2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題小練習(xí)專練55隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體

專練55隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體[基礎(chǔ)強(qiáng)化]一、選擇題1．某創(chuàng)業(yè)公司共有36名職工，為了了解該公司職工的年齡構(gòu)成情況，隨機(jī)采訪了9位代表，得到的數(shù)據(jù)分別為36，36，37，37，40，43，43，44，44，若用樣本估計(jì)總體，年齡在(eq\x\to(x)－s，eq\x\to(x)＋s)內(nèi)的人數(shù)占公司人數(shù)的百分比是(其中eq\x\to(x)是平均數(shù)，s為標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)果精確到1%)()A．14%B．25%C．56%D．67%答案：C解析：因?yàn)閑q\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(36＋36＋37＋37＋40＋43＋43＋44＋44,9)＝40，s2＝eq\f(1,9)(16＋16＋9＋9＋0＋9＋9＋16＋16)＝eq\f(100,9)，即s＝eq\f(10,3)，年齡在(eq\o(x,\s\up6(－))－s，eq\o(x,\s\up6(－))＋s)即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(110,3)，\f(130,3)))內(nèi)的人數(shù)為5，所以所求百分比為eq\f(5,9)≈0.56＝56%，故選C.2．某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是()A.56B．60C．120D．140答案：D解析：由頻率分布直方圖知，200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，則這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為200×0.7＝140.3．[2024·九省聯(lián)考]樣本數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位數(shù)為()A．14B．16C．18D．20答案：B解析：將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，則其中位數(shù)為16.故選B.4．[2024·新課標(biāo)Ⅱ卷]某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量(單位：kg)并整理得下表：畝產(chǎn)量[900，950)[950，1000)[1000，1050)[1050，1100)[1100，1150)[1150，1200)頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是()A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間答案：C解析：A選項(xiàng)，因?yàn)?＋12＋18＝36<50，36＋30＝66>50，所以100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg,A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?00塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田有66塊，所占比例為66%<80%，所以B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，100塊稻田畝產(chǎn)量的極差的最大值小于1200－900＝300，最小值大于1150－950＝200，所以極差介于200kg至300kg之間，C正確；D選項(xiàng)，同一組中的數(shù)據(jù)都用左端點(diǎn)值來估計(jì)，則這100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值的最小值為eq\f(1,100)×(6×900＋12×950＋18×1000＋30×1050＋24×1100＋10×1150)＝1042>1000，所以平均值不介于900kg至1000kg之間，D錯(cuò)誤．故選C.5．某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是()A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半答案：A解析：設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為a，則建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2a，由題圖可得下表：種植收入第三產(chǎn)業(yè)收入其他收入養(yǎng)殖收入建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入0.6a0.06a0.04a0.3a建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入0.74a0.56a0.1a0.6a根據(jù)上表可知B、C、D均正確，A不正確，故選A.6．某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則()A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差答案：B解析：由統(tǒng)計(jì)圖可知，講座前這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率分別為65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%.對(duì)于A項(xiàng)，將這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，因此這10個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第5個(gè)與第6個(gè)數(shù)的平均數(shù)，為eq\f(70%＋75%,2)＝72.5%＞70%，A錯(cuò)誤．對(duì)于B項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可知，講座后這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率分別為90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%，100%，所以講座后這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率的平均數(shù)為eq\f(1,10)×(90%＋85%＋80%＋90%＋85%＋85%＋95%＋100%＋85%＋100%)＝89.5%＞85%，B正確．對(duì)于C項(xiàng)，講座后這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率的方差seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(后))＝eq\f(1,10)×[(90%－89.5%)2＋(85%－89.5%)2＋…＋(85%－89.5%)2＋(100%－89.5%)2]＝eq\f(42.25,10000)，所以標(biāo)準(zhǔn)差s后＝6.5%.講座前這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率的平均數(shù)為eq\f(1,10)×(60%＋60%＋65%＋65%＋70%＋75%＋80%＋85%＋90%＋95%)＝74.5%，所以講座前這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率的方差為seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(前))＝eq\f(1,10)×[(60%－74.5%)2＋(60%－74.5%)2＋…＋(90%－74.5%)2＋(95%－74.5%)2]＝eq\f(142.25,10000)，所以標(biāo)準(zhǔn)差s前≈11.93%.所以s前＞s后，C錯(cuò)誤．對(duì)于D項(xiàng)，講座前問卷答題的正確率的極差為95%－60%＝35%，講座后問卷答題的正確率的極差為100%－80%＝20%，D錯(cuò)誤．故選B.7．(多選)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c為非零常數(shù)，則()A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同答案：CD解析：A：E(y)＝E(x＋c)＝E(x)＋c且c≠0，故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤；B：若第一組中位數(shù)為xi，則第二組的中位數(shù)為yi＝xi＋c，顯然不相同，錯(cuò)誤；C：D(y)＝D(x)＋D(c)＝D(x)，故方差相同，正確．D：由極差的定義知：若第一組的極差為xmax－xmin，則第二組的極差為ymax－ymin＝(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，故極差相同，正確．故選CD.8．甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則()A．甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù)B．甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù)C．甲的成績(jī)的方差小于乙的成績(jī)的方差D．甲的成績(jī)的極差小于乙的成績(jī)的極差答案：C解析：甲的平均數(shù)是eq\f(4＋5＋6＋7＋8,5)＝6，中位數(shù)是6，極差是4，方差是eq\f(（－2）2＋（－1）2＋02＋12＋22,5)＝2；乙的平均數(shù)是eq\f(5＋5＋5＋6＋9,5)＝6，中位數(shù)是5，極差是4，方差是eq\f(（－1）2＋（－1）2＋（－1）2＋02＋32,5)＝eq\f(12,5)，比較可得選項(xiàng)C正確．9．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：廣告費(fèi)用x(萬元)23456銷售額y(萬元)1925343844根據(jù)上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3x＋eq\o(a,\s\up6(^))，下列說法正確的是()A．回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3x＋eq\o(a,\s\up6(^))必經(jīng)過樣本點(diǎn)(2，19)，(6，44)B．這組數(shù)據(jù)的樣本點(diǎn)中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))未必在回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3x＋eq\o(a,\s\up6(^))上C．回歸系數(shù)6.3的含義是廣告費(fèi)用每增加1萬元，銷售額實(shí)際增加6.3萬元D．據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為7萬元時(shí)銷售額約為50.9萬元答案：D解析：由表格中的數(shù)據(jù)可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(19＋25＋34＋38＋44,5)＝32，將點(diǎn)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))的坐標(biāo)代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程得6.3×4＋eq\o(a,\s\up6(^))＝32，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝6.8，所以回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3x＋6.8.對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)x＝2時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3×2＋6.8＝19.4，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，這組數(shù)據(jù)的樣本點(diǎn)中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))必在回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3x＋eq\o(a,\s\up6(^))上，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，回歸系數(shù)6.3的含義是廣告費(fèi)用每增加1萬元，銷售額約增加6.3萬元，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)x＝7時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3×7＋6.8＝50.9，所以據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為7萬元時(shí)銷售額約為50.9萬元，D選項(xiàng)正確．故選D.二、填空題10．已知一組數(shù)據(jù)4，2a，3－a，5，6的平均數(shù)為4，則a的值是________．答案：2解析：由平均數(shù)公式可得eq\f(4＋2a＋（3－a）＋5＋6,5)＝4，解得a＝2.11．某電子商務(wù)公司對(duì)10000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者2021年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3，0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)直方圖中的a＝________；(2)在這些購(gòu)物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為________．答案：(1)3(2)6000解析：(1)0.1×(0.2＋0.8＋1.5＋2.0＋2.5＋a)＝1，解得a＝3.(2)消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購(gòu)物者的頻率為0.1×(3.0＋2.0＋0.8＋0.2)＝0.6，所以所求購(gòu)物者的人數(shù)為0.6×10000＝6000.12．在一容量為5的樣本中，數(shù)據(jù)均為整數(shù)，已測(cè)出其平均數(shù)為10，但墨水污損了兩個(gè)數(shù)據(jù)，其中一個(gè)數(shù)據(jù)的十位數(shù)字1未被污損，即9，10，11，1■，■，那么這組數(shù)據(jù)的方差s2可能的最大值是________．答案：32.8解析：設(shè)這組數(shù)據(jù)的最后兩個(gè)數(shù)據(jù)為10＋x，y(x∈N，x≤9)∵9＋10＋11＋10＋x＋y＝10×5＝50，∴x＋y＝10，∴y＝10－x.∴s2＝eq\f(1,5)[1＋0＋1＋x2＋(y－10)2]＝eq\f(1,5)(2＋2x2).∵x≤9，∴當(dāng)x＝9時(shí)，s2取得最大值32.8.[能力提升]13．[2024·重慶南開中學(xué)月考]今年入夏以來，我市天氣反復(fù)，降雨頻繁．如圖統(tǒng)計(jì)了上個(gè)月前15天的氣溫，以及相對(duì)去年同期的氣溫差(今年氣溫－去年氣溫，單位：攝氏度)，以下判斷錯(cuò)誤的是()A．今年每天氣溫都比去年同期的氣溫高B．今年的氣溫的平均值比去年同期的氣溫的平均值低C．去年8～11號(hào)氣溫持續(xù)上升D．今年8號(hào)氣溫最低答案：A解析：由圖可知，1號(hào)溫差為負(fù)值，所以今年1號(hào)氣溫低于去年同期的氣溫，故選項(xiàng)A不正確；除6，7號(hào)，今年氣溫略高于去年同期的氣溫外，其他日子，今年氣溫都低于去年同期的氣溫，所以今年的氣溫的平均值比去年同期的氣溫的平均值低，選項(xiàng)B正確；今年8～11號(hào)氣溫上升，但是氣溫差逐漸下降，說明去年8～11號(hào)氣溫持續(xù)上升，選項(xiàng)C正確；由圖可知，今年8號(hào)氣溫最低，選項(xiàng)D正確．故選A.14．(多選)[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則()A．x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B．x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C．x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差答案：BD解析：取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，則x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于2，標(biāo)準(zhǔn)差為0，x1，x2，…，x6的平均數(shù)等于3，標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(\f(22,3))＝eq\f(\r(66),3)，故A，C均不正確；根據(jù)中位數(shù)的定義，將x1，x2，…，x6按從小到大的順序進(jìn)行排列，中位數(shù)是中間兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位數(shù)是將x2，x3，x4，x5按從小到大的順序排列后中間兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，與x1，x2，…，x6的中位數(shù)相等，故B正確；根據(jù)極差的定義，知x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差，故D正確．綜上，選BD.15．已知一組正數(shù)x1，x2，x3的方差s2＝eq\f(1,3)(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))－12)，則數(shù)據(jù)x1＋1，x2＋1，x3＋1的平均數(shù)為________．答案：3解析：∵s2＝eq\f(1,3)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x3－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1