高中數(shù)學(xué)-雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

人教A版選擇性必修第一冊《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》

教學(xué)設(shè)計(jì)

一.教學(xué)目標(biāo)

1.了解雙曲線的實(shí)際背景，感受雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問

題中的作用.

2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.

3.通過雙曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。

5.提高數(shù)學(xué)能力：通過類比橢圓，發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，猜測合理的

數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作探究論

證數(shù)學(xué)結(jié)論。

6.發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

二、教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：雙曲線的幾何特征，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，坐標(biāo)化的基本思想。

難點(diǎn)：雙曲線形成，標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡，坐標(biāo)法的應(yīng)用。

三、教法、學(xué)法分析

根據(jù)這節(jié)課的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知水平，本節(jié)課的教法與學(xué)法定為:

引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，問題串教學(xué)，由淺入深、層層遞進(jìn)，將教材還原成生動(dòng)活

潑的思維創(chuàng)造活動(dòng)，啟發(fā)學(xué)生積極思考，勇于探索，從而使學(xué)生產(chǎn)生

濃厚的學(xué)習(xí)興趣，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位.在學(xué)法的選擇上，采用自主

探究法、實(shí)驗(yàn)操作、觀察發(fā)現(xiàn)法、合作交流法、歸納總結(jié)法.

四、教學(xué)過程

結(jié)合教材知識(shí)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，本課的教學(xué)環(huán)節(jié)及時(shí)間分配如下:

課堂教學(xué)內(nèi)容學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

環(huán)節(jié)

情景1.3D動(dòng)畫，平面截圓錐得截線1.了解圓錐曲線

的原始定義

引入2.學(xué)生研究性學(xué)習(xí)視頻，了解雙曲線在

2.激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)

現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用興趣，引入課題

復(fù)習(xí)：.到兩個(gè)定點(diǎn)距離和為定值的點(diǎn)的

學(xué)生類比通過類比橢圓，

軌跡。

橢圓定義發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)

問題，猜測合理

問題1：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fl、F2的距

的數(shù)學(xué)結(jié)論，培

離之差等于常數(shù)的點(diǎn)軌跡是什么？

問養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題

題方法的能力。

導(dǎo)

入

如圖，、是兩個(gè)定點(diǎn)，在線段外

ABPAB通過觀察通過幾何畫

運(yùn)動(dòng)，在平面內(nèi)取定點(diǎn)R,F2,以FI為

幾何畫板板演示，為橢圓、

圓心、線段PA為半徑作圓，再以F?為

圓心、線段PB為半徑作圓，M為兩圓交演示，觀雙曲線之間的內(nèi)

點(diǎn)。1F.F1>|AB|

實(shí)2察：哪些在關(guān)系留下伏筆

問(1)若IFlF21VlAB|,當(dāng)點(diǎn)P在

驗(yàn)線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，那么兩圓相交，其交量不變？

探點(diǎn)M的軌跡是什么？動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)

究ABP動(dòng)過程中

滿足什么

幾何條

件？

判斷出動(dòng)

點(diǎn)軌跡為

橢圓.

學(xué)生觀察：通過觀察引導(dǎo)學(xué)生類比橢

圓的生成過程思

(2)若IFlF2|>IAB|.幾何畫板

考雙曲線的生成

讓點(diǎn)P在線段AB外運(yùn)動(dòng)，演示，過程，進(jìn)而找到

雙曲線滿足的幾

問：這時(shí)交點(diǎn)M滿足什么幾何條件？哪些量不

何條件，培養(yǎng)學(xué)

兩圓的交點(diǎn)M的軌跡是什么形狀？變？生的數(shù)學(xué)抽象能

動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)力.

使用拉鏈驗(yàn)證，

PAB動(dòng)過程中

使學(xué)生從感官上

滿足什么

認(rèn)同

幾何條

件？

生：MF1-MF2=PA-PB=AB為常數(shù).

并得出雙

師：（1）僅有一個(gè)條件嗎？

曲線一般

生：|FlF2|>|AB|.

結(jié)論

師：（2）僅有一條嗎？

生：兩條

MF「MF2=PA-PB=-AB為常數(shù).

師：||MFi|-1昵||=常數(shù)

師：||MF,|-|MF2I|=常數(shù)=0?

生：非零常數(shù)，構(gòu)成三角形

拉鏈驗(yàn)證，確認(rèn)

雙曲線定義：學(xué)生歸要想用探究結(jié)論

我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)幾B的距離納，抽象作為雙曲線的定

定的差的絕對值等于非零常數(shù)（小于出雙曲線義，用呆證它足夠

義HBD的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.定義，并嚴(yán)密、起懶。

生①兩個(gè)定點(diǎn)Fl、F2——雙曲線的焦點(diǎn)；對問題繼使學(xué)生養(yǎng)成思維

成②|FlF2|=2c——焦距.續(xù)深化問嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范表達(dá)

問題：這個(gè)常數(shù)可以是任意正實(shí)數(shù)嗎？題。的科學(xué)態(tài)度。

有什么限制條件嗎？

若(1)常數(shù)=1F1F2|

(2)常數(shù)》IF1F2|，情況會(huì)發(fā)生什么

變化？

師：(1)類比橢圓的方程，如何求這優(yōu)類比橢圓1.讓學(xué)生進(jìn)一

美的曲線的方程？學(xué)生進(jìn)行步熟悉直接法求

(2)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程的步驟？

化簡，兩方程的步驟及策

方生：1.建系個(gè)學(xué)生板略

程

如圖，以后,尸2所在直線為X演。2.化簡過程中

推軸，線段昆巳的垂直平分線、1彳

導(dǎo)運(yùn)算量較大，提

為y軸，建立直角坐標(biāo)系明,x

高運(yùn)算技能可以

提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)

2.設(shè)點(diǎn)

算素養(yǎng)

設(shè)M(x,y)港雙曲線上任意一點(diǎn)，

3.學(xué)會(huì)引入?yún)?/p>

1F11=2c,則尸式―c,0),/(c,。)

數(shù)，使結(jié)構(gòu)簡潔

3.列式

優(yōu)美，體會(huì)簡潔

師：定義中的等量關(guān)系是什么？取什么

對稱的方程帶來

參數(shù)？

的便捷。

生：=2a

師：為什么取2a?

J(x+c)2+y2—V(x—c)24-y2=+2c

學(xué)生進(jìn)行化簡

(c2-a2)x2--a2y2——Q2)

Z1

學(xué)生要理

22

xy--1

222

ac—a解化簡過

類比橢圓b的兒

令c2—a2=b2,其中b>0,

程中如何

何意義，形成方

/—廬=l(a>0,b>0)

引入?yún)?/p>

師：(1)為什么要兩邊除以di-a?)?法遷移，體會(huì)圓

數(shù)。

(2)令/-a?=反的機(jī)理是什么？在本節(jié)課的應(yīng)用

(3)為什么要令b>0?

類比橢圓回答

師：你能在y軸上找一點(diǎn)B,使得|0B|=b

嗎？

學(xué)生小組

\討論，尋

z找最優(yōu)方

A3/%法。

/i\c2=a2+h2

師：當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)

通過類比

類比橢圓

2/橢圓的兩

*-*=l(a>0,b>0)

種標(biāo)準(zhǔn)方

兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較:程，得出

定義售

\\MF^-\MF2\\^2a(0<2a<LI)/、、工點(diǎn)在y

1

和1上的雙

圖形￡匕

71t由1線標(biāo)準(zhǔn)

x2y2y22

標(biāo)準(zhǔn)方程x程，進(jìn)

^-p=l(a>0,b>0)^-^=l(a>0,b：

Grbfcc2=a24-b2,c2=a2+b2,—?步總結(jié)

關(guān)系c>a>Q,c>b>Qc>a>0,c>b>0

焦點(diǎn)坐標(biāo)(一c,O),(c,0)(0,-c),(0,c)1雙曲線

標(biāo)準(zhǔn)方程

問：怎樣根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦

的特征.

點(diǎn)位置？

類比橢圓

橢圓要看分母，焦點(diǎn)跟著大的走

為蹴靛搬，讖藕孤犍知識(shí)與學(xué)生反思培養(yǎng)學(xué)生大局

歸技能？本節(jié)課學(xué)觀，不僅橫向研

納

習(xí)過程。究還要縱向把

總

結(jié)握，形成學(xué)術(shù)探

究的基本能力。

1、必做：課本P121練習(xí)1-3學(xué)生課后鞏固深化所學(xué)知

課2、選做課本P121練習(xí)4I------------1獨(dú)立完成識(shí)

橢圓標(biāo)

后習(xí)題3.22題.準(zhǔn)勺程

類

比

作

?------------1類I

橢圓的雙曲線定r雙曲線

正義1—]?標(biāo)準(zhǔn)方

形q

1引進(jìn)參

數(shù)a與b

2.K拓展R本節(jié)課中三次用到圓來解決對學(xué)習(xí)過程中解

問題，它的原理是什么？決問題所用到的

工具圓作深刻反

思。

3.對圓、橢圓、雙曲線作橫向總結(jié)，并視頻觀賞數(shù)學(xué)不僅僅是運(yùn)

賦詩一首，開啟幾何性質(zhì)的預(yù)演。算、思維，還有

詩和優(yōu)美。

業(yè)

新人教A版選修1《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》

學(xué)情分析

高二（1）班是一個(gè)物化地班級(jí)，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)，課堂接受

容量較高。學(xué)生已經(jīng)掌握了橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程以及圓錐曲線的研

究方法，能夠通過引導(dǎo)自主歸納雙曲線定義、推導(dǎo)雙曲線的方程。本

節(jié)課中學(xué)生要經(jīng)歷直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等過程，整個(gè)過程

對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求較高，因此對于物化地學(xué)生來說，本節(jié)課從

雙圓錐截面所得曲線出發(fā)，從直觀地立體幾何體中得到平面曲線，進(jìn)

而進(jìn)行雙曲線圖象的探究活動(dòng)，通過幾何畫板直觀地展示圖象的生成

過程。學(xué)生在過程中既動(dòng)手操作，又能夠直觀地感知圖象的來源，符

合學(xué)生的認(rèn)知水平。雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡過程，是在已經(jīng)推導(dǎo)出橢

圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上進(jìn)行，學(xué)生通過類比便可以自主探究，但對于一

部分運(yùn)算能力差的學(xué)生，絕對值和根號(hào)的化簡仍舊是個(gè)難點(diǎn)。

效果評價(jià)

袁老師的課堂聲音抑揚(yáng)頓挫，整節(jié)課充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣和注意.

學(xué)生通過探究，總結(jié)，討論，展示做題過程等形式讓學(xué)生積極參與課

堂，提高課堂效率.雖然隔著屏幕仍然能感受到老師和諧的師生關(guān)系

以及學(xué)生較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)生默契的配合老師的教學(xué)，從而產(chǎn)生思

維共振和感情共鳴.

課堂設(shè)計(jì)的問題，給與學(xué)生充分探索的空間，這種探索雙曲線定

義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的方法和過程一方面是對橢圓知識(shí)的再認(rèn)識(shí)，另一方

面也使學(xué)生在探索中增強(qiáng)了類比、觀察、發(fā)現(xiàn)、分析、歸納的能力.

整節(jié)課教師都采用類比的方法，讓學(xué)生去推導(dǎo)，去探索，效果不錯(cuò)，

對于后續(xù)拋物線的學(xué)習(xí)可以放手給學(xué)生了.3D動(dòng)畫引入,讓學(xué)生直觀

的觀察到圓錐曲線的由來，激發(fā)了學(xué)生探究它的熱情，結(jié)尾富有詩情

畫意的小詩，即點(diǎn)名了雙曲線的本質(zhì)，有為后續(xù)的學(xué)習(xí)指明了方向，

數(shù)學(xué)課不應(yīng)只有計(jì)算和推理，也應(yīng)該有詩和遠(yuǎn)方.

教材分析

《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》是新課程人教A版選擇性必修第一冊，

第三章第2節(jié)第一課時(shí)。這一節(jié)是在學(xué)習(xí)了橢圓的基礎(chǔ)上，運(yùn)用類比的

方法進(jìn)行研究，使學(xué)生體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展攀諭正觀點(diǎn)。以多媒體課件為平臺(tái)，直

觀生動(dòng)地對定義進(jìn)行探究和對標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行推導(dǎo)，使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)

和倉峭的即呈進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的育助。如果

雙曲線研究的透徹清楚，那么拋物線的學(xué)習(xí)就會(huì)順理成章，所以說

本節(jié)課的作用就是縱向承接橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的研究，橫向?yàn)殡p

曲線的簡單性質(zhì)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。也為后面的拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

做鋪墊。雙曲線是圓錐曲線中一個(gè)重要的幾何模型，有許多幾何性

質(zhì)，這些性質(zhì)在日常生活，生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用。同

時(shí)它也是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要素材。雙曲線、橢圓、拋物線這

三種圓錐曲線方程，是平面解析幾何的核心內(nèi)容。雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)

方程的概念與橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程相類似，教材處理也相仿。學(xué)好本

節(jié)課內(nèi)容是學(xué)好圓錐曲線關(guān)鍵之一，對后面能進(jìn)一步理解掌握由曲

線求方程和由方程討論曲線性質(zhì)，從而借助形和數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，把

形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)來研究，再把數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為形來討論，這是解

析幾何的基本思想和基本方法，從而提高學(xué)生分析問題，解決問題

的能力。

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中認(rèn)識(shí)雙曲

線的幾何特征，建立它的標(biāo)準(zhǔn)方程，運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓錐曲

線的性質(zhì)，以及它們的位置關(guān)系，運(yùn)用平面解析幾何方法解決簡單的

數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，感悟平面解析幾何中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。

在平面解析幾何的教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷以下過程，首先通過

實(shí)例了解幾何圖形的背景；進(jìn)而，結(jié)合情景清晰地描述圖形的兒何特

征與問題；再結(jié)合具體問題，合理地建立坐標(biāo)系，用代數(shù)語言描述這

些特征與問題；最后，借助幾何圖形的特點(diǎn)，形成解決問題的思路,

通過直觀想象和代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果，并給出幾何解釋，解決問題。

應(yīng)充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，通過計(jì)算機(jī)軟件向?qū)W生演示方程中

參數(shù)的變化對方程所表示的曲線的影響，使學(xué)生進(jìn)一步理解曲線與方

程的關(guān)系

在教學(xué)中可以組織學(xué)生收集、閱讀平面解析幾何的形成與發(fā)展的

歷史資料，撰寫小論文，論述平面解析幾何發(fā)展的過程、重要結(jié)果、

主要人物、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻(xiàn)。

評測練習(xí)

A層

1、寫出滿足條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

(l)a=4,b=3,焦點(diǎn)在x軸上；

(2)經(jīng)過點(diǎn)力(1,空用)，且a=4；

(3)經(jīng)過點(diǎn)力(2,羋)，8(3,-272);

2222

2、若橢圓指X+=V=1和雙曲線XF—￡V=1有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的

34nn16

值是.

B層

22

XV

3、已知方程三十^^=1的圖形是雙曲線，那么A的取值范圍是

4、已知A(-5,0),￡(-5,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|P￡|-|P6|=2”,當(dāng)a為

3和5時(shí)，點(diǎn)P的軌跡分別是____________________________________

22

5、已知E,￡是雙曲線±—21=1的左、右焦點(diǎn)，若P是雙曲線左支

916

上的點(diǎn)，且附卜歸鳥|=32,求明尸鳥的面積.

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)反思

在本節(jié)課的教學(xué)中，重點(diǎn)放在定義的形成與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)上，

符合新課標(biāo)重視過程與方法的理念。本節(jié)課可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的

知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生把新舊知識(shí)有機(jī)融合，掌握知識(shí)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。時(shí)時(shí)與

橢圓進(jìn)行比較，強(qiáng)化學(xué)生已經(jīng)理解和掌握了的建系求曲線方程的步驟。

在引導(dǎo)分析時(shí)，先留出“空白”，讓學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)

生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見。圍繞學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)鋪設(shè)問題，

把思路方法和需要解決的問題弄清。然后運(yùn)用多種教學(xué)方法，使學(xué)生

獲得自信和成功的體驗(yàn)，于不知不覺中改善了他們的思維品質(zhì)，提高

了數(shù)學(xué)思維能力。

尤其值得一提的是信息技術(shù)在本課的應(yīng)用。運(yùn)用多媒體課件輔助教學(xué),

既節(jié)省了板演的時(shí)間，又充分顯示出信息技術(shù)與探究合作式教學(xué)理念

有機(jī)結(jié)合的教學(xué)優(yōu)勢。

1.從雙圓錐截面所得的曲線入手，播放提前錄制的微課視頻使學(xué)生觀

看，通過觀察學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以截到三種不同的曲線，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)

興趣，并很自然地過渡到本節(jié)課的主題：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程。

2.本節(jié)課在新教材中引入環(huán)節(jié)進(jìn)行了較大的改動(dòng)，考慮幾何畫板追蹤

點(diǎn)的軌跡可以更精確地得到雙曲線的圖象，因此本節(jié)課在幾何畫板上

下了功夫。讓學(xué)生先自主思考探究