上海市奉賢區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一模試題含解析

2024屆奉賢區(qū)高三一模考試數(shù)學(xué)試卷一?填空題（1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1.設(shè)，則__________.【答案】##【解析】【分析】依據(jù)交集的學(xué)問求得正確答案.【詳解】依題意，集合的元素是整數(shù)，所以.故答案為：2.已知，（為虛數(shù)單位），則__________.【答案】【解析】【分析】兩個復(fù)數(shù)相等，則實部和虛部分別相等.【詳解】因為，又,所以，即.故答案為：.3.方程的兩個實數(shù)根為，若，則實數(shù)__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)韋達定理求解即可.【詳解】，，.，解得.故答案為：4.已知等差數(shù)列中，，則的值等于__________.【答案】14【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項公式求出，，便可求得.【詳解】解：由題意得：等差數(shù)列，所以設(shè)等差數(shù)列的首項為：，公差為：又，故答案為：5.己知雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，它的漸近線方程為，則它的離心率等于__________.【答案】【解析】【分析】利用雙曲線的性質(zhì)和之間的關(guān)系即可求得離心率.【詳解】由已知雙曲線的漸近線方程為所以，故所以，故所以離心率故答案為：6.若兩個正數(shù)的幾何平均值是1，則與的算術(shù)平均值的最小值是__________.【答案】1【解析】【分析】依據(jù)基本不等式和幾何平均數(shù)、算數(shù)平均數(shù)的概念推斷即可.【詳解】依據(jù)基本不等式可得，所以與算數(shù)平均數(shù)的最小值為1.故答案為：1.7.在二項式的綻開式中，系數(shù)最大的項的系數(shù)為__________（結(jié)果用數(shù)值表示）.【答案】462【解析】【分析】先求出二項式綻開式的通項公式，然后利用二項式系數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】二項式的綻開式的通項公式為，所以當(dāng)或時，其系數(shù)最大，則最大系數(shù)為，故答案為：462.8.下表是歲未成年人的身高的主要百分位數(shù)（單位：）.小明今年歲，他的身高為，他所在城市男性同齡人約有萬人.可以估計出小明的身高至少高于他所在城市__________萬男性同齡人.歲未成年人的身高的主要百分位數(shù)歲男女歲男女?dāng)?shù)據(jù)來源：《中國未成年人人體尺寸）（標準號：）.【答案】【解析】【分析】由百分位數(shù)估算出身凹凸于小明的男性同齡人所占比例，再乘男性同齡人總?cè)藬?shù)即可.【詳解】小明今年歲，從表中可以得出，歲男性身高的主要百分位數(shù)中，，，小明的身高為，介于和之間，說明至少有的男性同齡人身凹凸于小明，∵小明所城市男性同齡人約有萬人，∴小明的身高至少高于（萬人）.故答案為：.9.從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率是__________.（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）.【答案】【解析】【分析】依據(jù)古典概型的概率公式即可求出．【詳解】從正方體個頂點中任取個，有個結(jié)果，這個點在同一個平面有個，故所求概率．故答案為：．10.長方體的底面是邊長為1的正方形，若在側(cè)棱上至少存在一點，使得，則側(cè)棱的長的最小值為__________.【答案】2【解析】【分析】依據(jù)，利用勾股定理建立方程，則方程有解即可求解.【詳解】設(shè)又因為，所以即化簡得，即關(guān)于的方程有解，當(dāng)時，不符合題意，當(dāng)時，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，所以側(cè)棱的長的最小值為2，故答案為:2.11.設(shè)且滿意，則__________.【答案】【解析】【分析】令，則，依據(jù)即可求解．【詳解】令，則所以，整理得解得，所以故答案為：12.已知某商品的成本和產(chǎn)量滿意關(guān)系，該商品的銷售單價和產(chǎn)量滿意關(guān)系式，則當(dāng)產(chǎn)量等于__________時，利潤最大.【答案】200【解析】【分析】首先求出關(guān)于利潤的表達式，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意可知，設(shè)利潤為，則，而，當(dāng)時，，時，，即在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以時，利潤最大.故答案為：二?選擇題（13-14每題4分，每題5分，共18分）13.下列四組函數(shù)中，同組的兩個函數(shù)是相同函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】D【解析】【分析】依據(jù)相同函數(shù)的學(xué)問對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，函數(shù)的定義域為；函數(shù)的定義域為，不是相同函數(shù).B選項，函數(shù)的定義域為；函數(shù)的定義域為，不是相同函數(shù).C選項，函數(shù)的定義域為；函數(shù)的定義域為，不是相同函數(shù).D選項，由于，所以與的定義域、值域都為，對應(yīng)關(guān)系也相同，所以與是相同函數(shù).故選：D14.紫砂壸是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間．紫砂壸的壸型眾多，經(jīng)典的有西施壸?掇球壸?石飄壸?潘壸等．其中，石瓢壸的壸體可以近似看成一個圓臺．如圖給出了一個石瓢壸的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：），那么該壸的容積約接近于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)圓臺的體積公式計算即可．【詳解】解：設(shè)R為圓臺下底面圓半徑，r為上底面圓半徑，高為，則，，，，故選：B．15.下列結(jié)論不正確的是（）A.若事務(wù)與互斥，則B.若事務(wù)與相互獨立，則C.假如分別是兩個獨立的隨機變量，那么D.若隨機變量的方差，則【答案】A【解析】【分析】由已知，選項A，依據(jù)事務(wù)與互斥，可知；選項B，依據(jù)事務(wù)與相互獨立，可知；選項C，依據(jù)分別是兩個獨立的隨機變量，可得；選項D，由，可得，即可作出推斷.【詳解】由已知，選項A，若事務(wù)與互斥，則，故該選項錯誤；選項B，若事務(wù)與相互獨立，則，故該選項正確；選項C，若分別是兩個獨立的隨機變量，那么，故該選項正確；選項D，若隨機變量的方差，則，故該選項正確；故選：A.16.已知，，，，滿意，，，有以下個結(jié)論：①存在常數(shù)，對隨意的實數(shù)，使得的值是一個常數(shù)；②存在常數(shù)，對隨意的實數(shù)，使得的值是一個常數(shù).下列說法正確的是（）A.結(jié)論①、②都成立B.結(jié)論①不成立、②成立C.結(jié)論①成立、②不成立D.結(jié)論①、②都不成立【答案】B【解析】【分析】依據(jù)三角恒等變換的學(xué)問，分別將和用，表示即可.【詳解】對于結(jié)論①，∵，，∴，，∴，∴，∴當(dāng)為常數(shù)，時，不是一個常數(shù)，故結(jié)論①不成立；對于結(jié)論②，方法一：∵又∵∴化簡得，∴存在常數(shù)，對隨意的實數(shù)，使得，故結(jié)論②成立.方法二：（特值法）當(dāng)時，，∴，∴.∴存在常數(shù)，對隨意的實數(shù)，使得，故結(jié)論②成立.故選：B.【點睛】本題中結(jié)論②的推斷，運用常規(guī)三角恒等變換的方法運算量較大，對于存在性結(jié)論，運用特值法可以有效驗證其正確性，削減運算量.三?解答題（17-19每題14分，20-21每題18分，共78分）17.已知為奇函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)的最小正周期和的表達式；（2）若，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)列關(guān)于的等式，即可求出解析式，得到周期；（2）依據(jù)，求出，與然后再求解.【小問1詳解】因為為奇函數(shù)，所以，化簡得到求出，所以，最小正周期是；【小問2詳解】若所以18.如圖，在四面體中，已知.點是中點.（1）求證：平面；（2）已知，作出二面角的平面角，并求它的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）作圖見解析，【解析】【分析】（1）依據(jù)三線合一，線面垂直判定定理解決即可；（2）取的中點，由，得，得是二面角的平面角，再由勾股定理，余弦定理，直角三角形特點解決即可.【小問1詳解】是中點，又是中點，面所以面小問2詳解】由題知，，，取的中點，連接，,依據(jù)三角形全等證明方法,可以證明,,所以是二面角的平面角，利用勾股定理計算出,由余弦定理得，解得，所以，，所以，所以中，.19.某地區(qū)1997年底沙漠面積為（注：是面積單位，表示公頃）.地質(zhì)工作者為了解這個地區(qū)沙漠面積的改變狀況，從1998年起先進行了連續(xù)5年的觀測，并在每年底將觀測結(jié)果記錄如下表：觀測年份該地區(qū)沙漠面積比原有（1997年底）面積增加數(shù)19982000199940002000600120017999200210001請依據(jù)上表所給的信息進行估計.（1）假如不實行任何措施，到2024年底，這個地區(qū)的沙漠面積大約變成多少？（2）假如從2003年初起先，實行植樹造林等措施，每年改造面積沙漠，但沙漠面積仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，這個地區(qū)的沙漠面積將首次小于【答案】（1）（2）到2024年底這個地區(qū)沙漠治理的總面積首次小于【解析】【分析】(1)從增加數(shù)看,數(shù)字穩(wěn)定在2000旁邊,所以可認為沙漠面積的增加值構(gòu)成一個等差數(shù)列.求2010年底的沙漠面積可利用數(shù)列的通項公式,首項可以選2002年的增加數(shù).列出經(jīng)過n年后的沙漠面積,再依據(jù)已知列出不等式.（2）設(shè)在2002年的基礎(chǔ)上,再經(jīng)過n年,該地區(qū)的沙漠面積將小于,列出不等式能求出結(jié)果.【小問1詳解】從表中數(shù)據(jù)看，每年沙漠面積增長量可以假設(shè)是一個等差數(shù)列，公差約，假設(shè)表示年底新增沙漠面積，那么到2024年底新增沙漠面積約，到2024年底，這個地區(qū)的沙漠面積將大約變成.【小問2詳解】以2003年年底為第一年，設(shè)年年底后這個地區(qū)的沙漠面積小于,,化簡得,所以到2024年底這個地區(qū)沙漠治理的總面積首次小于.20.已知橢圓的中心在原點，且它的一個焦點為.點分別是橢圓的左?右頂點，點為橢圓的上頂點，的面積為.點是橢圓上在第一象限內(nèi)的一個動點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若把直線的斜率分別記作，若，求點的坐標；（3）設(shè)直線與軸交于點，直線與軸交于點.令，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)焦點坐標、三角形面積、就是可得答案；（2）設(shè)，利用點在橢圓上和可求出點坐標；（3）求出直線、直線的方程可得點坐標及，利用得到，再由可得，即，利用的范圍可得答案.【小問1詳解】，所以橢圓標準方程為；【小問2詳解】設(shè)，，得到，所以；【小問3詳解】因為點是橢圓上在第一象限內(nèi)的點，所以，直線的方程為，直線的方程為，所以，，，，，，，則，.21.已知函數(shù),其中.（1）求函數(shù)在點的切線方程;（2）函數(shù)是否存在極值點,若存在求出極值點,若不存在,請說明理由;（3）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）,不存在極值點;,存在一個微小值點,無極大值點（3）【解析】【分析】(1)對求導(dǎo),求出切點斜率,再依據(jù)切點求出切線方程即可;(2)令,對進行求導(dǎo),再探討剛好導(dǎo)函數(shù)的正負及極值點即可;(3)將代入,先探討時的取值范圍,再全分別,構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)求單調(diào)性求最值,即可得出的取值范圍.【小問1詳解】解:由題知,,所以在點的切線方程為,即;【小問2詳解】設(shè),定義域,,當(dāng)時,恒成立,所以在單調(diào)遞增,所以不存在極值點,當(dāng)時,令，當(dāng)時,，當(dāng)時,，所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以函數(shù)存在一個微小值點,無極大值點,綜上:時,不存在