2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練《平面向量的概念》(含答案)

2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練《平面向量的概念》

-、單選題（本大題共12小題，共60分）

1.（5分）若6入=（一5,4）,&=（7,9）,向量B同向的單位向量坐標(biāo)是（）

A4一￡，一》勺

C.（一孩涓）D.（||,一看）

2.（5分）在四邊形ABCD中，若B+cB=6,ACBD=0,則四邊形為（）

A.平行四邊形B.矩形C.等腰梯形D.菱形

3.（5分）如圖，在AABC中，AB=AC,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，則。

A.4B與力C共線B.DE與CB共線

c.與兄1相等D.G與面）相等

4.(5分)已知四邊形ABCD為平行四邊形，其中4(5,-1),8(—1,7),C(l,2),則頂點(diǎn)

。的坐標(biāo)為()

A.(-7,6)B.(7,6)C.(6,7)D.(7,-6)

5.(5分)已知4=(一3,m),b=(4,-1),^a//(a-2b),則實(shí)數(shù)m的值為。

3333

A.-B.--C.-D.--

7744

6.(5分)已知向量a,b不共線，c=ka+b,(kWR),d=Q—b如果c〃d那么()

A.k=-1且京與d反向B.k=1且"與d反向

C.k=一1且"與三同向D.fc=1且會(huì)與1同向

7.(5分)設(shè)向量卜+b=V20,a-h=4,則a—力=()

A.V2B.2V3C.2D.V6

8.(5分)下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是\((\quad)\)

①單位向量都相等；

②模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量；

③若\(\overrightarrow{a}\),\(\overset{\rightarrow}\)滿足

\(|\overrightarrow{a}|>|\overset{\rightarrow}|\).§.\(\overrightarrow{a}\)與

\(\overset{\rightarrow}\)同向,則\(\overrightarrow{a}>\overset{\rightarrow}\)；

④若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合;

⑤若\(\oveirightarrow{a}/\!Aoversetf\1ightaiT0w}\),

\(\overset{\rightarrow}A!Aoverrightarrow{c}\),則

\(\overrightarrow{a}/\!Aoverrightarrow{c}.\)

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

9.（5分）已知單位向量的夾角為60。，若向量"滿足后一2%+3占43,則的最

大值為（）

A.1+yB.yC.1+V3D.V3

10.（5分）已知3=（4,2）,則與熱方向相反的單位向量的坐標(biāo)為（）

A.（2,1）B.（-2,-1）

C.存普）D.（一等,一今

11.（5分）平面內(nèi)/ABC及一點(diǎn)。滿足竺”=坐，至=能空，則點(diǎn)。是4ABe的（

|AB||AC||CA||CB|

）

A.重心B.垂心C.內(nèi)心D.外心

12.（5分）己知向量|Q|=1,|b|=8，a+b=（-1,1）,則|2a+b|=（）

A.3B.V3C.11D.V1T

二、填空題（本大題共5小題，共25分）

13.（5分）在4ABe中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且asiaAcosC+

csin4cos4=卜，。是AC的中點(diǎn)，且cosB=誓，BD=V26,貝UZABC的最短邊的邊長(zhǎng)

為.

14.（5分）己知單位向量；、b滿足G+b）=l,則日+b|=.

15.（5分）已知四邊形ABCD,AC是BD的垂直平分線，垂足為E,。為四邊形ABCD外

一點(diǎn)，設(shè)|&|=5,|0D|=3,則（（A+&）.（&-6b））=.

R

16.（5分）已知面=2,\b\=4,a-b=（-4,3）,記［與了夾角為仇則cos。的值為

17.（5分）已知平面向量b,|a|=2,b=（1,V3）,若|Z-b|=2次，貝值與b的夾

角的余弦值為.

三、解答題（本大題共6小題，共72分）

18.（12分）如圖，在△ABC中，AB=2,AC=3,Z.BAC=60°,DB=2AD,CE

2EB.

(1)設(shè)成在后上的投影向量為4盛，求;I的值;

(2)用向量易，晶表示向量法，并求|法

19.(12分)判斷下列結(jié)論是否正確，并說(shuō)明理由.

(1)向量:工相等的充要條件是后一》=0

(2)平行的單位向量一定相等.

20.(12分)已知:與6共線，且向=1,荷=2,求乙女

21.(12分)己知2,b,工是共面的三個(gè)向量，其中2=(1,2),荷=百，囪=2四且

會(huì)與；反向.

(1)求-a\；

(2)若a+2b與2a—3b垂直，求Q?(b+c)的值.

22.(12分)如圖，已知△4BC的面積為14,D,E分別為邊48,上的點(diǎn)，且

AD:DB=BE:EC=2:1,4E與CD交于點(diǎn)P.設(shè)存在/I和〃使晶=羌6，PD=fiCD,

TTTT

AB=a,BC=b.

(1)求4及〃的值；

(2)用亡2表示而；

(3)求4ZMC的面積.

23.(12分)在四邊形力BCD中，已知&=法，求證：四邊形ABCD為平行四邊形.

四、多選題(本大題共5小題，共25分)

24.(5分)對(duì)于任意兩個(gè)向量2,b,下列命題中正確的是0

A.|a+匕|《|a|+聞B.|a-b|<|a|—|b|

C.若則以>bD.|a"b|<|a|1|6|

25.(5分)下列命題中正確的是()

A.J/b□存在唯一的實(shí)數(shù)；I￡R,使得b=亮；

B.e為單位向量,且a//e,則ai|a|e；

C.aa=\a\z；

D.若a-b=b,c且b40,則a=c

26.（5分）對(duì)于任意向量Kb,c,下列命題正確的是0

A.若彳〃b,b//c,貝丘〃c

B.若a-b=b-c,則a-c

C.若。=匕，b=c,則a=c

D.若日一1|=\a+b\,WJab=0

27.（5分）在正方體4BCD-AiBiGDi中，下列結(jié)論正確的是。

A.四邊形ABCWi的面積為|幾||應(yīng)\|

B.M）I與的夾角為60。

C.Q41i+A71+力1力2=3aAi

D.A：C.-痛力=0

28.（5分）下列說(shuō)法中正確的是0

A.若n=晶，則4B,C,。四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形

B.若a〃b,b//c,則Z〃c

C.互為相反向量的兩個(gè)向量模相等

￡>.NQ+QP+MN-MP=0

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】解：6k=(-5,4),OB=(7,9),向量晶=(12,5).

|AB|=V122+52=13.

向量/同向的單位向量坐標(biāo)是：表(12,5)=GI，》

故選：B.

求出向量或，然后求出模，即可推出單位向量.

此題主要考查向量的運(yùn)算法則，坐標(biāo)運(yùn)算，單位向量的求法，考查計(jì)算能力.

2.【答案】D;

【解析】

此題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用，以及數(shù)量積為0與兩向量垂直的關(guān)系，同時(shí)考查

了分析問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

解：?.一AC.-BD=0,AC1BD,

又/+8)=0,

所以AB//CD且AB=CD,

所以四邊形為菱形，

故選0.

3.【答案】B;

【解析】解：因?yàn)?B與ZC不平行，所以幾與幾不共線，4錯(cuò)，

因?yàn)?,E分別是48,4c的中點(diǎn)，則0E與BC平行，故法與己共線，B正確，

因?yàn)镃D與4E不平行，所以2)與族不相等，。錯(cuò)，

因?yàn)榻?DB=-BD,則。錯(cuò).

故選：B.

利用平面向量共線定理判斷ABC,利用平面向量的相等判斷D.

此題主要考查了平面向量共線定理，平面向量的相等，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D;

【解析】此題主要考查向量相等的概念，平面向量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)D(x,y),由八=品，可得(x-5,y+l)=(2,-5),可得結(jié)果.

解：設(shè)。(x,y),由6b=應(yīng):，得(x-5,y+l)=(2,-5),

A%=7,y=-6,???D(7,-6).

故選D

5.【答案】C;

【解析】解：已知及=(-3,?n),b=(4,-1),

所以：ct—2b=(-11,tn+2),

由于聯(lián)〃G-2b),

所以m=I；

故選：c.

直接利用向量的線性運(yùn)算，向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力

和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A;

【解析】解：???c//d,:.c=ki,

SfJka+b=X(a-b),得｛：二&，

解得卜=九=一1,

TTT—TT

:.c=—a+b=—(a—b)=-d,

故選A.

根據(jù)條件和向量共線的等價(jià)條件得，"=入京把條件代入利用向量相等列出方程，求

出k和入的值即可.

該題考查了向量共線的等價(jià)條件，向量相等的充要條件應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C:

【解析】

此題主要考查了向量的模的求法，屬于基礎(chǔ)題.

TT2TTT、

關(guān)鍵是利用a—b=|a+b/-40verrightarrowa-b求值.

解：因?yàn)?b=V20,a-b=4,

|->727

=a+b—40verrightarrowa-b=20—16=4,

a-b=2,

故選C.

8.【答案】A:

【解析】【分析】

本題考查了平面向量的基本概念與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目.

根據(jù)平面向量的基本概念，對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.

【解答】

解：對(duì)于①，單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量或相反向量，故②錯(cuò)誤：

對(duì)于③，向量是有方向的量，不能比較大小，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，向量是可以平移的矢量，當(dāng)兩個(gè)向量相等時(shí)，

它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相同，故④錯(cuò)誤；

對(duì)于⑤，匕=0時(shí)，a〃b,b//c,貝丘與會(huì)不一定平行.

綜上，以上正確的命題個(gè)數(shù)是0.

故選4

9.【答案】A;

【解析】解：由題意，設(shè)單位向量；=(1,0),b=(cos60°,sin60°)=He=

(x,y)；

則a—2b+3c=(3x,3y—V3),

,->TT

由|a—2b+3c|43,

???J(3x)2+(3y-V3)2<3,

化簡(jiǎn)得/+(y-f)24l,

它表示圓心為C(0,m)，半徑為1的圓，如圖所小;

由圖形知，日|的最大值為1+

故選：A.

由題意設(shè)單位向量3=(1,0),b=(cos60。屈n60。)，c=(x,y)；由|a—2b+3c|43求

出％、y的關(guān)系式，利用數(shù)形結(jié)合求出|占的最大值.

該題考查了平面向量的模長(zhǎng)公式應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)形結(jié)合應(yīng)用思想，是中檔題.

10.【答案】D;

【解析】

該題考查相反向量的概念，向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算，以及單位向量的概念，可求出-熱的

坐標(biāo)，并求出面=2遮，這樣根據(jù)單位向量的概念及向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算即可得出正

確選項(xiàng).

解:-a=(-4,-2),且同=2后

二面=(一三，一三).

故選D.

11.【答案】C:

【解析】解：平面內(nèi)ZABC及一點(diǎn)0滿足嚶=竺學(xué)，可得R?(學(xué)■一空)=0,所以

|AB||AC||AB||AC|

。在NCAB的平分線上，

-?—?

里學(xué)=空，可得：&).(?一半)=0,所以。在NACB的平分線上，

|CA||CB||CA||CB|

則點(diǎn)。是4ABe的內(nèi)心.

故選：C.

利用表達(dá)式，轉(zhuǎn)化推出。所在的位置，得到結(jié)果即可.

該題考查向量的綜合應(yīng)用，充分理解表達(dá)式的幾何意義以及三角形的五心的特征，是

解答該題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是中檔題.

12.【答案】B;

【解析】解："a+b=(-1,1).

二|a+b|=V2,

???(a+b)2=|a+6|2=2,HP|a|2+2a-b+\b\2=2,

TT

***1+2Q,Z?+3=2,

TT

**.ci,b——1?

-12a4-h|=J(2a+b)2=J41al24-4a-ft4-\b\2=J4x1+4x(-1)+3=V3.

故選：B.

易知向+&=VL兩邊平方后，可求得:工=一1,再由|2^+否=J(2；+1)2,展

開(kāi)運(yùn)算，即可得解.

本題考查平面向量的混合運(yùn)算，模長(zhǎng)的求法，熟練掌握平面向量的運(yùn)算法則是解題的

關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】2V2;

【解析】解：在4ABe中，asinAcosC+csinAcosA=1c,

由正弦定理可得：

sinAsirh4cosc+sinCsin/cosA=-sinC,

3

即為sinA(sia4cosc+cosAsinC)

=sin/lsin(i4+C)=sinZsinB

=/1-~sinTl=-sin/l=-sinC,

7553

由正弦定理可得a=9c,

。是AC的中點(diǎn)，且cosB=等，

可得而=3戰(zhàn)+余：)，

T——T

BPWBD2=J(BA2+BC2+20verrightarrowBA?BC)

即為26=-(c2+-c2+2c-—c?—),

4'9357

解得c=6,a=2A/5,

由余弦定理可得肝=a2+c2—2accosB

=20+36-2475x^5=8,

解得b=2V2,

4ABe的最短邊的邊長(zhǎng)為2a.

故答案為：2&.

運(yùn)用正弦定理和兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)整理，可得a=苧c,再由向量中

點(diǎn)形式，以及向量的平方即為模的平方，計(jì)算可得a,c,再由余弦定理計(jì)算可得b,進(jìn)

而得到所求最小值.

此題主要考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

14.【答案】V2;

【解析】解：a.(a+b)=a2+a./?=1+a.b=1,

所以a.b=0,

T-/TTTr

則|a+b\=+20verrightarrowa.b+\b\2=V1+0+1=魚(yú)，

故答案為：V2.

根據(jù)條件可求得；工=0,進(jìn)而利用向量模的定義即可求得答案.

此題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及向量模的求法，屬于中檔題.

15.【答案】16;

【解析】

此題主要考查垂直平分線的概念，向量垂直的充要條件，向量加法的幾何意義，相反

向量的概念，以及向量減法的幾何意義，向量數(shù)量積的運(yùn)算.根據(jù)條件，AC垂直平分

線段BD,從而得出言\.晶=EE品=0,DE+BE=0,而6\=&+/+盤，

OC=OD+DE+EC,且&-6b=而，代入(A+&).(&-6B)進(jìn)行向量加法

和數(shù)量積的運(yùn)算便可求出答案.

解：：AC是BD的垂直平分線；

???EA.DB=EC.DB=0,DE+BE=0；

/.(OA+OC).(OB-OD)

=(OB+BE+EA+OD+DE+EC).E)B

=(OB+OD).(OB-OD)+(EA+EC).DB

—>T

=OB2-OD2

=25-9

=16.

故答案為16.

16.【答案】—。

16

【解析】

此題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模，向量的夾角與數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.

由題意，先計(jì)算而一b|=5,再由而一b|二-1)2=

Ja2—20verrightarrowa-b+b2i+算可得.

解：因?yàn)橹涣?（一4,3）,所以日一&=5,

因?yàn)?J（a—b^2=Ja2—20verrightarrowa-h4-62,

又|a|=2,\b\=4,

所以25=44-16-16cos0,所以cos0=——.

故答案為-橙.

16

17.【答案】-i;

【解析】

此題主要考查向量的夾角、向量的模、數(shù)量積的求法，難度不大.

先求出向量］的模，再將式子日-=2百左右兩邊平方，從而得到之工，再利用［與］

-?T

的夾角的余弦值公式”便可求得最后結(jié)果.

同網(wǎng)

解：??,b=(1,遙)，???b=2.

若|a-b\=2V3,

TT|T|2T2T

則|Q-8|2=Q+b-20verrightarrowa.b

T

=4+4—20verrightarrowa.b=12

T—

???a.b=—2,

_>T—

則；與b的夾角的余弦值為"=三=T

|a||d|2x22

故答案為一右

18.【答案】解：(1)版在扇上的投影向量為李?|而IcosNBAC

\AC\

=2x—,—AC——AC>.?.a=—?

2333

TTT2T12T1TT11

(2)DE=DB+BE=-AB+-BC=-AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

3333、733

|DEI2=DE2=^AB+AC)2=*4+2耘.扇+9)

=/13+2x2x3X}=學(xué)

???I法|=手.；

【解析】

(1)根據(jù)投影向量的計(jì)算公式求解；

(2)先結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則用易,￡;表示出而，然后平方后求模即可.

此題主要考查平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)正確，\a—b\=0的充要條件是Q—6=0,從而a=b

(2)錯(cuò)誤，平行單位向量方向可能相反

【解析】略

20.【答案】解:若a與b同向共線，則Qb=\a\-\b\-cos0°=1x2x1=2；

若熱與b反向共線，則展-b=\a\?\b\?cosl80°=1x2x(-1)=-2.

故日)為2或一2.；

【解析】此題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，分清楚兩個(gè)向量共線分為“同向共線”和“反向共線”兩種

情形，即可得解.

21.【答案】解：???3=(1,2),|"|=2通且K與［反向，

***C—入Q,入V0,

???|c|=|Xa|,

2V5=|V5X|,

解得大=—2,

:.c=-2(1,2)=(-2,-4),

—>—>

c—a=(-3,—6),

???丘=代3)2+(-6)2=3V5.

(2)va+2b與2a—3b垂直，

???(Q+2b)-(2a-3b)=2a2—6b24-a-b=0,

TT

Aah=6x3—2x5=8,

TT->TT—>—>

a■(b+c)=a-b+a-c

=8+(1,2)x(—2,-4)——2.;

【解析】該題考查了向量的模、向量的數(shù)量積和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題.

(1)先求出向量"的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量模即可求出，

(2)根據(jù)向量的垂直求出；b=8,再根據(jù)向量的數(shù)量積即可求出.

22.【答案】

解：⑴???6=工BC=b,

T2TT1——

則4E=Q+gb,DC=-a4-h,

TTt?TTT1—T

AP=XAE=A(a+-6),DP=RDC=jU(-a+b),

AP=AD+DP=-AB+DP,

3

2T1T—>O

BP-a+^(-a+b)=A(a+-b),

A=-4--jU4

.??(323,解得a=3,〃=J

u=-X

產(chǎn)3

TT—t6T2TI—4T

(2)BP=BA4~AP=—CL+—(Q+§匕)=—+7"

⑶設(shè)^ABC底邊4B上的高為力四，△P/B底邊AB上的高為九「

,ea=|P0|：|CD|=〃=],S&PAB—吃S&ABC~8，

hAB77

設(shè)^ABC^WLPBC底邊BC上的高分另|J為/IBG/12，

獸=I函:&I=1—4年,SAPBC=24BC=2.

Me77

?'?S^PAC=4.;

【解析】

本題考查向量數(shù)乘的運(yùn)算和兒何意義，把三角形的面積之比轉(zhuǎn)化為向量的長(zhǎng)度比.

⑴根據(jù)6用基底最1表示出前，再根據(jù)G=筋+而=:筋+茄，用基

底左：表示出G,這兩種表示方式是相同的，由此求出;I及〃；

(2)把麗用晶+G來(lái)表示，把(1)中的結(jié)果代入可得；

⑶根據(jù)面積之比等于對(duì)應(yīng)的向量的長(zhǎng)度比求出APAB和APBC的面積，用A4BC的面

積減去△P48和4PBC的面積即得△P4C的面積.

vAB=DC,

AB//DCSL\AB\=\DC\

二四邊形ABCD為平行四邊形.

【解析】此題主要考查向量的數(shù)量積以及四邊形的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

利用已知條件判斷四邊形的形狀即可.

24.【答案】AD;

【解析】

考查平面向量有關(guān)概念等知識(shí).

解：4選項(xiàng)，①當(dāng)向量；與力不共線時(shí)，

在平面內(nèi)任取一點(diǎn)4作n=a,BC=b,則晶=a+b,如圖所示,

根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可得向+&<向+\b\,

②當(dāng)向量或與b方向相同時(shí):\a+b\=|a|+|6|,

當(dāng)向量■與b方向相反時(shí)，值+b|=|向一|b||<向+聞,

綜上可知而+|4而+值|,故4選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng),①若向<|b|,則向一|b|<0,又向一b|>0,所以向一|b|<而-b|,

②若面>說(shuō),當(dāng)向量之與，不共線時(shí),

根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可得向-山<0-1］,

當(dāng)向量之與b方向相同時(shí)，由一|0=自一匕|,

當(dāng)向量：與b方向相反時(shí),|a|-|b|<|a|+|6|=|a-h|,

綜上可知而一|b|4后-b|,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)，向量不能比較大小，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。選項(xiàng)，\a-b\=|a||b||cos<a,b>|<|a||b|,故。選項(xiàng)正確；

25.【答案】BC;

【解析】【分析】

本題主要考查平面向量的概念和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)平面向量的共線定理，平行向量與單位向量，平面向量的數(shù)量積，相等向量的概

念分別判斷即可.

【解答】

解：4中，當(dāng)會(huì)為零向量時(shí)結(jié)論不成立，所以4錯(cuò)；

當(dāng)；為零向量時(shí)結(jié)論成立，當(dāng)［不為零向量時(shí)，且表示與向量［同向的單位向量，結(jié)論