詳解】（1）由正弦定理得：，，，又，，，，，，，解得：.（2），，為等邊三角形，設，則，在中，由余弦定理得：，解得：，，，.【點睛】關鍵點點睛：本題其次問考查平面幾何中的平面對量數量積的求解問題，解題關鍵是能夠敏捷應用余弦定理求得三角形的邊長，進而依據邊長求得所求向量夾角的余弦值.19.已知函數的部分圖象如圖所示，在條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知.條件①：；條件②：；條件③：.注：假如選擇多個條件組合分別解答，則按第一個解答計分.（1）求函數的解析式；（2）設函數，若在區(qū)間上單調遞減，求m的最大值.【答案】（1）條件選擇見解析，（2）【解析】【分析】（1）由的值或關系，即可得出，從而求出，再依據零點，即可求出，由圖像即可求出.（2）依據正弦函數的單調遞減區(qū)間，即可求出的單調遞減區(qū)間.【小問1詳解】選條件①②：因為，所以，即，則.由圖可知，則.因為，，所以，即.因為，所以，所以選條件①③：因為，所以，即，則.由題意可知，則.因為，所以，即.因為，所以.所以.選條件②③：因為，所以，即，則.由題意可知，則.因為，，所以，即.因為，所以，所以.【小問2詳解】.由，得.因為函數在區(qū)間上單調遞減，且，此時.所以，所以m的最大值是.20.已知數列單調遞增，其前n項和為，且，．（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和為．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先利用退位相減法得到，再結合等差數列的定義及通項求解即可；（2）先得到，再利用錯位相減法求出，即可求解.【小問1詳解】因為，所以當時，，所以當時，整理得，因為數列單調遞增，且，所以當時，，，所以當時，，即所以數列是以2為首項，2為公差的等差數列．所以．【小問2詳解】，所以設，則，所以所以所以．21.已知函數，且.（1）探討函數的單調性；（2）當時，試推斷函數的零點個數.【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.【解析】【詳解】試題分析：（1）求出導函數，依據導函數的符號的到函數的單調性；（2）將問題轉化為求方程根的個數的問題處理，分別參數后轉化為推斷和函數的圖象的公共點的個數的問題．通過分析函數的單調性得到圖象的大致形態(tài)即可．試題解析：（1）函數的定義域為,∵,∴①當時，恒成立，所以函數在上單調遞增；②當時，則當時，，單調遞減，當時，，單調遞增．綜上所述，當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減．（2）由題意知，函數的零點個數即方程的根的個數．令，則由（1）知當時，在遞減，在上遞增，∴.∴在上恒成立.∴，∴在上單調遞增.∴，.所以當或時，函數沒有零點；當時函數有一個零點.點睛：探討方程根的個數（函數零點的個數、兩函數圖象公共點的個數）時，可以通過導數探討函數的單調性、最大值、最小值、改變趨勢等，并依據題目要求，畫出函數圖象的大致圖象，通過數形結合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個清楚、直觀的整體呈現．22.已知函數.（1）若，求函數在處的切線方程；（2）探討極值點的個數；（3）若是的一個微小值點，且，證明：.【答案】（1）（2）當時，無極值點；當時，有一個極值點（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導得到，，，得到切線方程.（2）求導得到，探討和兩種狀況，時必存在，使，計算單調區(qū)間得到極值點個數.（3），即，代入得到，設，確定函數單調遞減得到，令，確定單調性得到答案.【詳解】（1）當時，，，