重難點(diǎn)03圓錐曲線綜合七種問(wèn)題解題方法-【滿分全攻略】2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期核心考點(diǎn)+重難點(diǎn)講練與測(cè)試（滬教版2020選修一+選修二）

重難點(diǎn)03圓錐曲線綜合七種問(wèn)題解題方法

?【目錄】

題型一：弦長(zhǎng)問(wèn)題

題型二：面積問(wèn)題

題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題

題型四：范圍問(wèn)題

題型五：定點(diǎn)問(wèn)題

題型六：定值問(wèn)題

題型七：向量共線問(wèn)題

延技巧方法

1.有關(guān)圓錐曲線弦長(zhǎng)問(wèn)題的求解方法

涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與

系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算；涉及過(guò)焦點(diǎn)的弦的問(wèn)題，可考慮用圓錐曲線的定義求解.

2.解決中點(diǎn)弦的問(wèn)題的兩種方法：

（1）韋達(dá)定理法：聯(lián)立直線與曲線的方程，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)

坐標(biāo)公式解決；

（2）點(diǎn)差法：設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，然后作差，

構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率關(guān)系求解.

3.圓錐曲線中取值范圍問(wèn)題的五種求解策略：

（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；

（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

4.利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（士,乂）,（￡,%）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算△；

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為占+々、x,x,（或x+%、外%）的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

5.求解定點(diǎn)問(wèn)題的常用方法有：

（1）從特殊入手，求出定點(diǎn)（通常為特殊位置，如軸上的點(diǎn)），再證明這個(gè)點(diǎn)與變量無(wú)關(guān)；

（2）直接通過(guò)題目中的幾何關(guān)系進(jìn)行推理、計(jì)算、化簡(jiǎn)，消去變量，從而得到定點(diǎn).

處理定點(diǎn)問(wèn)題的思路：

（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為Z）,

（2）利用條件找到改與過(guò)定點(diǎn)的曲線F（x,y）=O的聯(lián)系，得到有關(guān)人與的等式，

（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)（工,%）,使得無(wú)論女的值如何變化，等式恒成立，此時(shí)要將關(guān)于左

與x，》的等式進(jìn)行變形，直至找到（事,％）,

①若等式的形式為整式，則考慮將含左的式子歸為一組，變形為“人（）”的形式，讓括號(hào)中式子等于0,求

出定點(diǎn)；

②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0,一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去左變?yōu)槌?/p>

數(shù).

求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般證明“：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，

再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；

（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)（%,%）,常利用直線的點(diǎn)斜式方程丫-%=%（犬-%）或截距式>=依+6來(lái)證明.

6.求定值問(wèn)題常見的方法有兩種：

（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消

去變量，從而得到定值.

與相交有關(guān)的向量問(wèn)題的解決方法

在解決直線與圓錐曲線相交，所得弦端點(diǎn)的有關(guān)的向量問(wèn)題時(shí)，一般需利用相應(yīng)的知識(shí)，將該關(guān)系轉(zhuǎn)化為

端點(diǎn)坐標(biāo)滿足的數(shù)量關(guān)系，再將其用橫（縱）坐標(biāo)的方程表示，從而得到參數(shù)滿足的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求解.

u能力拓展

題型一：弦長(zhǎng)問(wèn)題

一、填空題

1.(2023?上海?高二專題練習(xí))拋物線y2=4x焦點(diǎn)的直線交拋物線于48兩點(diǎn)，若線段AB長(zhǎng)為8,。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，則4AOB的重心的橫坐標(biāo)為

【答案】2

【分析】先求得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)出過(guò)焦點(diǎn)的直線方程代入拋物線方程消去x,根據(jù)韋達(dá)定理求得

玉+々和玉工2,代入|4卻的表達(dá)式中即可求得左,進(jìn)而根據(jù)三個(gè)定點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得△AO3的重心的橫坐標(biāo).

【詳解】由題意知拋物線焦點(diǎn)廠(1，0).

設(shè)過(guò)焦點(diǎn)尸。，0)的直線為尸從一。，(無(wú)=0),A&,x),研工2,%).

代入拋物線方程消去y得爐了2-2(公+2卜+公=0.

???公工0,根據(jù)F(LO)在拋物線內(nèi)，則直線與拋物線必有兩交點(diǎn)，

3+行當(dāng)/，書4

k

***!c=\.

/.Xj+X2=6

A4OB的重心的橫坐標(biāo)為x=("產(chǎn)=2,

故答案為：2.

二、解答題

2.(2023春?上海奉賢?高二?？茧A段練習(xí))已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C,過(guò)點(diǎn)(-2,0),離心率e=更直線

/：y=2x+b被橢圓C所截得的弦長(zhǎng)為后，

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求實(shí)數(shù)b的值.

【答案】(1)二+二=1;

164

⑵6=±2.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，求出橢圓C的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)即可作答.

(2)聯(lián)立直線/與橢圓C的方程，利用弦長(zhǎng)公式求解作答.

【詳解】(1)因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在y軸上，且過(guò)點(diǎn)(-2,0),則橢圓C的短半軸長(zhǎng)為2,設(shè)其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為“，

由離心率6得：e2=——=1--^-=—,解得/=16,

2a2a24

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是￡+工=1.

164

(y=2x+t>

(2)由；，2，/消去y并整理得：8/+4云+〃-16=0，

[4x2+/=16

有△=16/一32s2_16)>0,即從v32,設(shè)直線I被橢圓C所截弦的端點(diǎn)AQ,y),B&,%)，

于是玉+/=~~z>x\xi=T~~~?|AB\=J1+2??+x))2—4X[X)=V5?./——4(——2)=\/35，

2~8V48

解得b=±2,滿足條件，

所以匕=±2.

22

3.(2023春?上海浦東新?高三上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí))己知雙曲線C:「-馬=1的焦距為4,虛軸長(zhǎng)

cTb

為2,左右焦點(diǎn)分別為￡和工?直線/：>="+皿，"。)與曲線C交于不同的兩點(diǎn)AB.

(1)求雙曲線C的方程及其離心率e；

(2)如果直線/過(guò)點(diǎn)尸2且|=2后，求直線I的方程；

(3)是否存在直線/使得A,8兩點(diǎn)都在以D(0,T)為圓心的圓上？如果存在，求機(jī)的取值范圍；如果不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)￡-丁=1,空

33

(2?=0或y=x-2或y=-x+2

(3)存在，當(dāng)上=0時(shí)，加可取不等于0的一切實(shí)數(shù)；當(dāng)女*0時(shí)，〃"[一!，0)=(4,+8).

【分析】(1)利用焦距和虛軸長(zhǎng)直接求出c=2,6=l,從而求出雙曲線方程；

(2)聯(lián)立方程，韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式即可求出直線的斜率，從而求出直線方程；

(3)把43兩點(diǎn)都在以D(O,-D為圓心的圓上轉(zhuǎn)化為AB中點(diǎn)與。的直線與直線A8垂直，分類討論，當(dāng)出=0

時(shí)，機(jī)可取不等于0的一切實(shí)數(shù)，當(dāng)AHO時(shí)，聯(lián)立方程，韋達(dá)定理，求出A8中點(diǎn)坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系建

立方程求解即可.

【詳解】(1)由題意得，2c=4,26=2,所以c=28=l,所以/=c2=3,

所以雙曲線C的方程為其離心率為《=￡=2=2叵；

3aV33

2=1

(2)設(shè)/：y=%(x-2),聯(lián)立《可一)一消y得：(1-3/)/+12/X-12&2-3=0,

[y=k(x-2)

工4/、n/、閉」1一3公*012k212/+3

設(shè)⑶必)‘(孫必)'人%=i2%2+i2>o'%+"4?'中2=中『

所以

22

\AB\=Vi+FIX,-x,I=y/\+k-7(^I+X2)-4X,X2=J1+”='所

以1+^2=*-1|,解得

&=0或±1,所以直線方程y=0或y=x-2或y=-x+2：

(3)當(dāng)k=0時(shí)，加可取不等于0的一切實(shí)數(shù)；

V_2=1

當(dāng)&H0時(shí)，聯(lián)立方程｛5一)一消y得：(1—3公卜2-6切it-(3療+3)=0,

y=kx-\-m

公人/、口/、口」1-3%2Ho6km3/n2+3

設(shè)(228(22)，人心=]2田+12-36/>0'^+%2=r3?,

所以A8中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為百芋=代入直線丫=辰+機(jī)得"(當(dāng)門丁冬]由題意鼬>=-1,

21一3%\i-3k1一次)k

m.

----7+11

所以」二器?一=-工,

3kmk

1一3公

化簡(jiǎn)得3公=4m+1,代入A>。得：w2+1>4m+l,解得機(jī)>4或機(jī)<0,

又3A2=4帆+120,所以加2-1，所以一14機(jī)<0或m>4,即加￡[-!，0)U(4,+OO),

444

綜上，當(dāng)％=0時(shí)，加可取不等于0的一切實(shí)數(shù)；當(dāng)出W()時(shí)，“€[-!，0)=(4,-).

4

r22

4.(2022春?上海普陀?高二?？计谥?已知橢圓C:=+4v=l(a>〃>0)的左右焦點(diǎn)分別為6、行，點(diǎn)”(。，2)

ab

是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，△耳聞名是等腰直角三角形.

（1）求橢圓C的方程；

（2）寫出橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)；短軸長(zhǎng)；焦距；離心率

（3）求直線y=x+l被橢圓C截得的弦長(zhǎng).

22

【答案】（1）二+—=1

84

（2）長(zhǎng)軸長(zhǎng)4夜，短軸長(zhǎng)4,焦距4,離心率孝

⑶處

3

【分析】（1）根據(jù)題意分析可得b=c=2,結(jié)合/=^+c2可求0,即可得結(jié)果;

（2）根據(jù)（1）中的a,"c,結(jié)合橢圓的相關(guān)概念運(yùn)算求解；

（3）聯(lián)立方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式運(yùn)算求解.

【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)M3,2）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，△片用入是等腰直角三角形，

所以8=c=2,所以/=/?+<?=8,

22

故橢圓C的方程為土+么=1.

84

(2)由(1)可得：a=2>/2,b=c=2,

故長(zhǎng)軸長(zhǎng)40，短軸長(zhǎng)4,焦距4,離心率日.

（3）設(shè)交點(diǎn)4（內(nèi),乂）,8（七,力），

y=x+l

聯(lián)立方程J2,消去y得3d+4x-6=0,

—+—=1

184

4

—

則A-16—4x3x（—6）=88〉0,再+x2=~,X|X0——2,

所以I=J1+二+xj-4玉》2=y/2xJ,+8=~~~?

【點(diǎn)睛】方法定睛：涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)

系時(shí)也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法筒化運(yùn)算；涉及過(guò)焦點(diǎn)的弦的問(wèn)題，可考慮用圓錐曲線的定

義求解.

5.（2022秋?上海徐匯?高三位育中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓C：￡+2=l,尸為橢圓。的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的

43

直線/交橢圓C于A、8兩點(diǎn).

（1）若直線/垂直于X軸，求橢圓C的弦AB的長(zhǎng)度:

（2）設(shè)點(diǎn)P（-3,0）,當(dāng)NP4S=90。時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)“（4,3）,記加4、MB的斜率分別為勺和勺，試探討人+&是否為定值？如果是，求出該定值；如果

不是，求出的取值范圍.

【答案】（1）3

⑵（0,⑹或（0,-5/3）

（3）是定值，定值為2

【分析】（1）若直線/垂直于x軸，知點(diǎn)A8的橫坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求得點(diǎn)AB的縱坐標(biāo)，即可求得弦

A8的長(zhǎng)度；

（2）由/PAB=90。時(shí)，知點(diǎn)A的軌跡方程，聯(lián)立軌跡方程和橢圓的方程，求得交點(diǎn)即為點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（3）由直線/的斜率不存在求得點(diǎn)AB的坐標(biāo)，代入匕+心中求得定值，再由直線/的斜率存在，設(shè)出直線方

程與點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，再由韋達(dá)定理得出兩根之和及兩根之積，代入&+&中，即

可求得定值.

【詳解】3）因?yàn)槭瑸闄E圓C的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線/交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，直線/垂直于x軸，

所以號(hào)=4=/=C，代入橢圓的方程得以=-%=—，

a

uoz2b22x3.

所以=—=；-=3；

若直線/垂直于x軸，橢圓C的弦A8的長(zhǎng)度為3.

（2）若點(diǎn)P（-3,0）,當(dāng)NR4B=90。時(shí)，因?yàn)橄?8過(guò)右焦點(diǎn)，

則即點(diǎn)A在以P尸為直徑的圓上，則點(diǎn)A的軌跡方程為（x+iy+V=4；

又因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上，則

一?y2T

■不+不一解得x=0,y=士白，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，退）或（0,-73）.

（x+1）2+y2=4

（3）當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，即直線/垂直于x軸，此時(shí)力卜,|],8（1,-|）,

3-23-p

kx+k2=—2-+—=

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/方程為丁=耳*-1）,4（5,%）,8仇,力），

V￡=

■43消去y得（3+4公）X2-8/X+442-12=0；

y=Z（x-1）

8二4公12

k+k=3f3—必=（3-y）（4-動(dòng)+（4-占）（3-必）

'三一（4—-）

_12-3X2.4yl+wy+12-4y2-3再+x1y2

x}x2-4（%j+/）+16

12—3x?—4k（X]—1）+/2（工1—1）+12—4攵—1）—3&+玉&（g-1）

玉々-4（X+x2）+16

2gx2-（3+5攵）（玉+工2）+24+8攵

x}x2-4（Xj+X2）+16

將x1+x2=~^,xlX2=半需代入上式得k1+h=2,

綜上：K+&是定值，定值為2.

題型二：面積問(wèn)題

一、填空題

->2

1.（2023上海徐匯為考二模）已知雙曲線"方=1（">0力>0）的左焦點(diǎn)為尸（TO）,過(guò)尸且與x軸垂直

的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，AOB的面積為3，則尸到雙曲線的漸近線距離為.

【答案】縣占拒

22

【分析】取x=-c,解得y=士以，根據(jù)面積得到5=3,解得漸近線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式

aa2

計(jì)算得到答案.

【詳解】取丫=-叫則￡._[=],解得y=±Q,故絲=￡=

aba2aa2

即=解得a=1或q=—2（舍），b=B,

al22

不妨取漸近線方程為y=6x,即Gx-y=0,/到漸近線的距離為上里=迫.

故答案為：且

2

二、解答題

2.(2023春?上海?高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知曲線C：E-￡=1,焦距長(zhǎng)為2石，右頂點(diǎn)A

ah'

的橫坐標(biāo)為1.C上有一動(dòng)點(diǎn)M(孫〃)(〃工0),N和〃關(guān)于y軸對(duì)稱，直線M4記為4,直線N4為12,而且4,

4與y軸的交點(diǎn)分別為尸，Q.

(I)求雙曲線C的方程；

(2)已知以線段PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T,且T為x軸上一點(diǎn)，求T的坐標(biāo)；

(3)記S為三角形的面積，當(dāng)S取最小值時(shí).求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】⑴/_￡=1；

4

⑵7(±2,0)；

⑶M的坐標(biāo)是(衣2)或(衣一2)或(-72,2)或卜立-2).

【分析】(1)由已知，得a=l,c=石，利用雙曲線中“，江c的關(guān)系，求出從即可得到雙曲線C的方程;

(2)由題意寫出直線MA和NA的方程，令x=0求出P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到半徑和中點(diǎn)，寫出圓的

方程，令y=0,求出x=±2,可得T的坐標(biāo)；

(3)由(2)可得|PQ帕勺表達(dá)式，進(jìn)而求出三角形尸加。的面積S的表達(dá)式，由(2)知機(jī)，〃的關(guān)系繼續(xù)化

簡(jiǎn)，再由均值不等式可得三角形面積的最小值，進(jìn)而求出M點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】(1)因?yàn)榻咕嚅L(zhǎng)為2不，即2c=2有nc=K，

且右頂點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為1,則。=1,

所以〃=。2一。2=5-1=4,

所以雙曲線C的方程為8?-21=1；

4

(2)已知A(L0),由于N和"關(guān)于丫軸對(duì)稱，可知”N0,則,〃工±1,

直線AM:y=」一(x-l),令x=0,可得y=」~,則尸(0,二)，

直線AN:y=—^(x-1),令x=0,可得y=y,則Q(0,4],

-m-\"2+1Im+\)

所以歸Qk|ErUrH普卜則以線段尸。為直徑的圓的半徑為I罟，

所以以線段PQ為直徑的圓的方程為Y+y+

2222

mn"n

令…,得”2西廣西廣K,

又蘇-d=l,

4

2

2n

所以X=m"nx=-2,即7(i2,0)；

<3）因?yàn)榭扇缃薪?m2n4m2

n+->4

同n

當(dāng)且僅當(dāng)〃=?2時(shí)，取得最小值，

此時(shí)M的坐標(biāo)是（灰,2）或（亞,-2）或卜也2）或卜①-2）.

尤2v2

3.（2023?上海靜安?統(tǒng)考二模）已知雙曲線八二一2T=1（其中〃>0*>。）的左、右焦點(diǎn)分別為耳（-c,

a-b~

0）、尸230）（其中c>0）.

（1）若雙曲線「過(guò)點(diǎn)（2,1）且一條漸近線方程為>=也X；直線/的傾斜角為5,在y軸上的截距為-2.直

線/與該雙曲線「交于兩點(diǎn)4、B,M為線段AB的中點(diǎn)，求AMKE的面積；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線「在第一象限的交點(diǎn)為P.過(guò)P作圓的切線，若切線

的斜率為一石，求雙曲線廠的離心率.

【答案】（1）2?；

⑵萬(wàn)

【分析】（1）由雙曲線「過(guò)點(diǎn)（2,1）且一條漸近線方程為y=^x可得雙曲線方程，將直線/與雙曲線方

程聯(lián)立可得M坐標(biāo)，即可得答案；

'22、

（2）方法一：將圓方程與雙曲線方程聯(lián)立，可得尸：匚,后由切線斜率為-75可得

CC

\/

=囪n3-4_8/+4=0,即可得答案：

b~

方法二：設(shè)切線與X軸交于E點(diǎn)，由題目條件可得NPEO=二，結(jié)合NOPE=工，可得

32

ZPOE=,ZPOFt=與，后由余弦定理可得忸耳|,|P閭，進(jìn)而可得“，即可得答案.

66

【詳解】（1）雙曲線八「-，=1漸近線方程為y=土，X,己知一條漸近線方程為y=￥x,所以a=后，

雙曲線廠經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,1）,所以｝/=1，

解得標(biāo)=2,〃=1.所以雙曲線八y-y2=l.

直線/的傾斜角為：，則斜率為1,又/在y軸上的截距為-2,貝門方程為：y=x-2,代入雙曲線方程得:

X2-8x+10=0,

設(shè)兩點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（為，M）、（巧，%），M（x,y）,

則玉+/=8=%=4,〉=2.又出入|二26,

則△碼居的面積=白耳用.y=gx2Gx2=2技

f+y2=c2,將其與雙曲線方程聯(lián)立:

x2+y2=c2

2=*

￥=八.==述三＞上

acc

即p["J"+C?,,又切線斜率為一④，則kL.°=坐

（ccJcaylb2+c23

n3佇一標(biāo)）="J2c2-In3c4+4/-8a2c2=0n3e“一8/+4=0,解得e?=2,所以雙曲線

廠的離心率為百；

方法二：設(shè)切線與x軸交于E點(diǎn)，因切線斜率為-石，可知NPEO=g,

又NOPE=E,貝ljNPOE=」NPO4='.注意到10H=|。用=|。閭=c,則在，P。鳥中，由余弦定理，

266

\PF2\-Jpcf+|o碟_21尸o||。聞cos；=《2一舊C=#二較c，

在4尸。耳中，由余弦定理，

22

怛4|=J|po|+lo/^l-2\po\\OF2\COSy=42+6c=8；網(wǎng)C.

4.（2023?上海松江?統(tǒng)考二模）已知橢圓G：g+/=1的左、右焦點(diǎn)分別為牛g,離心率為弓;雙曲線

。2：1-￡=1的左、右焦點(diǎn)分別為工、工，離心率為0,e、q=*.過(guò)點(diǎn)6作不垂直于），軸的直線/交曲

線C1于點(diǎn)A、B,點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，直線OM交曲線C?于P、。兩點(diǎn).

⑴求G、Q的方程;

（2）若A4=34B,求直線P。的方程;

（3）求四邊形APBQ面積的最小值.

【答案】⑴三+丁=1,—-jv2=l

（2）y=~x^y=^x

（3）2

【分析】（1）用b表示4,e2,由烏仁二孝計(jì)算/可得方程;

（2）設(shè)直線A8的方程為x=w）-l,由AE=3f；8,得出縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，由韋達(dá)定理消可求解用；

（3）由（2）可求出弦長(zhǎng)|AB|,根據(jù)中點(diǎn)“可寫出直線PQ的方程，與橢圓聯(lián)立求出P,Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算

點(diǎn)RQ到直線A8的距離，以A8為底，可計(jì)算四邊形AP8Q的面積，從而求出最小值.

【詳解】（1）由題意可知：令=與竺,e,=與Q

V2-0

所以q?6=

~一~2~~~

解得：tr=\,

所以橢圓方程為A小，雙曲線方程為:

（2）由（1）知耳（一1,0）,因?yàn)橹本€A8不垂直與＞軸，設(shè)直線AB的方程為：》=沖-1,設(shè)點(diǎn)4（5,乂）,8（々,必），

則人6=（—1_耳，_乂），F(xiàn)/=（9+1，）'2））

由4耳=3a8,則-y=3%,即必=-3%,

x=my-1

2

聯(lián)立:x221可得：2+2）y?_2my-1=0,A=4m+4（加2+2）=8（加2+i）〉（）,

一+y=1

2

2m

m+2

由韋達(dá)定理可得:

一1

tn+2

-tn

必=2,

m+20

將苗=一3%代入得：i解得加=±1,

4=3（/?2+2）

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，弦AB的中點(diǎn)M此時(shí)直線PQ的方程為：y=-gx；

當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，弦A3的中點(diǎn)此時(shí)直線PQ的方程為：y=；x.

所以直線尸。的方程為y=-；x或y=；x.

（3）設(shè)A3的中點(diǎn)“伍，幾），由（2）可得|叫=+必）2—4%%=20,+叫

□m—2上..-2mj

且y產(chǎn).產(chǎn)陽(yáng)。一|二版*’點(diǎn)加m2+2'm?+2J'

kpQ=k°M=q,直線PQ的方程為：y=~x,

m

y=---x.

J2c4in2

聯(lián)立,可得：X2=--y2=-^—,且2—M>0,

2

X2212—m-J2-m

---y=1

12

/O、

-2m

由雙曲線的對(duì)稱性，不妨取點(diǎn)P

、，2-"i~，2-/刀一）

2+trr2+nr

所以點(diǎn)P到直線AB的距離為：,亞二/亞二/

4=—7一—；~=—ji…"—"T

\J\—+m2yji+m2

-2+/2+療

14--；——4-1

點(diǎn)。到直線AB的距離為:,2-川|二母一病

yji+m2Jl+療

_2（2+也

-t"a2ji

5/2-m2Jl+a2

所以四邊形4PBQ的面積為$="L|AB|?+d,）==2秋一（2一"）

2-府y]2-m,2

=2&J—^-^--1,因?yàn)?<2-m2?2,

V2-tn~

5.（2023?上海普陀?統(tǒng)考二模）在xOy平面上.設(shè)橢圓「：—+y2=\{m>\）,梯形ABC。的四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)均在「

m

（2）設(shè),"=正，直線C短經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（0,2）,求0。。。的取值范圍;

⑶設(shè)吁及，|45|=2|CD|,A。與8C的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)當(dāng)％變化時(shí)，AM4B的面積是否為定值？若

是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴2；

（3）z\M4B的面積是定值，定值為"

【分析】（1）由題意可得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，代入橢圓方程計(jì)算x=再由橢圓。力,c的關(guān)系列式求解“；

2

（2）設(shè)直線C。的方程為，=丘+2（左eR）,聯(lián)立方程組，根據(jù)A>0得公的范圍，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)向

量數(shù)量積公式列式代入計(jì)算化簡(jiǎn)，并結(jié)合二的范圍，從而求解出OC。。的范圍；（3）分別將直線CO,AB

的方程與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)弦長(zhǎng)公式分別計(jì)算表示出|國(guó),|越|,再由|鉆|=43列式化

簡(jiǎn)得關(guān)于左的關(guān)系式，利用平行線間的距離表示出△M4B,從而可得鉆的面積為5AMs=gx|AB|x〃，

代入火的關(guān)系式化簡(jiǎn)計(jì)算即可求出定值.

【詳解】（1）因?yàn)樘菪蜛8為『的長(zhǎng)軸，ABCD的高為AB//CD

所以點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為;，代入桶圓方程得二+上=1,

2772-4

可得x=Y配,又因?yàn)镃在A8上的射影為「的焦點(diǎn)，

2

c=，7尸一4=，解得小=4,

2

m>\,m=2.

（2）由題意，橢圓「：y+y2=l,直線CQ的方程為y=^+2（ZeR）,

2

X2

設(shè)則，2+>,

y=kx+2

化簡(jiǎn)得（2公+1卜2+8米+6=0,

△=64K-24（222+l）>0,得二>|,

-8%6

-■-X|+X2=2FTT,X|X2=2F7T,

/.OC-OD=x^x2+y1y2=xix2+（例+2）（仇+2）

=（k2+1）玉占+2攵（玉+/）+4

6（/+1）]6汰[8/+4_2公+10]111

2k2+1--2k2+i+2k2+\~2k2+i~~l+2k2+l,

4117

k2,所以-1<-1+不亍-<—

22k2+\4

所以O(shè)u。。的取值范圍為m

（3）設(shè)直線CD的方程為y=^+f,。（/、）。（程必），

區(qū)Ji

4（電,%）,3（%,%），聯(lián)立J2+>,

="+/

化簡(jiǎn)得（2公+1卜2+43+2產(chǎn)-2=0,

A=\6k-r-4（2公+l）（2r2-2）>0,

-4kt2產(chǎn)-2

?T+“翦…二藥

.“8|=后.舊守-4（2/-2）_*Jl6k2-8產(chǎn)+8

2k2+\2k2+\

二2-1

聯(lián)立萬(wàn)+）'一，化簡(jiǎn)得（2%2+l）f_2=0

y=kx

-2

.?.電+甚=0,毛匕=聲］

,——2J2（2p+l）

:.\AB\=>J\+k2■——L

lk2+\

悶刃叫所以所博可中.零普

化簡(jiǎn)得4產(chǎn)=6公+3,即卜卜戈；+3

、2Id

又Z\MAB的同為〃=/，

J*]

2,2（2r+1）2,

所以卜〃=g.Vi7F.

SW"=；X|AB2^+1-7^71

將W=76；+3代入化簡(jiǎn)得,s，2（6芯+3）（2如+1）

=A/6,

MAB2k2+\

故△M43的面積為定值瓜.

【點(diǎn)睛】解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去X(或y)立一元二次方程，然后借

助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.

6.(2023?上海奉賢?統(tǒng)考二模)已知橢圓C:]+￥=l他＞0),A(o,》)，3(0,q).橢圓C內(nèi)部的一點(diǎn)

7,，￡|。＞0),過(guò)點(diǎn)T作直線AT交橢圓于“，作直線8T交橢圓于N.M,N是不同的兩點(diǎn).

(1)若橢圓C的離心率是正，求b的值；

2

(2)設(shè)△87%的面積是S.AATTV的面積是S2,若今=5,6=1時(shí)，求，的值；

⑶若點(diǎn)U(x”,y“)，Mx,.,',,)滿足x“＜占且工＞九，則稱點(diǎn)u在點(diǎn)V的左上方.求證：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)A/

的左上方.

【答案】(1)6的值為1或4

(2)1

(3)證明見解析

【分析】(1)分0＜。＜2,力＞2兩種情況結(jié)合離心率計(jì)算式可得答案;

(2)聯(lián)立直線A/0的方程與橢圓方程可得與，聯(lián)立直線8N的方程與橢圓方程可得樂(lè).結(jié)合圖形可得

S?|7B||7M|sinZB7M

后結(jié)合NB7M+NA7N=n,及弦長(zhǎng)公式可得:需，即可得答案;

S?'|7X|-|77V|-sinZA7W

(3)聯(lián)立直線與橢圓方程可得與，%,后結(jié)合了，￡|在橢圓內(nèi)部可得加大小，又由題意可得以,加大

小，即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)因?yàn)闄E圓C的離心率是立.

2

當(dāng)。＜6＜2時(shí)，―亞王，得。=1；

22

當(dāng)。＞2時(shí)，立=史三得。=4；

2b

所以匕的值為1或4；

(2)由題意，直線AA7的斜率心存在，直線BN的斜率原N存在,

k.2-fc.1.直線AM的方程y=-!x+l,設(shè)”(如，加).

AM~~T~~2t2t

n.乎力=1產(chǎn)+1,x4r

0=寸+1

X3

k_2+_3,直線的方程y=?x—1,設(shè)N(/,y.).

BN

~~r~2t2t

才+yj=l/+923Ac⑵

則3二寸十°="小

戶五21

?1\TB\-\TM\-sinZBTM

由圖，興二］-----------------

52加。177VlsinNATN

注意到ZBTM+ZA7N=n，則sinZBTM=sinZATN.

又畫=—/)2+(a-yJ=爐豆B-x小同理可得

園=J1+4上7/,|砌=J1+心k-,網(wǎng)=湛+臉上-4.則

II，t}-3t

|f|f

&='-匐|丐一"|=~?7T77rr+9

=5nr=1

5~|ZA|-|T7Vr|x-xJk-xJ~,12r

1r|e-3t產(chǎn)+1

112

t+9尸+9

（3）由題意，直線AM的斜率心”存在，直線BN的斜率心N存在,

L-h|-2h

_21-2^,直線4W的方程y=fx+),設(shè)M(XM，加).

k^~~r~~2T2t

_\-2h

產(chǎn)?。?(1-2?！菏?(I-)4b(2b-\)t

X

則2?O~2入M+M-U=>人M22

a+生=1廠t(1-2bf+bt'

[4b2

+Z，

_2_l+2fe,直線BN的方程,，=?x-b,設(shè)'(/,八).

KBN-----'?2f

1+2力,

y=~2TXN~b(1+2葉+人2,4b(2b+1)?

則2

爐ynP/平.。(1+2bf+b2t2

9+烏=1

4b2

則

儂T）陞+1)

XM一%=4bt

(1-2。丫+b2t2(2b+l)2+b2t2

22222

[2b-1)(2b+l)+bt-(2b+1)(1-2bf+bt枷(4"-I-b2t2)

(1-Zb)。+b2t2(23+l)2+h2r[(1-2Z>)2+b2t2[lb+l)2+b2t2

T，?在橢圓內(nèi)部，則?+'<1n4"-b2t2-1>0,故j>*『

又根據(jù)題意知%>g；>加，所以%>g>加.所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)M的左上方.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題涉及由離心率求參數(shù)，橢圓中的面積問(wèn)題，及橢圓新定義，難度極大.（1）因不知

焦點(diǎn)位置，故需分情況討論；（2）問(wèn)關(guān)鍵是用得到/關(guān)于1的表達(dá)式；（3）類似于（2）,可得知，x“，后

利用作差法即可比較大小.

7.（2023?上海楊浦?統(tǒng)考二模）已知橢圓C:磊+小=1（。>0）的右焦點(diǎn)為產(chǎn)，直線/：x+y-4=0.

（1）若尸到直線/的距離為2夜，求。；

48

（2）若直線/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且二AB。的面積為亍，求〃：

（3）若橢圓c上存在點(diǎn)P,過(guò)P作直線/的垂線4,垂足為“，滿足直線4和直線人”的夾角為TT;，求。的取值

4

范圍.

【答案】（Da=8

（2）a=2

/c、、—8+4-\/7口.

3

【分析】（1）由橢圓方程得右焦點(diǎn)為尸（〃，0）,再根據(jù)已知條件及點(diǎn)到直線的距離公式求解即可：

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，先由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求|鋤|,點(diǎn)到直線的距離公式求。到直線/的距離〃，

再根據(jù)三角形面積公式求解即可；

（3）分。=4和〃片4兩種情況討論，易知。=4不合題意，當(dāng)。*4時(shí)，根據(jù)題意可得直線尸〃的方程為y=0

或x=a,代入/方程可求”點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求直線人的方程，聯(lián)立4與橢圓方程，利用ANO即可求出。的取

值范圍.

【詳解】（1）因?yàn)镃:工+工=1（。＞0）,所以右焦點(diǎn)為/（。,0）,

4/3a2''

|?+0-4|

又因?yàn)?：x+y-4=0,所以為到直線/的距離d」/匕2拉r,解得百=8；

（2）設(shè)4（%,y）,8（々,必），

￡+J

由《4/3a2得7/-32x+64-12a2=0，

x+y=4

32

Xt+X2~~

所以A=322-28(64-12/)>0,即/>3，且<

764-12a2

7

所以|AB|二夜.+/)2-4中2

3.出一王亨考

又因?yàn)?到直線)的距離為h=10十°-，=2e,

Vi2+i2

所以.ABO的面積為

22

S/,BO=1|AB|-/z=^x2^x^.V21a-48=|-V21a-48=y.

解得a=2滿足"所以。=2；

(3)若〃=4,則直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)廠，此時(shí)直線4和直線F”的夾角為T(舍去)，

若。H4,由直線4和直線/7/的夾角為:，且勺=1得，

直線廠”的方程為y=0或x=a代入/：x+y-4=0得"(4,0)或“34-幻，

所以直線《的方程為y=x-4或y-(4-a)=x—。代入橢圓方程得

7x2-32x+64-12q2=