高考數(shù)學二輪復習 不等式教學案(教師)

2013高考數(shù)學二輪復習精品資料專題05不等式教學案（教師版）

【2013考綱解讀】

從近幾年高考題目來看，不等式的性質(zhì)和解不等式問題多以一個選擇題的形式出現(xiàn)，且

多與集合、簡易邏輯、函數(shù)知識相結(jié)合，難度較低。

了解不等式（組）的實際背景；會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型，通過函數(shù)

圖象了解一元二次不等式與相應的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系，會解一元二次不等式，

對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖；會從實際情境中抽象出二元一次不等式

組，了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，會從實際情境

中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決；了解基本不等式的證明過程，會用

基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}。學會運用數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學思想方法分析

和解決有關(guān)不等式問題，形成良好的思維品質(zhì),培養(yǎng)判斷推理和邏輯思維能力。

【知識網(wǎng)絡構(gòu)建】

7I性質(zhì)、兩數(shù)大小比較I一|不等式的證明不

等

—?元二次不等式|一|簡單■的分式不等式|一式

的

一|二元一次不等式（組|簡單的線性規(guī)劃|—應

川

一「基本不等式[4值定理一

【重點知識整合】

1.不等式的基本性質(zhì)

2.一元二次不等式的解法

解一元二次不等式實際上就是求出對應的一元二次方程的實數(shù)根（如果有實數(shù)根），再結(jié)

合對應的函數(shù)的圖象確定其大于零或者小于零的區(qū)間，在含有字母參數(shù)的不等式中還要根據(jù)

參數(shù)的不同取值確定方程根的大小以及函數(shù)圖象的開口方向，從而確定不等式的解集.

3.基本不等式

不等式痂笄（30,匕>0）稱為基本不等式，常見的與這個不等式有關(guān)的其他不等式

有：a+b>2>Jab（a96>0）；出江工^?（abER）；1~「⑷6>0）；x+-

ab

>2（X>0）5三+&2（而>0）等.

4.二元一次不等式（組），和藺單的線性規(guī)劃

（1）線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念：線性約束條件、線性目標函數(shù)、可行域、最憂解等；

（2）解不含實際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟：①畫出可行域；②根據(jù)線性目標函數(shù)

的幾何意義確定其取得最憂解的點；③求出目標函數(shù)的最大值或者最小值.

【高頻考點突破】

考點一不等式的解法

一元二次不等式ax+bx-\-c>0（或<0）（aWO,/=方一420>0）,如果a與ax+bx~\~c同

號，則其解集在兩根之外；如果a與異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同

號兩根之外”異號兩根之間.即水矛1或X>X2=（X—矛1）（X—X2）〉O（X1<X2）；X1）（X

—X2）<0（矛〈1意?

例L已知函數(shù)f^x）=ex~l,g（x）=-l+4x—3.若有f（a）=g（6）,則6的取值范圍

為（）

A.[2-^2,2+J2]B.(2-^2,2+72)

C.[1,3]D.(1,3)

解析：函數(shù)f(x)的值域是(一1,+8),要使得f(a)=g(6),必須使得一9+46—3>

一1.即I)—46+2<0,解得2—

答案：B

【變式探究】解關(guān)于x的不等式a/-(a+l)x+l〈O(a〉O).

解析：因a>0,原不等式化為

(x-l)(x—3V0，

Ci

對應方程(X—l)(x—0=。的兩根為1和1

①當031時，:>1,/.1<X<^5

②當a=l時，成不等式可化為(x-1)X0,無解；

③當0>1時，11,.,.L<XVL

aa

綜上所述：

當031時，解集為｛xleg｝；

當a=\時，解集為。；

當0>1時，解集為｛x：<x<l｝.

【方法技巧】

(1)解簡單的分式、指數(shù)、對數(shù)不等式的基本思想是等價轉(zhuǎn)化為整式不等式(一般為一元

二次不等式)求解.

(2)解決含參數(shù)不等式的難點在于對參數(shù)的恰當分類，關(guān)鍵是找到對參數(shù)進行討論的原

因.確定好分類標準，有理有據(jù)、層次清楚地求解.

考點二線性規(guī)劃

實質(zhì)上是數(shù)形結(jié)合思想的一種具體體現(xiàn)，即將最值問題直觀、簡便地尋找出來.它還是

一種較為簡捷的求最值的方法，具體步驟如下：

(1)根據(jù)題意設出變量，建立目標函數(shù)；

(2)列出約束條件；

(3)借助圖形確定函數(shù)最值的取值位置，并求出最值；

(4)從實際問題的角度審查最值，進而作答.

例2.某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛

載重量為6噸的乙型卡車”某天需送往/地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運

送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡

車需配1名工人，運送一次可得利潤350元.該公司合理計劃當天派用兩類卡車的車輛數(shù)，

可得最大利潤z=0

A.4650元B.4700元

C.4900元D.5000元

〃10x+6/72

x+j<12

解析：設派用甲型卡車x輛，乙型卡車p輛，則〈2x+Z19,目標函數(shù)z

=450x+350y,畫出可行域如圖，當目標函數(shù)經(jīng)過2(7,5)時，利潤z最大，為4900元

答案：c

【變式探究】當變量x,〕滿足約束條件A+3JW4時，z

=x-3j?的最大值為S,則實數(shù)，”的值是

()

A.—4B.-3

C.-2D.-1

解析：作出可行域，平移直線x-3j=。，可知當目標函數(shù)經(jīng)過直線;「=、與1=加的交

點(加，也)時，取得最大值，由加-3加=8,得加=7.

答案:A

【方法技巧】解決線性規(guī)劃問題首先要作出可行域，再注意目標函數(shù)所表示的幾何意義，數(shù)

形結(jié)合找出目標函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準確，

整點問題要驗證解決.

考點三基本不等式

基本不等式：與土》，獲.

(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0.

(2)等號成立的條件：當且僅當a=6時取等號.

(3)應用：兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值；兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們

的積有最大值.

例3.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元.若每批生產(chǎn)x件，則

V

平均倉儲時間為d天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備

O

費用與倉儲費用之和最小，每批應生產(chǎn)產(chǎn)品

()

A.60件B.80件

C.100件D.120件

解析：若每批生產(chǎn)X件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用是縛，存儲費用是5,總

x8

的費用是曬+注2、/則q=20,當且僅當陋=1時取等號，即x=80.

XQ\1XQX8

答案：B

【變式探究】設OVaVA,則下列不等式中正確的是()

I-a-\-bI-a~\-b

A.a<b<yjab<---B.a<y]ab<--<b

I—a+bi—b

C.ab<b<—--D.yfab<a<一~―<.b

解析：代入a=l,6=2,則有0<a=l<q蔡=/</"=L5<6=2,我們知道算術(shù)

平均數(shù)十與幾何平均數(shù)M瓦的大小關(guān)系，其余各式作差(作商)比較即可.

答案：B

【難點探究】

難點一一元二次不等式的解法

例1.已知0：xoGR,渥+1WO,<7：xGR,入2+”+1〉0.若/^<7為真命題，則實數(shù)7

的取值范圍是()

A.(—8,—2)B.[—2,0)

C.(-2?0)D.[0,2]

【答案】C

【解析】為真命題，等價于0,g均為真命題.命題。真時，水0；命題。為真時，

/=序一4〈0,解得一2〈水2.故p/\q為真時，一2〈水0.

難點二基本不等式的應用

例2.設x,j為實數(shù)，若4*：+尸+寸=1,則2x+j?的最大值是_______.

【答案】坐【解析】方法1：?..4二+產(chǎn)+9=1,

4

(2x+y>—3q=h即(2x+y)2—=1,

.?.(2x+)>-n4口，解之得(2x4?福,即2x+j/膽等號當且僅當2x=y>0,

即*=喀，)=返時成立.

1UJ

方法2：令I(lǐng)=2X+F則1=1-2X,代入4必+)=+與=1,得61'—3rv+S—1=0,由于

x是實數(shù)，故」=9廣一2%—1)沙，解得淺，即一半■圖，即：的最大值也就是2x

+j的最大值，為凈.

方法3：化已知4X:+VC+A.,J=1為.2x+｝二+當令2v+^)=cosa,小^y=sma,

mil3V15.mil.,,.1,3,Vis-Vio.,xJVIO

則p=—^s:na,則2x+j=2x+p+p=cosa-l--—sma=——s:nia+p)<——.

【點評了本題是一個典型條件最值問題，已知條柞實際上是一條曲線的方隹，目標就是當

點(x,y)在這條曲線上變化時，求線性目標函數(shù)￡=2x+y的最大值，在本題的各個解法中

注意方法2,這是解決這類試題的一個通用方法.使用基本不等式求二元函數(shù)最值時一定要

注意等號成立的條件，在求解過程中盡可能的只使用一次基本不等式，如果使用兩次基本不

等式則需要驗證兩次不等式是否等號成立的條件相同，如果兩次不等式等號成立的條件產(chǎn)

生矛盾，則求解結(jié)果就是錯誤的.使用基本不等式求最值有時需要進行適當?shù)淖儞Q(變換已

知條件和求解目標，常數(shù)代換等).

難點三線性規(guī)劃問題的解法

~x+y22,

例3.已知。是坐標原點，點/（—1,1）,若點“（X,力為平面區(qū)域｛xWl,上的

一個動點，則應?源勺取值范圍是（）

A.[-1,0]B.[0,1]

C.[0,2]D.[-1,2]

【答案】C【斛析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域〔如圖），又怎,員/=一工+/，取目標

函數(shù)二=-x+y,即丁=x+z,作斜率為1的一組平行線.

當它經(jīng)過點C（LD時，z有最小值，即?=-1+1=0；當它經(jīng)過點5（Q,2）時，z有最

大值，即二3=-0+2=2.

..?二的取值范圍是電2%即屆?日做取值范圍是電2],故選C.

【點評】在線性約束條件下，線性約束條件所表示的區(qū)域一般是一個多邊形區(qū)域或者

一個以直線為邊界的無限區(qū)域，如果目標函數(shù)是線性的，則可以根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義確

定目標函數(shù)取得最大值和最小值的位置,如本題中的目標函數(shù)z=—x+y變換后即尸x+z,

則目標函數(shù)z的幾何意義即直線y=x+z在y軸上的截距,截距最大（?。r的位置就是目標

函數(shù)取得最大（?。┲档奈恢茫谝恍┖袇?shù)的線性規(guī)劃問題中這個思想顯得更為重要。

【歷屆高考真題】

[2012年高考試題】

1.12012高考真題重慶理2】不等式士的解集為

2x+l

【答案】A

【解析】原不等式等價于（X—l）（2x+l）<0或X—1=0,即—g<x<l或x=l,所

以不等式的解為—工<x?l,選A.

2

2.12012高考真題浙江理9】設a大于0,b大于0.

A.若2a+2a=2b+3b,則a>bB.若2"+2a=2'+3b,則a>b

C.若2J2a=2-3b,貝lja>bD.若2a-2a=a'-3b,貝！Ia<b

【答案】A

【解析】若2"+2?=I'+%,必有2"+2a>2?.構(gòu)造函數(shù)：〃x)=2，+2x,則

r(x)=2，ln42>(恒成立，故有函數(shù)〃x)=2'+2x在x>0上單調(diào)遞增，即a>6成立.其

余選項用同樣方法排除.故選A

3.12012高考真題四川理9】某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品。已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需

耗A原料1千克、3原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，3原料1千克。每

桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元。公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，

要求每天消耗A、3原料都不超過12千克。通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙

兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是()

A、1800元B、2400元C、2800元rD、3100元

【答案】C.

【解析】設生產(chǎn)無桶甲產(chǎn)品，y桶乙產(chǎn)品，總利潤為Z,

x+2y<12

2x+y<12

則約束條件為《x〉0,目標函數(shù)為Z=300x+400y,

y〉0

當目標函數(shù)直線經(jīng)過點M時z有最大

x+2y=12

值，聯(lián)立方程組,得M(4,4),代入目標函數(shù)得z=2800,故選C.

2x+y=12

x+2y>2

4.12012高考真題山東理5】已知變量滿足約束條件，2x+y<4,則目標函數(shù)

4x-y>-1

z=3x-y的取值范圍是

33

(A)[——,6](B)[——,-l]

22

3

(C)[-1,6](D)[-6,-]

2

t答案】A

【解析】做出不等式所表示的區(qū)域如圖

z=3x-j得］=3x-z,平移直線y=3x,由圖象可知當直線經(jīng)過點E(2,0)時，直線

j=3x-z的截距最小，此時z最大為z=3x-j=6,當直線經(jīng)過C點時，直線截距最大,

此時Z最小，由<；■,解得「一2,此時z=3x-v=2-3=-±,所以

I2x+y=4_22

［丁=3

z=3x-j的取值范圍是選A

x-y<10

5.12012高考真題遼寧理8】設變量x,y滿足<0<x+yW20,則2x+3y的最大值為

0<y<15

(A)20(B)35(C)45(D)55

【答案】D

【解析】畫出可行域，根據(jù)圖形可知當x=5,y=15時2x+3y最大，最大值為55,故選D

J<2

6.12012高考真題廣東理5】已知變量x,y滿足約束條件<x+y21,則z=3x+,y的最

x-y<l

大值為

A.12B.11C.3D.-1

【答案】B

【解析】畫約束區(qū)域如圖所示，令z=0得j=-3x,化目標函數(shù)為斜截式方程

y=-3x+z得，當x=3,j=2時，Zw=11，故選B.

8.12012高考真題江西理8】某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50計，投

入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表

年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價

黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元

韭菜6噸0.9萬元0.3萬元

為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入減去總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜

的種植面積（單位：畝）分別為

A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50

【答案】B

x+y<50

［解析］設黃瓜的種植面積為x,韭菜的種植面積為y，則有題意知1.2x+Q.9y<54,

x,y>0

x+y<50

'_9

即《4x+3y<180,目標函數(shù)z=0.55x4x+0.3x6y-1.2x-0.9y=x+—y,作出可行

x,y>0"

域如圖，由圖象可知當直線經(jīng)過點E時，直線

y=-10+10的解決最大，此時z取得最大值，由[%+y“=50，解得[x=30，選

9914x+3y=180[y=20

B.

9.12012高考真題湖北理6】設Q,0,C,羽y,z是正數(shù)，且4+/+，=］0,

x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,貝!J"+"+'

x+y+z

3

A.-B.-C.-D.

4324

【答案】C

【解析】由于（/+/+（：.）（/+］二+z：）23v+E+cz）：

等號成立當且僅當g=2=￡=，：則a=txb=tyc=tz,r:(x24-y:+z:)=10

xyz

所以由題知312：又@=色=￡=°+*,所以4+6+<="12,答案選C.

xyzx+y+zx+y+z

x+y-3<0

10.12012高考真題福建理9］若函數(shù)y=2x圖像上存在點（x,y）滿足約束條件<x-2y-3>0,

x>m

則實數(shù)m的最大值為

13

A.一B.1C.一D.2

22

【答案】B.

當直線％=機經(jīng)過函數(shù)y=2r的圖像與直線

x+y—3=0的交點時，函數(shù)y=2,的圖像僅有一個點在可行域內(nèi)，有方程組

x-\-y-3=0

得X=l,所以〃2?1。

11.［2012高考真題山東理13】若不等式巨—4|<2的解集為｛無陣尤〈3卜則實數(shù)

k=.

【答案】k=2

［解析］由％-4怪2可得24fcxs6,所以14txs3,所以。=1,故左=2.

\x>0

12.12012高考真題安徽理11］若xj滿足約束條件：Q+2J23；則X-J的取值范

\2x+y<3

圍為.

【答案】［-3,0］

t解析】約束條件對應AJ3C邊際及內(nèi)的區(qū)域：T(0,3\3(0；)C(Ll),則

r=x-ye[-3:0].

卜-”l20.

卜+V-3W0.

13.［2012高考真題全國卷理13］若x,y滿足約束條件「：'則z=3x-y的最小值

為.

【答案】-1

【解析】做出做出不等式所表示的區(qū)域如圖

得y=3x—z,平移直線y=3x,由圖象可知當直線經(jīng)過點C(O,1)時，直線y=3x—z的

截距最大，止匕時z最小，最小值為z=3x-y=-1.

14.[2012高考江蘇13](5分)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b&R)的值域為[0,+oo),

若關(guān)于X的不等式f(x)<c的解集為("2,m+6),則實數(shù)C的值為

【答案】9.

【解析】由值域為[0，-◎，當-ac-5=0時有V=a--4b=0,即6=1-,

=-ax-b=x:^ax+—='.x+—.

4(2

不等式f(x)<c的解集為(加，m-6),-令-(-江-令==6,解得c=9.

15.[2012高考江蘇14](5分)已知正數(shù)a2,c滿足：

h

5c-3aWbW-a,clnbea+clnc,則一的取值范圍是

a一

【答案】[e,7]o

【解析】條件

5c-Wb冤4-,c》*cl可化為：

3上+”5

CC

ab

-+-<4Ao

cc

b-

->ec

,c

設@=的y=2,則題目轉(zhuǎn)化為:

cc

3x+y>5

x+y<4v

已知為y滿足’，求上的取值范

y>exx

x>0,y>0

Ho

作出（Xy）所在平面區(qū)域（如圖）.求出J=/的切

線的斜率e，設過切點尸北）的切線為尸2--肛加20），

貝IJ士_=曰;Jl=e-巴，要使它最小，須優(yōu)=0。

毛x0飛

上的最小值在Pl*,No）處，為e.此時，點p4Jb）在產(chǎn)爐上一工5之間.

當（xy）對應點C時，產(chǎn)4r=["=207x=7xn.=7,

[y=5-3x[4v=20-12x-x

的最大值在C處，為7。

X

???）的取值范圍為[e,7],即2的取值范圍是[e,71o

xa

x,y>0

17.【2012高考真題新課標理14】設羽y滿足約束條件：<x-y2-1；則z=x-4的

、x+y<3

取值范圍為

【答案】[一3s3]

【解析】做出不等式所表示的區(qū)域如圖=x-2j得

y==xVz,平移直線1=白，由圖象可知當直線經(jīng)過點0(3,0)時，直線丁=白一：z

的截距最小，此時z最大為z=x-2j=3,當直線經(jīng)過3點時，直線截距最大，此時二最

X-I'=-1X=1

小，由。..，解得',即3(1,2),此時z=x-2y=l-4=-3,所以

x+v=31，一。

-3<z<3,即z的取值范圍是[-33]

[2011年高考試題】

x+2y-5>0

1.(2011年高考浙江卷理科5)設實數(shù)陽y滿足不等式組2x+y-7〉0,若羽y為整

x>0,y>0,

數(shù)，貝1|3x+4y的最小值是

(A)14(B)16(C)17(D)19

【答案】B

x+i，-A=0x=3

【解析】作出可行域，由L“二八得「，，為整數(shù)，所以x=4d=l,

|2x+y-7=0|y=l

2工2=3x4+4x1=16故選8.

2.(2011年高考浙江卷理科7)若。/為實數(shù)，則"O<aO<l”是a〈工或人〉工的

ba

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不

必要條件

【答案】A

］ag-l-L1ab-1］、"］、ab-1ab-1(qb-1);

【解析】々一一=-----或5_—=-----貝1」(z々__乂6__)=-----------=-_—

bbaababaab

因為0<ab<1所以--二--->0即(a——)(6--)>0于是(a——--)>0所以

abbaba

4<1或5>2成立，充分條件；

ba

反之a(chǎn)<-^,b>-成立，即=則

babbaa

,1k(，T)；

(<7--VXA*--)=——--<o

baab

故a5<0,不必要條件.故選A

3.(2011年高考安徽卷理科4)設變量滿足岡+田41,則x+2y的最大值和最小值分別

為

(A)1,-1(B)2,-2(C)1,-2(D)2,-1

【答案】B

【解析】不等式兇+國41對應的區(qū)域如圖所示,

當目標函數(shù)過點(0,-1),(0,1)時，分別取最小或最大值，所以x+2y的最大值和

最小值分別為2,—2.故選B.

11.(2011年高考江西卷理科3)若f(x)=?則/(x)的定義域為

JlogJ2x+l)

A.(—―,0)B.(—―,0].C.(——,+00)D,.(0,+oo)

【答案】A

【解析】要使原函數(shù)有意義，只須logI(2x+1)>0,即0<2x+1<L解得-。<X<0,

故選A.

12.(2011年高考江西卷理科4)若/(乃=必—2x—41nx,則尸(x)>0的解集為

A.(0,+oo)B.T,0)UQ,+8)C.(2,+oo)D.

(-1,0)

【答案】c

4?x2-2x-4

【解析】因為/(%)=2%-2——=-----------------，原函數(shù)的定義域為(0,+8),所以由

XX

/'(%)>0可得％2—%—2>0,解得％>2,故選C.

y>x

13.(2011年高考湖南卷理科7)設加>1,在約束條件<y<mx下，目標函數(shù)

x+y<l

z=x+沖的最大值小于2,則加的取值范圍為

A.(1,1+72)B.(1+72,+oo)C.(1,3)D.(3,內(nèi))

答案：A

V=XV=XV=

解析：畫出可行域，或分別解方程組，4”,b;得到三個區(qū)域

|j=wxlx+y=llx+v=l

端點血Ob—!--匚：/一I，當且僅當直線Z=x+?JJ過點,—1—：—一：時，z

[22);w+1w+1j；w+1w+ly

取到最大值Z=K^<2,解得物￡(1』+、叵1。故選A

w+1

14.(2011年高考廣東卷理科5)已知平面直角坐標系九0y上的區(qū),域D由不等式組

0<x<^2

<y<2給定.若M(x,y)為D上動點，點A的坐標為(逝,1).則z=OM[M的最大

x<^2,y

值為()

A.472B.30C.4D.3

【解析】C.由題得不等式組對應的平面區(qū)域D是如圖所示的直角梯形

0ABCz^OMOA=\OM\\OA\cosZAOM^y/3\OM\cosZAOM^y/3\ON\t所以

就是求I°N|的最大值，|ON|表示OM在OA方向上的投影，數(shù)形結(jié)合觀察得當點兇在點

B的地方時，l°N|才最大。

在AAOM中，OA=7722+1=V3,0B=J?+4=強,AB=2-1=1,r.cosZAOM=布+視二'=-72

2a/3a/63

zmax=V3*V6*|V2=4

，所以3所以選擇C

15.(2011年高考湖北卷理科8)已知向量a=(x+z,3),5=(2,y-z),S.a±b,若*,y滿足

不等式國+卜區(qū)1,則z的取值范圍為

A.[―2,2]B.[—2,3]C.[—3,2]D.[—3,3]

答案:D

解析：因為，■!"?,故￡石=0,即2(x-z)-3(j-z)=0,可得z=2x+3y,又因為

|X|+|T|<1,其圖像為四條直線X-J=LX-J=L-X-J=L-X-J=1所圍成的正方形面，由

線性規(guī)劃可計算得當x=Oj=l時，z=3x-3j取到Z==3,當x=Oj=-l,取到=-3,

所以選D.

16.(2011年高考湖北卷理科9)若實數(shù)a力滿足a20,620,且曲=0,則稱a與5互補，記

(p(a,b)=^Ja2+b2-a-b,那么夕(a,A)=O是。與b互補的

A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案:C

解析：由？(2方)=0,即Ja：-方：-a-匕=0,故Ja：-6：=a-b,則a-匕*0,化簡得

cr~bz=(a~b'y,BPab=O,故a-匕20且ab20,貝Ua20)20且ab20,故選C.

二、填空題：

1.(2011年高考浙江卷理科16)設羽y為實數(shù)，若4k+/+孫=1,則2x+y的最大值

【答案】率

【解析】4x?+y2+4號，-3號=1,

73)32x+vn5?

1=(2x+4-…，>(2x+y)2-4(二^，)-=q(2x+y)2

..2x+y&---,故2x+j的版大值為—--

55

2.(20H年高考天津卷理科13)已知集,合

A=e7?||x+3|+|x-4|<9j-,B=|xe7?|x=4?+--6Je(0,+oo)j,則集合

Ac3=_____

【答案】{x|-2W}

【解析】因為，>0,所以4r+：N4,所以8={xe&x2-2},由絕對值的幾何意義可

得A={xeK|-4WxW5},所以={x|-2<x<5}.

，，1Vi、

3.(2011年高考湖南卷理科10)設％,yeR,且孫/0,貝！|x~H---+4y2的最小

1y人工)

值為.

答案：9

解析：由尤,yeR,且肛w0可知：x2>0,y2>0,.,.x~y2>0,貝ij

X2+4丫！+4y2[=l+4+4x2y2+—>5+J

4%2y21V=5+4=9(當

rJU)%，\口

且僅當4Vy2=一:時，取到等號)。故填9

xy

4.(2011年高考廣東卷理科9)不等式|^-+l|-|.x-3|>0的解集是.

【解析】{x|x21}。由題得|x+l閆X—3|(x+1)2>(x-3)2x>1所以不

等式的解集為｛x|x?l｝。

5.(2X)11年高考安徽卷江蘇8)在平面直角坐標系X?！抵校^坐標原點的一條直線與函

2

數(shù)7?(%)=—的圖象交于P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是

X

【答案】4

jy=kx

t解析】設坐標原點的直線方程為n=陽左＞0),則由P」F2解得交點坐標為

(空,回)、(一旦,用),即為P、Q兩點，所以線段PQ長為

y+於“J2gM=4,當且僅當k=l時等號成立，故線段PQ長的最小值是4.

三、解答題：

1.(2011年高考廣東卷理科21)(本小題滿分14分)

A.在平面直角坐標系xOy上，給定拋物線L,:丁=工公實數(shù)p,q滿足p2—例之0,

4.

xi,X2是方程方-px+夕=0的兩根,記夕(p,g)=max{M,民|}。

1

(1)過點9)(pow0)作L的切線教y軸于點

B.證明：對線段AB上任一點Q(p,q)有9(°,q)=煤；

.(2)設M(a,b)是定點，其中a,b滿足a'Tb〉。,a=0.過M(a,b)作L的兩條切

線//，切點分別為E(PI，：PI2),E'(P2，；P22),//與y軸分別交與F,F'。線段EF上異

于兩端點的點集記為X.證明：M(a.b)50出|〉田|09(0,。)=甲

(3)設D={(x,y)|yWxT,y2!(x+1)2--}.當點(p,q)取遍D時，求°(p,q)

44

的最小值(記為夕皿街)和最大值(記為0儂)-

11,

【解析】解：(1)證明：切線/的方程為y=—

VQMq)eA5有0他q)=小尸=也

+

當Po>0時,0<P<Po,于是9(p,q)=。P；~-=-y=

當Po<。時,Po<P<0,于是9(PM)=-+；°。==W」.

(2)lx,l2的方程分別為y=：P]X—1藥j=”小》一(仄一

求得h工交點M(a,b)的坐標(「二，：，竽),由于『-46>0,aH0,故有

Pi1*1PiI-

1)先證：A/(a：6)wxpP]|>|p：].

(=)設Af(a力)wX.

當Pl>0時：0<當：P：<R=>0<Pl+p：<2pi今已忸%I?

當PlV。時<一、-<0=2pi<Pl+0<0=Pl]>1小I.

(u)設||>|%I,則I匹l<1=>一1<&<1=>0<"I+必<2.

PiPiPi

當Pl〉0時,0<Pl；，2<Pl；當Pl<0時,P[<B；，2<1.

注意到M(a,圻在/1上，故M(a,b)eX.

2)次證：M(a,b)eX(p(a,b)='.

(n)己知M(a,A)eX,利用(1)有0(a,b)=丹

（二）設夕（。/）=將^,斷言必有|B|>|「?|.

若不然，IA|<|必I?令丫是4上線段石戶'上異于兩端點的點的集合，

由己證的等價式1）M（a,A）cK再由（1）得夕（。/）=將！/號,矛盾。

故必有|pj>|必|.再由等價式1）,W）用

綜上，M（a,b）eXo|p}|>|2I。<P（a,b）=四'

(3)求得y=x-1和y=g(x+；的交點Q(0:-1\Q(2」)

而y=x-1是L的切點為(2」)的切線，且與y軸交于2(05-1),

由(1)V0(Rq)e線段QQ,有5>4)=1.

,1、541,5

當Q(pq)wZ1v=［(x+l)._：(04x?2)Btg=；(p+l)._j

---KP)=dp：q)