廣東省臺山2024-2025高三數(shù)學上學期第一次月考試題

第1頁/共1頁廣東省臺山2024-2025高三上學期第一次月考數(shù)學試題2024-08一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.設集合，，則（）A. B. C. D.2.已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)，則（）A. B. C. D.3.“”是“方程有正實數(shù)根”（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知，則函數(shù)的最小值為A. B. C.1 D.25.綻開式中含的系數(shù)是（）A.28 B. C.84 D.6.2024年武漢馬拉松于4月16日實行，組委會確定派小王、小李等6名志愿者到甲乙兩個路口做引導員，每位志愿者去一個路口，每個路口至少有兩位引導員，若小王和小李不能去同一路口，則不同的支配方案種數(shù)為（）A.40 B.28 C.20 D.147.設，則（）A. B. C. D.8.設函數(shù)的值域為A，若，則的零點個數(shù)最多是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求）9.《國家學生體質健康標準》是國家學校教化工作的基礎性指導文件和教化質量基本標準，它適用于全日制一般小學、初中、一般中學、中等職業(yè)學校、一般高等學校的學生.某高校組織名大一新生進行體質健康測試，現(xiàn)抽查200名大一新生的體測成果，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組區(qū)間為，，，，，．則下列說法正確的是（）A.估計該樣本的眾數(shù)是B.估計該樣本的均值是C.估計該樣本的中位數(shù)是D.若測試成果達到分方可參與評獎，則有資格參與評獎的大一新生約為人10.已知非零實數(shù)a，b滿意，則下列不等關系肯定成立的是（）A. B.C. D.11.下列關于概率統(tǒng)計說法中正確是（）A.兩個變量的相關系數(shù)為，則越小，與之間的相關性越弱B.設隨機變量聽從正態(tài)分布，若，則C.在回來分析中，為的模型比為的模型擬合的更好D.某人在次答題中，答對題數(shù)為，，則答對題的概率最大12.已知函數(shù)，若不等式對隨意恒成立，則實數(shù)的取值可能是（）A. B. C. D.三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.若命題“”是假命題，則實數(shù)的最大值為______．14.已知向量滿意，則與的夾角為___________.15.已知，為橢圓C的兩個焦點，P為C上一點，若，則C的離心率為______．16.某校確定從高一、高二兩個年級分別抽取100人、60人參與演出活動，高一100人中女生占，高二60人中女生占，則從中抽取1人恰好是女生概率為______．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.在中，=60°，c=a.（1）求sinC的值；（2）若a=7，求的面積.18.設為函數(shù)的導函數(shù)，已知，且的圖像經(jīng)過點．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的單調區(qū)間．19.已知圖1是由等腰直角三角形和菱形組成的一個平面圖形，其中菱形邊長為4，，．將三角形沿折起，使得平面平面（如圖2）．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．20.已知數(shù)列首項，且滿意，設.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求滿意條件的最小正整數(shù).21.已知橢圓E:與y軸正半軸相交于點M,點F1,F2為橢圓的焦點,且是邊長為2的等邊三角形,若直線l:y=kx+2與橢圓E交于不同的兩點A,B.（1）直線MA,MB的斜率之積是否為定值?若是,懇求出該定值,若不是,請說明理由；（2）求的面積的最大值.22.“英才支配”最早起先于2013年，由中國科協(xié)、教化部共同組織實施，到2024年已經(jīng)培育了6000多名具有創(chuàng)新潛質的優(yōu)秀中學生，為選拔培育對象，某高校在暑假期間從武漢市的中學里選擇優(yōu)秀學生參與數(shù)學、物理、化學、信息技術學科夏令營活動．（1）若化學組的12名學員中恰有5人來自同一中學，從這12名學員中選取3人，表示選取的人中來自該中學的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（2）在夏令營開幕式的晚會上，物理組實行了一次學科學問競答活動．規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪成功，假設每輪答題結果互不影響．已知甲、乙兩位同學組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，，且，假如甲、乙兩位同學想在此次答題活動中取得6輪成功，那么理論上至少要參與多少輪競賽？

高三數(shù)學試題參考答案1.B【分析】求出集合、，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為，，所以.故選：B.2.B【分析】由復數(shù)的運算化簡復數(shù)，再求共軛復數(shù)即可.【詳解】因為，所以.故選：B.3.B【分析】依據(jù)零點的幾何意義，將方程有正根問題等價轉化為函數(shù)求零點問題，結合二次函數(shù)的性質，可得答案.【詳解】由方程有正實數(shù)根，則等價于函數(shù)有正零點，由二次函數(shù)的對稱軸為，則函數(shù)只能存在一正一負的兩個零點，則，解得，故選：B.4.A【分析】先分別，再依據(jù)基本不等式求最值，即得結果.【詳解】，當且僅當，即時，等號成立.選A?！军c睛】本題考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解實力，屬基礎題.5.C【分析】依據(jù)綻開式的通項，分別求出綻開式中含、、的項的系數(shù)，即可得出答案.【詳解】綻開式的通項為，.當選取時，由已知可得，應選取綻開式中含的項，由，可得；當選取時，由已知可得，應選取綻開式中含的項，由，可得；當選取時，由已知可得，應選取綻開式中含的項，由，可得.所以，綻開式中含的系數(shù)是.故選：C.6.B【分析】依據(jù)題意，先安排特別的兩個人，再將剩余4個人分到兩個路口，依據(jù)分組安排相關學問進行計算即可.【詳解】若小王在1號路口，小李在2號路口，則剩余4個人分到兩個路口，兩個路口為人分布，共有種方案，兩個路口為人分布，共有種方案，此時共有種方案；同理若小王在2號路口，小李在1號路口，也共有種方案.所以一共有28種不同的支配方案種數(shù).故選：B7.A【分析】構造函數(shù)和，利用導數(shù)求解單調性，即可推斷.【詳解】當時，記，則，故在單調遞增，故，因此得當時，，故，即；，設，則，因為，當時，．所以在上單調遞增，所以，即，所以．故選：A8.C【分析】分別求出各段函數(shù)的單調性，結合函數(shù)圖象分類探討，分別求出函數(shù)的零點個數(shù)，即可推斷；【詳解】解：令，則在上單調遞減；令，則．由，得或；由，得，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，于是，的極大值為，微小值為．在同一坐標系中作出函數(shù)和的圖象，如下圖：明顯；由，得；由的解析式，得．（1）若，當時，，不符合題意；（2）若，當時，，不符合題意；（3）若，①當時，；②當時，，即．由①②，時符合題意．此時，結合圖象可知，當時，在上沒有零點，在上有2個零點；當時，在上有1個零點，在上有1個或2個零點，綜上，最多有3個零點．故選：C．9.ACD【分析】依據(jù)頻率分布直方圖，可推斷A項；依據(jù)頻率分布直方圖，估計出平均數(shù)，可推斷B項；依據(jù)頻率分布直方圖，估計出中位數(shù)，可推斷C項；依據(jù)頻率分布直方圖，測試成果達到85分的頻率為0.55，即可估算有資格參與評獎的人數(shù).【詳解】對于A項，由頻率分布直方圖可得，最高小矩形為，所以可估計該樣本的眾數(shù)是，故A項正確；對于B項，由頻率分布直方圖，可估計該樣本的均值是，故B項錯誤；對于C項，由頻率分布直方圖可得，成果在之間的頻率為，在之間的頻率為，所以可估計該樣本的中位數(shù)在內.設中位數(shù)為，則由可得，，故C項正確；對于D項，由頻率分布直方圖可得，測試成果達到分的頻率為，所以可估計有資格參與評獎的大一新生約為人，故D項正確.故選：ACD.10.ABC【分析】利用不等式的性質及特別值法推斷即可．【詳解】解：對于非零實數(shù)，滿意，則，即，故A肯定成立；因為，故B肯定成立；又，即，所以，故C肯定成立；對于D：令，，滿意，此時，故D不肯定成立．故選：ABC11.BCD【分析】由相關系數(shù)，正態(tài)分布，二項分布的概念推斷．【詳解】對于A，兩個變量的相關系數(shù)為，越小，與之間的相關性越弱，故A錯誤，對于B，隨機變量聽從正態(tài)分布，由正態(tài)分布概念知若，則，故B正確，對于C，在回來分析中，越接近于，模型的擬合效果越好，所以為的模型比為的模型擬合的更好，故C正確，對于D，某人在次答題中，答對題數(shù)為，，則數(shù)學期望，說明答對題的概率最大，故D正確．故選：BCD12.BC【分析】令，得到，推得為偶函數(shù)，得到的圖象關于對稱，再利用導數(shù)求得當時，單調遞增，當時，單調遞減，把不等式轉化為恒成立，結合二次函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】由函數(shù)，令，則，可得，可得，所以為偶函數(shù)，即函數(shù)的圖象關于對稱，又由，令，可得，所以為單調遞增函數(shù)，且，當時，，單調遞增，即時，單調遞增；當時，，單調遞減，即時，單調遞減，由不等式，可得，即所以不等式恒成立，即恒成立，所以的解集為，所以且，解得，結合選項，可得BC適合.故選：BC.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用換元法設，從而得到，證明其為偶函數(shù)，則得到的圖象關于對稱，再結合其單調性即可得到不等式組，解出即可.13.【分析】由命題的否定轉化為恒成立問題，利用二次函數(shù)的性質即可求解.【詳解】由題知命題的否定“”是真命題．令，則解得，故實數(shù)的最大值為故答案為：14.【分析】依據(jù)平面對量數(shù)量積的運算性質，結合平面對量夾角公式進行求解即可.【詳解】由，，故答案為：15.．【分析】利用橢圓的定義及，得到，進而得解.【詳解】為橢圓上一點，由橢圓的定義知，，因為，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓的離心率的求解及橢圓的定義，屬于基礎題.16.【分析】依據(jù)條件概率公式即可求解.【詳解】用分別表示取的一人是來自高一和高二，表示抽取一個恰好是女生，則由已知可知：,且,所以故答案為：17.（1）（2）【分析】（1）干脆利用正弦定理求解即可，（2）求出，再利用余弦定理求出，然后利用三角形面積公式可求得答案【小問1詳解】在中，因為，，所以由正弦定理得.【小問2詳解】因為，所以.由余弦定理得，解得或（舍）.所以的面積.18.（1）（2）單調遞增區(qū)間為和；單調遞減區(qū)間為【分析】(1)求導，計算得到切線斜率，點斜式求切線方程.(2)求出函數(shù)解析式，求導函數(shù)，由導函數(shù)的正負解得原函數(shù)的單調區(qū)間.【小問1詳解】，則，得．由題意，可得曲線在點處的切線方程為，即．【小問2詳解】由已知得．又由（1）知，所以．故．，由，得，或；由，得．故在上的單調遞增區(qū)間為和；單調遞減區(qū)間為．19.（1）證明見解析（2）【分析】（1）取的中點，連接，，則，再結合已知面面垂直可得平面，則，而，再由線面垂直的判定可得面，從而可證得，（2）以，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求解.【小問1詳解】證明：取的中點，連接，．∵，∴．又∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面．∵平面，∴．∵在菱形中，，∴為等邊三角形，∵的中點為，∴，∵∥，∴∵，平面，∴平面，∵平面，∴．【小問2詳解】由（1）平面，∵平面，∴，∵，∴如圖,以，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，∴，，．設平面的法向量為，則，不妨設，則．設平面的法向量為，則，令，則，設二面角的大小為，由圖可知為鈍角，∴，∴．∴二面角的正弦值為．20.（1）證明見解析（2）140【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明即可；（2）利用分組求和的方法得到，然后利用的增減性解不等式即可.【小問1詳解】，，所以數(shù)列為首項為，公比為等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可得，即∴而隨著的增大而增大要使，即，則，∴的最小值為140.21.（1）;（2）.【詳解】（1）因為是邊長為2的等邊三角形，所以，，，所以，所以橢圓：，點.將直線代入橢圓的方程，整理得：，（*）設，則由（*）式可得，所以，，，所以直線的斜率之積所以直線斜率之積是定值.（2）記直線與軸的交點為，則當且僅當，即時等號成立.所以的面積的最大值為.22.（1）