備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)

第二章函數(shù)2.1函數(shù)的概念及其表示1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會(huì)集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域.2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用.3.通過具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.【教材梳理】1.函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x),x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值2.函數(shù)的表示方法（1）解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.（2）列表法：列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.（3）圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.3.函數(shù)的三要素（1）函數(shù)的三要素是：定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系，值域.（2）兩個(gè)函數(shù)相等：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱這兩個(gè)函數(shù)相等（或稱它們是同一個(gè)函數(shù)）.4.分段函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則稱其為分段函數(shù).5.幾個(gè)重要概念常數(shù)函數(shù)：也稱常值函數(shù)，即值域是只含一個(gè)元素的集合的函數(shù).有界函數(shù)、無(wú)界函數(shù)：值域是有界集的函數(shù)稱為有界函數(shù)，否則稱為無(wú)界函數(shù).抽象函數(shù)：沒有給出具體解析式的一類函數(shù).基本初等函數(shù)與初等函數(shù)：一般地，常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)這五類函數(shù)叫做基本初等函數(shù).以上五類函數(shù)以及由它們通過有限次四則運(yùn)算（加、減、乘、除）及有限次復(fù)合得到的函數(shù)叫初等函數(shù).函數(shù)方程：未知量是函數(shù)的方程稱為函數(shù)方程.使函數(shù)方程中的等號(hào)能夠成立的函數(shù)，叫做這一函數(shù)方程的解.【常用結(jié)論】6.教材中的幾個(gè)重要函數(shù)定義圖象絕對(duì)值函數(shù)y“雙勾”函數(shù)y取整函數(shù)y=[x],其中[x]符號(hào)函數(shù)y1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.（1）若A=R，B={x|x>0}，f:x→y（2）若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)相等.(×)（3）已知f(x)=3(x∈R（4）函數(shù)f(x)的圖象與直線x=0（5）f(x)=1+x?1-x2.已知函數(shù)f(x+1)的定義域?yàn)閇1,2]，則f(-2xA.[1,2] B.[0,12] C.[-1,1][解析]解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x+1)的定義域?yàn)閇1,2]，所以f(x所以2≤-2x+3≤3，解得0≤故f(-2x+3)的定義域?yàn)閇0,13.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-1,x≥2,log2A.-2 B.8 C.1 D.2[解析]解：當(dāng)m≥2時(shí)，由m2-1=3，得m當(dāng)0<m<2時(shí)，由log2m=3綜上所述，m=2.故選4.已知f(x-1)=x+2A.x2+2x+3(C.x2-2x[解析]解：令t=x-1(t則原函數(shù)化為f(t所以f(x)=x考點(diǎn)一函數(shù)的概念例1下列各曲線表示的y與x之間的關(guān)系中，y不是x的函數(shù)的是(C)A. B.C. D.[解析]解：根據(jù)函數(shù)定義，對(duì)任意x值，y都有唯一值與之對(duì)應(yīng)，只有C不滿足.故選C.【點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的定義，直線x=a（a是常數(shù)）與函數(shù)y=f(變式1.下列圖形中可以表示以M={x|0≤x≤1}為定義域，NA. B. C. D.[解析]解：A中的值域不滿足題意，B中的定義域不滿足題意，D項(xiàng)不是函數(shù)的圖象，由函數(shù)的定義可知C正確.故選C.考點(diǎn)二求函數(shù)的定義域命題角度1已知解析式求函數(shù)定義域例2函數(shù)f(x)=4-|xA.(2,3) B.(2,4] C.(2,3)∪(3,4] D.(-1,3)∪(3,6][解析]解：函數(shù)f(x)的定義域應(yīng)滿足4-∣x∣≥0,x2-5x+6【點(diǎn)撥】求函數(shù)定義域的原則：用列表法表示的函數(shù)的定義域，是指表格中實(shí)數(shù)x的集合；用圖象法表示的函數(shù)的定義域，是指圖象在x軸上的投影所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的集合；當(dāng)函數(shù)y=f(x)用解析法表示時(shí)，函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實(shí)數(shù)x的集合，一般通過列不等式（組）求其解集.常見的限制條件有：分式的分母不等于0，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于變式2.函數(shù)f(x)=-x2A.(0,1)∪(1,4] B.(0,4] C.(0,1) D.(0,1)∪[4,+∞)[解析]解：由-x2+3x即0<x≤4且x≠1,所以函數(shù)f(x)命題角度2求抽象函數(shù)的定義域例3若函數(shù)f(x)的定義域是[2,4]，則函數(shù)f([解析]解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域是所以2≤x+1≤4，解得所以函數(shù)f(x+1)故填[3,【點(diǎn)撥】求抽象函數(shù)的定義域常用轉(zhuǎn)移法.若y=f(x)的定義域?yàn)?a,b)，則解不等式a<g(x)<b即可求出y=f(變式3.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,2]，則函數(shù)g([解析]解：由題設(shè)可得0≤2x≤2，x所以g(x)的定義域?yàn)閇0,1).故填考點(diǎn)三求函數(shù)的值域例4求下列函數(shù)的值域：（1）y=[答案]解：（方法一）反解法.由y=1-x21+x因?yàn)閤2≥0,所以1-y1+y≥0所以函數(shù)值域?yàn)?-1,1].（方法二）分離常數(shù)法.因?yàn)閥=1-又因?yàn)?+x2≥1,所以0<21+x2≤2,（2）y=[答案]（方法一）基本不等式法.因?yàn)閥=x又因?yàn)閤>1時(shí)，x-1>0,x<1所以當(dāng)x>1時(shí)，y=(x-1)+4x-1≥24=4，且當(dāng)x所以函數(shù)的值域?yàn)?-∞,-4]∪[4,+∞).（方法二）判別式法.因?yàn)閥=x2-2x又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?-∞,1)∪(1,+∞)，所以方程x2-(y+2)x+(y+5)=0有不等于1的實(shí)根.當(dāng)y=-4時(shí)，x=-1；y=4時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)?-∞,-4]∪[4,+∞).（3）y=2[答案]代數(shù)換元法.令t=1-x(t≥0)所以y=2(1-t2)+t=-2t2+t+2=-2(t-1（4）y=2x[答案]三角換元法.令x=cost(0≤t≤因?yàn)?≤t≤π,所以所以sin(π故函數(shù)的值域?yàn)閇-2,5]（5）f(x[答案]圖象法.f(作出其圖象，可知函數(shù)f(x)的值域是（6）y=sinx+1[答案]（方法一）數(shù)形結(jié)合法.函數(shù)y=sinx+1x-1的值域可看作點(diǎn)A(x,sinx),B(1,-1)兩點(diǎn)連線的斜率，B(1,-1)是定點(diǎn)，A(x,sinx)（方法二）單調(diào)性法.因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx+1在x∈[π2,π]上單調(diào)遞減，y=x-1在x∈[π2,π]上單調(diào)遞增，且均非負(fù)，所以函數(shù)y=sinx【點(diǎn)撥】求函數(shù)值域常用方法：（1）分離常數(shù)法；（2）反解法；（3）配方法；（4）不等式法；（5）單調(diào)性法；（6）換元法；（7）數(shù)形結(jié)合法；（8）導(dǎo)數(shù)法.變式4.（1）下列各函數(shù)中，值域?yàn)?0,+∞)的是(C)A.y=log2(C.y=2-2[解析]解：x2+2x-3=(x+1)2因?yàn)?≤1-2x<1,則y=1-2y=2-2x+1>0y=3?1x故選C.（2）【多選題】（教材改編題）函數(shù)y=2xx2A.y=4x2C.y=x-1[解析]解：y=4y=2y=x-1xy=ex+e-x對(duì)于y=2xx2+1,當(dāng)x=0時(shí)，y=0;當(dāng)x≠0時(shí)，y=2x+1x,而x+1（3）函數(shù)f(x)=x[解析]解：函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,12令t=1-2x(t所以y=1-故當(dāng)t=1（即x=0）時(shí)，y有最大值1，故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?-∞,1]（4）函數(shù)y=2x2[解析]解：因?yàn)閤2+x+1>0恒成立，所以函數(shù)的定義域?yàn)镽.由y=2x2-x+2x2+x+1，得(y-2)x2+(y+1)x+y-2=0所以Δ=(y+1)2-4×(y-2)2≥0，所以1≤（5）已知函數(shù)f(x)=2x，則函數(shù)fA.(0,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.R[解析]解：函數(shù)f(x)=2x令t=2x，則t>0，所以f(f(考點(diǎn)四求函數(shù)的解析式例5（1）已知f(x)是一次函數(shù),且3f(x[解析]解：待定系數(shù)法.因?yàn)閒(x可設(shè)f(x所以3[a(即ax+(5a所以a=2，5a所以f(x)的解析式是f(x)=2（2）已知f(1-sinx)=cos2[解析]解：換元法.設(shè)1-sinx=t則sinx=1-t，因?yàn)樗詅(t)=1-(1-t)即f(x)=2x-x2，x∈[0,2]（3）已知f(x+1x)=[解析]解：配湊法.f(x+1x)=x2+（4）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，且f(x)=2[解析]解：消去法.在f(x)=2f(1x)?x-1中，將x換成1由f(x)=2f(1x)?x（5）已知函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對(duì)任意x∈R，都有f(f(A.4 B.8 C.10 D.12[解析]解：根據(jù)題意，f(x)是單調(diào)函數(shù)，且f(f(x)-3x)=4，則f(x)-3x為定值.設(shè)f(x)-3x=t，【點(diǎn)撥】函數(shù)解析式的求法：①待定系數(shù)法：已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)等），可用待定系數(shù)法;②換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍;③配湊法：由已知條件f(g(x))=F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代變式5.（1）設(shè)f(x)是二次函數(shù),f(0)=2,f(x[解析]解：設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由（2）若函數(shù)f(x+1)=x-解：換元法.令t=x+1≥0，則x=t2-1，所以f(t)=t（3）已知f(x-1x)=[解析]解：f(x-1x)=x2（4）已知f(x)+2f(-xA.-3x+13 B.-3x[解析]解：因?yàn)閒(x)+2所以f(-x)+2聯(lián)立①②解得f(x)=-3x（5）已知函數(shù)f(x)滿足3f(x-1)+2A.f(x)=2x B.f(x)=[解析]解：令t=x-1,得將t用-t代替,可得3f(-聯(lián)立①②可得f(t所以f(x)=2x（6）已知函數(shù)f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù)，且?x∈(0,+∞)，都有f(A.-4 B.-3 C.-1[解析]解：由題得，設(shè)f(x)+2x因?yàn)閒(f(x)+2x)=f(k)=-1,所以f(考點(diǎn)五分段函數(shù)命題角度1求分段函數(shù)的函數(shù)值和值域例6已知函數(shù)f(x)=2x-1,x≤0,x1A.3 B.2 C.9 D.2或9[解析]解：由題意得2m-1=3,m≤0或m12【點(diǎn)撥】求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)形如f(f(x0)變式6.函數(shù)f(x)=ex-1,x≥0,x2,x<0,[解析]解：當(dāng)x0≥0時(shí)，f(x0當(dāng)x0<0時(shí)，f(x0綜上，x0=±1當(dāng)x≥0時(shí)，ex-1≥1e；當(dāng)x<0時(shí)，x2>0.故命題角度2分段函數(shù)與方程例7[2022屆廣西模擬預(yù)測(cè)]已知f(x)=x+3,x≤0，xA.2 B.2 C.1 D.0[解析]解：因?yàn)閒(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞增且a-3<a+2，所以a-且a-3+3=a+2，解得a=2，所以【點(diǎn)撥】此類分段函數(shù)與方程交匯問題，關(guān)鍵點(diǎn)是抓住“分段問題、分段解決”的核心思想，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及參數(shù)的特點(diǎn)分區(qū)間討論，最后將結(jié)果合并起來(lái).變式7.[2022屆江西二模]已知函數(shù)f(x)=x2-2,x≥0,x+3,A.(18,+∞) B.(-∞,18)[解析]解：依題意有a+3=(a+3)2故g(x)=-x2+x，可知g(命題角度3分段函數(shù)與不等式例8已知函數(shù)f(x)=x2+2x,x≥0,-A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)[解析]解：因?yàn)閥=x2+2x在[0,+∞)上單調(diào)遞增，y=-x2+2x所以，函數(shù)f(x)在則f(2-a2)>f(a)等價(jià)于2-a2>a【點(diǎn)撥】解決分段函數(shù)的單調(diào)性問題,要注意“通觀全局”，即對(duì)于分段函數(shù)在R上單調(diào)，需滿足每一段具有相同的單調(diào)性,還需要分段點(diǎn)兩側(cè)的值也符合該單調(diào)性.變式8.設(shè)函數(shù)f(x)=g(x),x<1，x13，x≥1，則當(dāng)g(x)=ex[解析]解：若g(x)=ex-1，當(dāng)x<1時(shí)，e當(dāng)x≥1時(shí)，x?13≤2，解得x≤8綜上可知x的取值范圍是(-∞,8].若g(x)=1,則顯然x+1與2x均小于等于1不可能.當(dāng)x+1≥1且2x≥1時(shí)，由f(x+1)>f(2x)得(x+1)13>(2x)13,x+1>2x?12命題角度4已知分段函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)例9已知函數(shù)f(x)=x2-2x+2,x>0,A.1 B.2 C.3 D.4[解析]解：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，值域?yàn)閇1,+∞)；當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=-x【點(diǎn)撥】已知分段函數(shù)的值域或最值求參數(shù)范圍，可先求函數(shù)在各區(qū)間段的值域或最值，再結(jié)合已知條件建立不等式（組）求解.必要時(shí)可先分析函數(shù)性質(zhì)，再畫圖數(shù)形結(jié)合.變式9.已知f(x)=(1-2a)x+3a,xA.(-∞,-1] B.(-1,12) C.[-1,1[解析]解：當(dāng)x≥1時(shí)，lnx≥0，故要使函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，如圖所示，需使1-2a>0，ln1≤1-2a+3命題角度5絕對(duì)值函數(shù)例10畫出函數(shù)y=|x-2|的圖象，并求函數(shù)[答案]解：對(duì)于y=|x（方法一）由絕對(duì)值的概念，知y=x-2,x≥2,（方法二）（翻折法）先畫出y=x-2的圖象，然后把圖象中位于x軸下方的部分沿x軸翻折到對(duì)于y=|x-2|+x2-4x的值域，可通過將其寫成分段函數(shù)的形式y(tǒng)=x2【點(diǎn)撥】分類討論去絕對(duì)值，進(jìn)而畫出函數(shù)圖象，或者利用翻折法畫含絕對(duì)值的函數(shù)圖象.求值域可借助圖象特點(diǎn)，或直接用求分段函數(shù)值域的方法求解.變式10.函數(shù)y=|x+1|+|x[解析]解：函數(shù)y=-2根據(jù)圖象可知，函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的值域?yàn)椤眷柟虖?qiáng)化】1.下列函數(shù)為同一函數(shù)的是(C)A.f(x)=|B.f(x)=xC.f(x)=xD.f(x)=1[解析]解：對(duì)于A，f(x)=∣x∣x=1,x>0,對(duì)于B，f(x)=x?x+1=x(x對(duì)于C，f(x)=x2-2x-1，定義域是對(duì)于D，f(x)=1，定義域是R，g(x)=x02.[2020年北京卷]函數(shù)f(x)=1xA.(-1,e) B.(0,1) C.(0,+∞) D.[解析]解:要使函數(shù)f(x)有意義，則x+1≠0,x>0,即x3.[2021年浙江卷]已知a∈R，函數(shù)f(x)=x2-4,A.-3 B.0 C.1 D.2[解析]解:f(f(6))=f(6-4)=4.已知函數(shù)f(x)=log2x,x>2,A.-1 B.-2 C.-1或2 D.1[解析]解：當(dāng)a>2時(shí)，f(a)=log2a=12，所以a=2（舍去）；當(dāng)a5.若f(1-2x)=1-x2A.8 B.3 C.1 D.30[解析]解：（方法一）令1-2x=t，得x=1-則f(1（方法二）令1-2x=13,得x=136.已知f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù)，若f(f([解析]解：根據(jù)題意，f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù)，且f(f(x)-lnx)=1，則f(x)-lnx為定值.設(shè)f(x)-lnx=t，7.求下列函數(shù)的值域：（1）y=3x[答案]解：y=3xx+1=3-3x+1，y=x+1在（2）y=[答案]令-x2+4x+5≥0又y=-x2+4x+5圖象對(duì)稱軸為x=2,故當(dāng)x=2（3）y=[答案]當(dāng)x=0時(shí)，y=0；當(dāng)x≠0時(shí)y=3x+1x+1,易知x另外，也可用判別式法求.（4）y=2x-[答案]y=2y=x-1與y=3x+1均為增函數(shù),且8.求函數(shù)f(x（1）f(x)是二次函數(shù),且滿足f[答案]解：設(shè)所求的二次函數(shù)為f(x因?yàn)閒(0)=c=1,則又f(x所以a(x即2ax+由恒等式性質(zhì)，得2a=2,a+所以f(x（2）f(x)[答案]因?yàn)?f(x所以2f(1①×2-②得3f(故f(x【綜合運(yùn)用】9.函數(shù)f(x)=x2+x,0<xA.0 B.1 C.2 D.4[解析]解：由x≥2時(shí)f(x)=-2x+8是減函數(shù)可知，若a≥2,則f(a)≠f(a+2)，所以0<a<2，2<a10.【多選題】已知函數(shù)f(x)=x2+2x+1,x≤0,-A.0 B.1 C.-1 D.-[解析]解：設(shè)t=f(a)若t>0，則-t2=-1，解得t=1或t=-1（舍去），所以f(a)=1，當(dāng)a>0時(shí)，-a2=1若t≤0，則t2+2t+1=-1，即t2+2t11.若函數(shù)f(x)=(12)x,x<1,A.[14,+∞) B.[14,1[解析]解：當(dāng)x<1時(shí)，f(當(dāng)x≥1時(shí)，f(因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的值域?yàn)樗詀+14≥12,12.（教材習(xí)題改編）函數(shù)f(x)=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[-5.1]=-6，[π]=3.已知函數(shù)g(A.{-1} B.{-1,0} C.{1} D.{0,1}[解析]解：因?yàn)閤∈R，g所以g(x)是R當(dāng)x>0時(shí)，0<g所以當(dāng)x∈R時(shí)，g從而y=f(g(x))13.設(shè)偶函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且f(4)=0，則不等式f(A.(-4,4) B.(-4,0)∪(0,4)C.(-4,0)∪(4,+∞) D.(-∞,-4)∪(0,4)[解析]解：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(x)+f(-x)2x<0等價(jià)于f(x)由f(x)x<0，得又f(4)=0，解得0<x<4或x<-4【拓廣探索】14.[2023屆湖北重點(diǎn)中學(xué)高三上二聯(lián)]【多選題】華人數(shù)學(xué)家李天巖和美國(guó)數(shù)學(xué)家約克給出了“混沌”的數(shù)學(xué)定義，由此發(fā)展的混沌理論在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)學(xué)等領(lǐng)域都有重要作用.在混沌理論中，函數(shù)的周期點(diǎn)是一個(gè)關(guān)鍵概念，定義如下：設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)于x∈R，令xn=f(xn-1)(n=1,2,3,…)，若存在正整數(shù)k使得xk=x0，且當(dāng)0<j<k時(shí)，xjA.0 B.13 C.23 D.[解析]解：對(duì)于A，x0=0時(shí)，x1=f對(duì)于B，x0=13時(shí)，x1=f(13)=23，x2對(duì)于C，x0=23時(shí)，同B中有x1對(duì)于D，x0=1時(shí)，x1=f(1)=0，結(jié)合A可知1不是f(x)2.2函數(shù)的基本性質(zhì)第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲到柚瘮?shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實(shí)際意義.【教材梳理】1.函數(shù)的單調(diào)性（1）增函數(shù)與減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I:如果當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的（2）函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)2.函數(shù)的最大（?。┲底畲笾底钚≈禇l件一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)Mf(f(?x0∈I結(jié)論稱M是函數(shù)y=f(稱M是函數(shù)y=f(幾何意義y=fy=f【常用結(jié)論】3.判斷函數(shù)單調(diào)性的主要方法（結(jié)論）（1）定義法教材習(xí)題中給出了其常見的兩種等價(jià)形式：設(shè)x1,x2∈(a,b)，且x①ΔyΔx>0?fΔyΔx<0?f(上式的幾何意義：增（減）函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)(x1,f(x②Δx?Δy>0?f(x)在(（2）性質(zhì)法①當(dāng)常數(shù)c>0時(shí)，y=c?f(x)與y=f(x)的單調(diào)性相同；當(dāng)常數(shù)c<0②當(dāng)y=f(x)恒為正或恒為負(fù)時(shí)，y=③若c為常數(shù)，則函數(shù)y=f(x)④若f(x)與g(x)⑤若f(x)>0且g(x)>0，f(x)與g(x)都是增（減）函數(shù)，則f(x)?g(x⑥奇（偶）函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同（相反）.（3）同增異減法復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：如果y=f(u)和u=g(x)的單調(diào)性相同，那么y=f(g(x))是增函數(shù)；如果y（4）導(dǎo)數(shù)法對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果在某個(gè)區(qū)間上f'(x)>0，那么f(（5）圖象法.4.函數(shù)最值的重要結(jié)論（1）設(shè)f(x)在某個(gè)集合D上有最小值，m為常數(shù)，則f(x)≥m（2）設(shè)f(x)在某個(gè)集合D上有最大值，m為常數(shù)，則f(x)≤m5.常見抽象函數(shù)及其原型（1）f(x+y（2）f(xy)=f(x)（3）f(x+y)=f(x)?f(y)以及（4）f(xy)=f(x)+f(y)以及f(（5）f(x+y1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.（1）若定義在R上的函數(shù)f(x)，有f(-1)<f(3)，則函數(shù)f(x)（2）函數(shù)y=1x的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)∪(0,+∞).（3）所有的單調(diào)函數(shù)都有最值. (×)（4）如果一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個(gè)子區(qū)間上都是增函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)在定義域上是增函數(shù). (×)（5）閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值一定在區(qū)間端點(diǎn)取得. (√)2.設(shè)函數(shù)f(x)=log0.5(x2A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(3,+∞)[解析]解：設(shè)u(x)=x2-2x-3，因?yàn)榱顄(x)=x2-2x又當(dāng)x<-1時(shí)，u(x)單調(diào)遞減.故f(x)3.（教材練習(xí)改編）函數(shù)f(x)=1x-2xA.-72 B.72 C.1[解析]解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在所以f(x)min4.若函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞增，且f(2m-A.(-∞,-1) B.(-1,+∞) C.(1,+∞) D.(-∞,1)[解析]解：因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，f(2m-3)>f(-m)，所以2m-考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間命題角度1求具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1（1）已知函數(shù)f(x)=loga(-x2-2x+3)（A.(-∞,-1] B.[-1,+∞) C.[-1,1) D.(-3,-1][解析]解：令g(x)=-x2-2x+3，由題意知g(x)>0，可得-3<x<1，故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|-3<x<1}.根據(jù)f(0)=loga3<0，可得0<a（2）函數(shù)y=x2+3[解析]解：由x2+3x≥0，得x≤-3設(shè)t=x2+3x，該函數(shù)在(-∞,-3]上單調(diào)遞減，而y=t12是定義域內(nèi)的增函數(shù)，所以函數(shù)y（3）求函數(shù)f(x)=|x[答案]解：先作出函數(shù)y=x2-4x+3的圖象，由于絕對(duì)值的作用，把圖象在x軸下方的部分翻折到上方，可得函數(shù)y=|x2-4x+3|的圖象，如圖所示.由圖可知f(x)在(-∞,1]和[2,3]上單調(diào)遞減，在[1,2]【點(diǎn)撥】①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域;②函數(shù)單調(diào)性的判斷方法及相關(guān)結(jié)論見本節(jié)【常用結(jié)論】;③在研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常需要先將函數(shù)化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為討論一些熟知的函數(shù)的單調(diào)性，因此掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等的單調(diào)性，將大大縮短我們的判斷過程.變式1.（1）函數(shù)y=log12(A.(-∞,1) B.(2,+∞) C.(-∞,32)[解析]解：由x2-3x+2>0，解得x<1或x>2，因此函數(shù)y=log?12(x2-3x+2)的定義域?yàn)?-∞,1)∪(2,+∞).令u=x2-3x+2,y=log?12u(（2）函數(shù)y=1--x2+6A.[0,3] B.(-∞,3] C.[3,6] D.[3,+∞)[解析]解：由-x2+6x≥0所以函數(shù)y=1--x2+6令t=-x2+6x，其圖象是開口向下的拋物線，對(duì)稱軸方程為x=3則函數(shù)y=1--x2+6x（3）求函數(shù)f(x)=-[答案]解：f(x)=-x2+2x+3,x≥0，-x2-2x命題角度2用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性例2（1）試討論函數(shù)f(x)=axx-[答案]解：（方法一）設(shè)-1<xf(xf(x由于-1<x1<x2<1，所以x2-x1>0，x1-1<0，x2-1<0當(dāng)a<0時(shí)，f(x1)-f(x2)<0，即（方法二）f'(x當(dāng)a>0時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)f(當(dāng)a<0時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x（2）【多選題】下列函數(shù)中，滿足“對(duì)于任意x1,x2∈(2,+∞)，且x1≠x2都有A.f(x)=2C.f(x)=x[解析]解：由題意有f(x)在(2,+∞)上為減函數(shù).A,B顯然滿足，C在(-2,+∞)上為增函數(shù)，不滿足，D在(1,+∞)上為增函數(shù)，不滿足【點(diǎn)撥】證明函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法：①定義法：基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷；②可導(dǎo)函數(shù)可以利用導(dǎo)數(shù)證明.函數(shù)單調(diào)性定義的等價(jià)形式見本節(jié)【常用結(jié)論】.變式2.（1）已知函數(shù)f(x)=axx2+1(a[答案]證明：當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)-1<則f(=a(因?yàn)?1<x所以-1<x1x2(1+x12)(1+x所以a(x2-x1故函數(shù)f(x)在(-1,1)同理可證當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在（2）【多選題】下列函數(shù)中滿足“?x1,x2∈(0,+∞)，x1≠x2A.f(x)=-2x B.f(x[解析]解：題中是函數(shù)單調(diào)遞增的充要條件.對(duì)于A,f(x)在對(duì)于B，由性質(zhì)可判斷f(x)是對(duì)于C，f'(x)=1+lnx，故f(x)對(duì)于D，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=11+故選AB.考點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題角度1比較函數(shù)值的大小例3設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0,+∞)上單調(diào)遞減，則A.f(log31C.f(2-3[解析]解：因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，所以f(log314)=f(log34).因?yàn)閘og34>log33=1,1=20>2?-2【點(diǎn)撥】比較函數(shù)值的大小，常由函數(shù)的奇偶性、周期性等，將自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再利用函數(shù)的單調(diào)性，通過比較自變量的大小來(lái)比較其函數(shù)值大小.變式3.已知f(x)為R上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=ex，aA.b>a>c B.b>c>[解析]解：因?yàn)閤>0時(shí)，f(x)=ex，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.a=f(ln13)=f因?yàn)?<log3e<1<ln3<ln命題角度2解函數(shù)不等式例4設(shè)函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，若f(m2+2)>[解析]解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是所以f(m2+2)>f即m2-2m-3<0，解得-【點(diǎn)撥】自變量的大小關(guān)系和函數(shù)值的大小關(guān)系可正逆互推，即若f(x)是增（減）函數(shù)，則f(x1)<f(x2)?x1變式4.（1）設(shè)a∈R，已知函數(shù)y=f(x)是定義在[-4,4]上的減函數(shù)，且f(A.[-4,1) B.(1,4] C.(1,2] D.[-5,2][解析]解：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是定義在[-4,4]所以-4≤a+1<2a≤4，解得（2）設(shè)函數(shù)f(x)=2x,x<2，x2A.(-∞,1] B.(-∞,2] C.[2,6] D.[2,+∞)[解析]解：易知函數(shù)f(x)在定義域(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.因?yàn)閒(a+1)≥f(2a-1)，所以a+1≥2a-命題角度3求參數(shù)的取值范圍例5（1）已知f(x)=logax,x>1，(10-A.{a|2≤a<10} B.{a|1<a[解析]解：由題意可得a>1,解得2≤a<10，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|2≤（2）已知函數(shù)f(x)=xx-1,x≤0，A.(-1,0) B.[-1,0] C.(-1,+∞) D.[-1,+∞)[解析]解：當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=xx-1=1+1x-1單調(diào)遞減.因?yàn)閒(x)【點(diǎn)撥】利用單調(diào)性求參數(shù)：①依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較;②需注意若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的變式5.（1）[2022屆河南焦作高三聯(lián)考]如果函數(shù)f(x)=(2-3a)x+1,x>1，ax,A.(23,1) B.(23,3[解析]解：由題意可知f(x)是R上的減函數(shù),所以2-3a<0,0<a<1,a≥2-3a+1,解得（2）函數(shù)f(x)=x2-2x+2,x>A.1 B.2 C.3 D.4[解析]解：因?yàn)閥=x+2在R上單調(diào)遞增，y=x2-2x+2在[1,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(故選C.考點(diǎn)三函數(shù)的最值例6（1）函數(shù)f(x)=(13)x[解析]解：因?yàn)閥=(13)x和y=-log2(x+2)都在[-1,1]上單調(diào)遞減，所以y=f（2）已知函數(shù)f(x)=|x2-4x|，?x[解析]解：當(dāng)x∈[2,5]時(shí)，函數(shù)f對(duì)應(yīng)圖象如圖所示，故f(x)的最小值為f(x)的最大值為f(5)=5.所以-a故填[-5,【點(diǎn)撥】存在、成立問題一般借助轉(zhuǎn)化與化歸思想，化為函數(shù)最值問題求解.變式6.（1）已知函數(shù)f(x)=log13x,x>1,-x[解析]解：①由于f(所以f(3)=log?133=-1，則f(f(3))=f(-1)=-3.②當(dāng)x>1時(shí)，由f(x)=log?1綜上可知，f(x)的最大值為1.故填-3（2）已知t為常數(shù)，函數(shù)y=|x2-2x-t|在區(qū)間[解析]解：y=x2-2x-t圖象的對(duì)稱軸為x=1,且3-1>1-0，所以函數(shù)y若在x=1處取到，則|1-2-t|=2，得t=1或t=-3.當(dāng)t=1時(shí)，ymax=2，符合題意；當(dāng)若在x=3處取到，則|9-6-t|=2，得t=1或t=5.當(dāng)t=1時(shí)，ymax=2所以t=1.故填考點(diǎn)四抽象函數(shù)的單調(diào)性例7函數(shù)f(x)對(duì)任意的m，n∈R，都有f(m（1）求證：f(x)在[答案]解：證明：設(shè)x1，x2∈R且x1<x2，則x2-xf(x2)=f[(x2-所以f(x)在R（2）若f(3)=4，解不等式f[答案]因?yàn)閙，n∈R，不妨設(shè)m所以f(1+1)=f即f(2)=2f又f(3)=4，所以f(2+1)=f(2)+f(1)-1=3f(1)-2=4又因?yàn)閒(x)在所以a2+a-5<1，解得-【點(diǎn)撥】對(duì)于抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷要緊扣單調(diào)性的定義，結(jié)合題目所給性質(zhì)和相應(yīng)的條件，對(duì)任意x1，x2在所給區(qū)間內(nèi)比較f(x1)-f(x2)與0的大小，或f(x1)f(x2)與1的大小變式7.f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，且對(duì)一切x>0,y>0都有f(x（1）求f(1)[答案]解：f(1)=f(xx（2）判斷f(x[答案]f(x)在(0,+∞)證明：設(shè)0<x1<x2f(x2)-f(x1)=所以f(x2)-f(x1)>0（3）若f(6)=1，解不等式f[答案]因?yàn)閒(6)=f(366所以f(36)=2,原不等式化為f(又因?yàn)閒(x)在所以x+5>0,1x>0,x注：此題原型函數(shù)為y=log思想方法·函數(shù)思想在指對(duì)同構(gòu)中的應(yīng)用典例[2020年全國(guó)Ⅰ卷]若2a+log2aA.a>2b B.a<2b C.a[解析]解：因?yàn)?a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，22b【點(diǎn)撥】當(dāng)式子中出現(xiàn)不同變量，適當(dāng)變形后使其結(jié)構(gòu)相同，則可考慮構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性等解題，注意掌握這種構(gòu)造思想，除了小題中是熱門考點(diǎn)外，大題（導(dǎo)數(shù)綜合問題）也常應(yīng)用.變式.（1）[2020年全國(guó)Ⅱ卷]若2x-2y<A.ln(y-x+1)>0C.ln|x-y|>0[解析]解：由2x-2y<3-x-3-y得，2x-3-x<2y-3-y，令f(t)=2t-3-t，因?yàn)閥=2x為R上的增函數(shù)，y=3-x為（2）已知實(shí)數(shù)a,b∈(0,2)，且滿足a2-b2A.a+b<1 B.a+b<2[解析]解：題中式子化為a2+2a<22-b+(2-b)2,構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2+2x,是（3）設(shè)方程x+2x=4的根為m,方程x+log2x=4[解析]解：m+2m=4,log2n+2log2n=4,由y=【鞏固強(qiáng)化】1.[2021年全國(guó)甲卷]下列函數(shù)中是增函數(shù)的為(D)A.f(x)=-x B.f(x)=([解析]解：由一次函數(shù)性質(zhì)可知f(x)=-x由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知f(x)=(23由二次函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)=x2根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)可知f(x)=3x故選D.2.下列函數(shù)在[1,4]上最大值為3的是(A)A.y=1x+2 B.y=3x-[解析]解：對(duì)于A，y=1x+2在[1,4]上單調(diào)遞減，所以y對(duì)于B，y=3x-2在[1,4]上單調(diào)遞增，所以y對(duì)于C，y=x2在[1,4]上單調(diào)遞增，所以ymax=對(duì)于D，y=3x在[1,4]上單調(diào)遞增，所以ymax=343.已知函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2A.(-∞,3] B.[-3,+∞) C.(-∞,5] D.[3,+∞)[解析]解：f(x)圖象的對(duì)稱軸為x=-2(a-1)2=1-a.因?yàn)閒(x4.函數(shù)f(x)=x|A.[1,2] B.[-1,0] C.(0,2] D.[2,+∞)[解析]解：f(當(dāng)x>2時(shí)，f(x當(dāng)x≤2時(shí)，f(x)綜上，[1,2]是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間5.已知函數(shù)f(x)=2x-A.在(-∞,0)上單調(diào)遞增 B.在(0,+∞)上單調(diào)遞增C.在(-∞,0)上單調(diào)遞減 D.在(0,+∞)上單調(diào)遞減[解析]解：（方法一）因?yàn)閒(x)=2x-1x+1=2(x+1)-3x+1=2-3x+1，函數(shù)f(x（方法二）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(-1,+∞)，f'(x)=3(x+1)2>06.已知函數(shù)y=log2(ax-1)在(1,2)A.(0,1] B.[1,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞)[解析]解:要使y=log2(ax-1)在(1,2)上單調(diào)遞增，則a>0且7.已知函數(shù)f(x)=x2+4x,x≥0,4A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)[解析]解：f(x)=x2+4x=(x+2)2-4,x≥0，4x-x2=-(x-28.已知函數(shù)f(（1）求f(0)[答案]解：f(0)=a（2）探究f(x[答案]因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，所以任取x1，x2∈R且因?yàn)閥=2x在R上單調(diào)遞增且所以0<2x1<2x2，所以2x1-2x2<0所以f(x)在R（3）若f(x)為奇函數(shù)，求關(guān)于x的不等式f[答案]因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以即a-22-x+1=-a+22x+1，解得a由（2）知f(x)在R上單調(diào)遞增，所以所以不等式的解集為(-∞,2).【綜合運(yùn)用】9.[2022屆韶關(guān)期中]若函數(shù)f(x)，g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足A.f(2)<f(3)<gC.f(2)<g(0)<f[解析]解：用-x替換x，則f(-因?yàn)閒(x)與g(x)分別是R上的奇函數(shù)與偶函數(shù)，所以-f(x所以f(3)>f(2)>f10.已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的減函數(shù)，且f(4-x)+f(A.(-4,0) B.(-∞,-4)∪(0,+∞)C.(-5,1) D.(-∞,-5)∪(1,+∞)[解析]解：因?yàn)閒(4-x所以f(4-x)=-f(因?yàn)閒(x即f(x即f(x因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義域?yàn)樗詘2+3x>5-x，解得x另易知f(x)關(guān)于(2,0)對(duì)稱，由幾何意義或直接構(gòu)造f故選D.11.設(shè)b∈R，若函數(shù)f(x)=4x-2x+1+b在[-1,1]A.2 B.1 C.0 D.-1[解析]解：f(x設(shè)2x=t,則因?yàn)閤∈[-1,1],所以t∈[12,2]ymax=(2-1)2+于是f(x)min12.已知函數(shù)f(x)=(2a-1)x,x>1,logax-13,0<x≤1,A.(0,12) B.[13,1[解析]解：由題意可知f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，因此2a-1<0,0<a<1,2a-13.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(-x)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞增，不等式f(A.[-32,-1] B.[-52,-1][解析]解：由f(x)=f(-x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，又f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)因?yàn)閒(ax+3)≤f(-2)對(duì)于x即-2≤ax+3≤2對(duì)于x通過-5x≤a≤-1x，以及y=-5x與y=-當(dāng)a=0當(dāng)a>0時(shí)，a+3≥-2,2a+3≤2,當(dāng)a<0時(shí)，2a+3≥-2,a+3≤2,綜上所述，a的取值范圍為[-52,-1]【拓廣探索】14.【多選題】（經(jīng)典題改編）若函數(shù)f(x①定義域?yàn)?-1,1)；②對(duì)于任意的x,y∈(-1,1)，都有f③當(dāng)-1<x<0則稱函數(shù)f(x)為δ的函數(shù).若函數(shù)f(x)為A.f(x)為奇函數(shù) B.C.f(x)為單調(diào)遞減函數(shù) D.f[解析]解：f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令y=-x,則有f(x)+f(-x)=f(0)，令x=y=0，則有f(0)=0，所以f令x=x1，y=-x2，且又x1-x2<0且-1<x1即-1<x1-x21-x1x2<0另解：取f(x)=ln1-第2課時(shí)函數(shù)的奇偶性與周期性1.結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義.2.結(jié)合三角函數(shù)，了解周期性的概念和幾何意義.【教材梳理】1.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈且f(-x)=f(且f(-x)=-f(圖象特點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2.函數(shù)的周期性一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x+T∈D，且f(x+【常用結(jié)論】3.函數(shù)奇偶性的幾個(gè)常用結(jié)論（1）具有奇偶性函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”是“一個(gè)函數(shù)具有奇偶性”的必要不充分條件.（2）f(x)（3）若奇函數(shù)f(x)在x=0（4）若f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，則它的圖象一定在x（5）若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在[a,b]上為增（減）函數(shù)，則f(x)在[-b,-a]（6）奇、偶函數(shù)的“運(yùn)算”（共同定義域上）:奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇.（7）常用的兩個(gè)等價(jià)關(guān)系①f(x+a)為偶函數(shù)?f②f(x+a)為奇函數(shù)?f4.函數(shù)周期性的幾個(gè)常用結(jié)論（1）周期函數(shù)的定義域必定至少一端是無(wú)界的.（2）T是f(x)的周期，則nT(n∈（3）若函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期為T，則函數(shù)f(（4）以下等式中任何一個(gè)可推得2a為f(x)的周期(a>0);①f(x+a)=-f5.抽象函數(shù)圖象的對(duì)稱性函數(shù)圖象的對(duì)稱性主要有兩種，一種是軸對(duì)稱，另一種是中心對(duì)稱.函數(shù)圖象的對(duì)稱性主要包括函數(shù)圖象自身的對(duì)稱性（自對(duì)稱）及不同函數(shù)圖象之間的對(duì)稱性（互對(duì)稱）.（1）一個(gè)函數(shù)的自對(duì)稱①軸對(duì)稱:若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=②中心對(duì)稱:若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=0或f(x)+f(2a-x)=0，則函數(shù)y=f(x)（2）兩個(gè)函數(shù)的互對(duì)稱①軸對(duì)稱:函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱.特別地，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)y=f(x)②中心對(duì)稱:函數(shù)y=f(x)與y=-f(2a-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)成中心對(duì)稱.特別地，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)y=f6.對(duì)稱性與周期性的關(guān)系（1）如果函數(shù)f(x)(x∈D)在定義域內(nèi)有兩條對(duì)稱軸x=a,x（2）如果函數(shù)f(x)(x∈D)在定義域內(nèi)有兩個(gè)對(duì)稱中心A(a,0)（3）如果函數(shù)f(x)(x∈D)在定義域內(nèi)有一條對(duì)稱軸x=a1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.（1）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-1)=f(1),則f（2）偶函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn). (×)（3）若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f（4）函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x+a)=-f(x)(a（5）若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=-f(b-2.下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是(D)A.f(x)=xC.f(x)=3[解析]解：對(duì)于選項(xiàng)A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(-x)=-x+sin2(-x)=-(x+sin2x)=-f(x)，所以f(x)=x+sin2x為奇函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)B3.[2020年全國(guó)Ⅱ卷]設(shè)函數(shù)f(x)=x3-1A.是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 D.是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減[解析]解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3-1x3的定義域?yàn)閧又因?yàn)楹瘮?shù)y=x3在(-∞,0)上單調(diào)遞增，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，而y=1x3=x-3在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x4.已知函數(shù)y=f(x)+x是偶函數(shù)，且f[解析]解：設(shè)F(x)=f(x)+x，因?yàn)镕(x)為偶函數(shù)，所以考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷命題角度1判斷函數(shù)的奇偶性例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f([答案]解：定義域要求1-x1+x≥0所以f(x所以f(x)（2）f(x[答案]由9-x2≥0，x所以f(x)的定義域?yàn)閧-3,3}又f(3)+f(-3)=0，所以f(x所以f(x)（3）f([答案]（方法一）（定義法）：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=-x當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x所以f(x)（方法二）（圖象法）：作出函數(shù)f(x)的圖象，由圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特征知函數(shù)f（4）f([答案]由4-x2≥0，∣x+3∣所以f(x)的定義域?yàn)閇-2,0)∪(0,2]，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.所以所以f(x)=-f(-x（5）f(x[答案]由1-x1+x>0，得-1<x<1，即f(x)=ln1-x（6）f(x)=loga(x+x[答案]因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，又因?yàn)閒(-=log=log=log=loga即f(-x)=-f(x)【點(diǎn)撥】判斷函數(shù)奇偶性的常用方法：①定義法：②圖象法：③還可用本節(jié)“常用結(jié)論”中的“運(yùn)算”確定奇偶性（在共同定義域上）.④對(duì)于分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段驗(yàn)證，但驗(yàn)證過程往往比較繁瑣，且容易判斷錯(cuò)誤，通常是用圖象法來(lái)判斷.⑤對(duì)于含有x的對(duì)數(shù)式或指數(shù)式的函數(shù)常用“f(-x)±f變式1.（1）函數(shù)f(x)=2-xA.x軸對(duì)稱 B.原點(diǎn)對(duì)稱 C.y軸對(duì)稱 D.直線y=x[解析]解：2-x2≥0,x≠0,得-又f(x)=-f(-x)（2）【多選題】下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是(ACD)A.y=xsinxC.y=x?e[解析]解：對(duì)于A，y=xsinx，其定義域?yàn)镽，有f(-對(duì)于B，y=xlnx對(duì)于C，y=x?ex-1ex+1對(duì)于D，y=xln(x2+1-x)，其定義域?yàn)镽（3）[2021年全國(guó)乙卷]設(shè)函數(shù)f(x)=1-xA.f(x-1)-1 B.f(x-[解析]解：由題意可得f(x對(duì)于A，f(x對(duì)于B，f(x對(duì)于C，f(x對(duì)于D，f(x+1)+1=2x（4）已知函數(shù)f(x)=[答案]解：（方法一）作出y=f(x)（方法二）當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=xf(-x當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=-xf(-x)=(-x)2-命題角度2已知函數(shù)奇偶性求參數(shù)例2（1）已知f(x)=ax-logA.1 B.-1 C.2 D.-[解析]解：（方法一）由已知可得f(-x)=f(所以log24x+14-x+1=2ax（方法二）因?yàn)閒(x)=ax-log2(4x+1)是偶函數(shù)，所以（2）設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex[解析]解：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)g(x)=ex+ae-【點(diǎn)撥】由奇、偶函數(shù)定義中x的任意性比較系數(shù)可求參數(shù)值.對(duì)在x=0處有定義的奇函數(shù)，常借助特殊與一般思想，由f(0)=0變式2.（1）若函數(shù)f(x)=xln([解析]解：f(-x)=-xln(-x+a+x2)=f(x),故（2）[2022年全國(guó)乙卷]若f(x)=ln|a+11-x|+[解析]解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由a+11-x≠0可得(1-x)(a+1-ax)≠0，所以x≠a+1a且x≠1，故a+1a=-1，解得a=-12.則函數(shù)f考點(diǎn)二函數(shù)的周期性例3函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x)(x∈R[解析]解：因?yàn)閒(x+4)=f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為4，所以【點(diǎn)撥】利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解.變式3.已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(x+2)=-1f(A.-12 B.12 C.-2[解析]解：因?yàn)閒(x+2)=-1f(x)，所以f(x+4)=f(x+2+2)=-考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用命題角度1利用函數(shù)性質(zhì)求解析式例4（1）設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=ex-A.e-x-1 B.e-x+1[解析]解：當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，則f(（2）已知函數(shù)f(x)同時(shí)滿足下列條件：①f(x)定義域?yàn)?-∞,+∞)；②f(x)是偶函數(shù)；③f(x)在(0,+∞)[解析]解：根據(jù)題意，不妨取f(x)=-x2，可知f(x)為二次函數(shù)，定義域?yàn)?-∞,+∞).f(x)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為x=0或者取f(x)=-∣x∣=-x,x≥0,x,x<0,故填f(x)=-x2（或【點(diǎn)撥】①利用函數(shù)性質(zhì)求解析式，主要是利用奇偶性、周期性、對(duì)稱性、伸縮性等，關(guān)鍵在于把所求區(qū)間上的變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間.有些也可通過數(shù)形結(jié)合利用函數(shù)圖象變換規(guī)則求.②利用函數(shù)性質(zhì)直接寫滿足條件的一個(gè)解析式，是一類熱點(diǎn)開放問題，除了要熟悉常見函數(shù)模型外，還要能依據(jù)條件適時(shí)縮小方向，并靈活調(diào)整系數(shù).變式4.（1）已知f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x3[解析]解：當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，f(-x)=(-x)3+ln(1-x)（2）[2023屆黑龍江八校開學(xué)考]寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件的非常數(shù)函數(shù)f(x)=①f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減;②f(x)[解析]解：易知f(x)=(12)|x|或1|x命題角度2函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合問題例5（1）已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)為減函數(shù)，又有f(1-a)+f(1-A.(-2,1) B.(0,2)C.(0,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)[解析]解：由題意可知f(1-a)<-f(1-a2)=f(a2-1).又因?yàn)椋?）[2020年全國(guó)Ⅱ卷]設(shè)函數(shù)f(x)=ln|2xA.是偶函數(shù)，且在(12,+∞)單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)，且在C.是偶函數(shù)，且在(-∞,-12)單調(diào)遞增 D.是奇函數(shù)，且在[解析]解：由f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|得f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠±12}，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，又f(-x)=ln|1-2x|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x)，所以f(x)為定義域上的奇函數(shù)，可排除A【點(diǎn)撥】單調(diào)性和奇偶性是函數(shù)的兩條重要基本性質(zhì).單調(diào)性與奇偶性之間有著密切的聯(lián)系：①奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，且f(-x)=-f(x變式5.（1）設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+|x|)-11+x2A.(13,1)C.(-13,1[解析]解：（方法一）由f(x)=ln(1+|x|)-11+x2（方法二）把x=1代入f(x)>f(2x-1),得f(1)>f(1),這顯然不成立,所以x=1不滿足f(x)>f(2x-1),由此可排除D（2）【多選題】關(guān)于函數(shù)y=lg(21-A.定義域?yàn)?-1,1) B.圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C.圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D.在(0,1)上單調(diào)遞增[解析]解：因?yàn)閒(x所以1+x1-x>0，解得-1<x<1因?yàn)閒(-x)=lg(1-x1+x)=-f(x)，所以又y=1-x>0在(0,1)上單調(diào)遞減，所以y=21-x-1在(0,1)上單調(diào)遞增，又y=lgx在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以y命題角度3雙重對(duì)稱問題例6（1）【多選題】已知定義在(-∞,+∞)上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x)=f(2-A.f(3)=1 B.4是f(C.f(2018)+f(2019)+f[解析]解：由f(x)=f(2-x)知，f(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，D正確；又f(x)為奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)=f(2+x),（2）已知函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x-2)，y=f(A.f(4.5)<f(7)<fC.f(7)<f(6.5)<f[解析]解：由題知f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，其圖象的對(duì)稱軸為x=2.因?yàn)楫?dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)=log2x2，所以f(x)在區(qū)間(0,2)上是增函數(shù).又f(4.5)=f(0.5)【點(diǎn)撥】雙重對(duì)稱問題，隱含周期，注意借助對(duì)稱性與周期性的相關(guān)結(jié)論（見【常用結(jié)論】）解題,輔以草圖則更為直觀.變式6.（1）【多選題】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(4-xA.f(B.f(x)在區(qū)間C.f(2D.f(x[解析]解：因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x),又f(4-x)=f無(wú)法得出f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增，故因?yàn)閒(x)的一個(gè)周期為8，所以f(2f(x)=cos(π4x+π（2）已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，且在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，令a=ln2,b=(1A.f(b)<fC.f(c)<f[解析]解：因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，且滿足f(x+2)=-f(x)，所以f(x+2)=f(-x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱.又f(x+4)=f(x),所以函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)f(學(xué)科素養(yǎng)·一類奇函數(shù)模型的建立典例已知函數(shù)f(x)=log2(1+x2-x)-A.2 B.-2 C.3 D.-[解析]解：f(x易得函數(shù)y=log2(1+x2-x)和函數(shù)y=2x-12x+1均為奇函數(shù)，則f(x【點(diǎn)撥】高考常見的幾個(gè)奇函數(shù)模型：①y=loga(1+(bx)2±bx)（a>0且a≠1,b≠0）;②y=ax-1ax+1（a>0且a變式.已知f(x)=13x[解析]解：因?yàn)閒(x)=(13另解：對(duì)照模型可得m=1,n=5，則f故填11.【鞏固強(qiáng)化】1.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx是定義在[A.-13 B.13 C.-1[解析]解：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，所以b=0.又a-2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(B)A.y=1x B.y=|x|-1[解析]解：對(duì)于A，y=1對(duì)于C，y=lgx的定義域?yàn)閷?duì)于D，y=(12)lnx3.已知f(x)=x2+1A.-43 B.23 C.-8[解析]解：（方法一）特殊值法.因?yàn)閒(x所以f(-1)=f所以(-1)2+1[3×(-1)+2](-1-a)=1+1(3+2)(1-a（方法二）定義法.因?yàn)閒(x所以f(-x所以(-x)2+1(-3x+2)(-x-（方法三）由于y=x2+1是偶函數(shù)，故y=(3x+2)(x-故選B.4.已知函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若f(2A.(-∞,13) B.(-13,1) [解析]解：結(jié)合題意,要滿足f(2a)>f(1-a),則|2a5.已知函數(shù)f(x)與g(x)分別是定義域上的奇函數(shù)與偶函數(shù)，且fA.-23 B.73 C.-3[解析]解：令x=2，得f(2)+再令x=-2，得f(-2)+g(-2)=4-1-2+1-2=3.因?yàn)閒(x)與g(x)分別是定義域上的奇函數(shù)與偶函數(shù)，所以6.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x[解析]解：由題意知f(x)≠0，則f(x+2)=13f(x).用x+2代替x得f(x+4)=13f(x+2)=f7.[2022屆四川成都武侯模擬]設(shè)函數(shù)f(x)=2x,x<0，g[解析]解：（方法一）f(-2)=2因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(2)=-f(-2)=-（方法二）因?yàn)閒(x)是定義域上的奇函數(shù)，設(shè)x>0，則-x則f(-x)=-f(所以g(x)=-2-故填-148.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x+2)=-f（1）求證：f(x[答案]解：證明：因?yàn)閒(x+2)=-f(x)，所以f(（2）當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，求f([答案]當(dāng)x∈[-2,0]時(shí)，-x由已知得f(-x又f(x)是奇函數(shù)，所以f(-x又當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，x-4∈[-2,0]又f(x)所以f(x所以當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，f(（3）計(jì)算f(0)+f(1)+[答案]f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1，又f所以f(0)+f【綜合運(yùn)用】9.已知函數(shù)f(x)=ax2023+A.0 B.1 C.2 D.3[解析]解：設(shè)g(x)=ax2023+bx+c3x，則g(x)為奇函數(shù).因?yàn)?0.[2020年新高考Ⅰ卷Ⅱ卷]若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足xf(x-1)≥0A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1] C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3][解析]解：因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，且f(2)=0，所以f(x)在(0,+∞)上也是單調(diào)遞減，且f(-2)=0，f(0)=0，所以當(dāng)x∈(-∞,-2)∪(0,2)所以由xf(xx<0或x>0，0≤x-1≤2解得-1≤x≤0或1≤x≤3，所以滿足xf(x-1)≥011.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)M(3,0)，且f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x+2)A.(1,3) B.(0,2) C.(2,4) D.(1,4)[解析]解：（方法一）由f(x+2)為偶函數(shù)，知y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，又f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞減，且圖象過點(diǎn)(3,0)，則（方法二）由題意得f(3)=0.設(shè)g(x)=f(x+2)，則由題意有g(shù)(x)為偶函數(shù)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞減，g(1)=f(3)=0，所以f(x+1)>012.[2021年新高考Ⅱ卷]已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x+2)為偶函數(shù)，A.f(-12)=0 B.f(-1)=0 C.[解析]解：（方法一）令f(x)=cosπx（方法二）因?yàn)楹瘮?shù)f(x+2)為偶函數(shù)，則f(2+x因?yàn)楹瘮?shù)f(2x+1)為奇函數(shù)，則f(1-2x所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x因?yàn)楹瘮?shù)F(x)=f(2x+1)為奇函數(shù)，則F(0)=13.【多選題】若f(x)是奇函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是A.|f(x)|一定是偶函數(shù) BC.f(x)?f[解析]解：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以對(duì)于A，|f(-x)|=|-f(x對(duì)于B，令g(x)=f(x)?f(-x對(duì)于C，f(x)?f對(duì)于D，f(-x)+|f(故選AB.【拓廣探索】14.【多選題】（教材習(xí)題改編）在復(fù)習(xí)了函數(shù)性質(zhì)后，某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)的充要條件是y=f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱.可以引申為：函數(shù)y=f(x+a)-bA.f(1)=1B.f(2)=-1C.m+D.對(duì)任意x∈R，都有[解析]解：函數(shù)的定義域?yàn)镽，由題意有f(1)=2+m+n+1=0，所以m+結(jié)合題意可得f(x+1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以對(duì)任意x∈R，都有由f(1+x)+f(1-x)=0，令x=1得f(2)+f(0)=0故選BCD.階段集訓(xùn)1范圍：2.1函數(shù)的概念及其表示～2.2函數(shù)的基本性質(zhì)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.函數(shù)f(x)=3xA.(-∞,-13) B.(-13,+∞)[解析]解：由題意有1-x>0,3x+1>0,得-13<x<12.下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是(B)A.f(x)=(x2)12與C.f(x)=|x|與g(x[解析]解：A，C，D的定義域不同，不是相同函數(shù)，B中f(x)=33.若函數(shù)f(x)=2x2+31+A.(-∞,3] B.(2,3) C.(2,3] D.[3,+∞)[解析]解：因?yàn)閒(x)=2x2+31+x2=2(x2+1)+11+4.已知f(x)=x+2,x<1,2x,xA.1 B.1或32 C.32 D.[解析]解：當(dāng)x0<1時(shí)，令x0+2=3當(dāng)x0≥1時(shí)，令2x0=3綜上可得x0的值是32.5.已知奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(-x)，且當(dāng)A.152 B.-152 C.-12[解析]解：由題意易得f(x+2)=-f(x)，故有f(6.已知函數(shù)f(x)=(14)A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)[解析]解：函數(shù)f(x)=(14因?yàn)閒(-x)=(14)因?yàn)閥=(14)x在R上為減函數(shù)，y=-4x在R上為減函數(shù)，所以f7.函數(shù)f(x)=x|A.[0,2] B.[2,4] C.[2,+∞) D.(-∞,4][解析]解：易知f(x)=x∣x-4∣=x2-48.已知定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)，對(duì)任意的x∈R都有f(1+x)=f(1-x)，當(dāng)-A.6 B.8 C.10 D.12[解析]解：由題意知f(x)為奇函數(shù)，且關(guān)于x=1對(duì)稱.g(x)=f(x)-2在(0,8)內(nèi)零點(diǎn)之和等價(jià)于f(x)=2在(0,8)內(nèi)所有的根之和，即為y=f(x)與y=2交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和，函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，x1,x2二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知一次函數(shù)f(x)滿足f(f(x))=4A.f(x)=2x-C.f(x)=-2x[解析]解：（待定系數(shù)法）因?yàn)閒(x)是一次函數(shù)，可設(shè)則f(f(x))=可得a2=4,ab+b=-1,解得a=2,b=-110.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)?x∈R都有f(x-1)=f(x+1)A.f(1)=0B.f(x)在[-2,2]C.f(2D.直線x=1是函數(shù)y=[解析]解：對(duì)?x∈R都有f(x-1)=f(x+1)成立,則當(dāng)x∈(0,1]且x1≠x2時(shí)，有f(x2)-f(x1)由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)有f(1)=-由①②可得f(1)=f(-1)=0，所以f(x)為奇函數(shù)，則f(0)=0又y=f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減且f(1)=0，則x∈(0,1)時(shí)f(x)>0.又根據(jù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，則x∈(-2,-1)時(shí)f(x)>0，x∈(1,2)時(shí)，f(x)<0,所以f(x)f(2024)=f(0)=0由上可知，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)f(x)>0，x∈(1,2)時(shí)f(x)<0，則其圖象不可能關(guān)于11.若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，例如函數(shù)y=x2,x∈[1,2]與函數(shù)y=x2，x∈[-2,-1]為“同族函數(shù)”.A.f(x)=1x2 B.f([解析]解：由題意，一個(gè)函數(shù)只要不是定義域上的單調(diào)函數(shù)均可被用來(lái)構(gòu)造“同族函數(shù)”.對(duì)于A,f(x)=1x2,當(dāng)定義域分別為(-1,0)與(0,1)時(shí),值域均為(1,+∞)對(duì)于B,f(x)=|x|,當(dāng)定義域分別為[-1,0]與[0,1]時(shí),值域均為[0,1]對(duì)于C,f(x)=2x-2-x定義域?yàn)镽,且函數(shù)在R上單調(diào)遞增對(duì)于D,f(x)=x+1x的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),當(dāng)定義域分別為[12,1]與[1,2]時(shí),12.關(guān)于函數(shù)f(x)=cos(πA.f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 B.C.f(x)的圖象關(guān)于直線x=π2[解析]解：f(x)=sinx+1sinx,sinxcosx≠0即x≠kπ2,k∈Z.易知A錯(cuò)誤，B正確三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.[2022年北京卷]函數(shù)f(x)=1[解析]解：由題意知1-x≥0,x≠0,解得x≤1且x≠0，故函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,1]14.寫出一個(gè)定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0,1)且單調(diào)遞減的函數(shù)f(x)=1[解析]解：由題意，x∈R，2x∈(0,+∞)，2x+1∈(1+∞)，所以12x+1∈(0,1),f(x)的值域?yàn)?0,1)，又f(x)15.已知函數(shù)f(x)=x2-|x|[解析]解：因?yàn)閤∈R,f(-x)=(-x)2-由圖可得f(log31m+1)<f(2)等價(jià)于-2<log3116.[2022年重慶高三月考]函數(shù)f(（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則不等式f(x)+f[解析]解：當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)=ex-1-e1-x單調(diào)遞增，且f(1)=0，易知當(dāng)x≤3時(shí)，f(x)≤0，此時(shí)f(x)+f(x-1)<02.3冪函數(shù)與二次函數(shù)1.通過具體實(shí)例，結(jié)合y=x，y=1x2.會(huì)結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù).借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.3.掌握二次函數(shù)定義、解析式求法、性質(zhì)、圖象等，并能熟練應(yīng)用以解決與二次函數(shù)相關(guān)問題.【教材梳理】1.冪函數(shù)（1）定義：一般地，函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α（2）常見的五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較函數(shù)圖象性質(zhì)定義域值域奇偶性單調(diào)性公共點(diǎn)yRR奇在R上單調(diào)遞增(1,1)yR{偶在(-∞,0]上單調(diào)遞減；在[0,+∞)上單調(diào)遞增yRR奇在R上單調(diào)遞增y{{非奇非偶在[0,+∞)上單調(diào)遞增y{{奇在(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞減2.二次函數(shù)（1）二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式：f(x)=a②頂點(diǎn)式：f(x)=a③零點(diǎn)式：f(x)=a（2）二次函數(shù)的圖象與性質(zhì):二次函數(shù)f(x①對(duì)稱軸:x=②頂點(diǎn)坐標(biāo)：(-b③開口方向:a>0時(shí)，開口向上;a<0④值域:a>0時(shí)，y∈[4ac-b2⑤單調(diào)性:a>0時(shí)，f(x)在(-∞,-b2a)上單調(diào)遞減，在(-b2a,+∞)上單調(diào)遞增；a<0（3）三個(gè)“二次”之間的關(guān)系:二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的零點(diǎn)（圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）是相應(yīng)一元二次方程（4）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值:二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值.它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函