2023-2024學(xué)年安徽省淮南一中等校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年安徽省淮南一中等校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=i2?2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(1,?2)，b=(2,?3)，c=(2,x)，若xa?c與A.?3 B.?2 C.?1 D.03.2024年全國(guó)夏季游泳錦標(biāo)賽將在合肥舉辦，某高中共有男學(xué)生1300人，女學(xué)生1100人，男教師150人，女教師100人申請(qǐng)做志愿者，現(xiàn)按人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取部分人，若抽取的人中男性有290人，則抽取的總?cè)藬?shù)為(

)A.480 B.500 C.520 D.5304.已知在梯形ABCD中，AB/?/CD，DC=2BA，AC∩BD=O，若AO=xAB+yADA.x=23，y=13 B.x=12，y=12 C.5.從?2，?1，1，3這4個(gè)數(shù)中隨機(jī)取出2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)的乘積不超過(guò)1的概率為(

)A.34 B.23 C.126.在如圖所示的電路中，三個(gè)開(kāi)關(guān)A，B，C閉合與否相互獨(dú)立，且在某一時(shí)刻A，B，C閉合的概率分別為12，13，14，則此時(shí)燈亮的概率為A.34

B.58

C.12

7.已知正四棱錐V?ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，體積為423，E為棱VC的中點(diǎn)，則直線VA與BE所成角的余弦值為A.33 B.24 C.8.在水平桌面上放置一個(gè)上、下底面直徑分別為2，4，高為2的敞口圓臺(tái)形容器，現(xiàn)往其內(nèi)部注水至水面高度為1，然后將上底面加蓋，使容器完全密封，再把此容器倒扣在水平桌面上，記此時(shí)的水面高度為?，則(

)A.?3+3?2+3?=374 B.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.某學(xué)校舉辦了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有200名參賽者，對(duì)所有參賽者的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，所有成績(jī)都在[50,100)內(nèi)，得到如圖所示的頻率分布直方圖(每組均為左閉右開(kāi)區(qū)間)，則(

)A.a=0.04 B.所有參賽者成績(jī)的極差小于50

C.估計(jì)所有參賽者成績(jī)的中位數(shù)為70.5 D.成績(jī)?cè)趨^(qū)間[60,70)內(nèi)的人數(shù)為6410.設(shè)z1，z2∈C，則下列結(jié)論中正確的是A.若z1z2=0，則z12+z22=0 B.若z1?=11.在三棱錐S?PQR中，若A，B，C分別為棱SR，SP，SQ的中點(diǎn)，平面PQA、平面QRB、平面RPC相交于O點(diǎn)，則(

)A.△ABC的面積△RPQ的面積=14 B.三棱錐三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若向量a=(?1,2)，b=(3,4)，則a在b上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____．13.已知一個(gè)高為3的圓錐的底面圓周和頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為2的球的球面上，設(shè)圓錐和球的體積分別為V1，V2，則V1V14.已知在△ABC中，∠B=135°，∠C=15°，AC=2，E為線段BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠EAC的平分線所在的直線與直線BC交于點(diǎn)D，則AD=______．

參考數(shù)據(jù)：sin15°=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△AOB中，設(shè)向量a=OA，b=OB，且|a|=2|b|=2，∠AOB=2π3．

(Ⅰ)求a?(a16.(本小題15分)

某校高一(1)班、(2)班的學(xué)生人數(shù)分別為40，42，在某次測(cè)驗(yàn)中，記(1)班所有學(xué)生的成績(jī)分別為x1，x2，…，x40，平均成績(jī)?yōu)閤?，方差為sx2，已知i=140xi=3200，i=140xi2=260000．

(Ⅰ)求x?，sx2；

(Ⅱ)記(2)17.(本小題15分)

某公司擬通過(guò)摸球抽獎(jiǎng)的方式對(duì)員工發(fā)放生日紅包.先在一個(gè)不透明的袋子中裝入7個(gè)標(biāo)有一定金額的球(除標(biāo)注的金額不同外，其余均相同)，其中標(biāo)注的金額為100元、200元、300元的球分別有2個(gè)、2個(gè)、3個(gè).參與的員工每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，記錄球上標(biāo)注的金額后放回袋中，連續(xù)摸n次.規(guī)定：某員工摸出的球上所標(biāo)注的金額之和為其所獲得的生日紅包的總金額．

(Ⅰ)當(dāng)n=1時(shí)，求甲員工所獲得的生日紅包總金額不低于200元的概率；

(Ⅱ)當(dāng)n=2時(shí)，設(shè)事件A=“甲員工獲得的生日紅包總金額不超過(guò)400元”，事件B=“甲員工獲得的生日紅包總金額不低于300元”，試判斷事件A，B是否相互獨(dú)立，并說(shuō)明理由．18.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinB+sinC=sin(A?B)．

(Ⅰ)求A．

(Ⅱ)如圖，D為△ABC的外接圓O的BMC上一動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，c=2b=2．

(ⅰ)求AD的取值范圍；

(ⅱ)當(dāng)AD=AB且點(diǎn)B，D不重合時(shí)，求BD19.(本小題17分)

如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，點(diǎn)E在線段AC上，且E為△BCD的重心，點(diǎn)F在棱AA1上，且A1F=13FA，點(diǎn)G在棱DD1上，且DG=13GD1．

(

答案解析1.C

【解析】解：z=i2?2i=?1?2i，

故z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(?1,?2)，該點(diǎn)位于第三象限．

故選：2.B

【解析】解：根據(jù)題意，向量a=(1,?2)，b=(2,?3)，c=(2,x)，

則xa?c=(x?2,?3x)，

因?yàn)閤a?c與b3.D

【解析】解：因?yàn)?300：1100：150：100=26：22：3：2，

所以抽取的總?cè)藬?shù)為290×26+22+3+226+3=530．

故選：4.A

【解析】解：由題可得：AOCO=ABDC=12，

所以AO=13AC=5.B

【解析】解：從?2，?1，1，3這4個(gè)數(shù)中隨機(jī)取出2個(gè)不同的數(shù)，共有6種不同的情況，

滿足乘積不超過(guò)1的為(?2,1)，(?2,3)，(?1,1)，(?1,3)，共有4種不同的情況，

故所求的概率為46=23．

6.D

【解析】解：因?yàn)槿齻€(gè)開(kāi)關(guān)A，B，C閉合與否相互獨(dú)立，且在某一時(shí)刻A，B，C閉合的概率分別為12，13，14，

則燈亮的概率為1?(1?14)×(1?7.A

【解析】解：設(shè)正四棱錐V?ABCD的高為?，

則13×22×?=423，?=2，

又因?yàn)檎睦忮FV?ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，即AB=2，

所以AC=22，

所以VA=2，

設(shè)正四棱錐V?ABCD的底面中心為O，連接OB，OE，則OE//VA，

所以直線VA與BE所成的角為∠OEB，

由題可得OE=1，OB=2，EB=8.C

【解析】解：將圓臺(tái)補(bǔ)成一個(gè)圓錐，則大圓錐的高為4，小圓錐的高為2，

因?yàn)槿萜髡艜r(shí)水面高度為1，

所以容器正放時(shí)水面所在圓面的半徑為1+22=32，

所以注入水的體積為π3×[(32)2+22+32×2]×1=37π12，

當(dāng)把此容器倒扣在水平桌面上時(shí)，設(shè)水面所在圓面的半徑為r，

則1r=29.BCD

【解析】解，對(duì)于A，由題可得a=1?0.16?0.32?0.40?0.0810=0.004，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，由題圖可知，所有參賽者成績(jī)的極差小于100?50=50，故B正確；

對(duì)于C，設(shè)中位數(shù)為x，則0.16+0.32+(x?70)×0.04=0.5，解得x=70.5，故C正確；

對(duì)于D，成績(jī)?cè)趨^(qū)間[60,70)內(nèi)的人數(shù)為200×0.32=64，故D正確．

故選：10.BC

【解析】解：對(duì)于A，若z1=0，z2=i，則z1z2=0?i=0，z12+z22=02+i2=?1≠0，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，設(shè)z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，

因?yàn)閦1?=z2，所以a?bi=c+di，所以a=c，b=?d，a+bi=c?di，故z1=z2?，故B正確；

對(duì)于C，若z12=z211.ACD

【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)題意可知△ABC∽△RPQ，且相似比為12，

∴△ABC的面積△RPQ的面積=(12)2=14，∴A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，∵△BPQ為△SPQ的面積的12，△BPR為△SPR的面積的12，

又△BQR與△SQR的面積關(guān)系未知，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，∵三棱錐S?ABC的體積三棱錐S?PQR的體積=(SASR)3=18，∴C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，如圖，設(shè)PA，RB交于點(diǎn)D，QA，RC交于點(diǎn)E，連接QD，PE，

則QD，PE的交點(diǎn)為O，延長(zhǎng)AO交PQ于點(diǎn)F，連接DE交AO于點(diǎn)H，

易知D，E分別為△SPR，△SQR的重心，

∴ADPD=AEQE=12，∴DE//PQ，

∴OHOF=12.(3【解析】解：設(shè)a，b的夾角為θ，則a在b上的投影向量的坐標(biāo)為|a|cosθ?b|b|13.932【解析】解：由題可知：球心O在圓錐的高上，

所以圓錐的底面半徑為22?12=3，

14.3?【解析】解：因?yàn)椤螦BC=135°，∠C=15°，

所以∠BAC=30°，

所以∠EAC=180°?∠BAC=150°，

因?yàn)椤螮AC的平分線所在的直線與直線BC交于點(diǎn)D，

所以∠ADC=∠ABC?12∠EAC=135°?12×150°=60°，

在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=ADsin∠C，

所以15.解：(Ⅰ)由已知得|a|=2，|b|=1，∠AOB=2π3，

所以a?b=|a|?|b|cos∠AOB=2×1×(?12)=?1，【解析】(Ⅰ)根據(jù)向量數(shù)量積的定義求解；

(Ⅱ)根據(jù)向量加法運(yùn)算法則及數(shù)量積的運(yùn)算即可求解．

16.解：(Ⅰ)由題意可知，x?=320040=80，

所以sx2=140i=140xi2?x?2=140×260000?802=100；

(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)利用平均數(shù)和方差的定義求解；

(Ⅱ)利用平均數(shù)和方差的定義求解．

17.解：(Ⅰ)根據(jù)題意，n=1即只摸1次球，袋子中裝入7個(gè)標(biāo)有一定金額的球(除標(biāo)注的金額不同外，其余均相同)，其中標(biāo)注的金額為100元、200元、300元的球分別有2個(gè)、2個(gè)、3個(gè)．

生日紅包總金額不低于200元，即為200元或300元，

從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，對(duì)應(yīng)的生日紅包金額為200元的概率為27，為300元的概率為37，

故甲員工所獲得的生日紅包總金額不低于200元的概率為27+37=57；

(Ⅱ)當(dāng)n=2時(shí)，AB=“甲員工獲得的生日紅包總金額為300元或400元”，

因?yàn)?00=100+200=200+100，400=200+200=100+300=300+100，

所以P(AB)=27×27×2+(27)2+27×37×2=2449．

事件A=“甲員工獲得的生日紅包總金額為200元、300元或400【解析】(Ⅰ)根據(jù)題意，生日紅包總金額不低于200元，即為200元或300元，由互斥事件概率的加法公式計(jì)算可得答案；

(Ⅱ)根據(jù)題意，求出P(AB)、P(A)和P(B)，由相互獨(dú)立事件的定義分析可得答案．

18.解：(Ⅰ)因?yàn)閟inB+sinC=sin(A?B)，所以sinB+sin(A+B)=sin(A?B)，

所以sinB+2cosAsinB=0，因?yàn)閟inB≠0，所以cosA=?12，

因?yàn)锳∈(0,π)，所以A=2π3；

(Ⅱ)(ⅰ)在△ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2?2bccosA，即a2=4+1+2=7，所以a=7，

所以圓O的直徑為asin∠BAC=7sin2π3=2213，

又AD≥AB，AD≥AC【解析】(I)利用三角變換即可求解；

(II)(i)先求a，利用正弦定理求2R，再結(jié)合AD≥1，即可求解；

(ii)先用正弦定理求sin∠ACB，根據(jù)∠ACB=∠ADB，可以求出cos∠ADB，再利用BD=2ADcos∠ADB19.解：(Ⅰ)證明：如圖，設(shè)BD∩AC=O，連接FO，

∵底面ABCD為菱形，E為△BCD的重心，

∴EO=13OA.又A1F=13FA，∴A1FFA=EOOA，

∴A1E//FO，又A1E?平面BDF，F(xiàn)O?平