新教材2025屆高考數(shù)學(xué)二輪專項分層特訓(xùn)卷三微專題提升練微專題13二項分布與超幾何分布

微專題13二項分布與超幾何分布一、單項選擇題1．設(shè)隨機變量X，Y滿意：Y＝3X－1，X～B(2，eq\f(1,3))，則D(Y)＝()A．4B．5C．6D．72．[2024·湖南雅禮中學(xué)模擬]若X～B(100，eq\f(1,3))，則當(dāng)k＝0，1，2，…，100時()A．P(X＝k)≤P(X＝50)B．P(X＝k)≤P(X＝32)C．P(X＝k)≤P(X＝33)D．P(X＝k)≤P(X＝49)二、多項選擇題3．[2024·廣東汕頭模擬]一個袋子有10個大小相同的球，其中有4個紅球，6個黑球，試驗一：從中隨機地有放回摸出3個球，記取到紅球的個數(shù)為X1，期望和方差分別為E(X1)，D(X1)；試驗二：從中隨機地?zé)o放回摸出3個球，記取到紅球的個數(shù)為X2，期望和方差分別為E(X2)，D(X2).則()A．E(X1)＝E(X2)B．E(X1)>E(X2)C．D(X1)>D(X2)D．D(X1)<D(X2)三、填空題4．[2024·江蘇金陵中學(xué)模擬]設(shè)隨機變量X～H(3，2，10)，則P(X＝1)＝________．5．[2024·山東濟南模擬]已知隨機變量X，Y，其中X～B(6，eq\f(1,3))，Y～N(μ，σ2)，E(X)＝E(Y)，P(|Y|<2)＝0.3，則P(Y>6)＝________．6．[2024·河北石家莊模擬]為慶祝第19屆亞運會在我國杭州實行，杭州某中學(xué)舉辦了一次“亞運學(xué)問知多少”的學(xué)問競賽．參賽選手從7道題(4道多選題，3道單選題)中隨機抽題進行作答，若某選手先隨機抽取2道題，再隨機抽取1道題，則最終抽取到的題為多選題的概率為________．四、解答題7．在2024～2024賽季CBA聯(lián)賽中，某隊甲、乙兩名球員在前10場競賽中投籃命中狀況統(tǒng)計如下表(注：表中分?jǐn)?shù)eq\f(n,N)，N表示投籃次數(shù)，n表示命中次數(shù))，假設(shè)各場競賽相互獨立．依據(jù)統(tǒng)計表的信息：(1)從上述競賽中等可能隨機選擇一場，求甲球員在該場競賽中投籃命中率大于0.5的概率；(2)試估計甲、乙兩名運動員在下一場競賽中恰有一人命中率超過0.5的概率；(3)在接下來的3場競賽中，用X表示這3場競賽中乙球員命中率超過0.5的場次，試寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望．解：8．[2024·安徽合肥模擬]地球上生命體內(nèi)都存在生物鐘，探討表明，生物鐘紊亂會導(dǎo)致肥胖、糖尿病、高血壓、高血脂等嚴(yán)峻體征狀況．限制睡眠或醒悟傾向的生物鐘基因，簡稱PER，PER分為PERl(導(dǎo)致早起傾向)和PERo(導(dǎo)致晚睡傾向).某探討小組為探討光照對動物的影響，對試驗鼠進行了光照誘導(dǎo)與GRPE蛋白干預(yù)試驗．以下是16只試驗鼠在光照誘導(dǎo)與GRPE蛋白干預(yù)試驗中，出現(xiàn)PERl突變的Sd指標(biāo)：試驗鼠編號12345678Sd指標(biāo)9.959.999.969.9610.019.929.9810.04試驗鼠編號910111213141516Sd指標(biāo)10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95長期試驗發(fā)覺，若試驗鼠Sd指標(biāo)超過10.00，則認定其體征狀況嚴(yán)峻，(1)從試驗鼠中隨機選取3只，記X為體征狀況嚴(yán)峻的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若編號1～8的試驗鼠為GRPE蛋白干預(yù)試驗組，編號9～16的為非GRPE蛋白干預(yù)比照組，試依據(jù)小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，分析GRPE蛋白干預(yù)是否與試驗鼠體征狀況有關(guān)？α0.10.050.01xα2.7063.8416.635附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)(其中n＝a＋b＋c＋d).解：9．某學(xué)校從全體師生中隨機抽取30位男生、30位女生、12位老師一起參與社會實踐活動．(1)假設(shè)30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數(shù)為α，從學(xué)校全體男生中隨機選取3人，記X為3人中身高不超過α的人數(shù)，以頻率估計概率求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)從參與社會實踐活動的72人中一次性隨機選出30位，記被選出的人中恰好有k(k＝1，2，…，30)個男生的概率為P(k)，求使得P(k)取得最大值的k的值．解：10．[2024·山東濟寧模擬]某學(xué)校組織“學(xué)習(xí)黨的二十大”學(xué)問競賽，某班要從甲、乙兩名同學(xué)中選出一人參賽，選拔方案如下：甲、乙兩名同學(xué)各自從給定的5個問題中隨機抽取3個問題作答，在這5個問題中，已知甲能正確作答其中3個，乙能正確作答每個問題的概率都是eq\f(3,5)，甲、乙兩名同學(xué)作答問題相互獨立．記甲答對題的個數(shù)為X，乙答對題的個數(shù)為Y.(1)求甲、乙恰好答對2個問題的概率；(2)若讓你投票選擇一名發(fā)揮較穩(wěn)定的同學(xué)參賽，你會選擇哪名同學(xué)？請說明理由．解：

微專題13二項分布與超幾何分布1．解析：因為X～B(2，eq\f(1,3))，則D(X)＝2×eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(4,9)，又Y＝3X－1，所以D(Y)＝D(3X－1)＝32D(X)＝32×eq\f(4,9)＝4.故選A.答案：A2．解析：由題意得：化簡得：eq\f(98,3)≤k≤eq\f(101,3)，又k為整數(shù)，可得k＝33，所以P(X＝k)≤P(X＝33).故選C.答案：C3．解析：從中隨機地有放回摸出3個球，則每次摸到紅球的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，則X1～B(3，eq\f(2,5))，故E(X1)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5)，D(X1)＝3×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(18,25)，從中隨機地?zé)o放回摸出3個球，記紅球的個數(shù)為X2，則X2的可能取值是0，1，2，3；則P(X2＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,6)，P(X2＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,2)，P(X2＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(3,10)，P(X2＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,30)，所以隨機變量X2的分布列為：X20123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)數(shù)學(xué)期望E(X2)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5)；D(X2)＝(0－eq\f(6,5))2×eq\f(1,6)＋(1－eq\f(6,5))2×eq\f(1,2)＋(2－eq\f(6,5))2×eq\f(3,10)＋(3－eq\f(6,5))2×eq\f(1,30)＝eq\f(14,25)，故E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2).故選AC.答案：AC4．解析：由隨機變量X聽從超幾何分布X～H(3，2，10)，可知3表示選出3個，2表示有2個供選擇，總數(shù)為10，依據(jù)超幾何分布公式可得P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(7,15).答案：eq\f(7,15)5．解析：因為X～B(6，eq\f(1,3))，所以E(X)＝6×eq\f(1,3)＝2，因為Y～N(μ，σ2)，所以E(Y)＝μ，又因為E(X)＝E(Y)，所以μ＝2，因為Y～N(μ，σ2)，所以P(Y<2)＝0.5，且P(Y>6)＝P(Y<－2)，又因為P(|Y|<2)＝0.3，所以P(Y<－2)＝0.2，所以P(Y>6)＝0.2.答案：0.26．解析：設(shè)先抽取2道題中多選題的題數(shù)為X，則X的可能取值為：0，1，2，可得：P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)))＝eq\f(1,7)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)))＝eq\f(4,7)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)))＝eq\f(2,7)，所以最終抽取到的題為多選題的概率為P＝P(X＝0)×eq\f(4,5)＋P(X＝1)×eq\f(3,5)＋P(X＝2)×eq\f(2,5)＝eq\f(1,7)×eq\f(4,5)＋eq\f(4,7)×eq\f(3,5)＋eq\f(2,7)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,7).答案：eq\f(4,7)7．解析：(1)在前10場競賽中，甲球員投籃命中率超過0.5的場次有5場，分別是4，5，6，7，10，所以在隨機選擇的一場競賽中，甲球員的投籃命中率大于0.5的概率是eq\f(1,2).(2)在前10場競賽中，乙球員投籃命中率超過0.5的場次有4場，分別是3，6，8，10，所以在隨機選擇的一場競賽中，乙球員的投籃命中率超過0.5的概率是eq\f(2,5).設(shè)甲、乙兩名運動員在下一場競賽中恰有一人命中率超過0.5為事務(wù)A，甲球員命中率超過0.5且乙球員命中率不超過0.5為事務(wù)B1，乙球員命中率超過0.5且甲球員命中率不超過0.5為事務(wù)B2，則P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,5)＝eq\f(1,2).(3)X的可能取值為0，1，2，3，且X～B(3，eq\f(2,5))，P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))×(eq\f(2,5))0×(eq\f(3,5))3＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))×eq\f(2,5)×(eq\f(3,5))2＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×(eq\f(2,5))2×eq\f(3,5)＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))×(eq\f(2,5))3＝eq\f(8,125)，X的分布列如下：X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)∵X～B(3，eq\f(2,5))，∴E(X)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5).8．解析：(1)由題意得，16只試驗鼠中，有7只體征狀況嚴(yán)峻．X的可能取值有0，1，2，3,P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(16)))＝eq\f(3,20)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(16)))＝eq\f(9,20)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(9))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(16)))＝eq\f(27,80)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(16)))＝eq\f(1,16).所以X的分布列為X0123Peq\f(3,20)eq\f(9,20)eq\f(27,80)eq\f(1,16)所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(3,20)＋1×eq\f(9,20)＋2×eq\f(27,80)＋3×eq\f(1,16)＝eq\f(21,16).(2)由題意得，依據(jù)所給數(shù)據(jù)，得到2×2列聯(lián)表：GRPE蛋白干預(yù)非GRPE蛋白干預(yù)合計體征狀況嚴(yán)峻257體征狀況不嚴(yán)峻639合計8816零假設(shè)H0：試驗鼠體征狀況與GRPE蛋白干預(yù)沒有關(guān)系．利用列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得，χ2＝eq\f(16×（2×3－5×6）2,8×8×7×9)＝eq\f(16,7)≈2.286<2.706＝x0.1，依據(jù)小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可認為H0成立，即認為試驗鼠體征狀況與GRPE蛋白干預(yù)無關(guān)．9．解析：(1)X全部可能的取值為0，1，2，3，且X～B(3，0.8).P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))×(1－0.8)3＝0.008；P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))×0.81×(1－0.8)2＝0.096；P(X＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×0.82×(1－0.8)1＝0.384；P(X＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))×0.83＝0.512.故X的分布列為X0123P0.0080.0960.3840.512所以E(X)＝3×0.8＝2.4.(2)設(shè)事務(wù)A為“被選出的人中恰好有k位男生”，則30個人中剩下(30－k)個人為女生或者老師，事務(wù)包含樣本點的個數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(30))Ceq\o\al(\s\up1(30－k),\s\do1(42))，所以P(k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(30))Ceq\o\al(\s\up1(30－k),\s\do1(42)),Ceq\o\al(\s\up1(30),\s\do1(72)))＝eq\f(30！42！,Ceq\o\al(\s\up1(30),\s\do1(72)))·eq\f(1,k?。?0－k）?。?0－k）?。╧＋12）！).所以eq\f(P（k＋1）,P（k）)＝eq\f(（30－k）2,（k＋1）（k＋13）)>1，解得k<eq\f(887,74).所以P(12)>P(11)>P(10)…，P(12)>P(13)>P(14)>…，故當(dāng)k＝12時，P(k)最大．10．解析：(1)設(shè)“甲、乙恰好答對2個問題的概率”為事務(wù)A，則P(A)＝P(X＝1)·P(Y＝1)＋P(X＝2)·P(Y＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))eq\f(3,5)·(eq\f(2,5))2＋eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))·Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))(eq\f(3,5))0·(eq\f(2,5))3＝eq\f(3,10)×eq\f(36,125)＋