新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何4向量在立體幾何中的應(yīng)用4.2用向量方法研究立體幾何中的位置關(guān)系課后訓(xùn)練北師大版選擇性必修第一冊(cè)

4.2用向量方法探討立體幾何中的位置關(guān)系A(chǔ)組1.設(shè)直線l的方向向量為a,平面α的法向量為b.若a·b=0,則().A.l∥α B.l?αC.l⊥α D.l?α或l∥α2.已知點(diǎn)A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),直線AB,AC平行于平面α,則平面α的一個(gè)法向量是().A.(1,1,-1) B.(1,-1,1)C.(-1,1,1) D.(-1,-1,-1)3.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,M,N分別為A1B,AC的中點(diǎn),則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是().(第3題)A.相交 B.平行C.垂直 D.不能確定4.如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,E是CD的中點(diǎn),F是AD上一點(diǎn),當(dāng)BF⊥PE時(shí),AF∶FD等于().(第4題)A.1∶2 B.1∶1 C.3∶1 D.2∶15.已知直線l的方向向量為(2,m,1),平面α的法向量為1,12,2,且l∥α,則實(shí)數(shù)m等于.

6.若AB=λCD+μCE(λ,μ∈R),則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是.

7.已知直線l1與l2不重合,直線l1的一個(gè)方向向量為a=(-2,5,2),直線l2的一個(gè)方向向量為b=(2,0,1),則直線l1與l2的位置關(guān)系是8.如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面相互垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M為CE的中點(diǎn).(第8題)求證:(1)BM∥平面ADEF;(2)平面BCE⊥平面BDE.9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E為PC的中點(diǎn),EF⊥BP于點(diǎn)F.用向量法求證:(第9題)(1)PA∥平面EDB;(2)PB⊥平面EFD.B組1.若平面α,β的一個(gè)法向量分別為m=-16,13,-1,n=A.α∥βB.α⊥βC.α與β相交但不垂直D.α∥β或α與β重合2.(多選題)在如圖的空間直角坐標(biāo)系中,ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為1的正方體,下列結(jié)論中正確的有().(第2題)A.平面ABB1A1的一個(gè)法向量為(0,1,0)B.平面B1CD的一個(gè)法向量為(1,1,1)C.平面B1CD1與方向向量為(1,1,1)的直線垂直D.平面ABC1D1與方向向量為(0,1,1)的直線垂直3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,在A1D上取點(diǎn)M,在CD1上取點(diǎn)N,使得線段MN平行于對(duì)角面A1ACC1,則線段MN的長(zhǎng)度的最小值為.

4.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,已知點(diǎn)P(2cosx+1,2cos2x+2,0)和點(diǎn)Q(cosx,-1,3),其中x∈[0,π].若直線OP與直線OQ垂直,則x的值為.

5.如圖,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的2倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).若SD⊥平面PAC,問(wèn)側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE∥平面PAC?若存在,求|SE|∶|EC|的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(第5題)6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點(diǎn)M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD的夾角為30°.求證:(第6題)(1)CM∥平面PAD;(2)平面PAB⊥平面PAD.

參考答案4.2用向量方法探討立體幾何中的位置關(guān)系A(chǔ)組1.D∵a·b=0,∴l(xiāng)?α或l∥α.2.DAB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1).設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則有n取x=-1,則y=-1,z=-1.故平面ABC的一個(gè)法向量是(-1,-1,-1).3.B如圖,以C1B1,C1D1,C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(a,a,0),B(a,0,a),A(a,a,a),C(0,0,a),D1(0,a,0),∴Ma,a2,a2,Na2,a(第3題)∴MN=-a2,0,a2,易知C1D1=(0,a,0)是平面BB1C1C的一個(gè)法向量,而MN·C1D1=-a2×0+0×a+a2×0=0,∴MN⊥∴MN∥平面BB1C1C.4.B如圖,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.(第4題)設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,PA=a,則B(1,0,0),E12,1,0,P(0,0,a).設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,y,0),則BF=(-1,y,0),PE=12,1,-a.因?yàn)锽F⊥PE,所以BF·PE=0,解得y=12,即點(diǎn)F的坐標(biāo)為0,12,0,所以當(dāng)F為AD的中點(diǎn)時(shí),BF⊥PE,此時(shí)AF∶FD=1∶5.-8∵l∥α,∴l(xiāng)的方向向量與α的法向量垂直.∴(2,m,1)·1,12,2=2+12m+2=0,解得m=-8.6.AB∥平面CDE或AB?平面CDE∵AB=λCD+μCE(λ,μ∈R),∴AB與CD∴AB∥平面CDE或AB?平面CDE.7.l1⊥l2∵a·b=-2+0+2=0,∴a⊥b.∴l(xiāng)1⊥l2.8.證明∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AD⊥ED,ED?平面ADEF,∴ED⊥平面ABCD.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DE分別為x軸、y軸、z(第8題)則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),F(2,0,2).(1)∵M(jìn)為EC的中點(diǎn),∴M(0,2,1),則BM=(-2,0,1),AD=(-2,0,0),AF=(0,0,2),∴BM=AD+12又BM?平面ADEF,∴BM∥平面ADEF.(2)BC=(-2,2,0),DB=(2,2,0),DE=(0,0,2).∵BC·DB=-4+4=0,∴BC又BC·DE=0,∴BC又DE∩DB=D,DB,DE?平面BDE,∴BC⊥平面BDE.又BC?平面BCE,∴平面BCE⊥平面BDE.9.證明以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,如圖,設(shè)DC=PD=1,則P(0,0,1),A(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1,0),E0,12,12,∴PA=(1,0,-1),PB=(1,1,-1),DE=0,12,12,EB=1,12,(第9題)(1)設(shè)n1=(x1,y1,z1)為平面EDB的一個(gè)法向量,則n1⊥DE,n1⊥EB.∴n取z1=-1,則n1=(-1,1,-1)為平面EDB的一個(gè)法向量.∵PA=(1,0,-1),∴PA·n1=0.∴PA⊥n1.又PA?平面EDB,∴PA∥平面EDB.(2)設(shè)F(x,y,z),則PF=(x,y,z-1),EF=x,y-12,z-12.∵EF⊥BP,∴EF⊥∴x+y-12-z-12=0,即x+y-z=0. ①∵點(diǎn)F在PB上,∴存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使得PF=λPB,即x=λ,y=λ,z-1=-λ. ②由①②可得x=13,y=13,z=∴EF=13,-16,設(shè)n2=(x2,y2,z2)為平面EFD的一個(gè)法向量,則n2⊥EF,n2⊥DE,∴n∴x2=-z2,y2=-z2.取z2=1,∵PB=-n2,∴PB∥n2,∴PB⊥平面EFD.B組1.D∵n=-3m,∴m∥n,∴α∥β或α與β重合.2.AC∵AD=(0,1,0),AB⊥AD,AA1⊥AD,AB∩AA1=A,∴AD⊥平面ABB1A1,故A正確;∵CD=(-1,0,0),而(1,1,1)·CD=-1≠0,∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量,故B不正確;∵B1C=(0,1,-1),CD1=(-1,0,1),(1,1,1)·(0,1,-1)=0,(1,1,1)·(-1,0,1)=0,且B1C∩∴以(1,1,1)為方向向量的直線垂直于平面B1CD1,故C正確;∵BC1=(0,1,1),而B(niǎo)C1·(0,1,1)=2≠0,∴以(0,1,1)為方向向量的直線不垂直于平面ABC1D1,故選AC.3.33如圖,作MM1⊥AD,垂足為點(diǎn)M1,作NN1⊥CD,垂足為點(diǎn)N1(第3題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,依據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,可得MM1,NN1都垂直于平面ABCD,由線面垂直的性質(zhì)定理,可知MM1∥NN1,易知平面M1N1NM∥平面ACC1A1,由面面平行的性質(zhì)定理可知,M1N1∥AC,設(shè)DM1=DN1=x,則0<x<1.在四邊形MM1N1N中,MN2=(2x)2+(1-2x)2=6x-132+13,當(dāng)x=13時(shí),MN取得最小值為34.π2或π3由OP⊥OQ,即(2cosx+1)cosx+(2cos2x+2)×(-1)=0.∴cosx=0或cosx=12∵x∈[0,π],∴x=π2或x=π5.解存在.連接BD,設(shè)AC交BD于點(diǎn)O,由題意知SO⊥平面ABCD.(第5題)又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以O(shè)B,OC,OS兩兩垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OS所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,則高SO=62a,于是C0,22a,0,B22a,0,0,S0,0,62a,D-22a,0,0,所以DS=22a,0,62a,CS=0,-22a,62a,BC=-22a,22a,0.假設(shè)在棱SC上存在一點(diǎn)E,使BE∥平面PAC.由題意知DS是平面PAC的一個(gè)法向量,則BE⊥設(shè)CE=tCS(0≤t≤1),則BE=BC+CE=BC+tCS=-22a,22a由BE·DS=0,得-a22解得t=13即當(dāng)SE∶EC=2∶1時(shí),BE⊥又BE不在平面PAC內(nèi),所以當(dāng)SE∶EC=2∶1時(shí),BE∥平面PAC.6.證明如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB所在直線為x軸,CD所在直線為y軸,CP所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.(第6題)∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC即為PB與平面ABCD的夾角,∴∠PBC=30°.∵PC=2,∴BC=23,PB=4.∴D(0,1,0),B(23,0,0),A(23,4,0),P(0,0,2),M32,0,32,∴DP=(0,-1,2),DA=(23,3,0),CM=32,0,32.(1)設(shè)n=(x,y,z)為平面PAD的一個(gè)法向量