高中數(shù)學(xué)選修21課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（十二）拋物線的幾何性質(zhì)

課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十二)拋物線的幾何性質(zhì)1．拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是________．2．拋物線y2＝2x上的兩點(diǎn)A，B到焦點(diǎn)的距離之和是5，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是________．3．過(guò)點(diǎn)(0,1)且與拋物線y2＝4x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有________條．4．已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝12，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則△ABP的面積為_(kāi)_______．5．已知點(diǎn)A(2,0)，拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則FM∶MN＝________.6．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，拋物線上的點(diǎn)M(3，m)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的方程和m的值．7．已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線被直線x－2y－1＝0截得的弦長(zhǎng)為eq\r(15)，求此拋物線方程．8．已知拋物線y2＝2x.(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0))，求拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|；(2)在拋物線上求一點(diǎn)P，使P到直線x－y＋3＝0的距離最短，并求出距離的最小值．答案1．解析：這里p＝4，焦點(diǎn)(2,0)，準(zhǔn)線x＝－2，∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4.答案：42．解析：拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(1,2)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AF＋BF＝x1＋eq\f(1,2)＋x2＋eq\f(1,2)＝5，解得x1＋x2＝4，故線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.故線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2.答案：23．解析：過(guò)點(diǎn)(0,1)，斜率不存在的直線為x＝0，滿足與拋物線y2＝4x只有一個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx＋1，再與y2＝4x聯(lián)立整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，當(dāng)k＝0時(shí)，方程是一次方程，有一個(gè)解，滿足一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k≠0時(shí)，由Δ＝0可得k值有一個(gè)，即有一個(gè)公共點(diǎn)，所以滿足題意的直線有3條．答案：34．解析：設(shè)拋物線方程為y2＝2px，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(p,2)，0)，將x＝eq\f(p,2)代入y2＝2px可得y2＝p2，|AB|＝12，即2p＝12，故p＝6.點(diǎn)P在準(zhǔn)線上，到AB的距離為p＝6，所以△PAB的面積為eq\f(1,2)×6×12＝36.答案：365．解析：如圖所示，，過(guò)點(diǎn)M作MM′垂直于準(zhǔn)線y＝－1于點(diǎn)M′，則由拋物線的定義知MM′＝FM，所以eq\f(FM,MN)＝eq\f(MM′,MN)，由于△MM′N(xiāo)∽△FOA，則eq\f(MM′,M′N(xiāo))＝eq\f(OF,OA)＝eq\f(1,2)，則MM′∶MN＝1∶eq\r(5)，即FM∶MN＝1∶eq\r(5).答案：1∶eq\r(5)6．解：法一：設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p＞0)，則焦點(diǎn)F(eq\f(p,2)，0)，由題設(shè)可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝6p，,\r(m2＋3－\f(p,2)2)＝5.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝2\r(6)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝－2\r(6).))故所求的拋物線方程為y2＝8x，m的值為±2eq\r(6).法二：設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p＞0)，焦點(diǎn)F(eq\f(p,2)，0)，準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)，根據(jù)拋物線定義，點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離等于M到準(zhǔn)線方程的距離，則3＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝4.因此拋物線方程為y2＝8x.又點(diǎn)M(3，m)在拋物線上，于是m2＝24，∴m＝±2eq\r(6).7．解：設(shè)拋物線方程為：x2＝ay(a≠0)，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝ay，,x－2y－1＝0.))消去y得：2x2－ax＋a＝0，∵直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＝(－a)2－4×2×a>0，即a<0或a>8.設(shè)兩交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(a,2)，x1x2＝eq\f(a,2)，弦長(zhǎng)為|AB|＝eq\r(\f(5,4)x1－x22)＝eq\r(\f(5,4)[x1＋x22－4x1x2])＝eq\f(1,4)eq\r(5a2－8a).∵|AB|＝eq\r(15)，∴eq\f(1,4)eq\r(5a2－8a)＝eq\r(15)，即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12，∴所求拋物線方程為：x2＝－4y或x2＝12y.8．解：(1)設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則|PA|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3)))2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3)))2＋2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))2＋eq\f(1,3).∵x≥0，且在此區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝0時(shí)，|PA|min＝eq\f(2,3)，故距點(diǎn)A最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0)．(2)法一：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)是y2＝2x上任一點(diǎn)，則P到直線x－y＋3＝0的距離為d＝eq\f(|x0－y0＋3|,\r(2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2)－y0＋3)),\r(2))＝eq\f(|y0－12＋5|,2\r(2)).當(dāng)y0＝1時(shí)，dmin＝eq\f(5,2\r(2))＝eq\f(5\r(2),4).∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).法二：設(shè)與直線x－y＋3＝0平行的拋物線的切線為x－y＋t＝0，與y2＝2x聯(lián)立，消去x，得y2－2y＋2t＝0，由Δ