高等應(yīng)用數(shù)學(xué) 課件 第6章 微分方程

第6章微分方程6.1

微分方程的基本概念6.2

可分離變量的微分方程6.3

一階線性微分方程6.4

二階常系數(shù)線性微分方程教學(xué)目的:

（1）理解微分方程的定義（2）理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解

教學(xué)重點(diǎn)：二元函數(shù)的基本概念教學(xué)難點(diǎn)：二元函數(shù)的基本概念6.1

微分方程的基本概念一、引例

下面我們通過幾何、力學(xué)及物理學(xué)中的例題來引入微分方程的基本概念.二、微分方程的基本概念定義6.1.1凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程．微分方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階．注:若未知函數(shù)只含有一個(gè)自變量，這樣的微分方程

稱為常微分方程；若未知函數(shù)是多元函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是指偏導(dǎo)數(shù)，這樣的方程稱為偏微分方程．

我們只討論常微分方程，以下簡(jiǎn)稱為微分方程．

在研究實(shí)際問題時(shí)，首先建立微分方程，然后設(shè)法找出滿足微分方程的函數(shù)，也就是說，要找到這樣的函數(shù)，將其代入微分方程后，能使該方程成為恒等式，這個(gè)函數(shù)叫做微分方程的解．求微分方程解的過程，叫做解微分方程

如果微分方程的解中包含有任意常數(shù)，并且獨(dú)立的（即不可合并而使個(gè)數(shù)減少）任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱為微分方程的通解．通解中任意常數(shù)取某一特定值時(shí)的解，稱為微分方程的特解．

通解中的任意常數(shù)一旦由某種附加條件確定后，就得到微分方程的特解，這種用以確定通解中任意常數(shù)的附加條件叫微分方程的初值條件．小結(jié)

1微分方程的定義

2微分方程的階、解、通解、初始條件和特解

課堂練習(xí)教學(xué)目的:

（1）掌握可分離變量方程教學(xué)重點(diǎn)：可分離變量方程教學(xué)難點(diǎn)：可分離變量方程6.2可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程小結(jié)

1可分離變量的微分方程的定義

2可分離變量的微分方程的解法

課堂練習(xí)教學(xué)目的:

（1）理解一階線性微分方程的定義（2）掌握一階線性微分方程的解法

教學(xué)重點(diǎn)：一階線性齊次微分方程的解法

一階線性非齊次微分方程的解法教學(xué)難點(diǎn)：一階線性非齊次微分方程的解法6.3

一階線性微分方程一、引例現(xiàn)在我們來求一階線性非齊次微分方程的通解上式即為一階線性非齊次微分方程的通解公式.上述求該通解公式的方法稱為常數(shù)變易法.本題也可以采用公式法進(jìn)行求解小結(jié)

1一階線性齊次微分方程的解法

2一階線性非齊次微分方程的解法課堂練習(xí)教學(xué)目的:

（1）了解二階微分方程解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)（2）掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。

（3）了解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法。教學(xué)重點(diǎn)：二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法教學(xué)難點(diǎn)：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法6.4二階常系數(shù)線性微分方程一、引例

二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程

由上述定理可知，求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解，只需先求兩個(gè)線性無關(guān)的特解再組合即可，下面討論求方程的兩個(gè)特解的求法.

三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程小結(jié)

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