人教版初二數(shù)學(xué)下冊(cè)全冊(cè)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)

八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)

一、知識(shí)點(diǎn)梳理：

1、二次根式的定義.

一般地，式子a(。>0)叫做二次根式，a叫做被開方數(shù)。兩個(gè)非負(fù)數(shù)：(1)a20；(2)a，0

2、二次根式的性質(zhì)：

(1).五(。20)是一個(gè)數(shù)；(2)(VG)*=(a'O)

[(GO)

(3)=|a|=<(a=0)

____(?<o)

3、二次根式的乘除：積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：4^b^4a-4b(a>0,b>0),二次根式乘法法

則：\Ja-4b=(a，0,b20)

商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：的=窯僅20,。>0).二次根式除法法則*=甘(a>0,b>0)

r1.被開方數(shù)不含;

4、最簡(jiǎn)二次根式2.分母中不含；

3.被開方數(shù)中不含能.

分母有理化：是指把分母中的化去，達(dá)到化去分母中的根號(hào)的目的.

二、典型例題：

例1：當(dāng)x是怎樣實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

(1)y/x-2⑵("+])-.(3)V3^7+VX^T(4)7X2+1(5)---+2

—x-1

代數(shù)式有意義應(yīng)考慮以下三個(gè)方面：(D二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)。(2)分式的分母不

為0.(3)零指數(shù)基、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的底數(shù)不能為0

例2：化簡(jiǎn)：

(1)-2)2+11-y1~2|

例3(1)已知y=-x+j2x-6+5,求土的值.(2)已知y2—4y+4+Jx+y—1=0,求xy的值.

y

小結(jié)：（1）常見的非負(fù)數(shù)有：。2州,被（2）幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0,則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.

例4：化簡(jiǎn):

(1)V32；(2)2^ab；(3)V048

例5：計(jì)算：

(1)-712x573(2)V35-J3-

2V2

例6：化去下列各式分母中的二次根式:

⑴W⑵出(4)欄(x〉o,y〉o)

⑶

三、強(qiáng)化訓(xùn)練：1、使式子Y三有意義的％的取值范圍是（

)

2+x

A、xWl；B、xWl且x*—2；C、x￥-2；D'>x<1且.x豐-2.

2、已知0<x〈l時(shí)，化簡(jiǎn)卜|-）（*-1）2的結(jié)果是（）

A2X-1B1-2XC-1D1

3、已知直角三角形的一條直角邊為9,斜邊長(zhǎng)為10,則別一條直角邊長(zhǎng)為（）

A、1；B、曬;C、19；D、V29.

4、國(guó)是整數(shù)，則正整數(shù)〃的最小值是（）

A、4；B^5；C、6；D、7.

5、下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

C、產(chǎn)D>y/45

A、116aB>>j3b

6、下列計(jì)算正確的是（）

A7（-4）x（-9）=x=-6BJ12x27=V?義而=18

CJ16+4=V16+V4=4+2=6

7、等式[三成立的條件是()

U-377^3

AxW3Bx20Cx20且xW3Dx>3

8、已知ylx-2y-3+\2x-3y-5|=0則g8y的值為

]

9、與百+V2的關(guān)系是

V3—V2

10、若<=4-8+J8—x+5,則孫=

11、當(dāng)a<0時(shí)，|-a|=

12、實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2尤2—4=o

13、在RtZSABC中，斜邊AB=5,直角邊BC=J^,則AABC的面積是

14、已知y2-4y+4+“+y-l=0,求xy的值。

15、在AABC中，a,b,c是三角形的三邊長(zhǎng)，試化簡(jiǎn)歷工77-2卜-“-4

16、計(jì)算:

(1).2A/6XV42XV14(2).yjl6x2y+y]2xy

(3)10x2-Jxys-5J--s-(4)|V20?(-15)*(-1V48)

一、知識(shí)點(diǎn)梳理：

1、同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，它們的被開方數(shù),這些

二次根式就稱為同類二次根式。

二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.

例i.（i）下列根式中，與G是同類二次根式的是（）

A.V24B.V12C.D.V18

（2）與而不是同類二次根式的是（）

例2：計(jì)算

(1)V8+V18；(2)V167+V647;(3)-3―+727-(73-I)0

V3-1

【課堂練習(xí)1]1、下面說(shuō)法正確的是（）

A.被開方數(shù)相同的二次根式一定是同類二次根式；B.血與瘋是同類二次根式

C.后與、二不是同類二次根式;D.同類二次根式是根指數(shù)為2的根式

2、下列式子中正確的是（）A.V5+V2=V7B.\la2—b2—a—b

C.ay/x-b\[x=(a-Z?)VxD.；"=6+"=6+2

3、計(jì)算：(1)3748-9^j+3V12(2)V2-V12+Vi8+^

V3

例2：計(jì)算:

3-V32-V2

(1)3-s-A/3X—；=(2)(白-2)2。13.(當(dāng)+2嚴(yán)4

V3-VSV2

二、鞏固練習(xí)：1、下列計(jì)算中，正確的是（）

A、2+73=273B、V6+V3=79=3C、3石-2石=（3-2）5/?不=后D、3V7--V7=-V7

22

2、計(jì)算2K—6^+我的結(jié)果是（

)A.3叵-2柩B.5-V2C,5-V3D.272

3、以下二次根式：①底；②萬(wàn)；③A；④場(chǎng)中，與百是同類二次根式的是（）.

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

4、下列各式：①3"s/J+3=6；②;V^=l；③/=2；④=2,其中錯(cuò)

誤的有（）.A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

5、下列計(jì)算正確的是（）

A.V2+V3=V5B.V2-V3=V6C.&=4D.7（-3）2=-3

6、在麻疝,亞中，與血是同類二次根式的是0

7、若彳=石一3,則，F(xiàn)+6x+5的值為o

8、若最簡(jiǎn)二次根式344/+1與2,6：一1是同類二次根式,則〃=。

23

9、已知x=G+&,y=>/5-應(yīng)，則1-y+xy-=.

10、計(jì)算：

（1）a+V18+V12；（2）V18-V50+3V8

11、已知：|a-4|+4-9=0,求a,b的值。

12>若a=3+2拒,b=3—2i/2>求肪2的值。

勾股定理

一、知識(shí)點(diǎn)梳理：

1、勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊分別是a、b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.即直角

三角形中等于o

（1）在直角三角形中，若已知任意兩邊，就可以運(yùn)用勾股定理求出第三邊.無(wú)直角時(shí)，可作

垂線構(gòu)造直角三角形.變式：c=；。"Jc"/"^c-a

（2）勾股定理的作用：（1）計(jì)算；（2）證明帶有平方的問題；（3）實(shí)際應(yīng)用.

（3）利用勾股定理可以畫出長(zhǎng)度是無(wú)理數(shù)的線段，也就可以在數(shù)軸上畫出表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn).

2、勾股定理逆定理：如果一個(gè)三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，那么這個(gè)三

角形是直角三角形.即如果三角形三邊a,b,c長(zhǎng)滿足那么這個(gè)三角形是直角三角形.

（1）滿足“2+。2『2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股數(shù)擴(kuò)大相同倍數(shù)后，仍為勾股數(shù).常

用的勾股數(shù)有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等.

（2）應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，先計(jì)算較小兩邊的平方和再把它和最大邊的平方比較.

（3）判定一個(gè)直角三角形，除了可根據(jù)定義去證明它有一個(gè)直角外，還可以采用勾股定理

的逆定理，即去證明三角形兩條較短邊的平方和等于較長(zhǎng)邊的平方,這是代數(shù)方法在幾何

中的應(yīng)用.

3、定理：經(jīng)過人們的證明是的命題叫做定理。逆定理及互逆命題、互逆定理。

二、典型例題：

例1、（1）如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出

了一條“路”.他們僅僅少走了步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草。

（2）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的

邊長(zhǎng)為7cm,則正方形A,B,C,。的面積之和為cm2.

課堂練習(xí)1：

（1）要登上12m高的建筑物，為了安全需使梯子底端離建筑物5m,則梯子的長(zhǎng)度至少為

（）12mB.13mC.14mD.15m

（2）下列幾組數(shù)中，不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度的是（）

A.1.5,2,2.5B.3,4,5C.5,12,13D.20,30,40

（3）下列條件能夠得到直角三角形的有（）

①.三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為1:2:3②.三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為3:4:5

③.三邊長(zhǎng)之比為3:4:5④.三邊長(zhǎng)之比為5:12:13

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

（4）如圖，AB=BC=CD=DE=1,且CD1AC,DELAD,

35

則線段AE的長(zhǎng)為（）A.一B.2C.一D.3

22

（5）在/ABC中，若其三條邊的長(zhǎng)度分別為9,12,15,則以兩個(gè)這樣的三角形所拼成的長(zhǎng)

方形的面積是。

例3、如圖，為一棵大樹，在樹上距地面10m的。處有兩只猴子，它們同時(shí)發(fā)現(xiàn)地面上

的。處有一筐水果，一只猴子從。處上爬到樹頂A處，利用拉在A處的滑繩AC,滑到C處,

另一只猴子從。處滑到地面8,再由3跑到C,已知兩猴子所經(jīng)路程都是15m,求樹高AA

K

BC

三、強(qiáng)化訓(xùn)練：

1、如圖1,一根旗桿在離地面5米處斷裂旗桿頂部落在旗桿底部5m

12米處，原旗桿的長(zhǎng)為012m

圖1

2、已知Rt/ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,則斜邊AB上的高AD=。

3、有兩棵數(shù)，一棵高6米，另一棵高2米，兩樹相距5米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另

一棵數(shù)的樹梢，至少飛了米。

4、在/ABC中，a,b,c分別是/A、NB、NC的對(duì)邊，在滿足下列條件的三角形中，不是直

角三角形的是：（）

A、ZA：ZB：ZC=3：4：5B、a：b：c=l：2：百C、ZA=ZB=2ZCD、a：b：c=3：4：5

5、已知一個(gè)圓桶的底面直徑為24cm,高為32cm,則桶內(nèi)能容下的最長(zhǎng)木棒為（）

A、20cmB、50cmC、40cmD、45cm

6、兩只小噩鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分鐘挖8cm,另一只朝下挖，每分鐘挖6cm,

10分鐘后兩小題鼠相距（）A、50cmB、100cmC、140cmD、80cm

7、已知a、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)，如果滿足5-6）2+7^亞+卜—10|=0,則三角形的形

狀是（）A、底與邊不相等的等腰三角形B、等邊三角形C、鈍角三角形D、直角三角形

8、小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1m,當(dāng)他把繩子的下端拉

開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高為（）

A、8mB、10mC、12mD、14m---）

9、如圖2,一圓柱高8cm,底面半徑為2cm,一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，

要爬行的最短路程（n=3）是（）二J

圖2

A、20cmB、10cmC、14cmD、無(wú)法確定

10、一艘輪船以16海里/小時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船12海里/小

時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口3小時(shí)后，則兩船相距（）

A：36海里B：48海里C：60海里D：84海里

11、如圖，在海上觀察所A,我邊防海警發(fā)現(xiàn)正北6km的B處有一可疑船只正在向東方向8km

的C處行駛.我邊防海警即刻派船前往C處攔截.若可疑船只的行駛速度為40km/h,則我邊防

海警船的速度為多少時(shí)，才能恰好在C處將可疑船只截?。?/p>

13、如圖，小紅用一張長(zhǎng)方形紙片ABCD進(jìn)行折紙，已知該紙片寬AB為8cm,長(zhǎng)BC為

10cm.當(dāng)小紅折疊時(shí)，頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處（折痕為AE）.想一想，此時(shí)EC有多

長(zhǎng)？

14、為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖所示AB所在的直線上建一圖書室，本

社區(qū)有兩所學(xué)校所在的位置在點(diǎn)C和點(diǎn)D處，CA1AB于A,DB1AB于B。已知AB=25km,

CA=15km,DB=10kmo試問：圖書室E應(yīng)建在距點(diǎn)A多少km處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相

等？

四邊形

一、知識(shí)點(diǎn)梳理:

1、平行四邊形：兩組對(duì)邊分別的四邊形叫做平行四邊形。

2、平行四邊形的性質(zhì)：（1）平行四邊形的對(duì)邊___________且_____________

（2）平行四邊形的對(duì)角；

（3）平行四邊形的對(duì)角線互相o

3、平行四邊形的判定：（1）兩組對(duì)邊分別的四邊形是平行四邊形;

（2）一組對(duì)邊的四邊形是平行四邊形;

(3)兩組對(duì)邊分別的四邊形是平行四邊形;

(4)兩組對(duì)角分別的四邊形是平行四邊形;

(5)對(duì)角線互相的四邊形是平行四邊形。

4、三角形的中位線：連接三角形兩邊的線段叫做三角形的中位線。三角形的中位線

平行于三角形的第邊，且等于第三邊的O

5、兩條平行線間的距離處處o

二、典型例題：

例1、(1)不能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的條件是【】

A.兩組對(duì)邊分別平行B.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等

C.一組對(duì)邊平行且相等〃兩組對(duì)邊分別相等，

(2)如圖，四邊形465是平行四邊形，點(diǎn)少在邊切上，如果點(diǎn)6是邊4〃上

的點(diǎn)，那么與緲不一定全等的條件是【】

A.D戶BEB.A戶CEC.Cf^AED.CF//AEA

(3)如圖，在平行四邊形4%刀中，AB=3cm,BO5cm,對(duì)角線IC,劭相交于

點(diǎn)0,則力的取值范圍是[2cm<0A<bcmB.2cm<0A<Scm

C.1cm<0A<4cmD.3az7V〃4V8c加云---

(4)如圖，平行四邊形ABC。的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，且ASM。，過。作OE,3。/二^

交BC于點(diǎn)E.若△CDE的周長(zhǎng)為10,則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為_______.----]

【課堂練習(xí)11

1、如圖1,D,E,F分別在△ABC的三邊BC,AC,AB上,且DE〃AB,DF〃AC,EF〃BC,則圖中共

有個(gè)平行四邊形，分別是.

2、如圖2,在U46“中，AD=8,點(diǎn)、E、尸分別是加、”的中點(diǎn)，則上.

圖⑴圖(2)圖(4)

3、如圖3,平行四邊形ABCD中，E,F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),連結(jié)BE,BF,DF,DE,添加一個(gè)條件

使四邊形BEDF是平行四邊形，則添加的條件是(添加一個(gè)即可).

4、如圖4,在△/勿中，ZACB=9Q°,〃是勿的中點(diǎn)，DELBC,CE//AD,若47=2,34,

則四邊形ACEB的周長(zhǎng)為o

例2、如圖，四邊形ABCD^,AD//BC,AELAD^而于點(diǎn)E,CFIBC交劭于點(diǎn)凡且A^CF.求

證：四邊形力8口是平行四邊形.

【課堂練習(xí)2】

如圖，已知四邊形46口是平行四邊形，若點(diǎn)反尸分別在邊比；上，連接4￡、CF,請(qǐng)?jiān)?/p>

從下列三個(gè)備選條件中，選擇添加一個(gè)恰當(dāng)?shù)臈l件.使四邊形力mF是平行四邊形，并予以證

明,

備選條件：A庫(kù)CF,B俏DF,4AE樂/CFD,

我選擇添加的條件是：并加以證明

例3、已知如圖：在口A8CO中，延長(zhǎng)4B到E,延長(zhǎng)CO到F,使8E=OF,則線段AC與

Eb是否互相平分？說(shuō)明理由.

三、強(qiáng)化訓(xùn)練：

1、在C7ABCD中，如果EF〃AD,GH〃CD,EF與GH相交與點(diǎn)0,那么圖

中的平行四邊形一共有（）.

（A）4個(gè)（B）5個(gè)（C）8個(gè)（D）9個(gè)

2、在下面給出的條件中，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）

A.AB=BC,AD=CDB.AB〃CD,AD=BC

C.AB〃CD,ZB=ZDD.ZA=ZB,ZC=ZD

3、下面給出的條件中，能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的是（）

A.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等B.一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角互補(bǔ)

C.一組對(duì)角相等，一組鄰角互補(bǔ)D.一組對(duì)角相等，另一組對(duì)角互補(bǔ)

4、角形三條中位線的長(zhǎng)分別為3、4、5,則此三角形的面積為().

(A)12(B)24(C)36(D)48

5、在平行四邊形ABCD中，ZA：ZB：ZC：ND的值可以是()

(A)1：2：3：4(B)3：4：4：3(C)3：3：4：4(D)3：4：3：4

6、能夠判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的條件是()

A.一組對(duì)角相等B.兩條對(duì)角線互相平分C.兩條對(duì)角線互相垂直D.一對(duì)鄰角的和為180°

7、四邊形ABCD中,AD〃BC,要判定ABCD是平行四邊形，那么還需滿足()

A.ZA+ZC=180°B.ZB+ZD=180°

C.ZA+ZB=180°D.ZA+ZD=180°

8、如圖，￡7ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,將AAOD平移至△BEC的位置，則圖

中與OA相等的其它線段有().

(A)l條(B)2條(C)3條(D)4條

9、如圖，AD〃BC,AE〃CD,BD平分NABC,求證：AB=CE.

一、知識(shí)點(diǎn)梳理:

1、矩形：有一個(gè)角是的四邊形叫做矩形。

2、矩形的性質(zhì):

(1)矩形的四個(gè)角都是角；

(2)矩形的對(duì)角線互相o

3、矩形的判定：(1)定義：叫做矩形。

(2)是矩形；

(3)是矩形。

二、典型例題：

例1：(1)如圖(1)所示，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)0,若NAOD=60°,0B=4,

則DC=______

(2)若矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為4cm,一條邊長(zhǎng)為2cm,則此矩形的面積為()

A.8V3cm2B.4V3cm2C.2\/3cm2D.8cm2

【課堂練習(xí)1]

E圖⑶

1、矩形具彳圖（2）行四邊形不具有的―無(wú)、）

A.對(duì)角線相等B.對(duì)角相等C.對(duì)邊相等D.對(duì)角線互相平分

2、如圖（2）所示，在矩形ABCD中，ZDBC=29°,將矩形沿直線BD折疊，頂點(diǎn)C落在點(diǎn)E

處則NABE的度數(shù)是（）

A.29°B.32°C.22°D.61°

3、矩形ABCD的周長(zhǎng)為56,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,AAB0與△BC0的周長(zhǎng)差為4,則AB

的長(zhǎng)是（）

A.12B.22C.16D.26

4、如圖（3）所示，在矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE=AD=2,則AC的長(zhǎng)是（）

A.V5B.4C.273D.V7

5、矩形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-2,-3）,（1,-3）,（-2,-4）,那么第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.(1,-4)B.(-8,-4)C.(1,-3)D.(3,-4)

例2：如圖所示，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,過頂點(diǎn)C作CE〃BD,交A孤延

長(zhǎng)線于點(diǎn)E,求證：AC=CE.

【課堂練習(xí)2]

己知：如圖，D是AABC的邊AB上一點(diǎn)，CN〃AB,DN交AC于點(diǎn)M,

MA=MC.

①求證：CD=AN；

②若NAMD=2NMCD,求證：四邊形ADCN是矩形.

三、強(qiáng)化訓(xùn)練：

1、已知四邊形ABCD是平行四邊形，請(qǐng)你添上一個(gè)條件:,使得平行四邊形ABCD是矩形.

2、如圖1所示，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)0,AAOD是正三角形，AD=4,

則這個(gè)平行四邊形的面積是.

3、在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD是邊AB上的中線，若AB=4,則CD=.

4、如圖2所示，在RtZXABC中，ZACB=90°,CD是邊AB上的中線，若NADC=70°,則NACD=.

5、如圖3所示，在aABC中，AD_LBC于點(diǎn)D,點(diǎn)E,F分別是AB,AC的中點(diǎn)，若AB=8,BC=7,

AC=5,則4DEF的周長(zhǎng)是.

6、若順次連結(jié)一個(gè)四邊形的四邊中點(diǎn)所組成的四邊形是矩形，則原四邊形一定是（）

A.一般平行四邊形B.對(duì)角線互相垂直的四邊形C.對(duì)角線相等的四邊形D.矩形

7,平行四邊形的四個(gè)內(nèi)角角平分線相交所構(gòu)成的四邊形一定是（）

A.一般平行四邊形B.一般四邊形C.對(duì)角線垂直的四邊形D.矩形

8,如圖4所示，在四邊形ABCD中，ZBDC=90°,ABLBC于B,E是BC的中點(diǎn)，連結(jié)AE,

DE,則AE與DE的大小關(guān)系是（）

A.AE=DEB.AE>DEC.AE<DED.不能確定

9、如圖5所示，將一張矩形紙片ABCD的角C沿著GF折疊（F在BC邊上，不與B,C重合）

使得C點(diǎn)落在矩形ABCD內(nèi)部的E處，F(xiàn)H平分/BFE,則NGFH的度數(shù)a滿足（）

B.a=90°C.0°<a<90°D.a隨著折痕位置的變化而變化

(4)

10、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，ZMAD=ZMDA,

求證：四邊形ABCD是矩形.

一、知識(shí)點(diǎn)梳理:

1、菱形：叫做菱形。

2、菱形的性質(zhì)：

(1)菱形的邊都相等；

(2)菱形的互相垂直平分，并且每一條平分一組對(duì)角。

3、菱形的判定：(1)定義；叫做菱形。

(2)是菱形；

(3)對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形；

(4)是菱形。

4、菱形的面積等于兩條對(duì)角線的一半。

推廣：對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積都等于兩條對(duì)角線乘積的一半。

二、典型例題：

例1：(1)菱形的周長(zhǎng)為12cm,相鄰兩角之比為5：1,那么菱形對(duì)邊間的距離是()

A.6cmB.1.5cmC.3cmD.0.75cm

(2)如圖(1),在菱形力用力中，AELBC于點(diǎn)E,ARLCD于點(diǎn)、F,且昆尸分別為必切的

中點(diǎn)，則夕等于()

(3)如圖2,已知菱形465中，/牝6。于￡，若夕加折24,且力尺6,則菱形的邊長(zhǎng)為()

A.12B.8C.4D.2

【課堂練習(xí)11

1、菱形的邊長(zhǎng)是2cm,一條對(duì)角線的長(zhǎng)是2百cm,則另一條對(duì)角線的長(zhǎng)是。

2、菱形的兩條對(duì)角線的比為3：4,且周長(zhǎng)為20cm,則它的一組對(duì)邊的距離等于cm,

它的面積等于cm2.

3、能夠判別一個(gè)四邊形是菱形的條件是()

A.對(duì)角線相等且互相平分B.對(duì)角線互相垂直且相等

C.對(duì)角線互相平分D.一組對(duì)角相等且一條對(duì)角線平分這組對(duì)角

例2：如圖，已知：△/8C中，CD平分/ACB交AB于D,DE〃AC交BC予E,DF//BC交AC干

F.請(qǐng)問四邊形F是菱形嗎?說(shuō)明理由.為

[課堂練習(xí)2]

如圖，已知平行四邊形ABC。中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,E是3。延T￡一

是等邊三角形.

(1)求證：四邊形A8CO是菱形；E

呼

(2)若ZAEO=2NE4O,求證：四邊形ABC。是正方形.A

BC

例3：如圖(1),在AABC和AEDC中，AC=CE=CB=CD,ZACB=ZECD=90\

AB與CE交于F,ED與AB、BC分別交于M、H.

⑴求證:CF=CH；(2)如圖(2),AABC不動(dòng)，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到NBCE=45°時(shí)，試判斷四

邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結(jié)論.

（圖1）（圖2）

三、強(qiáng)化訓(xùn)練:

1、菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是()

A.對(duì)角相等B.四邊相等

C.對(duì)角線互相平分D.四角相等

2、菱形和矩形一定都具有的性質(zhì)是()

A、對(duì)角線相等B、對(duì)角線互相垂直

C、對(duì)角線互相平分D、對(duì)角線互相平分且相等

3、下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是()

A.平行四邊形的對(duì)角線互相平分B.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.菱形的對(duì)角線互相垂直D.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

4、順次連結(jié)任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是()

A、平行四邊形B、矩形

C、菱形D、正方形

5、順次連接對(duì)角線相等的平行四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形必是（）

A、平行四邊形B、菱形C、矩形D、正方形

6、已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).若

AB=2,AD=4,則圖中陰影部分的面積為（）

A.8B.6C.4D.3

7、將一張菱形的紙片折一次，使得折痕平分這個(gè)菱形的面積,則這樣的折紙方法共有（）

A、1種B、2種C、4種D、無(wú)數(shù)種

8、已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中，不一定正確的是（）

A、AB=CDB、AC=BDC、當(dāng)ACLBD時(shí)，它是菱形。D、當(dāng)NABC=90°時(shí)，它是矩形。

9、如圖所示，矩形ABCD中,AB=8,BC=6,E、F是AC的三等分點(diǎn)，則aBEF的面積是（）

A、8B、12C、16D、24口

10、菱形的對(duì)角線AC=4cm,BD=6cm,那么它的面積是cm2.IExd

11、菱形ABCD中，ZA=60°,對(duì)角線BD長(zhǎng)為7cm,則此菱形周長(zhǎng)cm。

AB

12、如圖，已知菱形ABCD,AB=AC,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接AE、CF.

（1）證明：四邊形AECF是矩形；（2）若AB=8,求菱形的面積.d——?-----?

BEC

13、如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)0,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E,使BE=AB,連接CE.

（1）求證：BD=EC；

（2）若NE=50°，求NBA0的大小.

14、如圖，^ABC中，ZC=90°,AD平分NBAC,ED±BC,DF//AB,求證：AD與EF互

相垂直平分。

一、知識(shí)點(diǎn)梳理:

1、正方形：叫做正方形。

2、正方形的性質(zhì):

(1)正方形的四個(gè)角都是角；

(2)正方形的四條邊都；

(3)正方形的兩條對(duì)角線，且互相，每一條對(duì)角線平分一組

3、正方形的判定：

定義法：是正方形

(1)菱形是正方形；

(2)矩形是正方形。

二、典型例題：

例1：如圖，在正方形/%9中，對(duì)角線〃'與劭交于點(diǎn)?！妒??上的一點(diǎn)，EF2AC于F,

EGLBD于G.

(1)試說(shuō)明四邊形如〃。是矩形；

(2)若〃MOcm,求冊(cè)比的值.

【課堂練習(xí)1]

己知：如圖，在正方形ABCD中，AE±BF,垂足為P,AE與CD交于點(diǎn)E,BF與AD交于點(diǎn)F。

求證：AE=BF.

例2：將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點(diǎn)C與A重合，點(diǎn)D落到D，處，折痕

為EF.(1)求證：4ABE^aADT；

（2）連接CF,判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論.

三、強(qiáng)化訓(xùn)練:

1、如果邊長(zhǎng)分別為4cm和5cm的矩形與一個(gè)正方形的面積相等，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為

2、如圖，正方形A8CO的邊長(zhǎng)為4cm,則圖中陰影部分的面積為cm2.

3、延長(zhǎng)正方形ABCD的邊AB到E,使AE=AC,連接CE,則NE=

4、如圖所示，矩形A8C。的對(duì)角線AC和8。相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。的直線分別交和BC于

點(diǎn)E、F,AB=2,BC=3,則圖中陰影部分的面積為

5、如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).若0E=3cm,

則AB的長(zhǎng)為（）

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

6、如圖，正方形ABCD中，E為CD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=CF0若NBEC=80°,

則NEFD的度數(shù)為（）A、20°B、25°C、35°D、40°

7、將兩塊能完全重合的兩張等腰直角三角形紙片拼成下列圖形：①平行四邊形（不包括菱形、

矩形、正方形）②矩形③正方形④等邊三角形⑤等腰直角三角形（）

A.①③⑤B.②③⑤C.①②③D.①③④⑤

8、如圖，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一點(diǎn)，（G與B、C兩點(diǎn)不重合），E、F是

AG上的兩點(diǎn)（E、F與A、G兩點(diǎn)不重合），若AF=BF+EF,Z1=Z2,請(qǐng)判斷線段DE與BF

有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

9、.在正方形A8CO中，AC為對(duì)角線，E為AC上一點(diǎn),連接E3、ED.

(1)求證：ABEC^ADEC；

(2)延長(zhǎng)6E交AO于凡當(dāng)/BEZA120°時(shí)，求力的度數(shù).

10、如圖所示，△ABC中，點(diǎn)。是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作直線MN〃BC,設(shè)MN交N

BCA的平分線于E,交NBC4的外角平分線于點(diǎn)F.

(1)求證：EO=FO

(2)當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論

11、RtAABC與Rt△尸E。是兩塊全等的含30°、60°角的三角板，按如圖(一)所示拼在一起,

C3與。E重合.

(1)求證：四邊形ABFC為平行四邊形；

(2)取BC中點(diǎn)0,將△ABC繞點(diǎn)。順時(shí)鐘方向旋轉(zhuǎn)到如圖(二)中△4BC位置，直線8'C'

與AB、b分別相交于P、。兩點(diǎn)，猜想。。、。尸長(zhǎng)度的大小關(guān)系，并證明你的猜想.

(3)在(2)的條件下，指出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角至少為多少度時(shí)，四邊形PCQ3為菱形(不要求證明).

A'

一次函數(shù)

一、知識(shí)點(diǎn)梳理：

1、在一個(gè)變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為,數(shù)值始終保持不變的量稱為.

2、一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y,并且對(duì)于x的每個(gè)確定的值，y

都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù).如果當(dāng)x=a時(shí)，

y=b,那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時(shí)的函數(shù)值.

3、自變量取值范圍：(1)整式：全體實(shí)數(shù)；(2)分母W0；(3)被開方數(shù)20.

例1：(1)油箱中有油30kg,油從管道中勻速流出，1小時(shí)流完，求油箱中剩余油量Q(kg)

與流出時(shí)間t(分鐘)間的函數(shù)關(guān)系式為，自變量的范圍是

.當(dāng)Q=]0kg時(shí)，t=.

(2)北京至拉薩的鐵路長(zhǎng)約2698km,火車從北京出發(fā)，其平均速度為110km/h,則火車

離拉薩的距離s(km)與行駛時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系式是.

(2)地面氣溫是25℃,如果每升高1千米，氣溫下降5℃.則氣溫t°C與高度h千米的函數(shù)

關(guān)系式是，其中自變量是。

3、函數(shù)的圖像：一般地，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、

縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.

(1)畫函數(shù)圖像的一般步驟：(1)；(2)；(3)0

(2)函數(shù)的三種表達(dá)方法：

①法；②法；③法。

例2：(1)一種蘋果每千克售時(shí).元，即單價(jià)是12元/千克。蘋果的總的售價(jià)y(元)與所售蘋果

的數(shù)量x(千克)之間的函數(shù)關(guān)系可以表示成。

(2)張爺爺晚飯以后外出散步，碰到老鄰居，交談了一會(huì)兒，返回途中在讀報(bào)欄前看了一會(huì)

兒報(bào)，下圖是據(jù)此情景畫出的圖象，請(qǐng)你回答下面的問題：八s(m)

①?gòu)垹敔斣谑裁吹胤脚龅嚼相従拥模徽劻硕嚅L(zhǎng)時(shí)間？600I_\

500/\

400/\

300/

200/\

100/\

②讀報(bào)欄大約離家多少路程?

③張爺爺在哪一段路程走得最快？

④圖中反映了哪些變量之間的關(guān)系？其中哪個(gè)是自變量?

例3：（1）下列函數(shù)中，自變量x的取值范圍是x23的是（）

A.>B.y=-^=C,y=x-3D.y=Jx-3

（2）在函數(shù)>=立也中，自變量x的取值范圍是（

)

2x

A.3且xHOB.XW3且XHOC.D.Q-3

二、強(qiáng)化訓(xùn)練:

1、齒輪每分鐘120轉(zhuǎn)，如果〃表示轉(zhuǎn)數(shù)，，表示轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間，那么用”表示f的關(guān)系

是,其中為變量，為常量.

2、攝氏溫度C與華氏溫度F之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為-32）°C,則其中的變量是,

常量是O

3、在/ABC中，它的底邊是a,底邊上的高是〃，則三角形的面積S=—ah,當(dāng)?shù)走卆的長(zhǎng)

2

一定時(shí)，在關(guān)系式中的常量是,變量是o

4、函數(shù)>=正分的自變量x的取值范圍是

5、在圓的周長(zhǎng)c=2成中，常量與變量分別是（）

（A）2是常量，c、〃、R是變量（B）2萬(wàn)是常量，c、R是變量

（C）c、2是常量，R是變量（D）2是常量，c、R是變量

6、函數(shù)>='二+而I的自變量x的取值范圍為（）

X-1

A.xrlB.x>-lC.x>-lD.x>-lMxrl

o8

13、如圖所示，OA、BA分別表示甲、乙兩名學(xué)生運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間的關(guān)系圖象，圖中S和，

分別表示運(yùn)動(dòng)路程和時(shí)間，根據(jù)圖象判斷快者的速度比慢者的速度每秒快（）

A、2.5mB、2mC、1.5mD、1m

15、如圖，反映了小明從家到超市的時(shí)間與距離之

間關(guān)系的一幅圖.

（1）圖中反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？

（2）超市離家多遠(yuǎn)？時(shí)間（分鐘）

o5101520253035404550

（3）小明到達(dá)超市用了多少時(shí)間？小明往返花了多

少時(shí)間？

（4）小明離家出發(fā)后20分鐘到30分鐘內(nèi)可以在做什么？

（5）小明從家到超市時(shí)的平均速度是多少？返回時(shí)的平均速度是多少？

16、函數(shù)y=H與中自變量x的取值范圍是；函數(shù)叵三自變量的取值范圍

V3x-1

為：；

17、三峽大壩從6月1日開始下閘蓄水，如果平均每天流入庫(kù)區(qū)的水量為a立方米，平均每

天流出的水量控制為b立方米，當(dāng)蓄水位低于135米時(shí),b<n；當(dāng)蓄水位達(dá)到135米時(shí),b=a.設(shè)

庫(kù)區(qū)的蓄水量y（立方米）是時(shí)間t（天）的函數(shù)，那么這個(gè)函數(shù)的大致圖象是圖中的（）

18、一水池蓄水20m3,打開閥門后每小時(shí)流出5m3,放水后池內(nèi)剩下的水的立方數(shù)。（m3）

與放水時(shí)間/（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系用圖表示為（）

19、一輛客車從甲站開放乙站，中途曾停車休息了一段時(shí)間,如果用橫軸表示時(shí)間t,縱軸表示客

車行駛的路程s,如圖所示,下列四個(gè)圖象能較好地反映s與t之間的函數(shù)關(guān)系的是（）

一、知識(shí)點(diǎn)梳理：

正比例函數(shù)：一般地，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).

正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，kWO）的圖象是一條經(jīng)過點(diǎn)的.

當(dāng)>0時(shí)，圖象經(jīng)過象限，從左向右上升，即y隨x的；

當(dāng)<0時(shí)，圖象經(jīng)過象限，從左向右下降，即y隨x.

例1：1.下列關(guān)系中的兩個(gè)量成正比例的是（）

A.從甲地到乙地，所用的時(shí)間和速度；B.正方形的面積與邊長(zhǎng)

C.買同樣的作業(yè)本所要的錢數(shù)和作業(yè)本的數(shù)量；D.人的體重與身高

2.下列函數(shù)中，y是x的正比例函數(shù)的是（