高中數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)

■■■SUNNY

三力散育

高中數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義

①集合，函數(shù)，數(shù)列

2012

目錄

目錄.............................................................................0

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯一一集合的概念...........................................2

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯——集合的運(yùn)算...........................................4

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯一一含絕對(duì)值的不等式的解法...............................6

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯------元二次不等式的解法.................................9

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯一一簡(jiǎn)易邏輯.............................................11

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯——充要條件..............................................14

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯一一數(shù)學(xué)鞏固練習(xí)........................................17

第二章函數(shù)一一函數(shù)的概念.....................................................22

第二章函數(shù)一一函數(shù)的解析式及定義域..........................................24

第二章函數(shù)一一函數(shù)的值域.....................................................28

第二章函數(shù)一一函數(shù)的奇偶性...................................................31

第二章函數(shù)一一函數(shù)的單調(diào)性...................................................34

第二章函數(shù)一一反函數(shù).........................................................37

第二章函數(shù)一一二次函數(shù).......................................................40

第二章函數(shù)一一指數(shù)式與對(duì)數(shù)式.................................................43

第二章函數(shù)一一指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)............................................45

第二章函數(shù)一一函數(shù)的圖象.....................................................47

第二章函數(shù)一一函數(shù)的最值.....................................................51

第二章函數(shù)一一函數(shù)的應(yīng)用.....................................................53

第二章函數(shù)一一數(shù)學(xué)鞏固練習(xí)...................................................56

第三章數(shù)列一一數(shù)列的有關(guān)概念.................................................60

第三章數(shù)列一一等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算..................................62

第三章數(shù)列一一等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用................................64

第三章數(shù)列一一數(shù)列求和.......................................................67

第三章數(shù)列一一數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用.................................................70

第三章數(shù)列一一數(shù)學(xué)鞏固練習(xí)...................................................73

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯一一集合的概念

(一)主要知識(shí)：

1.集合、子集、空集的概念；

2.集合中元素的3個(gè)性質(zhì)，集合的3種表示方法；

3.若有限集A有〃個(gè)元素，則A的子集有2"個(gè)，真子集有2"-1,非空子集有2"-1

個(gè)，非空真子集有2"-2個(gè).

(二)主要方法：

1.解決集合問題，首先要弄清楚集合中的元素是什么；

2.弄清集合中元素的本質(zhì)屬性，能化簡(jiǎn)的要化簡(jiǎn)；

3.抓住集合中元素的3個(gè)性質(zhì)，對(duì)互異性要注意檢驗(yàn)；

4.正確進(jìn)行“集合語言”和普通“數(shù)學(xué)語言”的相互轉(zhuǎn)化.

(三)例題分析：

例1.已知集合P={y=￡+1},Q={y|y=d+I},E={x|y=/+1},

F={(x,y)|y=x2+1},G={x|x>l},則(D)

(A)P=F(B)Q=E(C)E=F(O)Q=G

解法要點(diǎn)：弄清集合中的元素是什么，能化簡(jiǎn)的集合要化簡(jiǎn).

例2.設(shè)集合P={x-y,x+y,孫},0+憶尤2_丫2,。},若p=Q,求的值及

集合P、

解：?.?P=。且。6。，：.QeP.

⑴若x+y=O或x-y=O,則/-9=0,從而Q={/+,2,0,。},與集合中元

素的互異性矛盾，二且x-ywO；

(2)若孫=0,則x=0或y=0.

當(dāng)y=0時(shí)，P={x,x,0},與集合中元素的互異性矛盾，.?.yHO；

當(dāng)x=0時(shí)，p={_y,y,()},Q={y2-y\O},

-

，2

y①或y_y②

由P=Q得一

yywO

由①得丁=一1，由②得y=l.

?”號(hào)Qi或止匕時(shí)P=Q={i,-LO}.

b1b1

例3.設(shè)集合M={x|x=/+z，ZeZ},N=[x\x=^+-,keZ},則(B)

(A)M=N(B)M^N(C)M衛(wèi)N

解法一：通分；

解法二：從！開始，在數(shù)軸上表示.

4

例4.若集合4=k|》2+辦+1=(),%6尺},集合8={1,2},且AqB,求實(shí)數(shù)。的

取值范圍.

解：(1)若A=。，則△=。2一4<0,解得-2<。<2；

(2)若IGA,則/+a+l=O,解得。=一2,此時(shí)A={1},適合題意；

(3)若2eA,則22+2a+l=0,解得°=_|,此時(shí)A={2,|},不合題意；

綜上所述，實(shí)數(shù)加的取值范圍為[-2,2).

例5.設(shè)/(x)=x?+px+q,A={x|x=/(x)},B={%|/[/(%)]=x}>

(1)求證：A^B；

(2)如果A={—1,3},求8.

(四)鞏固練習(xí)：

1.已知M={x|2站一5》一3=0},N={x\mx=1},若NJM,則適合條件的實(shí)

數(shù)M的集合P為{0,-2,白；P的子集有&_個(gè)；P的非空真子集有上個(gè).

2.已知：f(x)=x2+ax+b,A={x\f(x)=2x}={2},則實(shí)數(shù)a、b的值分別為

-2,4.

3.調(diào)查100名攜帶藥品出國(guó)的旅游者，其中75人帶有感冒藥，80人帶有胃藥,

那么既帶感冒藥又帶胃藥的人數(shù)的最大值為75,最小值為55.

3I

4.設(shè)數(shù)集”={x|m+N={x|〃——<x<n},且M、N都是集合

43

{xIOWxWl}的子集，如果把。-a叫做集合{x|aWxW耳的“長(zhǎng)度”，那么集MflN

的長(zhǎng)度的最小值是

12

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯一一集合的運(yùn)算

(一)主要知識(shí)：

1.交集、并集、全集、補(bǔ)集的概念；

2.AflBMoAC，AUB=AOA3B；

3.C“AnCUUB),CuAUQB=Co(AnB).

(二)主要方法：

1.求交集、并集、補(bǔ)集，要充分發(fā)揮數(shù)軸或文氏圖的作用；

2.含參數(shù)的問題，要有討論的意識(shí)，分類討論時(shí)要防止在空集上出問題；

3.集合的化簡(jiǎn)是實(shí)施運(yùn)算的前提，等價(jià)轉(zhuǎn)化常是順利解題的關(guān)鍵.

(三)例題分析：

例1.設(shè)全集U={x[0<x<10,xeN*},若Ap|6={3}，40。*={1，5,7}，

CUAQCUB={9},則A={1,3,5,7},3={2,3,4,6,8}.

解法要點(diǎn)：利用文氏圖.

例2.已知集合A={x|+3/+2》>o},5=+ax+b<0^,若

An5={-v|0<x<2},AU6={x[x>-2},求實(shí)數(shù)a、8的值.

解：由J?+3/+2x>0得x(x+l)(x+2)>0,—2<x<—1或x>0,

...A=(—2,—l)U(0,叱)，XVAn^={x|0<x<2},且AU6={x|x>—2},

和2是方程爐+辦+b=0的根,

由韋達(dá)定理得:「廣寧”，.,.仁=；

說明：區(qū)間的交、并、補(bǔ)問題，要重視數(shù)軸的運(yùn)用.

例3.已知集合4={(乂刈犬—2y=0},B={(x,y)|2二=0},則4口8=。；

x-2-

AU6={(x,y)|(x-2y)(y-l)=0}；.

解法要點(diǎn)：作圖.

注意:化簡(jiǎn)8={(x,y)|y=l,x#2},(2,1)eA.

例4.已知集合

A={,I丁_(/+a+l)y+q(/+1)>0},5==—x2—x+—,0<x<3},

若Ans=。，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

例5.已知集合

A={(x,y)|d+儂_y+2=0,xe/?},B={(x,^)|x—y+l=0,0<x<2)?

若AABN。，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

分析：本題的幾何背景是：拋物線y=x2+mx+2與線段y=x+l(0〈x?2)有公共

點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

解法一：由產(chǎn)+〃優(yōu)?+2=0得/+(僧_1口+1=0①

(x-y+1=0

?.?An870,.?.方程①在區(qū)間［0,2］上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解，

首先，由△=(/”—1)2-420,解得：加23或加W—1.

設(shè)方程①的兩個(gè)根為國(guó)、々，

(1)當(dāng)加23時(shí)，由西+w=-(m-l)<0及％-工2=1知否、々都是負(fù)數(shù)，不合題意;

(2)當(dāng)機(jī)(一1時(shí)，由玉+馬=一(加一1)>0及N=1>。知*、4是互為倒數(shù)的

兩個(gè)正數(shù)，

故七、&必有一個(gè)在區(qū)間［。，1］內(nèi)，從而知方程①在區(qū)間［0,2］上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)

解，

綜上所述，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(-00,-1］.

解法二：?jiǎn)栴}等價(jià)于方程組卜=丁7加+2在［0,2］上有解，

ly=x+l

即丁+(加-1)%+1=0在［0,2］上有解，

令f(x)=x2+(zn-l)x+l,則由/(0)=1知拋物線y=/(%)過點(diǎn)(0,1),

，拋物線y=/（x）在［0,2］上與x軸有交點(diǎn)等價(jià)于/（2）=22+2（/n-l）+l<0①

A=（m-l）2-4>0

或Jo<^^<2②

2

/（2）=22+2（777-1）+1>0

aa

由①得一一，由②得一一<加<1,

22

,實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（-00,-1］.

（四）鞏固練習(xí)：

1.設(shè)全集為U,在下列條件中，是8GA的充要條件的有（D）

①AUB=A,②GjAns="，③C“AQG/,④AUG/B=U，

（A）l個(gè)（8）2個(gè)（C）3個(gè)（0）4個(gè)

2.集合A=｛（x,y）|y=a|x|｝,3=｛（x,y）|y=x+。｝,若AflB為單元素集,實(shí)數(shù)

。的取值范圍為.

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯一一含絕對(duì)值的不等式的解法

（一）主要知識(shí)：

1.絕對(duì)值的幾何意義：|x|是指數(shù)軸上點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離；|%-馬|是指數(shù)軸上

%,超兩點(diǎn)間的距離

2.當(dāng)c>0時(shí)，\ax+b\>cc^ax+b>c^ax+b<—c,

\ax+h\<cd>—c<ax+h<c；

當(dāng)c<0時(shí)，|at+/?|>c<=>%€R,\ax+b\<cx&（/）.

（二）主要方法：

1.解含絕對(duì)值的不等式的基本思想是去掉絕對(duì)值符號(hào)，將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元一

次（二次）不等式（組）進(jìn)行求解；

2.去掉絕對(duì)值的主要方法有：

(1)公式法：|x|<a(a>0)=—a<x<a,|x|>a(a>0)ox>a或x<—a.

(2)定義法：零點(diǎn)分段法；

(3)平方法：不等式兩邊都是非負(fù)時(shí)，兩邊同時(shí)平方.

(三)例題分析：

例1.解下列不等式：

(1)4<|2x-3|<7；(2)|%-2|<|x+l|；(3)|2x+l|+|x-2|>4.

解：(1)原不等式可化為4<2x-3W7或-7?2x-3<T,.?.原不等式解集為

]7

22

(2)原不等式可化為(x-2)2<(x+l)2,即尤〉L.?.原不等式解集為4,+00).

22

(3)當(dāng)—時(shí)，原不等式可化為—2x—1+2—%>4,?*.x<—1>此時(shí)xv—1；

2

當(dāng)一，<工<2口寸，原不等式可化為2x+l+2—x>4,x>1,止匕時(shí)lvxv2；

2

當(dāng)工22時(shí)，原不等式可化為2x+l+x—2>4,/.%>-,止匕時(shí)x22.

3

綜上可得：原不等式的解集為(-oo,-l)U(l,”).

例2.(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,|九+1|+|九-2|>〃恒成立，則。的取值范圍是(-8,3)；

(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)%,|%-1|-|工+3|<〃恒成立，則。的取值范圍是(4,+8).

解：(1)可由絕對(duì)值的幾何意義或y=|x+l|+|九-2|的圖象或者絕對(duì)值不等式的

性質(zhì)|x+l|+|%—2|=|x+l|+|2—x|>|x+1+2—x|=3得|x+11+|x—2|23,/.a<3；

(2)與(1)同理可得|x—1|—|x+3區(qū)4,/.?>4.

例3.設(shè)。解關(guān)于x的不等式：|以一2|2".

解：原不等式可化為ax-2>bx或ax-2<-bx,即(。-6)x22①或

?2

(。+力)九W2nxM---②，

a+b

當(dāng)。>人>0時(shí)，由①得xN上,J此時(shí)，原不等式解為：x>—^x<^—；

a-ha-ba+h

2

當(dāng)Q=〃>0時(shí)，由①得???此時(shí)，原不等式解為：%<—;

a+b

當(dāng)Ova<力時(shí)，由①得x4一,??.此時(shí)，原不等式解為：x<—.

a-ha+b

77

綜上可得，當(dāng)。>人>0時(shí)，原不等式解集為（-O0,上］U［」~,+8），

a+ba-b

2

當(dāng)Ova時(shí)，原不等式解集為（—8,」］.

a+b

例4.已知A={x||2x—3|<a},8={x||x區(qū)10},且人呈8，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解：當(dāng)時(shí)，A=。，此時(shí)滿足題意;

當(dāng)時(shí)，

a>0|21—31<an---<x<"",V

22

3—ci

>-10

=>6(<17,

3+a

r<10

綜上可得，。的取值范圍為（-oo』7］.

例5.在一條公路上，每隔100初7有個(gè)倉庫（如下圖），共有5個(gè)倉庫.一號(hào)倉

庫存有10/貨物，二號(hào)倉庫存20r,五號(hào)倉庫存40,其余兩個(gè)倉庫是空的.現(xiàn)在

想把所有的貨物放在一個(gè)倉庫里，如果每噸貨物運(yùn)輸U(kuò)m需要0.5元運(yùn)輸費(fèi)，那

么最少要多少運(yùn)費(fèi)才行？

一~二~三~四~一

解：以一號(hào)倉庫為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸，

則五個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)分別為A五&：100,4:200,4：300,A:400,

設(shè)貨物集中于點(diǎn)B:x,則所花的運(yùn)費(fèi)y=5|x|+10|x-100|+20|x-200|,

當(dāng)OWxWlOO時(shí)，y=-25x+9000,此時(shí)，當(dāng)x=100時(shí)，ymin=6500；

當(dāng)100<x<400時(shí)，y=-5x+7000,止匕時(shí)，5000<^<6500；

當(dāng)XN400時(shí)，y=35x-9000,此時(shí)，當(dāng)x=400時(shí)，ymin=5000.

綜上可得，當(dāng)x=400時(shí)，為而=5000,即將貨物都運(yùn)到五號(hào)倉庫時(shí)，花費(fèi)最少,

為5000元.

（四）鞏固練習(xí)：

YV3

1.|——1>——的解集是（-1,0）;|2%-3|>3%的解集是（-8,-）；

1+x1+x--------5

2.不等式卑”21成立的充要條件是|a|〉|回;

\a\-\b\---------

3.若關(guān)于x的不等式|x-4|+|x+3|<。的解集不是空集，則ae(7,+oo)；

4.12x-log2x|<2x+1log2x\,則xe(l,+oo)

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯-----元二次不等式的解法

(一)主要知識(shí)：

1.一元二次不等式、對(duì)應(yīng)方程、函數(shù)之間的關(guān)系；

2.分式不等式要注意大于等于或小于等于的情況中，分母要不為零；

3.高次不等式要注重對(duì)重因式的處理.

(二)主要方法：

1.解一元二次不等式通常先將不等式化為ax2+bx+c>0或

依2+加+c<0(a>0)的形式，然后求出對(duì)應(yīng)方程的根(若有根的話)，再寫出

不等式的解：大于0時(shí)兩根之外，小于0時(shí)兩根之間；

2.分式不等式主要是轉(zhuǎn)化為等價(jià)的一元一次、一元二次或者高次不等式來處理;

3.高次不等式主要利用“序軸標(biāo)根法”解.

(三)例題分析：

例1.解下列不等式：

(1)x2-x-6<0；(2)-x2+3x+10<0；(3)A~(-+1)(—2->0.

(x+2)(x-l)

解：(1)—2<x<3；(2)x>5orx<—2；

(3)原不等式可化為

x(x+l)(x—2)(x+2)(x—1)>0

=>-2<x<-lor0<x<lorx>2.

(x+2)(x-l)，0

例2.已知A={x|x2-3x+2?0},B={x|x2-(?+l)x+<?<0},

(1)若求a的取值范圍；

(2)若3=求a的取值范圍.

解：A={x|l<x<2},

當(dāng)a>l時(shí)，B={x|l<x<a}；當(dāng)a=l時(shí)，8={1}；當(dāng)a<l時(shí)，5={x|a<x<l}.

(1)若4*3,則尸沙=>。>2；

手a>2

(2)若8=

當(dāng)a=l時(shí)，滿足題意；當(dāng)a>l時(shí)，a<2,此時(shí)l<a<2；當(dāng)”1時(shí)，不合題意.

所以，。的取值范圍為[1,2).

例3.已知/(x)=》2+2(a-2)x+4,

(1)如果對(duì)一切xeR,/(x)>0恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍;

(2)如果對(duì)XG[-3,1],f(x)>0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解：(1)A=4(?-2)2-16<0=>0<a<4；

卜°-2)<一3或|-3《--2)V1卜(a-2)>1

(2)

1/(-3)>0[A<0[/(I)>0

解得ae。或l〈a<4或一，<a<l,a的取值范圍為(一,,4).

22

例4.已知不等式a^+bx+c〉。的解集為｛x[2<x<4｝,則不等式ex?+法+“<()

的解集為—.

解法——：(x-2)(x-4)<0即一%2+6%—8>0的解集為｛x[x>；orx<；｝,

，不妨假設(shè)a=-l,b=6,c=—8,則cd+笈+。即為一8犬2+6x-l<0,解得

｛xI—<X<一｝.

42

a<0c<0

解法二由題意：-『6二一鴻,

ex2+bx+a<0可化為+-X+—>OB|Jx2--x+->0,

cc48

解得｛x|x>g或X<；｝.

例5.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+hx^-c的圖象過點(diǎn)(-1,0),問是否存在常數(shù)a,b,c,

使不等式X</(x)<1(l+V)對(duì)一切XGR都成立？

解：假設(shè)存在常數(shù)a,仇c滿足題意,

?.?/(x)的圖象過點(diǎn)(―1,0),1)=。—人+c=0①

又,不等式/(x)Wg(l+*2)對(duì)一切xeR都成立，

.?.當(dāng)尤=1時(shí)，1</(1)<工(1+12),即lWa+h+cWl,：.a+b+c=[②

由①②可得：a+c--,b--,/./(x)-ax2+—x+(——a),

2222

由/(x)<—(1+x2)對(duì)一切xeR都成立得：x<ax2+]X+d-a)?:(1+%2)恒

成立，

CUCX4~((I)20,,?、？

???{22的解集為R,

(2〃-1)/+%-2a<0

."2。-1<0\a>0

..511且4,H即n4

--4?(--?)<0[l+8cz(2?-l)<0[(l-4a)-<0

(l-4a)2<0

._1.1

??d——,??C-:—,

44

.?.存在常數(shù)。=工,〃=」,，=」使不等式34/(x)?,(1+尤2)對(duì)一切xeR都成立.

4242

(四)鞏固練習(xí)：

1.若不等式(。-2)犬2+2(a-2)x-4<0對(duì)一切xeR成立，則a的取值范圍是

(-2,2].

2.若關(guān)于X的方程V+辦+/-1=0有一正根和一負(fù)根，則

3.關(guān)于x的方程制x-3)+3=/x的解為不大于2的實(shí)數(shù)，則加的取值范圍為

3

(-oo,--]U(0,DU(l,+<?).

4.不等式乜空f?0的解集為(YO,T)U(0,2]"X=-1.

x(4+x)---------------------------------

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯一一簡(jiǎn)易邏輯

(一)主要知識(shí)：

1.理解由“或”“且”“非”將簡(jiǎn)單命題構(gòu)成的復(fù)合命題;

2.由真值表判斷復(fù)合命題的真假；

3.四種命題間的關(guān)系.

(二)主要方法：

1.邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”與集合中的并集、交集、補(bǔ)集有著密切的關(guān)

系，解題時(shí)注意類比；

2.通常復(fù)合命題“p或q”的否定為''力且r"、“p且q”的否定為“力

或F”、“全為”的否定是“不全為”、“都是”的否定為“不都是”等等；

3.有時(shí)一個(gè)命題的敘述方式比較的簡(jiǎn)略，此時(shí)應(yīng)先分清條件和結(jié)論，該寫成“若p,

則q”的形式；

4.反證法中出現(xiàn)怎樣的矛盾，要在解題的過程中隨時(shí)審視推出的結(jié)論是否與題

設(shè)、定義、定理、公理、公式、法則等矛盾，甚至自相矛盾.

(三)例題分析：

例1.指出下列命題的構(gòu)成形式及構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題，并判斷復(fù)合命題的真假：

(1)菱形對(duì)角線相互垂直平分.

(2)“2W3”

解：(1)這個(gè)命題是“p且q”形式，p:菱形的對(duì)角線相互垂直；q:菱形的對(duì)角

線相互平分，

為真命題，q也是真命題且4為真命題.

(2)這個(gè)命題是“"或q”形式，〃：2<3；q:2=3,

為真命題，4是假命題或4為真命題.

注：判斷復(fù)合命題的真假首先應(yīng)看清該復(fù)合命題的構(gòu)成形式，然后判斷構(gòu)成它的

簡(jiǎn)單命題的真假，再由真值表判斷復(fù)合命題的真假.

例2.分別寫出命題“若/+丁=0,則全為零”的逆命題、否命題和逆否

命題.

解：否命題為：若V+VNO,則不全為零

逆命題：若全為零，則/+y2=o

逆否命題：若不全為零，則V+VNO

注：寫四種命題時(shí)應(yīng)先分清題設(shè)和結(jié)論.

例3.命題“若相>0,則/+X-m=0有實(shí)根”的逆否命題是真命題嗎？證明你

的結(jié)論.

解：方法一：原命題是真命題，

*/m>0>A=l+4m>0>

因而方程+X—機(jī)=0有實(shí)根，故原命題”若相>0,則f+X—m=0有實(shí)根”是

真命題；

又因原命題與它的逆否命題是等價(jià)的，故命題“若〃?〉0,則Y+X-機(jī)=0有實(shí)

根”的逆否命題是真命題.

方法二：原命題“若加>0,則f+x_w=o有實(shí)根”的逆否命題是“若/+》_機(jī)=0

無實(shí)根，則來<0”.*.*+?=0無實(shí)根

A=1+4加<0即機(jī)<——<0，故原命題的逆否命題是真命題.

4

例4.(考點(diǎn)6智能訓(xùn)練14題)己知命題p：方程x2+/wc+l=0有兩個(gè)不相等

的實(shí)負(fù)根，命題q：方程+4(/〃-2)x+l=0無實(shí)根；若p或g為真，〃且q為

假，求實(shí)數(shù)"的取值范圍.

分析：先分別求滿足條件〃和4的機(jī)的取值范圍，再利用復(fù)合命題的真假進(jìn)行轉(zhuǎn)

化與討論.

解：由命題p可以得到：=：.m>2

[m>0

由命題4可以得到：△=[4(〃z-2)]2-16<0：.-2<m<6

???〃或4為真，〃旦4為假”,(7有且僅有一個(gè)為真

當(dāng)p為真，4為假時(shí)，\^^>m>6

[m<-2,orm>6

<2

當(dāng)〃為假，q為真時(shí)，1—=>-2<m<2

[-2<m<6

所以，，%的取值范圍為{加|加26或-2</〃W2}.

例5.已知函數(shù)/(幻對(duì)其定義域內(nèi)的任意兩個(gè)數(shù)a/，當(dāng)a<h時(shí)，都有

f(a)<f(b),證明：/(x)=0至多有一個(gè)實(shí)根.

解：假設(shè)/(x)=0至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根%,王，不妨假設(shè)司<々，

由方程的定義可知：f（xt）=Q,f（x2）=O

即/U,）=/U2）

由已知工1<々時(shí)，有/（%）</（々）這與式①矛盾

因此假設(shè)不能成立

故原命題成立.

注：反證法時(shí)對(duì)結(jié)論進(jìn)行的否定要正確，注意區(qū)別命題的否定與否命題.

例6.用反證法證明命題：若整數(shù)系數(shù)一元二次方程：or?+必+。=0（。70）有有

理根，那么a,仇。中至少有一個(gè)是偶數(shù)，下列假設(shè)中正確的是（）

A.假設(shè)a,仇c都是偶數(shù)B.假設(shè)a,。,c都不是偶數(shù)

C.假設(shè)a,仇c至多有一個(gè)是偶數(shù)D.假設(shè)a2,c至多有兩個(gè)是偶數(shù)

（四）鞏固練習(xí)：

1.命題“若p不正確，則4不正確”的逆命題的等價(jià)命題是（）

A.若q不正確，則p不正確B.若“不正確，則〃正確

C若p正確，則q不正確D.若p正確，則4正確

2.“若62一4改<0,則辦2+版+。=0沒有實(shí)根”，其否命題是（）

A若廿-4400,則ax?+匕x+c=O沒有實(shí)根

B若從一4ac>0,則公2+bx+c=0有實(shí)根

C若/-4acN0,則ax?+bx+c=0有實(shí)根

D若后—4acZ0,貝iJa^+bx+c=O沒有實(shí)根

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯一一充要條件

（一）主要知識(shí)：

1.充要條件的概念及關(guān)系的判定；

2.充要條件關(guān)系的證明.

（二）主要方法：

1.判斷充要關(guān)系的關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論；

2.判斷〃=>夕是否正確的本質(zhì)是判斷命題“若“，則q”的真假；

3.判斷充要條件關(guān)系的三種方法：

①定義法；②利用原命題和逆否命題的等價(jià)性；③用數(shù)形結(jié)合法(或圖解法).

4.說明不充分或不必要時(shí)，常構(gòu)造反例.

(三)例題分析：

例1.指出下列各組命題中，〃是q的什么條件(在“充分不必要”、“必要不

充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中選一種作答)

(1)在AASC中，p:A>B,:sinA>sinB

(2)對(duì)于實(shí)數(shù)x,y,p:x+y或

(3)在AABC中，p:sinA>sin8,q:tanA>tanB

(4)已知〃：(x-l)2+(y-2)2=0,q:(x-l)(y-2)=0

解：(1)在AABC中，有正弦定理知道：—=—

sinAsinB

sinA>sin3oa>b又由a>/?u>A>3

所以，sinA>sinB<=>A>B即〃是q的的充要條件.

(2)因?yàn)槊}“若x=2且y=6,則x+y=8”是真命題，故〃=>q,

命題“若x+y=8,則x=2且y=6"是假命題，故q不能推出p,

所以〃是4的充分不必要條件.

(3)取4=120,3=30",p不能推導(dǎo)出q；取A=30,3=120,q不能推導(dǎo)出p

所以，〃是“的既不充分也不必要條件.

(4)因?yàn)镻={(1,2)},Q={(x,y)|x=l或y=2},P注Q,

所以，夕是9的充分非必要條件.

例2.設(shè)則V+y2<2是|》|+|加0的()、是|尤|+及|<2的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不

必要條件

解：由圖形可以知道選擇B,D.(圖略)

例3.若命題甲是命題乙的充分非必要條件，命題丙是命題乙的必要非充分條件,

命題丁是命題丙的充要條件，則命題丁是命題甲的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

解：因?yàn)榧资且业某浞址潜匾獥l件，故甲能推出乙，乙不能推出甲，

因?yàn)楸且业谋匾浅浞謼l件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，

因?yàn)槎∈潜某湟獥l件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，

由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分條件，選B.

例4.設(shè)x,ywR,求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是町20.

證明：充分性：如果xy=0,那么，①x=0,y工0②=0③x=0,y=0于

是|x+y|=|x|+|y|

如果肛>0即x〉0,y〉0或x<0,y<0,

當(dāng)x>0,y>0時(shí)，|x+y|=x+y=|x|+|y|,

當(dāng)x<0,y<0時(shí)，|x+y|=_x_y=(-幻+(-y)=1xI+1yI，

總之，當(dāng)孫NO時(shí)，|x+y|=|x|+|y|.

必要性：由|x+y|=|x|+|y|及eR

得(x+y)2=(|x|+|y|)2即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2

得|9|=xy所以孫>0故必要性成立，

綜上，原命題成立.

例5.已知數(shù)列｛叫的通項(xiàng)%…,為了使不等式

"〃+3〃+42/1+3

an〉log；(rT)-\log；”]/對(duì)任意“eM恒成立的充要條件.

解：

?！?]—an=--------F-.........----------------=(-------------——-------)+(-———---------)>0，

2H+42〃+5n+32n+42n+62n+52n+6

aaa

則n>n-\>,,-2>?■?>?2>

欲使得題設(shè)中的不等式對(duì)任意neN*恒成立，

只須｛4｝的最小項(xiàng)q>log^(t-1)log^_nt即可，

I19

又因?yàn)閝=士+上=三，

4520

9Ii

即只須，—1w1且log；(，—1)-log；Q—1)—<0,

角畢得-1<log,(r-l)<t(t>1),

即—l,

t

解得實(shí)數(shù)/應(yīng)滿足的關(guān)系為f>匕或且1/2.

2

例6.(1)是否存在實(shí)數(shù)加，使得2x+/n<0是無之-2%-3>0的充分條件？

(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使得2x+m<0是f-2x-3>0的必要條件？

解：欲使得2x+m<0是/一2l—3>0的充分條件，則只要

{x|x<-y}c{x|x<-l或X>3},貝只要-24-1即〃?22,

故存在實(shí)數(shù)加22時(shí)，使2x+m<0是/-21-3>0的充分條件.

(2)欲使2x+m<0是f-2x-3〉0的必要條件，則只要

m___

{彳|為<一一}?{工上<一1或%>3},則這是不可能的,

故不存在實(shí)數(shù)機(jī)時(shí)，使2x+/?7<0是X2-2》-3>0的必要條件.

(四)鞏固練習(xí)：

1.若非空集合MgN,則“ae"或aeN”是“aeA/DN”的條件.

2.0<x<5是|x-2|<3的條件，

3.直線a,b和平面a,尸，a〃人的一個(gè)充分條件是()

A.alla.bllaB.alla.bIIp.allp

C.aka.bLp.all[3D.aka.bkp.a±p

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯一一數(shù)學(xué)鞏固練習(xí)

一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將你認(rèn)為正確的答案填在后面的表格中)

1.={x\x=^+^,keZ},N={x\x=^-+^,k&Z},則

(A)M=N(B)M桂N(C)M^N(D)M「N=@

2.已知命題p：若/+y2=o,則％、y全為0；命題q：若a>b,則,<，.給

ab

出下列四個(gè)復(fù)合命題：①0且Q,②0或q,③④f，其中真命題的個(gè)數(shù)為

(A)l(3)2(C)3(D)4

3.A,8,C是三個(gè)集合，那么“A=B”是"AC|C=BnC”成立的

(A)充分非必要條件(8)必要非充分條件

(C)充要條件(。)既非充分也非必要條件

4.已知函數(shù)/(x)=/,集合A={x|/(x+D=ox,xeR},且AUR+=R+，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是

(A)(0,+oo)(3)(2,+8)(C)[4,+8)(O)(—S,0)U[4,+8)

5.已知全集。={1,2,3,4,5,6,7,8},集合M={2,3,4},P={1,3,6},則集合{5,7,8}是

(A)M\JP(5)MAP(C)電(MflP)(D)6(MUP)

6.A={x\x=a2+l,aeN},B={y\y=b'-4b+5,beN},則下列關(guān)系中正確的

是(A)A=3⑻B§A(C)(O)AnB=。

7.下列命題中，使命題“是命題N成立的充要條件的一組命題是

(A)M:a>b',N:ac2>be2(S)M:a>b,c>d;Nia—d>b-d

(C)M:a>b>09c>d>Q\N\aobd(D)M:|a-b\=^a\4-\b\;N:ab<0

8.不等式(。-2*+21-2,-4<0對(duì)于xeR恒成立，那么。的取值范圍是

⑷(一2,2)(fi)(-2,2](C)(~°°，2](0(-<?，-2)

9.如果區(qū)仇，滿足c<匕<。，且。。<0,那么下列選項(xiàng)中不一定成立的是

(ah>ac(B)c(b—a)>0(C)cb2<ab2(D)ac(a-c)<0

10.二次函數(shù)/(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，且對(duì)任意項(xiàng)xcR都有/(x)=/(4-x)成

立，若/(I-2/)</(1+2彳-/)，則x的取值范圍是

(A)x>2(B)x<—2或0<x<2(C)—2<x<0(D)x<—2或x>0

請(qǐng)將選擇題的答案填在下面的表格中：

題號(hào)12345678910

答案CBAADADBCC

二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上)

11.在函數(shù)/(%)=加+芯+。中，若a,"c成等比數(shù)列且/(0)=-4,則/(x)有最大

值(填“大”或“小”)，且該值為且.

12.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,7(x)是x和一一2中的較大者，則/(x)的最小值為二

13.已知定義在閉區(qū)間［0,3］上的函數(shù)/。)=依2-2履的最大值為3,那么實(shí)數(shù)女

的取值集合為｛-3,1｝.

14.已知以下四個(gè)命題：

①如果為,%是一元二次方程at?+加+c=O的兩個(gè)實(shí)根，且看<々，那么不等

式加+〃x+c<0的解集為<大<々｝；

<0,則(x—l)(x—2)40；

x-2

③“若加>2,則d-2x+m>0的解集是實(shí)數(shù)集R”的逆否命題；

④若函數(shù)在(-oo,+oo)上遞增，且a+bNO,則

f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).

其中為真命題的是②③④(填上你認(rèn)為正確的序號(hào)).

三、解答題(本大題共4小題，共34分，解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或

演算步驟)

15.(本題7分)解關(guān)于x的不等式"一片二"4I.

x-a

答案：①當(dāng)a<0或a>1時(shí)，

②當(dāng)。=0或。=1時(shí)，XE0;

③當(dāng)0<avl時(shí)，X￡(片,〃］o

16.(本題7分)設(shè)S是實(shí)數(shù)集R的真子集，且滿足下列兩個(gè)條件:

①1金S；②若aeS,則」一eS,

1-12

問：(I)若2eS,則S中一定還有哪兩個(gè)數(shù)？

(II)集合S中能否只有一個(gè)元素？說明理由.

答案：(I)-I,-；

2

(II)不可能.

17.(本題10分)函數(shù)/(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)均有

/(x+y)-/(y)=(x+2y+l)x成立，且/⑴=0,

(1)求/(O)的值;

(2)當(dāng)0Wx<3時(shí)，/(x)+3<2x+a恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

答案：(1)-2；

(II)(1,4-00).

18.（本題10分）已知集合A={x|x2|d-21|},B={x\x1-2ox+cz<0},若

A^B=B9求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

答案:aG[0,1],易錯(cuò)點(diǎn):A=[1,3]U{。}的表不不規(guī)范。

第二章函數(shù)一一函數(shù)的概念

（一）主要知識(shí)：

1.對(duì)應(yīng)、映射、像和原像、一一映射的定義；

2.函數(shù)的傳統(tǒng)定義和近代定義；

3.函數(shù)的三要素及表示法.

（二）主要方法：

1.對(duì)映射有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是有象，二是象惟一，缺一不可；

2.對(duì)函數(shù)三要素及其之間的關(guān)系給以深刻理解，這是處理函數(shù)問題的關(guān)鍵;

3.理解函數(shù)和映射的關(guān)系，函數(shù)式和方程式的關(guān)系.

（三）例題分析：

例1.（1）A=R,B={y|y>0},/:x->y=|%|；

（2）A={x|xN2,xeN*},6={y|yeN},f:xy=x2-2x+2；

（3）A={x|x>0},B-[y\yeR},7:x—>y=+\[x.

上述三個(gè)對(duì)應(yīng)（2）是A到B的映射.

例2.已知集合知={(匕刈%+卜=1},映射了:MfN,在/作用下點(diǎn)(x,y)的象

是(2，,2V),則集合N=(D)

(A){(x,y)|x+y=2,x>0,y>0}(B){(x,y)|xy=l,x>0,y>0}

(C){(x,y)|盯=2,x<0,y<0}(D){(x,y)㈤=2,x>0,y>0}

解法要點(diǎn)：因?yàn)閤+y=2,所以2匚2，=2'+>'=2.

例3.設(shè)集合M={-1,0,1},TV={-2,-1,0,1,2},如果從M到N的映射/滿足條

件：對(duì)M中的每個(gè)元素x與它在N中的象/（幻的和都為奇數(shù)，則映射/的個(gè)數(shù)

是（。）

（A）8個(gè)（8）12個(gè)（C）16個(gè)（0）18個(gè)

解法要點(diǎn)：???x+/（x）為奇數(shù)，，當(dāng)x為奇數(shù)-1、1時(shí)，它們?cè)贜中的象只能為

偶數(shù)-2、0或2,由分步計(jì)數(shù)原理和對(duì)應(yīng)方法有3?=9種；而當(dāng)x=0時(shí)，它在N

中的象為奇數(shù)-1或1,共有2種對(duì)應(yīng)方法.故映射了的個(gè)數(shù)是9x2=18.

例4.矩形ABC。的長(zhǎng)AB=8,寬49=5,動(dòng)點(diǎn)E、F分別在8C、C。上，且

CE=CF=x,(1)將AAEF的面積S表示為x的函數(shù)/(x),求函數(shù)S=/(x)的

解析式；

(2)求S的最大值.

解：⑴

°1211

s=/(X)=SaABCD-S^CEF-S^BE-5AA0F=40--x---x8x(5-x)--x5x(8-x)

1,13I,13、2169

=——XH——X=——(X--)H----.

22228

VCE<CB<CD,：.Q<x<5,

.?.函數(shù)S=/(x)的解析式：S=f(x)=--(x--)2+—(0<x<5)；

228

(2)?；/(x)在xw(O,5］上單調(diào)遞增，Smax=/(5)=20,即S的最大值為20.

例5.函數(shù)/(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y均有/(x+y)-/(y)=(x+2y+l)x成立，且

/⑴=0，

(1)求/(0)的值；

(2)對(duì)任意的玉e(0,；),x2e(0,1),都有/a)+2<log"W成立時(shí)，求。的取

值范圍.

解：(1)由已知等式f(x+y)-f(y)-(x+2y+l)x,令x=\,y=0得

f(If(0)=2,

又?.?/⑴=0,/./(0)=-2.

(2)由./?(x+y)—/(y)=(x+2y+l)x,令y=0得/(x)—八0)=(x+l)x,由(1)

知/(0)=—2,f(x)+2=x2+x.

,/玉e(0,-),.../a)+2=M+%=(&+；)2_；在玉e(0,g)上單調(diào)遞增，

3

/(x1)+2e(0,-).

要使任意％e(0,g),x2e(0,g)都有/(吞)+2<log“馬成立，

當(dāng)a>l時(shí)，log“X2<logJ，顯然不成立.

0<"1網(wǎng)

當(dāng)0<a<1時(shí)，log”x2>log,,；,13，解得1

l°g"5用4

的取值范圍是d?』）.

（四）鞏固練習(xí):

1?給定映射/:（x,y）—＞（2x+y,"）,點(diǎn)（&,-&）的原象是萬）或'

2.下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x相同的函數(shù)是（C）

(A)y=—(B)y=(?y(C)y=lglOl(O)y=2*「

X

x-3,(x>10)

3.設(shè)函數(shù)/(x)=<則/⑸=8.

_/(/U+5)),U<10)

第二章函數(shù)一一函數(shù)的解析式及定義域