2023-2024學(xué)年山西省臨汾市部分學(xué)校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年山西省臨汾市部分學(xué)校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)復(fù)數(shù)z=?1+3i，則i(z?A.?23 B.?23i 2.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b=4c，B=π3，則sinC=(

)A.38 B.34 C.3.某公司共有940名員工，其中女員工有400人.為了解他們的視力狀況，用分層隨機抽樣(按男員工、女員工進行分層)的方法從中抽取一個容量為47的樣本，則男員工的樣本量為(

)A.21 B.24 C.27 D.304.若某圓臺的上底面半徑、下底面半徑分別為1，2，高為5，將該圓臺的下底面半徑擴大為原來的2倍，上底面半徑與高保持不變，則新圓臺的體積比原圓臺的體積增加了(

)A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍5.若非零向量a，b滿足|a+b|=|a?2A.|a|的最大值為14 B.|a|的最大值為1 C.|a|6.如圖，在四棱錐O?ABCD中，側(cè)棱長均為2，正方形ABCD的邊長為3?1，E，F(xiàn)分別是線段OB，OC上的一點，則AE+EF+FD的最小值為(

)A.2

B.4

C.22

7.從正四面體的6條棱中隨機選擇2條，則這2條棱所在直線互相垂直的概率為(

)A.110 B.18 C.168.蘇州雙塔又稱羅漢院雙塔，位于江蘇省蘇州市鳳凰街定慧寺巷的雙塔院內(nèi)，二塔“外貌”幾乎完全一樣(高度相等，二塔根據(jù)位置稱為東塔和西塔).某測繪小組為了測量蘇州雙塔的實際高度，選取了與塔底A，B(A為東塔塔底，B為西塔塔底)在同一水平面內(nèi)的測量基點C，并測得AB=22米.在點C測得東塔頂?shù)难鼋菫?5°，在點C測得西塔頂?shù)难鼋菫棣?tanα=1.5)，且cos∠ACB=0.75，則蘇州雙塔的高度為(

)A.30米 B.33米 C.36米 D.44米二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在正△ABC中，D為BC的中點，則(

)A.?BA,AD?=π6 B.AB?AC=210.若z=i3+iA.|z|=2 B.z6的虛部為8

C.11+z611.在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1A.正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的側(cè)面積為24

B.A1B與平面BDD1B1所成角的正切值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若一組數(shù)據(jù)3，4，6，m，8，3，7，9的第40百分位數(shù)為6，則正整數(shù)m的最小值為______．13.已知向量a=(t,?1)，b=(t,16t)，t≠0，且a與b的夾角為銳角，則t的取值范圍是______(用區(qū)間表示)．14.在底面為正方形的四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB=5，PD=4，PE=λPD，PB/?/平面EAC，則λ=______，四面體ACDE的外接球的表面積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知某校初二年級有1200名學(xué)生，在一次數(shù)學(xué)測試中，該年級所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?nèi)吭赱45,95]內(nèi).現(xiàn)從該校初二年級的學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，按[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值；

(2)估計該校初二年級學(xué)生這次數(shù)學(xué)測試的平均分(各組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)的中點值作代表)；

(3)記這次測試數(shù)學(xué)成績不低于85分為“優(yōu)秀”，估計該校初二年級這次測試數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)．16.(本小題15分)

如圖，在各棱長均為2的正三棱柱ABC?A1B1C1中，D，E，G分別為A1B1，B1C1，BB1的中點，AF=3F17.(本小題15分)

甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中，則此人繼續(xù)投籃，若未命中，則換對方投籃.已知甲每次投籃的命中率均為0.7，乙每次投籃的命中率均為0.5，甲、乙每次投籃的結(jié)果相互獨立．

(1)若第1次投籃的人是甲，求第3次投籃的人是甲的概率；

(2)若第1次投籃的人是乙，求前5次投籃中乙投籃次數(shù)不少于4的概率．18.(本小題17分)

在銳角△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且c=2．

(1)若C=π3，求△ABC周長的最大值．

(2)設(shè)acosB=bcosA+63，sin(A?B)=1010．

(ⅰ)求△ABC19.(本小題17分)

如圖，在正四棱錐P?ABCD中，PA=32．

(1)證明：平面PAC⊥平面PBD．

(2)若以P為球心，半徑為17的球與直線BC只有1個公共點，求二面角P?BC?A的正切值．

(3)已知當x=6時，f(x)=x3

參考答案1.A

2.A

3.C

4.B

5.C

6.A

7.D

8.B

9.BCD

10.BC

11.ABD

12.6

13.(?∞,?11614.12

54π15.解：(1)由頻率分布直方圖可得(0.010+2a+0.025+0.035)×10=1，解得a=0.015．

(2)由題意，估計平均分為50×0.1+60×0.15+70×0.25+80×0.35+90×0.15=73分．

(3)由頻率分布直方圖可知這次測試數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的頻率為0.015×10=0.15，

則該校初二年級這次測試數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的頻率為0.15，

故估計該校初二年級這次測試數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)為1200×0.15=180．

16.(1)解：在正三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，

則BG⊥AB，BG⊥BC.依題意得BG=1，AB=BC=2，

則AG=CG=5，

所以△ACG的面積S=12×2×5?1=2．

設(shè)點B到平面ACG的距離為?，則由VB?AGG=VG?ABC，

得13?×2=13×34×22×1，解得?=32；

(2)證明：因為D，E分別為A1B1，B1C1的中點，

所以DE/?/A1C1，又AC/?/A1C1，所以DE/?/AC．

因為AC?平面ACG，DE?平面ACG，所以DE/?/平面ACG．

取A17.解：(1)若第1次投籃的人是甲，且第3次投籃的人是甲，

則甲第1次和第2次投籃都命中或第1次未命中、第2次乙也未命中，

故所求概率為0.72+(1?0.7)×(1?0.5)=0.64；

(2)前5次投籃中乙投籃次數(shù)為5的概率p1=0.54=0.0625，

若前5次投籃中乙投籃次數(shù)為4，則乙前3次投籃均命中且第4次投籃未命中或前3次乙有1次投籃未命中且甲投籃未命中，

所以前5次投籃中乙投籃次數(shù)為4的概率18.解：(1)因為c=2，C=π3，由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC=232=433，

所以a=433sinA，b=433sinB，

所以a+b=433(sinA+sinB)=433[sinA+sin(A+π3)]=433(sinA+12sinA+32cosA)=4sin(A+π6)，

△ABC為銳角三角形，所以0<A<π20<B=2π3?A<π2，

可得π6<A<π2，

所以π3<A+π6<2π3，

所以sin(A+π6)∈(32,1]，

所以a+b∈(23,4]，

所以△ABC的周長(2+23,6]，

即△ABC的周長的最大值為6；

(2)(i)因為acosB=bcosA+19.解：(1)證明：設(shè)AC與BD交于點O，連接PO，則PO⊥底面ABCD，

因為AC?平面ABCD，所以PO⊥AC，

在正四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，所以BD⊥AC，

因為PO∩BD=O，所以AC⊥平面PBD，

又AC?平面PAC，

所以平面PAC⊥平面PBD；

(2)因為以P為球心，半徑為17的球與直線BC只有1個公共點，

所以點P到直線BC的距離為17，

取BC的中點E，連接