浙江省金華十校2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

Page21浙江省金華十校2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末聯(lián)考試題一?選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)集合交集，并集運算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，，所以，所以，故A錯誤，B正確；因為，，所以，所以，所以，故C，D錯誤.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)z有（是復(fù)數(shù)單位）成立，則復(fù)數(shù)z滿意（）A. B.C.對應(yīng)的點在復(fù)平面的其次象限 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，求得，再依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可推斷C是否正確，依據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式即可推斷D是否正確；再依據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可求得，由此即可推斷選項A，B是否正確.【詳解】因為，所以，所以對應(yīng)的點在復(fù)平面的第四象限，，故C錯誤，D正確；又，所以，所以，故A，B錯誤.故選：D.3.正多面體被認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素，加上它的多種變體，始終是科學(xué)?藝術(shù)?哲學(xué)靈感的源泉之一.若連接正方體六個面的中心構(gòu)成一個正八面體，則正方體與所得八面體的表面積之比為（）A. B.3 C. D.6【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意設(shè)出正方體的棱長，進(jìn)而求出正方體的表面積，然后求出該正八面體的棱長并求出其表面積，最終求得答案.【詳解】設(shè)正方體的棱長為2，則其表面積.如圖，記該正八面體為，現(xiàn)考慮側(cè)面，取的中點分別為，連接MG,MH,易得：，所以，則該八面體的表面積.于是，.故選：C.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)充分必要條件的定義推斷．【詳解】由不等式性質(zhì)由得，充分性滿意，但，時，滿意，但不滿意，不必要．應(yīng)為充分不必要條件．故選：A．5.已知x，y滿意則（）A.的最大值是2 B.的最小值是C.y的最大值為0 D.的最小值為【答案】B【解析】【分析】先畫出可行域，設(shè)，則，畫出直線，向下平移過點時，取得最小值，求出點B坐標(biāo)，代入可求出其最小值，由圖可知y無最大值，無最小值【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示，設(shè)，則，畫出直線，向下平移過點時，取得最小值，由，得，即，所以最小值為，無最大值，所以A錯誤，B正確，由于可行域是開放區(qū)域，且向右上方延長，所以y無最大值，所以C錯誤，由于表示過原點和可行域中的點直線的斜率，由圖可知直線的斜率無最小值，所以D錯誤，故選：B6.的綻開式中含的項的系數(shù)為（）A. B.10 C.40 D.【答案】A【解析】【分析】寫出二項綻開式通項公式后可得的項數(shù)及系數(shù)．【詳解】由題意，令得，所以系數(shù)為．故選：A．7.隨機變量ξ的分布列如下表：ξ1a9Pbb其中，，則下列說法正確的是（）A.若，則當(dāng)時，隨b的增大而增大B.若，則當(dāng)時，隨b的增大而減小C.若，則當(dāng)時，有最小值D.若，則當(dāng)時，有最大值【答案】C【解析】【分析】依據(jù)公式算出期望和方差，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得答案.【詳解】若，則，故A,B均錯誤；若，則，，其對稱軸為：，則時，有最小值，即C正確，D錯誤.故選：C.8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用特例法進(jìn)行解除即可.【詳解】對于B：，由圖象可知：，所以本選項不符合題意；對于C：，由圖象可知：，所以本選項不符合題意；對于D：，由圖象可知：，所以本選項不符合題意，因此只能選項A有可能是的解析式，故選：A9.已知集合，則滿意且的集合N的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】分、、三種狀況，分別構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)單調(diào)性和零點個數(shù)可得答案.【詳解】因為，所以成等差數(shù)列，因為，所以中的三個元素成等差數(shù)列，因為，所以，當(dāng)時，令，由得，時，即在上無解，此時構(gòu)不成集合N；當(dāng)時，令，，因為，所以，在單調(diào)遞增，且，，所以在有一個零點，即有一個解，此時構(gòu)成集合N；當(dāng)時，令，，因為，所以，在單調(diào)遞減，且，，所以在有一個零點，即有一個解，此時構(gòu)成集合N；綜上，集合的個數(shù)為2個.故選：C.10.已知數(shù)列有，，且滿意，則的數(shù)值所在區(qū)間為（）A.（40，60） B.（60，80） C.（80，100） D.（100，120）【答案】B【解析】【分析】先變形原遞推關(guān)系式得到常數(shù)數(shù)列，再通過單調(diào)性及最值轉(zhuǎn)化為不等式問題即可求解.【詳解】由，變形得，可知數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，因為，所以，即，且可知數(shù)列是遞增數(shù)列，將兩邊同時平方，得，即，由于，，從而有，，，，，故，即，所以，即.故選：B二?填空題：本大題共7小題，多空題每小題6分，單空題每小題4分，共36分.11.雙曲線的離心率為___________；若過焦點F作垂直于x軸的直線，交雙曲線的漸近線A，B兩點，則___________【答案】①.②.【解析】【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得基本量，并可求A，B兩點坐標(biāo)，進(jìn)而可求長.【詳解】雙曲線得，，，,離心率，漸近線方程：，由，得，由，得，所以.故答案為：；.12.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則在該幾何體的側(cè)面中共有___________個直角三角形，該幾何體的體積為___________.【答案】①.②.##0.5【解析】【分析】由三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的四棱錐，如圖所示，從而可求得結(jié)果【詳解】由三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的四棱錐，如圖所示，且底面，，∥，，因為底面，平面，所以，所以直角三角形，因，∥，所以，因為，所以平面，因為平面，所以，所以為直角三角形，綜上，該幾何體的側(cè)面中共有3個直角三角形，該幾何體的體積為，故答案為：3，13.已知函數(shù)，則圖象的對稱軸是___________，在上的單調(diào)遞減區(qū)間為___________.【答案】①.，②.【解析】【分析】由降冪公式和兩角和的正弦公式化簡得，依據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性可得答案.【詳解】函數(shù)，由得，圖象的對稱軸是；由得，當(dāng)時的單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時的單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間.故答案為：；.14.小明父母為了改善居家條件，10月1日用分期付款的方式去商家購買總價為12000元的空調(diào)，首付2000元，以后每月1日付給商家500元和截止上月全部欠款的利息（月利率為1%），直到貸款訖清.若當(dāng)年11月1日算第一次付款，則第10次應(yīng)付___________元，購買空調(diào)共花了___________元.【答案】①.555②.13050【解析】【分析】每次還款額成等差數(shù)列，分別求，.【詳解】依題題意，每次還款額成等差數(shù)列，則，，，一共要還期，本息一共要還，故答案為：555，13050.15.3個男生和3個女生排成一排，要求男生互不相鄰，女生不全相鄰，則不同的排列方法有___________種.【答案】144【解析】【分析】考慮三男三女均不相鄰，與3男不相鄰且3女中有2女相鄰兩種狀況，進(jìn)而依據(jù)排列組合方法求得答案.【詳解】若3男3女均不相鄰，則先排男生，出現(xiàn)4個空位，進(jìn)而將女生排入前3個或后3個空位，有種狀況；若3男不相鄰，3女中有2女相鄰，出現(xiàn)4個空位，進(jìn)而將女生排入中間2個空位，有種狀況.所以，一共有144種狀況.故答案為：144.16.已知O為坐標(biāo)原點，點A，B是直線與x軸，y軸的交點，點C是直線l上位于第四象限的一點，且，則線段OC的長為___________.【答案】【解析】【分析】先由直線方程求出兩點的坐標(biāo)，然后在中利用正弦定理結(jié)合已知條件可求得線段OC的長【詳解】對于直線，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以，因為，所以，所以，解得，故答案為：17.已知單位向量滿意，，則對隨意，的最小值為___________.【答案】##0.25【解析】【分析】不妨設(shè)單位向量，，，，用坐標(biāo)表示出向量的模，然后由二次函數(shù)性質(zhì)得最小值，再由二倍角公式求得，由各差化積公式變形，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)和肯定值的性質(zhì)得最小值．詳解】由題意不妨設(shè)單位向量，，，，其中，，，．，．，，所以時，，又，，所以．故答案為：．【點睛】本題考查求平面對量的模的最值問題，解題關(guān)鍵是用坐標(biāo)表示出已知四個單位向量，用模的坐標(biāo)表示計算向量的模，問題轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)最值，再結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換公式、正弦函數(shù)性質(zhì)得出結(jié)論，本題屬于困難題．三?解答題：本大題共5小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及最大值；（2）在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若，，，求的面積.【答案】（1）最小正周期為，（2）【解析】【分析】（1）利用降冪公式和協(xié)助角公式化簡得.，再由周期公式和三角函數(shù)的最值可得答案；（2）由得及，再由余弦定理得，可得答案.【小問1詳解】其中，，，因為，所以，即.【小問2詳解】由得：，因為，所以，得，，，由余弦定理得，即，，.19.如圖，在長方體中，，，P是線段BD上一點.（1）若，求證：平面；（2）若二面角的大小為，，求直線和平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）用向量法證明，由線面垂直的性質(zhì)定理得，從而可得線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求線面角．【小問1詳解】.，平面，平面，所以，，平面，平面.【小問2詳解】作，垂足為H，則在長方體中，平面，所以，再作，垂足為Q，連結(jié)QH，因為，所以平面,則，則即為二面角的平面角，，不妨設(shè)，因為，則，于是.，于是，.如圖，以D為原點，分別以DA?DC?DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，.設(shè)平面的法向量為，則由得令可得一個法向量為.設(shè)與的夾角為，PD1和平面所成角為，則＝，即直線和平面所成角的正弦值為.20.已知是首項為，公差不為的等差數(shù)列：成等比數(shù)列.數(shù)列滿意.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求證：.【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的通項公式為，由，可求得，即可求出；由等價于，再依據(jù)數(shù)列通項公式與前項和的關(guān)系，即可求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項公式；（2）因為，可得，由此即可證明結(jié)果.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的通項公式為由，所以，又，得，.等價于.當(dāng)時，，；當(dāng)時，由，所以，兩式相減，可得，.【小問2詳解】解：，，即命題得證.21.已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為，點P是拋物線C上的動點.（1）若P在直線上的投影為，且為等邊三角形，求點P的坐標(biāo).（2）過點P作直線分別交直線于A，B，若的內(nèi)心恰為原點O，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可知，的坐標(biāo)為，平行于x軸，可設(shè)，，由于為等邊三角形，可知，依據(jù)兩點之間的坐標(biāo)公式，列出方程，即可求出的坐標(biāo)；（2）設(shè)，由于的內(nèi)心恰為原點O，可知，設(shè)，的方程分別為，由于若的內(nèi)心恰為原點O，所以原點到和的距離為，依據(jù)點到直線的距離公式，可得是關(guān)于k的方程的兩根，由韋達(dá)定理可知，再依據(jù)的面積為，再利用換元法，依據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】解：由題意可知，的坐標(biāo)為，平行于x軸，的橫坐標(biāo)為，設(shè)，，為等邊三角形，，即，解得：.的坐標(biāo)為.【小問2詳解】解：設(shè)，則的方程為.由于的內(nèi)心恰為原點O，且過點P作直線分別交直線于A，B，所以從作單位圓的切線，即，其與直線交于A，B兩點，則A，B兩點須一個在軸上方，一個在軸下方，所以，原點到的距離為1，所以有，整理得.再設(shè)的方程為，同理可得.是關(guān)于k的方程的兩根，.面積為，令，則，再令，則由，可知在上單調(diào)遞增，所以的范圍為，所以的范圍為.22.已知函數(shù).（1）推斷的根的個數(shù)；（2）若函數(shù)有兩個零點，證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）令，利用導(dǎo)數(shù)探討其性質(zhì)，并畫出函數(shù)圖象，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合探討與的交點個數(shù)即可.（2）令，結(jié)合在上單調(diào)性求參數(shù)a的范圍，探討參數(shù)a，利用單調(diào)性確定范圍，應(yīng)用放縮法證明不等式.【小問1詳解】由得：，設(shè)設(shè)，，則，，當(dāng)時，