2025版新教材高中數(shù)學第六章平面向量及其應用6.3平面向量基本定理及坐標表示6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標表示學案新人教A版必修第二冊

6.3.5平面對量數(shù)量積的坐標表示【學習目標】(1)會用坐標表示平面對量的數(shù)量積．(2)能夠用向量坐標求數(shù)量積、模及兩個向量的夾角．(3)能夠利用坐標推斷向量的垂直關系．題型1平面對量數(shù)量積的坐標表示【問題探究1】在平面直角坐標系中，設i，j分別是與x軸和y軸方向相同的兩個單位向量，你能計算出i·i，j·j，i·j的值嗎？若設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能給出a·b的值嗎？例1已知向量a＝(1，3)，b＝(2，5)，c＝(2，1)，求：(1)2a·(b－a)；(2)(a＋2b)·c.題后師說平面對量數(shù)量積的坐標運算的策略跟蹤訓練1(1)已知點P(2，0)，Q(1，1)，向量EF＝(λ，2)，若PQ·EF＝0，則實數(shù)λ的值為()A．12B．－C．2D．1(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－1，2)，則a在b方向上的投影向量坐標是________．題型2平面對量的?！締栴}探究2】若向量a＝(x，y)，怎樣用a的坐標表示|a|？若表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，又如何用坐標表示|a|?例2已知向量a＝(m，1)，b＝(3，m)，若a與b方向相反，則|a－3b|＝()A．54B．8C．33D．43學霸筆記：求模問題一般轉化為求模的平方，即求a2＝|a|2＝x2＋y2，求模時，勿遺忘開方．跟蹤訓練2已知向量a，b滿意a＝(－1，2)，b＝(x，1)，|a＋b|＝3，則實數(shù)x＝________．題型3平面對量的夾角與垂直【問題探究3】(1)若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的夾角為θ，則如何用a、b的坐標表示cosθ？(2)若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)相互垂直，則它們的坐標滿意怎樣的等量關系？反過來也成立嗎？例3已知a＝(1，2)，b＝(1，－1)．(1)若2a＋b與ka－b垂直，求k的值；(2)若θ為2a＋b與a－b的夾角，求θ的值．學霸筆記：解決向量夾角問題的方法及留意事項(1)求解方法：先利用平面對量的坐標表示出這兩個向量的數(shù)量積a·b及|a||b|，再由cosθ＝a·bab|(2)留意事項：利用三角函數(shù)值cosθ求θ的值時，應留意角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.利用cosθ＝a·bab|跟蹤訓練3(1)已知向量a＝(2，m)，b＝(4，－1)，且(a－b)⊥(a＋b)，則實數(shù)m＝()A．2B．1C．±11D．±13(2)已知向量a＝(6，8)，|b|＝5且b＝(3，m)，若a和b的夾角為鈍角，則b＝________．隨堂練習1．若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，則x＝()A．3B．－3C．53D．－2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，m)，若a⊥b，則m＝()A．－1B．1C．－14D．3．設平面對量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|＝()A．5B．6C．17D．264．若向量a＝(1，2)與b＝(t－1，32t)的夾角為銳角，則t課堂小結1.平面對量數(shù)量積的坐標表示．2．能夠用兩個向量的坐標來解決平面對量的模、夾角、垂直有關的問題．6．3.5平面對量數(shù)量積的坐標表示問題探究1提示：i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0.∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2.又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.例1解析：(1)∵2a＝2(1，3)＝(2，6)，b－a＝(2，5)－(1，3)＝(1，2)，∴2a·(b－a)＝(2，6)·(1，2)＝2×1＋6×2＝14；(2)∵a＋2b＝(1，3)＋2(2，5)＝(1，3)＋(4，10)＝(5，13)，∴(a＋2b)·c＝(5，13)·(2，1)＝5×2＋13×1＝23.跟蹤訓練1解析：(1)由P(2，0)，Q(1，1)，可得PQ＝(－1，1)，又EF＝(λ，2)，所以PQ·EF＝－λ＋2＝0，所以λ＝2.故選C.(2)因為a＝(1，2)，b＝(－1，2)，所以向量a在b方向的投影向量為a·bb·bb＝-1+4答案：(1)C(2)(－35問題探究2提示：|a|＝x2+y2；|例2解析：向量a＝(m，1)，b＝(3，m)，a與b方向相反，則m2=3，m<0，解得m＝－3，即a＝(－3，1)，b＝(3，－3)，則a－3b＝(－3，1)－3(3，－3)＝(－43，4)，所以|a答案：B跟蹤訓練2解析：已知向量a，b滿意a＝(－1，2)，b＝(x，1)，所以a＋b＝(－1＋x，3)，則|a＋b|＝|(－1＋x，3)|＝-1+x2+答案：1問題探究3提示：(1)cosθ＝x1(2)x1x2＋y1y2＝0，反過來也成立．例3解析：(1)因為a＝(1，2)，b＝(1，－1)，則2a＋b＝(3，3)，ka－b＝(k－1，2k＋1)，依題意，(2a＋b)·(ka－b)＝3(k－1)＋3(2k＋1)＝9k＝0，解得k＝0，所以k＝0.(2)由(1)知，2a＋b＝(3，3)，a－b＝(0，3)，則|2a＋b|＝32+32＝32，|因此cosθ＝3×0+3×32而θ∈[0，π]，所以θ＝π4跟蹤訓練3解析：(1)依題意，a＋b＝(6，m－1)，a－b＝(－2，m＋1)，由(a－b)⊥(a＋b)，得(a－b)·(a＋b)＝－12＋m2－1＝0，解得m＝±13，所以實數(shù)m＝±13.故選D.(2)已知向量a＝(6，8)，|b|＝5且b＝(3，m)，若a和b的夾角為鈍角，則cos〈a，b〉答案：(1)D(2)(3，－4)[隨堂練習]1．解析：a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.故選A.答案：A2．解析：因為a⊥b，所以(－1)×2＋2m＝0，解得m＝1.故選B.答案：B3．解析：由題意，∵a＝(1，2)，b＝(－2，y)，a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y