湖南省桑植縣賀龍中學(xué)高中數(shù)學(xué)必修五教案：3.4基本不等式

桑植縣賀龍中學(xué)集體備課電子教案

年級(jí)備課組(總第課時(shí))主備人：周琴時(shí)間:

課題：3.4基本不等式第一課時(shí)

(1)會(huì)推導(dǎo)基本不等式：*2次；

教

學(xué)(2)理解土獸?迎的幾何意義；

目

(3)會(huì)利用基本不等式求最值.

標(biāo)

重點(diǎn)

基本不等式成立的條件及應(yīng)用

難點(diǎn)基本不等式成立的條件以及應(yīng)用基本不等式求最大值和最小值.

基本不等式是后面應(yīng)用基本不等式求最大(小)值的基礎(chǔ)，在高中數(shù)學(xué)中有著比

教學(xué)方法、手段較重要的地位，在工業(yè)生產(chǎn)等有比較廣的實(shí)際應(yīng)用.本節(jié)宜采用分組討論，多

媒體展示、引導(dǎo)啟發(fā)法來(lái)突出基本不等式的推導(dǎo).

教學(xué)過(guò)程(教學(xué)設(shè)計(jì))：步驟、內(nèi)容、教學(xué)活動(dòng)二次備課

【問(wèn)題導(dǎo)思】

如圖(1)是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，將其抽象成如

圖(2)形式.設(shè)直角三角形的長(zhǎng)為a、b(a不。,那么正方形的邊長(zhǎng)為

圖⑴

1.根據(jù)抽象的圖形，你能從中得到一個(gè)什么樣的不等關(guān)系？

D

B

圖⑵

2.當(dāng)中間的四邊形窈陽(yáng)縮為一點(diǎn)，即四個(gè)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨?/p>

角形時(shí)，可以得到什么結(jié)論？結(jié)合問(wèn)題1你有什么發(fā)現(xiàn)？

3.在a>0,拉。時(shí)，用5分別代替a、b,可以得到什么結(jié)論？

內(nèi)容等號(hào)成立條件

2

乏不等式a+b^2abf(a,3WR)“a二二b”時(shí)取“=”

，不等式N/慶一(a,beRD“a二二b”時(shí)取“=”

乙

彳果半互動(dòng)探究破疑難師生互動(dòng)提“知維”合作探

究區(qū)J

(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第65頁(yè))

陵哼111利用基本不等式比較代數(shù)式的大小

＞例0若0〈水L0〈6〈l.日aWA

22,

試比較出a+6,5+/?2y[abf2a6中最大者.

【思路探究】(l)a+b與2，尻的大小關(guān)系是怎樣的？才+4與2a。的

大小關(guān)系呢？(2)a+b與才+爐怎樣比較大小？

【自主解答】V0<a<l,0<6<l,a^bx

/.a+b>2yj~ab,3+F>2ab：

，四個(gè)數(shù)中最大的應(yīng)從“+6,才中選擇.

而a+Z?2—(a+Z?)=a(a—1)+力(，-1),

又TO〈水1,0〈伙1,/.a(5-l)<0,Z?(/?-l)<0,

/.a+1)—(a+b)〈O,即才+Z/〈a+b,

；?a+6最大.

1規(guī)律方法1

1.運(yùn)用基本不等式比較大小時(shí)應(yīng)注意成立的條件，即a+6》2次成立

的條件是a>0,b>0,等號(hào)成立的條件是a=&3+422a6成立的條件是a,

6CR,等號(hào)成立的條件是a=6.

2.本題在比較a+b與a?+爐的大小時(shí)使用了作差法.

》變苴訓(xùn)練

已知9力1,P=7lga?1gb,0=5(lgd+lgb),7?=lg-^—,試比較

P、Q、斤的大小.

【解】-：a>B>\,Alga>lgb>0,

.?n-----;-IAsa+lgb

..勺Viga*1gb<----2----=°，

1ga+lgb1i-,a+b

Q=2g就=11g-2-=R，

:?P<瓜R.

n用基本不等式求簡(jiǎn)單的最值

2

(2)已知lga+lgb—2,求a+6的最小值;

(3)已知卬，n>0,且/+〃=16,求批的最大值.

99

【思路探究】(Dx與一都為正數(shù)嗎？它們的積為定值嗎？怎樣求x+-

xx

的最小值？

(2)由lga+lg方=2能得到a,6為定值嗎？a,6是正數(shù)嗎？

(3)和為定值，能求積的最大值嗎？

【自主解答】(D：x>0,...由基本不等式可得

AX)=X+->2A/A---=6,當(dāng)且僅當(dāng)入=二，即x=3B寸，f(x)取到最小

X\]XX

值6；

(2)由lga+lg6=2可得lgab=2,即數(shù)=100,且a>0,垃0,

因此由基本不等式可得a+622次=24瓦=20,

當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?=10時(shí)，a+6取到最小值20.

(3)*/in,/7>0且加+n=16,

所以由基本不等式可得“W(甘與=(%=64,

當(dāng)且僅當(dāng)勿=〃=8時(shí)，勿〃取到最大值64.

???；/〃〃的最大值為32.

I規(guī)律方法I

當(dāng)a>0,6>0時(shí)，

1.若a+6=H和為定值），則當(dāng)a=b時(shí)，積劭有最大值彳，可以用基

本不等式"V獲wg”求得.

2.若瑟=S（積為定值），則當(dāng)a=6時(shí)，和a+6有最小值2小，可以用

基本不等式求得.

不論哪種情況都要注意等號(hào)取得的條件.

?BitjllltS

12

若x>0,求f（x）=-+3x的最小值.

x

當(dāng)且僅當(dāng)3x=—即x=2時(shí)，“=”成立.

x

???Hx）的最小值為12.

演............._利用基本不等式證明不等式

,j2C2

上例3已知a、b、c>0,求證：

2,22

【思路探究】判斷ab,C,7,一，邑均大于0—

oca

2/22

證午+后2a―?證一+C2b―>證巳+心2c—>得所證不等式

oca

【自主解答】b,c,為―,￡均大于0,

bca

2r~2

.?.彳+622、/y?b=2a,

b\Jb

2

當(dāng)且僅當(dāng)t=8時(shí)等號(hào)成立.

b2、歷L

當(dāng)且僅當(dāng)巨=c時(shí)等號(hào)成立.

c

°2

—+<3^2A-?a=2c,

a\Ja

當(dāng)且僅當(dāng)^=a時(shí)等號(hào)成立.

a

2,22

相加得?+0+l+c+(+a22a+26+2c.

/gc

I規(guī)律方法I

1.此題多次使用a+622m時(shí)，要注意等號(hào)能否成立，最后利用不等

式性質(zhì)累加的應(yīng)用，此時(shí)也要注意等號(hào)成立的條件.

2.在解決不能直接利用基本不等式的證明問(wèn)題，要重新組合，構(gòu)造運(yùn)用

基本不等式的條件.若條件中有一個(gè)多項(xiàng)式的和為1，要注意“1”的代換.

已知：a>0,Z?>0,。>0且a+6+c=L

求證：6D（.D『D2&

【證明】Va+b+c=1,a>0,b>0,c>0,

1a+b+cb+c、2\[bc^

aaaa

a+b-\-ca+c、2\jac

11=>0,

~bbb

1a+b+ca+力、2y[ab

—1=-------1=——>0

cccc

將以上三式相乘得

(i-1)4-1)d—1)》8.?嚴(yán)?木=8,

abcabc

易林易誤辨析技能提

巧分辨解疑辨談延,‘陷井”

升區(qū)I

（對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第66頁(yè)）

忽視基本不等式成立的條件致誤

，典例求函數(shù)的值域.

【錯(cuò)解】Vx+~^2\X---2,

xx

二函數(shù)值域?yàn)閇2,+8).

【錯(cuò)因分析】上述解答中應(yīng)用了基本不等式，卻忽略了應(yīng)用基本不等

式的條件一一兩個(gè)數(shù)應(yīng)都大于零，因而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

【防范措施】由于y=x+1的定義域?yàn)?-8,o)u(O,+8),故要

對(duì)x的符號(hào)加以討論，否則不能用基本不等式.

【正解】當(dāng)x>0時(shí)，x+~^2-\/x,~—2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=:即x=l時(shí)，"="成立，...了》？.

當(dāng)水°時(shí)，'+：=—(一”+少忘

當(dāng)且僅當(dāng)一x=-L,即X=-1時(shí)，“=”成立.

-X

:.—2.

故原函數(shù)的值域?yàn)?-8,—2]U[2,+8).

1.應(yīng)用基本不等式時(shí)要時(shí)刻注意其成立的條件，只有當(dāng)a〉0,力0時(shí),

才會(huì)有迎?岑.對(duì)于“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí)，’=’成立…”這句話(huà)要從兩個(gè)

方面理解：方面，當(dāng)ai時(shí)，申—迎；另一方面：當(dāng)皇一曲;時(shí)，

也有a=b.

2.應(yīng)用基本不等式證明不等式的關(guān)鍵在于進(jìn)行“拼”、“湊”、“拆”、

“合”、“放縮”等變形，構(gòu)造出符合基本不等式的條件結(jié)構(gòu).

務(wù)專(zhuān)雙基達(dá)標(biāo)隨生練生生互動(dòng)達(dá)“雙標(biāo)”交流學(xué)

|習(xí)11|

（對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第67頁(yè)）

1.若/+7=4,則燈的最大值是（）

1

A.-B.1

C.2D.4

【解析】燈W-y上=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取.

【答案】C

2.已知a6=l,a>0,b>0,則a+6的最小值為_(kāi)______.

A.1B.2

C.4D.8

【解析】Va>0,Z?>0,.\a+b^2y[ab=2f當(dāng)且僅當(dāng)a=b=\時(shí)取等

號(hào)，故a+6的最小值為2.

【答案】B

4

3.已知x>0,函數(shù)y=;+x的最小值為_(kāi)______.

44/4

【解析】??”>（）,.??一???尸才+-

X>0,x22\j?-X=4.

【答案】4

4.已知a,b是不相等的正數(shù)，奈白，尸正+b,試比較x,y

的大小.

【解】：a,6是不相等的正數(shù)，

2a+/?+2y[abb+a+b2

?x~2、2——y>

又x>0,y>0,Xy,

彳果0知能檢測(cè)課下測(cè)自我評(píng)怙提“考

演練提

能,,升收4

一、選擇題

1.給出下面四個(gè)推導(dǎo)過(guò)程：

①?北、6為正實(shí)數(shù)，.,.”+，22'?==2；

ab\lab

②Tx、y為正實(shí)數(shù)，，也x+lgy^2yjlgx9Igy；

4I4

③TaER,aWO,...一+心2、/一?a=4；

a\la

④X,y￡R,孫<0,—[(---)+(—2

yxyx

Yv-;一

其中正確的推導(dǎo)為()

A.0(2)B.②③

C.③④D.①④

ba

【解析】①。為正實(shí)數(shù)，...Nm為正實(shí)數(shù)，符合基本不等式的條

ab

件，故①的推導(dǎo)正確；

②雖然x、y為正實(shí)數(shù)，但當(dāng)xd(0,1)或yG(0,1)時(shí)，1gx或1gy是

負(fù)數(shù)，②的推導(dǎo)過(guò)程是錯(cuò)誤的；

③???aGR,aWO,不符合基本不等式的條件，

4/4

.,?一+a22A-?a=4是錯(cuò)誤的；

aa

④由孫〈0,得53勻?yàn)樨?fù)數(shù)，但在推導(dǎo)過(guò)程中將整體5十:提出負(fù)號(hào)后，

(―?)、(一2均變?yōu)檎龜?shù)，符合均值不等式的條件，故④正確.

【答案】D

2.已知a,Z?￡R,且a+Z?=3,則2'+2"的最小值為()

B.4^2C.2mD.2乖

【解析】2"+2"22卷二？'=2取4=4m.

【答案】B

3.（2013?西安高二檢測(cè)）設(shè)0<水6,則下列不等式中正確的是（）

a<b<y[ab<a^^B.a<y[ab<--^—<b

I-a+bI—a+b

水7a伙伙-~-D.y]aK水---<b

【解析】由?a,b=yjb?b=—^—f0<水■及均值不等式知/a?a

故選B.

【答案】B

4.（2013?杭州高二檢測(cè)）已知a>0,Z?>0,則的最小值是

B.2-72C.4D.

【解析】卜2，裝22，0=4,當(dāng)且僅當(dāng)

-時(shí)，取“="，即a=b=l時(shí)，原式取得最小值4.

b=l

【答案】C

5.已知x,y>0且x+y=l,則P=x+：+y+；的最小值為（）

B.4C.5D.6

【解析】

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=g時(shí)，取“=”.

【答案】C

二、填空題

6.已知必HR+,且燈=100,則>+y的最小值為.

【解析】了+了》25^=20,當(dāng)且僅當(dāng)矛=尸10時(shí)取“=”.

【答案】20

7.設(shè)a〉l,且勿=log8（J+l）,〃=loga（a+l）,p=logt,（2a）,貝U加，/?,

，的大小關(guān)系是________（用“〉”連接）.

［解木斤】???a>\,：.a+l>2a>a+1,

2

/.loga(a+l)>log..,(2a)>logX^+l),

/.ni>p>n.

【答案】ni>p>n

8.在4*口+9*口=60的兩個(gè)口中，分別填入兩個(gè)自然數(shù)，使它們的

倒數(shù)和最小，應(yīng)分別填上_______和_________.

【解析】設(shè)兩數(shù)為X,y,即4x+9尸60,

l+l=(l+l)^±9y

XyXy60

1,4^r,9K

=-(z13+—+一)

60yx

15

2而X(13+12),

當(dāng)且僅當(dāng)午=?，且4x+9y=60,即x=6且p=4時(shí)，等號(hào)成立，故應(yīng)

分別填上6、4.

【答案】6,4

三、解答題

9.設(shè)a,b,。是不全相等的正數(shù)，求證：—+~7-+—>a+b+c.

abc

【證明】Va>b、c>0,?，."+^22c,

ab

be,ab、八，ac,ab、八

一+—226,—+-22a,

acbc

.?.2(*+隼+4》2(a+6+c).

abc

又,：a、b、c不全相等，

beacab

-+—+t—>d+6+c.

abc

10.(2013?泰安高二檢測(cè))已知不等式-3x+2<0的解集為A=

{x\1〈水6}.

⑴求a,。的值;

9

(2)求函數(shù)f(x)=(2a+6)x-------:—(xd心的最小值.

a—bx

3

1+2?=~,

a

【解】(1)由題意知：＜,2解得a=l,8=2.

1Xb=-,

a

ka>0,

(2)由(1)知a=l,6=2,：.A=UIKX2}.

9

/.f{x)=4x+—(l〈K2),

x

而x>0時(shí),4x+》2,99

4萬(wàn)?一=2乂6=12.當(dāng)且僅當(dāng)4彳=一，BfJx=

xx

等號(hào).

3

而F4.?"(x)的最小值為12.

11.已知函數(shù)/1(x)=lgx(xGR+),若%，%2GR+,[/1(小)+f(x2)]

與/'(嚀3)的大小并加以證明.

【解】'(MW氏妥b.

證明如下：Axi)+ru)

=lgXl+lgX2=lg(Xl?Xi),

,X\+Xz.i/Xi+至、

A2)=lg(2)?

X2GR+,...牛》gz,

X1+X2,

Igyjxi?iWlgf：),

2

即今g(x?M)Wlgdj"),

/1+血

Xl+lgX2)Wlgf：).

2

1

故

2+

Xi+X2

/1(X2)]Wf().

2

資源杳

敖岬備課資源曷拓展因材施救殖“視野”

我區(qū)I

(教師用書(shū)獨(dú)具)

4量造例題.

記夕(筋y)=x+y—a(x+2y)2xy),x,y￡R+.若對(duì)任意的x,y￡R+,恒

有廠(x,020,請(qǐng)求出a的取值范圍.

【思路探究】分離參數(shù)a,變成dWF(x)的形式，然后求f(x)的最小

值即可.

【自主解答】由Hx,y)20,得才+介4(彳+242燈).

因?yàn)閤>0,y>0,

所以一忘胃忘恒成立.

所以a的最大值為；+來(lái)不的最小值.

因?yàn)?y[2xy^x+2y,

所以對(duì)上、x+y1

x+x+2y2'

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y>0時(shí)，等號(hào)成立，即a的最大值為/所以ad(-8,5.

>量理變篁

設(shè)a>?。，且匕+￡》言恒成立，求實(shí)數(shù)0的取值范圍?

【解】由a〉，>c知a—b>0a—c>0.因此，原不等式等價(jià)于，

fa-bb-c

要使原不等式恒成立,只需三十公的最小值不小于〃即可.

「a-c,a—ca~b+b~ca—b+6-c

因?yàn)镸hm2+

a—bb-c

b-c,a-b、,b-ca-b.當(dāng)且僅當(dāng)空

=4=p,,即2b=w+c時(shí),

HK2+2.—a—bb-c

等號(hào)成立.所以加(4,即/〃e(—8,4].

第2課時(shí)基本不等式的應(yīng)用

敖空教法分析陰謀標(biāo)分條解讀觀"教法"教學(xué)助

教區(qū)1

.......................應(yīng)用基本不等式求最值

【問(wèn)題導(dǎo)思】

1.利用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)注意什么問(wèn)題？

【提示】在用基本不等式求函數(shù)的最大（?。┲禃r(shí)，需要注意三個(gè)條件：

一正、二定、三相等，所謂“正”是指各項(xiàng)或各因式為正值，所謂“定”是

指和或積為定值，所謂“相等”是指各項(xiàng)或各因式能相等，即等號(hào)能取到.

2.當(dāng)水0時(shí)，能用基本不等式求2+x的最值嗎？怎樣求？

X

44

【提示】tL-+A-=-[—+（-^）]<-2X2=-4.

X—X

3.如果給出的條件不滿(mǎn)足基本不等式的應(yīng)用條件時(shí)，怎樣用基本不等式

求最值？

【提示】先變形，后應(yīng)用.

已知x、y都是正數(shù)，

（1）若x+y=S（和為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，積以取得最大值申

（2）若燈="（積為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，和x+y取得最小值2如.

上述命題可歸納為口訣：積定和最小，和定積最大.

彳果寺五動(dòng)探究破疑難師生互動(dòng)提“知能”合作探

究區(qū)1

（對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第68頁(yè)）

sat...................a利用基本不等式求最值

》例U⑴已知制,求i2+J_5的最大值；

⑵已知0<京義，求尸會(huì)(1-2x)的最大值；

9Y

(3)已知x>0,求f(x)=工的最大值.

【思路探究】(1)這些題目能直接利用基本不等式求最值嗎？(2)對(duì)其

進(jìn)行怎樣的變形后可以用基本不等式？

5

【自主解答】(1)：水『二5-4%>0，

..y-4x2+4^_5-(54X+5—4，+3W2+3-1,

當(dāng)且僅當(dāng)5—4x=S,即x=l時(shí)，上式等號(hào)成立，

故當(dāng)x=l時(shí)，^nax=l.

(2)VO<x|,Al-2x>0,

1/A/2X+1-2X、2111

x)X

??夕一4*2武12^)^4X{2-44-16-

/.當(dāng)且僅當(dāng)2x=1—2x(0<x<[)，即時(shí)，j^x=T7.

Z4ib

/、/、2x2

⑶/(*)一*+l一

x+一

X

VyT>0,/.x?'=2,

xx

21

/.f(x)^-=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=;,即x=l時(shí)等號(hào)成立.

1規(guī)律方法1

1.本例題目都不能直接使用基本不等式求最值，需要先對(duì)其變形.

2.應(yīng)用基本不等式求最值，必須按照“一正，二定，三相等”的條件進(jìn)

行，若具備這些條件，可直接運(yùn)用基本不等式，若不具備這些條件，則應(yīng)進(jìn)

行適當(dāng)?shù)淖冃?

3.利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件，解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知和

欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不

等式的條件.具體可歸納為三句話(huà)：一不正，用其相反數(shù)，改變不等號(hào)方向；

二不定應(yīng)湊出定和或定積；三不等，一般用單調(diào)性.

>變直jlll維

4

⑴己知x>3,求f（x）=*+u的最小值;

（2）已知x>0,y>0,月.2x+3y=6,求中的最大值.

【解】⑴???x>3,

4

*3〉。，E>。'

44

于是f(^)=x~F7Z^=X—3+^Z^+3

4.

22一+3=7,

4

當(dāng)且僅當(dāng)x—3==即、=5時(shí)，/U）取至撮小值7.

(2)Vx>0,y>0,2x+3y=6,

.?.燈=/2x.3y)W3.

1A23

=晨摩=下

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y,

即x=3y=l時(shí)，盯取到最大值].

兩個(gè)變量的最值問(wèn)題

I....................

81

已知M>0,y>0,且滿(mǎn)足；+]=1.求x+2y的最小值

【思路探究】從形式上看不具備用基本不等式求最值的條件，但根據(jù)

已知變形，消去一個(gè)變量，可構(gòu)造成能使用基本不等式的形式，也可使用“1”

的代換，嘗試解決.

O1

【自主解答】??,x>0,y>0,-+-=1,

xy

???葉2尸（#）（x+2y）=10+蘆字

―10+2、瓦叵=18,

8,1

一+一=1,

xy

當(dāng)且僅當(dāng)

x16y

y~~)

[x=12

即0時(shí)，等號(hào)成立，

[y=3

故當(dāng)x=12,y=3時(shí)，(x+2y)M“=18.

I規(guī)律方法I

1.本題給出的方法，用到了均值不等式，并且對(duì)式子進(jìn)行了變形，配湊

出滿(mǎn)足基本不等式的條件，這是經(jīng)常需要使用的方法，要學(xué)會(huì)觀察、學(xué)會(huì)變

形.

2.常見(jiàn)的變形技巧有：(D配湊系數(shù)；(2)變符號(hào)；(3)拆補(bǔ)項(xiàng).常見(jiàn)形

式有f(x)=ax+2型和/'(x)=ax(6—ax)型.

x

本例中，若把"-+-=1"改為"x+2y=l"，其他條件不變，求f的

xyxy

最小值；

【解】Vx,蚱R+,

/.-x+-y=(x+20(x-+-y)

,16y,x,167,x、,I-

=8+―+-+2=10+一+—卻0+2寸16=18.

xyxyY

當(dāng)且僅當(dāng)學(xué)=;時(shí)取等號(hào)，

21

結(jié)合x(chóng)+2尸1,得X,，尸不

91o1

，當(dāng)x=W，/=@時(shí)，一+一取到最小值18.

36xy

隔空曲基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

圖3—4一1

，例圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一

面利用舊墻(利用的舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻對(duì)面的新墻

上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖3—4—1所示.已知舊墻的維修費(fèi)用

為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m.設(shè)利用的舊墻長(zhǎng)度為x(單位：m),修建

此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為y(單位：元).

(1)將y表示為x的函數(shù)；

(2)試確定為使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用.

【思路探究】

設(shè)出

變量~列函數(shù)

關(guān)系式一利用函數(shù)

求最大值一求平

均利潤(rùn)一利用基本不

等式求最值f結(jié)論

【自主解答】(1)如圖所示，設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為am,

則y=45x+180(x-2)+180X2a=225x+360a-360.

QZ?z\2

由已知得xa=360,得a=一7，所以y=225x+一1一360(x>0).

36()2,

(2)Vx>0,A225^+—^2^/225X3602=10800.

3602

，y=225x+-----360210440.

當(dāng)且僅當(dāng)225x=然時(shí)，等號(hào)成立.

即當(dāng)x=24時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元.

I規(guī)律方法I

應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的方法

先理解題意，設(shè)出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)；建立相應(yīng)的函

數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題；在定義域內(nèi)，求出

函數(shù)的最大值或最小值：正確寫(xiě)出答案.

?變五訓(xùn)1練

如圖3—4—2所示，某畜牧基地要圍成相同面積的羊圈4間，一面可利

用原有的墻壁，其余各面用籬笆圍成，籬笆總長(zhǎng)為36m.則每間羊圈的長(zhǎng)和

寬各為多少時(shí)，羊圈面積最大？

'///////////////////

y

X

圖3—4一2

【解】設(shè)每間羊圈的相鄰兩邊長(zhǎng)分別為x,y（平行于墻的一邊為x）,

貝IJ有4x+6尸36,

即2x+3y=18.設(shè)S=xy.

V18=2x+3y^2yj2x?3尸246盯,

27-27

即sw萬(wàn).

上式當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)取.

[2x=3y,x=q,

此時(shí)：.\2

〔2x+3y=18,

〔尸3.

9

.??每間羊圈的相鄰兩邊長(zhǎng)分別為萬(wàn)m,3m時(shí)面積最大.

易林易識(shí)辨析巧分辨解疑辨饋避”陷寸

,,技能提

升M4

（對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第69頁(yè)）

忽略等號(hào)成立的條件致誤

卜典例14

設(shè)人y為正數(shù)，求（X+。1+7）的最小值.

【錯(cuò)解】因?yàn)閤,y為正數(shù)，所以葉介2^^,：+〉2即:+

4414?—4

一2-]=,從而（x+力（一+一）~j==8.

yy]xyxyVyjxy

【錯(cuò)因分析】在中等號(hào)成立的條件為x=y,在口

'xyy]xy

14

中等號(hào)成立的條件為即y=4x,要使兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立，必有x=y=O,

xy

這與題設(shè)矛盾.

【防范措施】在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意等號(hào)成立的條件，尤

其是一個(gè)題目中多次使用基本不等式，等號(hào)成立的條件必須相同，否則會(huì)造

成錯(cuò)誤.

【正解】（x+y）（,+,）=1+4,-+-+4=5+—+->5+2A—,-

xyyxyxyx

=9,

當(dāng)且僅當(dāng)4,即y=2x時(shí)等號(hào)成立.

1.利用基本不等式求最值必須滿(mǎn)足“一正、二定、三相等”三個(gè)條件，

并且和為定值，積有最大值；積為定值，和有最小值.

2.使用基本不等式求最值時(shí)，若等號(hào)取不到，則考慮用函數(shù)單調(diào)性求解.

3.解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵在于弄清問(wèn)題的各種數(shù)量關(guān)系，抽象出數(shù)學(xué)

模型，利用基本不等式解應(yīng)用題，既要注意條件是否具備，還要注意有關(guān)量

的實(shí)際含義.

當(dāng)《雙基達(dá)標(biāo)隧堂練生生互動(dòng)達(dá)“雙標(biāo)”交流學(xué)

習(xí)區(qū)1

1.當(dāng)/0時(shí)，4)=十19+44的最大值為()

A.-4B.—8

C.-873D.-16

【解析】；水0,，一*>0,

12

f{x)=—[(------)+(—4^)]

X

W-27-j—4x=-8/.

【答案】C

2.不等式a?+l22a中等號(hào)成立的條件是（）

A.a=±lB.a=l

C.a=-1D.a=0

【解析】，+l>2a,當(dāng)且僅當(dāng)a=l時(shí)"=”成立.

【答案】B

3.函數(shù)尸3"+32-,的最小值為一

9/gg

【解析】y=3'+^2A/3'-y;=6,當(dāng)且僅當(dāng)3'=?,即x=l時(shí)等號(hào)

成立.

【答案】6

4.求函數(shù)/"（必:當(dāng)■的最大值.

XI1

當(dāng)且僅當(dāng)。=t，即x=l時(shí)等號(hào)成立.

彳果后知能檢測(cè)演練提

謀下測(cè)自我評(píng)估提“考旅”

升區(qū)I

一、選擇題

1.下列函數(shù)中，最小值為4的函數(shù)是（）

,4.4

A.y—x+B.y—sinx+.

xsinx

-

C.y=e'+4e'D.y=log3^+logA81

【解析】A中，x符號(hào)不定，排除A；B中，當(dāng)sinx=2時(shí)取“=”，

不可能，，排除B；C中，6、=2時(shí)取“="，故選C；D中，log3X符號(hào)不定，

?,?排除D.

【答案】c

14

2.(2013?長(zhǎng)沙高二檢測(cè))已知a>0,b>0,a+b=2,則尸一+7的最小

ab

值是()

7

A.-B.4

9

C.~D.5

_.__,1,4a~\~b,2a+261Z?2a,.5,

【解n析】?d+8—2,?.y=+.—+11

9A—9+9+A+2>9+

abLab212ab2

2、/我?谷=*當(dāng)且僅當(dāng)我=朗且a+6=2,取"=".

\12abzZab

【答案】c

3.(2013?臨沂高二檢測(cè))某工廠第一年產(chǎn)量為A,第二年的增長(zhǎng)率為a,

第三年的增長(zhǎng)率為4這兩年的平均增長(zhǎng)率為X,則()

a+b_a+b

A.x—之B.xW之

八b、a+b

C.x>2口.大》2

【解析】由條件知4(l+a)(l+6)=加l+x))

(l+x)2=(l+a)(1+份—+a)I+”了,

.?.1+W1+半，故W字.

【答案】B

4.(2013?重慶高二檢測(cè))若函數(shù)/"(x)=x+—[(x>2)在x=a處取最小

值，則a=()

A.1+72B.1+^/3

C.3D.4

【解析】f(x)=x+-=X—2+U+2.

x—2x~Z

?；x>2，???汗一2>0?

.,"(x)=x-2+」^+222、/x—-^+2=4,

x-2\lx—2

當(dāng)且僅當(dāng)x2—,

x—29

即k3時(shí)"="成立.

又F(x)在x=a處取最小值.

a=3.

【答案】c

5.若正數(shù)a,6滿(mǎn)足勵(lì)=a+8+3,則a6的取值范圍是()

A.[6,+8)B.[9,

+0°)

C.(0,9]