高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 第十章 第六節(jié) 幾何概型突破熱點(diǎn)題型 文

第六節(jié)幾何概型高頻考點(diǎn)考點(diǎn)一與長度有關(guān)的幾何概型1．與長度有關(guān)的幾何概型是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題．2．高考對與長度有關(guān)的幾何概型的考查主要有以下幾個命題角度：(1)與線段長度有關(guān)的幾何概型；(2)與曲線長度有關(guān)的幾何概型；(3)與時間有關(guān)的幾何概型；(4)與不等式有關(guān)的幾何概型．[例1](1)(·福建高考)利用計算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a－1<0”發(fā)生的概率為________．(2)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上隨機(jī)取一個數(shù)x，則cosx的值介于0到eq\f(1,2)之間的概率為________．[自主解答](1)由3a－1<0，得a<eq\f(1,3)，而0～1的長度為1，故所求概率為eq\f(1,3).(2)當(dāng)－eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,2)時，由0≤cosx≤eq\f(1,2)，得－eq\f(π,2)≤x≤－eq\f(π,3)或eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,2)，根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為eq\f(1,3).[答案](1)eq\f(1,3)(2)eq\f(1,3)【互動探究】本例(2)中，若將“cosx的值介于0到eq\f(1,2)”改為“cosx的值介于0到eq\f(\r(3),2)”，則概率如何？解：當(dāng)－eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,2)時，由0≤cosx≤eq\f(\r(3),2)，得－eq\f(π,2)≤x≤－eq\f(π,6)或eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,2)，根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為eq\f(2,3).與長度有關(guān)的幾何概型的常見類型及解題策略(1)與線段長度有關(guān)的幾何概型．利用幾何概型公式求解，直接利用兩線段的長度之比即可．(2)與曲線長度有關(guān)的幾何概型．利用幾何概型公式，求曲線的長度之比即可．(3)與時間有關(guān)的幾何概型．利用幾何概型公式，求時間段之比即可．(4)與不等式有關(guān)的幾何概型．利用幾何概型公式，求兩實(shí)數(shù)之間距離之比即可．1．(·湖北高考)在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________.解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m，當(dāng)m≤2時，由題意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，矛盾，舍去．當(dāng)2<m<4時，由題意得eq\f(m－－2,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.答案：32．已知集合A＝{x|－1<x<5}，B＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,3－x)>0))))，在集合A中任取一個元素x，則事件“x∈A∩B”的概率是________．解析：由題意得A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|2<x<3}，由幾何概型知，在集合A中任取一個元素x，則x∈A∩B的概率為P＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)考點(diǎn)二與面積有關(guān)的幾何概型[例2](1)(·陜西高考)如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點(diǎn)處各有一個通信基站，假設(shè)其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常)．若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)，則該地點(diǎn)無信號的概率是()A．1－eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)－1C．2－eq\f(π,2)D.eq\f(π,4)(2)(·四川高考)節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈．這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮．那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(7,8)[自主解答](1)依題意知，有信號的區(qū)域面積為eq\f(π,4)×2＝eq\f(π,2)，矩形面積為2，故無信號的概率P＝eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).(2)設(shè)第一串彩燈亮的時刻為x，第二串彩燈亮的時刻為y，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，))要使兩串彩燈亮的時刻相差不超過2秒，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，,－2≤x－y≤2.))如圖所示，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4))所表示的圖形面積為16，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，,－2≤x－y≤2))所表示的六邊形OABCDE的面積為16－4＝12，由幾何概型的概率公式可得P＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).[答案](1)A(2)C【方法規(guī)律】求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn)求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，以求面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解．1．(·邛崍模擬)已知一個三角形的三邊長分別是5,5,6，一只螞蟻在其內(nèi)部爬行，若不考慮螞蟻的大小，則某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點(diǎn)的距離均超過2的概率是()A．2－eq\f(π,3)B．1－eq\f(π,6)C．2－eq\f(π,2)D．1－eq\f(π,12)解析：選B如圖，當(dāng)螞蟻距離三角形的三個頂點(diǎn)的距離均超過2時，螞蟻要在圖中的空白區(qū)域內(nèi)，△ABC為等腰三角形，假設(shè)AB＝AC＝5，易知AD＝4，△ABC的面積是12，由于三角形內(nèi)角和等于π，圖中的三個扇形的面積之和等于一個半徑為2的圓的面積的一半，即三個扇形的面積之和等于2π，故空白區(qū)域的面積是12－2π，所求的概率為eq\f(12－2π,12)＝1－eq\f(π,6).2．已知平面區(qū)域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向區(qū)域U內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為________．解析：依題意可在平面直角坐標(biāo)系中作出集合U與A所表示的平面區(qū)域(如圖)，由圖可知SU＝18，SA＝4，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為P＝eq\f(SA,SU)＝eq\f(2,9).答案：eq\f(2,9)考點(diǎn)三與角度有關(guān)的幾何概型[例3]如圖所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq\r(3)，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，求BM<1的概率．[自主解答]因?yàn)椤螧＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.在Rt△ABD中，AD＝eq\r(3)，∠B＝60°，所以BD＝eq\f(AD,tan60°)＝1，∠BAD＝30°.記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時事件N發(fā)生．由幾何概型的概率公式，得P(N)＝eq\f(30°,75°)＝eq\f(2,5).【互動探究】若本例中“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M”改為“在線段BC上找一點(diǎn)M”，求BM<1的概率．解：依題意知BC＝BD＋DC＝1＋eq\r(3)，P(BM<1)＝eq\f(1,1＋\r(3))＝eq\f(\r(3)－1,2).【方法規(guī)律】與角度有關(guān)的幾何概型當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，且不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段．提醒：有時與長度或角度有關(guān)的幾何概型，題干并不直接給出，而是將條件隱藏，與其他知識綜合考查．1.如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為________．解析：如題圖，因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，則OA落在∠yOT內(nèi)的概率為eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)2．如圖，M是半徑為R的圓周上一個定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)N，連接MN，則弦MN的長度超過eq\r(2)R的概率是________．解析：連接圓心O與M點(diǎn)，作弦MN使∠MON＝90°，這樣的點(diǎn)有兩個，分別記為N1，N2，僅當(dāng)點(diǎn)N在不包含點(diǎn)M的半圓弧上取值時，滿足MN>eq\r(2)R，此時∠N1ON2＝180°，故所求的概率為eq\f(180°,360°)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————1條規(guī)律——對幾何概型概率公式中“測度”的認(rèn)識幾何概型的概率公式中的“測度”只與大小有關(guān)，而