初中的函數(shù)知識

正比例函數(shù)和一次函數(shù)

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

一般地，如果y=+（k,b是常數(shù)，kWo）,那么y叫做x的一次函數(shù)。

特別地，當一次函數(shù)y=h+力中的b為o時，y=kx（k為常數(shù)，kWo）。這時，y叫做x的正比例函數(shù)。

2、一次函數(shù)的圖像

k的符號b的符號函數(shù)圖像圖像特征

b>0一圖像經(jīng)過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。

k>0

b<0圖像經(jīng)過一、三、四象限，y隨x的增大而增大。

b>0圖像經(jīng)過一、二、四象限，y隨x的增大而減小

K<0

b<0圖像經(jīng)過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。

注：當b=0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。

所有?次函數(shù)的圖像都是?條直線

3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：

一次函數(shù)y=H+6的圖像是經(jīng)過點(0,b)的直線：正比例函數(shù)y二履的圖像是經(jīng)過原點(0,0)的直線。

4、正比例函數(shù)的性質(zhì)

一般地，正比例函數(shù)y=kx行下列性質(zhì):

(I)當k>0時，圖像經(jīng)過第?、三象限，y隨X的增大而增大;

(2)當k<0時，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨X的增大而減小。

5、?次函數(shù)的性質(zhì)

?般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì):

(1)當k>0時，y隨x的增大而增大

(2)當k<0時,y隨X的增大而減小

反比例函數(shù)

1、反比例函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=公a是常數(shù)，kWo)叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成y二履一的形式。自變量x的取值范圍是

X

XW0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)。

2、反比例函數(shù)的圖像

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)于原點對稱。由于反比例函數(shù)中

自變量xWO,函數(shù)yWO,所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。

3、反比例函數(shù)的性質(zhì)

反比例函數(shù)y=一(火。0)

k的符號

圖像

①x的取值范圍是xWO,①x的取值范圍是xW0,

y的取值范圍是yWO；y的取值范圍是yWO；

性質(zhì)②當k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別②當k<0時，，函數(shù)圖像的兩個分支分別

在第?、三象限.在每個象限內(nèi)，y在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，y

隨x的增大而減小。隨x的增大而增大。

.?次函數(shù)的概念和圖像

1、二次函數(shù)的概念

一般地，如果特y+。工+。（〃，。"是常數(shù)，。工0）,特別注意a不為零

那么y叫做x的二次函數(shù)。

y=ax2+0x+c（Q,h,c是常數(shù)，aw0）叫做二次函數(shù)的一般式。

2、二次函數(shù)的圖像

b

二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于x=-----對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。

2a

拋物線的主要特征：

①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。

二次函數(shù)的解析式

⑴一般式：y=ax?+bx+c（〃/，。是常數(shù)，。W0）

（2）當拋物線y=ax2+bx+c9x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程QX2+〃x+c=0有實根用和不？存在時，根據(jù)二次三項

式的分解因式axe+hx+c=〃0—2）（工一12），二次函數(shù)y=+〃x+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2）.

如果沒有交點，則不能這樣表示。

a的絕對值越大，拋物線的開口越小。

（3）頂點式：y=a（x—/z）2+—〃,〃,女是常數(shù)，QWO）

二次函數(shù)的最值

b4ac-b2

如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-----時，y品楂=-----------o

2a4。

bb

如果自變量的取值范圍是X]<X<X,,那么，首先要看-----是否在自變量取值范圍<X<12內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當x=------

2a-2a

4-cic—b~

時，y最值=-.-----：若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在元14次2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨X的增大而增大，則

當X=%2時，y最大=辦；+笈2+C，當X=歷時，y最小=以：+人項+C;如果在此范圍內(nèi),y隨X的增大而減小，則當X=X{

時'y最大=ax[+0再+,’當x=x2時’y最小=ax2+bx2+c°

二次函數(shù)的性質(zhì)

1、二次函數(shù)的性質(zhì)

二次函數(shù)

函數(shù)

y=ax2+bx+c（。,"c是常數(shù)，ow0）

a>0a<0

圖像

（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（1）拋物線開口向下，并向下無限延仰;

bb4ac-b2bb4ac-

（2）對稱軸是x=------，頂點坐標是（------->------------）：（2）對稱軸是x=-----,頂點坐標是（-------，-----------）：

2a2a4。2a2a4a

bb

（3）在對稱軸的左側(cè)，即當x<------時，y隨x的增大而減?。唬?）在對稱軸的左側(cè)，即當xv------時，y隨x的增大而增大;

2a2a

bb

性質(zhì)在對稱軸的右側(cè)，即當x>------時，y隨X的增大而增大，簡在對稱軸的右側(cè)，即當x>------時，y隨x的增大而減小，

2a2a

記左減右增；簡記左增右減；

bb

（4）拋物線有最低點，當x=------時，y有最小值，（4）拋物線有最高點，當x=------時，y有最大值，

2a