概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版第2版）課件 第5章 第2講 抽樣分布

第2講抽樣分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）第5章統(tǒng)計(jì)量及其分布01抽樣分布02正態(tài)總體的抽樣分布本講內(nèi)容01

抽樣分布3抽樣分布統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量，因而具有一定的分布，這個(gè)分布叫做統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布

.正態(tài)分布在概率論部分已經(jīng)有了詳細(xì)的闡述，接下來(lái)對(duì)另外三大分布進(jìn)行詳細(xì)的介紹.401

抽樣分布1.x2分布設(shè)相互獨(dú)立且都服從N(0，1)，則稱服從自由度為n的χ2分布，記為χ2(n).性質(zhì)1；性質(zhì)2設(shè)，并且相互獨(dú)立，則501

抽樣分布5101520三大抽樣分布的密度可以忽略不記χ2分布的密度其中.601

抽樣分布設(shè)隨機(jī)變量，且X與Y獨(dú)立，則2.t分布服從自由度為n的t分布，記為t(n).性質(zhì)密度f(wàn)(t)是偶函數(shù)，且t分布的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.701

抽樣分布t分布的密度函數(shù)801

抽樣分布3.F分布為服從自由度是n1，n2的F分布，記為F(n1,n2).若，X，Y獨(dú)立，則性質(zhì)若F~F(n1,n2)，則1/F~F(n2,n1).

901

抽樣分布1001

抽樣分布后兩章用到查表4.上側(cè)分位數(shù)(點(diǎn))稱xα為X的上側(cè)α分位數(shù)(點(diǎn)).的上α分位數(shù)分別記為設(shè)X為隨機(jī)變量，給定，若實(shí)數(shù)xα滿足，??定義1101抽樣分布1201抽樣分布解因?yàn)?，由正態(tài)結(jié)論，有設(shè)，且X，Y相互獨(dú)立，分別為來(lái)自X和Y的樣本，求的分布.??例11301抽樣分布又因，所以，進(jìn)而綜上，01抽樣分布02正態(tài)總體的抽樣分布本講內(nèi)容1502

正態(tài)總體的抽樣分布1.一個(gè)正態(tài)總體正態(tài)總體的抽樣分布設(shè)是總體的樣本，分別是樣本均值與樣本方差，則有：1602

正態(tài)總體的抽樣分布樣本方差分別記為

與，

則2.兩個(gè)正態(tài)總體設(shè)與分別是來(lái)自兩個(gè)互相獨(dú)立樣本均值分別記為，的正態(tài)總體與

的樣本，；樣本；1702

正態(tài)總體的抽樣分布(3)當(dāng)時(shí)，其中1802

正態(tài)總體的抽樣分布解則設(shè)為其樣本，求的分布.??例21902

正態(tài)總體的抽樣分布解在總體N(10,4)中隨機(jī)抽容量為5的樣本X1，X2，X3，X4，X5.求.??例32002

正態(tài)總體的抽樣分布人們乘坐飛機(jī)或高鐵時(shí)都需要通過(guò)金屬探測(cè)安檢門，那么安檢門的高度是如何確定的呢？設(shè)計(jì)安檢門的高度時(shí)，需盡可能使乘客不用低頭通過(guò)，同時(shí)為控制整體成本，又不能設(shè)計(jì)的太高.解設(shè)乘客身高

X~N(171.3,5.62).（單位：cm）不妨設(shè)門高度為h，乘客低頭進(jìn)車的概率不超過(guò)0.01，有只要求出滿足該式的最小的h即可.??例42102

正態(tài)總體的抽樣分布為此只要求出滿足由于為h的單調(diào)函數(shù)，的h，記，則該式等價(jià)于，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布表可知，

，得h=184.3，因此將安檢門設(shè)計(jì)為184.3cm即可.2202

正態(tài)總體的抽樣分布設(shè)瓶裝洗潔精灌裝容量服從正態(tài)分布，均值為μ，方差為1.則25瓶洗潔凈劑灌裝量，是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.解某公司生產(chǎn)瓶裝洗潔精，規(guī)定每瓶裝500毫升，但是在實(shí)際罐裝的過(guò)程中，總會(huì)出現(xiàn)一定的誤差，誤差要求控制在一定范圍內(nèi)。假定灌裝量的方差σ2=1，如果每箱裝25瓶這樣的洗潔精，試問(wèn)25瓶洗潔精的平均灌裝量和標(biāo)準(zhǔn)值500毫升相差不超過(guò)0.3毫升的概率是多少???例52302

正態(tài)總體的抽樣分布另：當(dāng)n=50時(shí)，同樣可算出：根據(jù)定理5.1，有，進(jìn)而2402

正態(tài)總體的抽樣分布對(duì)每箱裝25瓶洗潔精時(shí)，平均每瓶灌裝量與標(biāo)準(zhǔn)值相差不超過(guò)0.3毫升的概率近似為86.64%，而每箱裝50瓶時(shí)該概率約為96.6%，所以當(dāng)增加到50瓶時(shí)，能更大程度保證平均誤差很小，更能保證廠家和商家的利益.??結(jié)論2502

正態(tài)總體的抽樣分布設(shè)所需樣本容量為n，根據(jù)定理5.1解由題意，設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(72，100)，為使樣本均值大于70的概率不小于90%，則樣本容量應(yīng)取多少???例62602

正態(tài)總體的抽樣分布查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布得，因此

值不大于90%.

??例72702

正態(tài)總體的抽樣分布2802

正態(tài)總體的抽樣分布解根據(jù)定理5.1，，因此2902

正態(tài)總體的抽樣分布解??例8

設(shè)總體

，抽取樣本

，樣本均值為

，樣本方差為S2，若再抽取一個(gè)采樣Xn+1，證明：統(tǒng)計(jì)量由故，而

相互獨(dú)立，故也服從正態(tài)分布.3002

正態(tài)總體的抽樣分布而即03

統(tǒng)計(jì)量31解??例9設(shè)總體X服從正態(tài)分布，則，即可知，他們的線性組合

服從正態(tài)分布因?yàn)殡S機(jī)變量相互獨(dú)立，并且與總體服從相同的正態(tài)分布，所以由正態(tài)總體的性質(zhì)，即03

統(tǒng)計(jì)量32證因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)量??例10設(shè)是來(lái)自的樣本，證明：統(tǒng)計(jì)量又因?yàn)榕cS2相互獨(dú)立，所以與也相互獨(dú)立.03

統(tǒng)計(jì)量于是，由t分布的定義可知，統(tǒng)計(jì)量03

統(tǒng)計(jì)量34證明：統(tǒng)計(jì)量??例11設(shè)

是來(lái)自，是來(lái)自，是來(lái)自的兩個(gè)獨(dú)立樣本（指隨機(jī)變量

和

相互獨(dú)立），記03

統(tǒng)計(jì)量35證即相互獨(dú)立，由正態(tài)分布的性質(zhì)知因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)量，且與又因?yàn)?3

統(tǒng)計(jì)量36因?yàn)榕c

相互獨(dú)立，與相互獨(dú)立，所以統(tǒng)計(jì)量U和V也相互獨(dú)立，是由t分布的定義可知，統(tǒng)計(jì)量03

統(tǒng)計(jì)量37??例12(續(xù)上例)記證明：證因?yàn)橛杉僭O(shè)知

與相互獨(dú)立，則由F分布的定義知03

統(tǒng)計(jì)量38求總體N(20,3)的容量分別為10,15的兩獨(dú)立樣本均值的絕對(duì)值大于0.3的概率.??例13所以解，故，于是03

統(tǒng)計(jì)量39解??例14設(shè)為N(0,0.32)的一個(gè)樣本，求因?yàn)榱睿视?3

統(tǒng)計(jì)量40解(1)由樣本變量，n=16，故??例15于是設(shè)在總體中抽取一容量為16的樣本，這里均未知.

(1)求，其中S2為樣本方差；

(2)03

統(tǒng)計(jì)量41(2)所以03

統(tǒng)計(jì)量42解??例16設(shè)是取自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,

求下列三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的分布

并求非零常數(shù)的值.03

統(tǒng)計(jì)量43(3)可得.再由分布的定義

且相互獨(dú)立,

03

統(tǒng)計(jì)量44解??例1703

統(tǒng)計(jì)量45解??例18設(shè)

，求常數(shù)

使

；由

可知，

，所以,

由t分布的密度函數(shù)圖像對(duì)稱性，所以查附錄6得

.

03

統(tǒng)計(jì)量46解??例19設(shè)為取自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的一個(gè)樣本，試給出常數(shù)使得服從分布,并指出它的自由度.因

且相互獨(dú)立,故有03

統(tǒng)計(jì)量47且兩者相互獨(dú)立,由定義知所以,取即可,且自由度為3.03

統(tǒng)計(jì)量48解??例20設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且都服從相同分布

，試給出常數(shù),使得

服從分布,并指出它的自由度.

因

且相互獨(dú)立,故有03

統(tǒng)計(jì)量49且兩者相互獨(dú)立,由定義知所以,取即可,且自由度為2和3.03

統(tǒng)計(jì)量50解??例21設(shè)隨機(jī)變量求的分布？

由于

，不妨設(shè)

，其中隨機(jī)變量

與

獨(dú)立，