高三數(shù)學總復習之必修一教學案9.4隨機事件的概率及古典概型

§9.4隨機事件的概率及古典概型一、知識導學1.必然事件：在一定的條件下必然要發(fā)生的事件.不可能事件：在一定的條件下不可能發(fā)生的事件.隨機事件：在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.2.概率：實際生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件和隨機事件.隨機事件在現(xiàn)實世界中是廣泛存在的.在一次試驗中，事件A是否發(fā)生雖然帶有偶然性，但在大量重復試驗下，它的發(fā)生呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，即事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這個常數(shù)就叫做事件A的概率.記著P（A）.0≤P（A）≤13．若在一次試驗中，每個基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件．4．具有以下兩個特點：（１）所有的基本事件只有有限個；（２）每個基本事件的發(fā)生都是等可能的．我們將滿足上述條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型5．等可能事件的概率：如果一次試驗中共有ｎ種等可能出現(xiàn)的結果，其中事件A包含的結果有ｍ種，那么事件A的概率P（A）＝．二、疑難知識導析1．必然事件、不可能事件、隨機事件的區(qū)別與聯(lián)系：必然事件是指在一定條件下必然發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定的條件下不可能發(fā)生的事件；隨機事件是指在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.要辨析清事件的條件和結果，理解事件的結果是相應于“一定條件”而言的，必須明確什么是事件發(fā)生的條件，什么是在此條件下產生的結果.上述三種事件都是在一定條件下的結果.2．頻率與概率：隨機事件A的頻率指此事件發(fā)生的次數(shù)ｍ與試驗總次數(shù)ｎ的比值，它是隨著試驗次數(shù)的改變而變化的，它具有一定的穩(wěn)定性，即總在某個常數(shù)ｐ附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小，于是，我們給這個常數(shù)取個名字，叫隨機事件的概率.因此，概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大??；而頻率在大量重復試驗的前提下，可近似地作為這個事件的概率.即概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值.3．必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，隨機事件的概率：0＜P（A）＜1，這里要辯證地理解它們的概率：必然事件和不可能事件可以看作隨機事件的兩個極端，它們雖是兩類不同的事件，但在一定的情況下又可以統(tǒng)一起來，即任意事件A的概率滿足：0≤P（A）≤14．等可能事件的理解：一次試驗中所有可能的ｎ個基本結果出現(xiàn)的可能性都相等，這ｎ個結果對應著ｎ個基本事件.對等可能事件的理解，其實質在于對等可能性的理解.“等可能性”指的是結果，而不是事件.例如拋擲兩枚均勻的硬幣，可能出現(xiàn)“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”“一反一正”這四種結果，每一種結果的可能性相等，都是0.25；而出現(xiàn)“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”這三種結果就不是等可能的.5．注意用集合的觀點來看概率，運用圖式法來弄清各事件之間的關系.對古典概率來說，一次試驗中等可能出現(xiàn)的幾個結果組成一個集合I，其中各基本事件均為集合I的含有一個元素的子集，包括ｍ個基本事件的子集A，從而從集合的角度來看：事件A的概率是子集A的元素的個數(shù)與集合I的元素個數(shù)的比值，即P（A）＝.因此，可以借助集合的表示法來研究事件，運用圖示法弄清各事件的關系，從而做到較深刻的理解.三、經典例題導講[例1]某人有5把鑰匙，但忘記了開房門的是哪一把，于是，他逐把不重復地試開，問恰好第三次打開房門鎖的概率是多少？錯解：有5把鑰匙，每次打開房門的概率都是，不能打開房門的概率是，因而恰好第三次打開房門的概率是××＝.錯因:上述解法忽略了條件“逐把不重復地試開”.正解：我們知道最多開5次門，且其中有且僅有一次可以打開房門，故每一次打開門的概率是相同的，都是.開三次門的所有可能性有種.第三次打開房門，則房門鑰匙放在第3號位置上，前兩次沒能打開門，則前2個位置是用另4把鑰匙安排的，故有種可能.從而恰好第三次打開房門鎖的概率是P（A）＝.[例2]某組有16名學生，其中男、女生各占一半，把全組學生分成人數(shù)相等的兩小組，求每小組里男、女生人數(shù)相同的概率.錯解：把全組學生分成人數(shù)相等的兩小組，有種分法，事件A為組里男、女生各半的情形，它有種，所以P（A）＝.錯因:這里沒注意到均勻分成兩組與分成A、B兩組的區(qū)別.正解：基本事件有，事件A為組里男、女生各半的情形，它有種，所以P（A）＝.[例3]把一枚硬幣向上連拋10次，則正、反兩面交替出現(xiàn)的概率是.錯解：拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正、反兩面的可能性都相等，因而正、反兩面交替出現(xiàn)的概率是.錯因：沒審清題意.事實上，把一枚硬幣向上連拋10次，出現(xiàn)正面5次的概率同樣也不等于.正解：連拋10次得正、反面的所有可能的情況共有種，而題設中的正、反兩面交替出現(xiàn)的情況只有2種，故所求的概率為.[例4]某科研合作項目成員由11個美國人、4個法國人和5個中國人組成，現(xiàn)從中隨機選出兩位作為成果發(fā)布人，則此兩人不屬于同一個國家的概率為（結果用分數(shù)表示）.解：設“從20名成員中隨機選出的2人來自不同國家”為事件A，則A所包含的基本事件數(shù)為，又基本事件數(shù)為.故P（A）＝.[例5]將4個編號的球放入3個編號的盒中，對于每一個盒來說，所放的球數(shù)ｋ滿足0≤ｋ≤4.在各種放法的可能性相等的條件下，求：（1）第一個盒沒有球的概率；（2）第一個盒恰有1個球的概率；（3）第一個盒恰有2個球的概率；（4）第一個盒有1個球，第二個盒恰有2個球的概率.解：4個不同的球放入3個不同的盒中的放法共有種.（1）第一個盒中沒有球的放法有種，所以第一個盒中沒有球的概率為：P1＝.（2）第一個盒中恰有1個球的放法有種，所以第一個盒中恰有1個球的概率為：P2＝.（3）第一個盒中恰有2個球的放法有種，所以第一個盒中恰有2個球的概率為：P3＝.（4）第一個盒中恰有1個球，第二個盒中恰有2個球的放法有種，所以所求的概率為：P4＝.[例6]一個口袋內有7個白球和3個黑球，分別求下列事件的的概率：（1）事件A：從中摸出一個放回后再摸一個，兩回摸出的球是一白一黑；（2）事件B：從袋中摸出一個黑球，放回后再摸出一個是白球；（3）事件C：從袋中摸出兩個球，一個黑球，一個白球；（4）事件D：從從袋中摸出兩個球，先摸出的是黑球，后摸出的是白球.解：（1）基本事件總數(shù)是10×10.事件A包括“先摸出黑球后摸出白球”及“先摸出白球后摸出黑球”，摸出白球及黑球分別有7種和3種可能.所以A發(fā)生共有2×7×3種可能.∴P（A）＝＝0.42.2）事件B與事件A不同，它確定了先摸黑球再摸白球的順序.P（B）＝＝0.21（3）事件C說明摸出兩個球不放回，且不考慮次序，因此基本事件總數(shù)是，事件C包含的基本事件個數(shù)是.P（C）＝≈0.47.（4）與事件A相比，D要考慮摸出兩球的先后次序.P（D）＝≈0.23評注：注意“放回抽樣”與“不放回抽樣”的區(qū)別.本例（1）（2）是放回抽樣，（3）（4）是不放回抽樣.四、典型習題導練1．對某電視機廠生產的電視機進行抽樣檢測的數(shù)據如下：抽取臺數(shù)501002003005001000優(yōu)等品數(shù)4092192285478954（1）計算表中優(yōu)等品的各個頻率；（2）該廠生產的電視機優(yōu)等品的概率是多少？2．先后拋擲三枚均勻的硬幣，至少出現(xiàn)一次正面的概率是（）A、B、C、D、3．停車場可把12輛車停放一排，當有8輛車已停放后，則所剩4個空位恰連在一起的概率為（）A、B、C、D、4．有5條線段，其長度分別為1、3、5、7、9，現(xiàn)從中任取3條線段，求3條線段構成三角形的概率.5．把10個運動隊平均分成兩組進行預賽，求最強的兩