2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法（教師用書）教案 新人教A版選修2-2

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明2.2直接證明與間接證明2.2.2反證法（教師用書）教案新人教A版選修2-2課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：?jiǎn)挝唬阂弧⒔滩姆治觥?024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明2.2直接證明與間接證明2.2.2反證法（教師用書）教案新人教A版選修2-2”這一章節(jié)主要講述了反證法的基本概念、步驟及應(yīng)用。反證法是數(shù)學(xué)證明中的一種重要方法，通過(guò)假設(shè)結(jié)論不成立，從而推出矛盾，從而證明原命題的正確性。本節(jié)課的內(nèi)容與學(xué)生的日常生活和后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都有較大的關(guān)聯(lián)，實(shí)用性較強(qiáng)。在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)注重讓學(xué)生掌握反證法的步驟，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和解決問(wèn)題的能力。同時(shí)，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，設(shè)計(jì)合理的教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生能夠更好地理解和運(yùn)用反證法。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要包括：邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、問(wèn)題解決和直觀想象。通過(guò)學(xué)習(xí)反證法，使學(xué)生能夠更好地理解和運(yùn)用邏輯推理，提高數(shù)學(xué)建模和問(wèn)題解決的能力，同時(shí)培養(yǎng)直觀想象的能力。具體來(lái)說(shuō)，學(xué)生能夠掌握反證法的基本概念和步驟，能夠運(yùn)用反證法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題；能夠?qū)⒎醋C法應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中，提高解決問(wèn)題的能力；能夠通過(guò)反證法的思維方式，培養(yǎng)直觀想象的能力，更好地理解和把握數(shù)學(xué)問(wèn)題。三、教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

（1）反證法的概念：假設(shè)結(jié)論不成立，通過(guò)推理得出矛盾，從而證明原命題的正確性。

（2）反證法的步驟：明確命題、假設(shè)結(jié)論不成立、推出矛盾、得出結(jié)論。

（3）反證法的應(yīng)用：解決實(shí)際問(wèn)題，證明數(shù)學(xué)命題的正確性。

（4）反證法與直接證明的關(guān)系：反證法是一種間接證明方法，與直接證明相互補(bǔ)充。

2.教學(xué)難點(diǎn)

（1）反證法的理解：學(xué)生難以理解假設(shè)結(jié)論不成立的意義，以及如何從假設(shè)中推出矛盾。

（2）反證法的應(yīng)用：學(xué)生難以將反證法應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力較弱。

（3）反證法的證明過(guò)程：學(xué)生難以把握反證法的證明過(guò)程，證明過(guò)程繁瑣且容易出錯(cuò)。

（4）反證法與直接證明的區(qū)分：學(xué)生難以區(qū)分反證法與直接證明，容易混淆。

針對(duì)以上教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注重以下幾點(diǎn)：

1.通過(guò)具體例子，讓學(xué)生深刻理解反證法的概念和意義。

2.分步驟講解反證法的證明過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生掌握證明方法。

3.設(shè)計(jì)實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生運(yùn)用反證法解決問(wèn)題，提高應(yīng)用能力。

4.對(duì)比反證法與直接證明，幫助學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)兩者的區(qū)別。

5.針對(duì)學(xué)生容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，進(jìn)行有針對(duì)性的講解和練習(xí)。

6.鼓勵(lì)學(xué)生積極參與課堂討論，提高學(xué)生的邏輯思維能力。四、教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：教師通過(guò)講解反證法的概念、步驟和應(yīng)用，讓學(xué)生掌握基本知識(shí)，結(jié)合具體例子進(jìn)行講解，讓學(xué)生能夠更好地理解和運(yùn)用反證法。

2.討論法：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，分享各自對(duì)反證法的理解和證明過(guò)程，通過(guò)互相交流和思考，提高學(xué)生的邏輯思維能力和解決問(wèn)題的能力。

3.實(shí)踐法：讓學(xué)生通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用反證法進(jìn)行證明，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力和實(shí)際操作能力。

教學(xué)手段：

1.多媒體設(shè)備：利用多媒體課件，展示反證法的證明過(guò)程和應(yīng)用實(shí)例，直觀地展示反證法的思路和方法，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和理解程度。

2.教學(xué)軟件：運(yùn)用教學(xué)軟件設(shè)計(jì)練習(xí)題和測(cè)試題，及時(shí)檢查學(xué)生對(duì)反證法的掌握情況，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，提高學(xué)習(xí)效果。

3.網(wǎng)絡(luò)資源：引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源查找相關(guān)資料，了解反證法在數(shù)學(xué)發(fā)展中的應(yīng)用，擴(kuò)展學(xué)生的知識(shí)視野，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

4.教學(xué)輔助工具：使用教學(xué)輔助工具，如模型、圖示等，直觀地展示反證法的證明過(guò)程，幫助學(xué)生更好地理解和記憶。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對(duì)反證法的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過(guò)程：

開(kāi)場(chǎng)提問(wèn)：“你們知道什么是反證法嗎？它與我們的生活有什么關(guān)系？”

展示一些關(guān)于反證法的圖片或視頻片段，讓學(xué)生初步感受反證法的魅力或特點(diǎn)。

簡(jiǎn)短介紹反證法的基本概念和重要性，為接下來(lái)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.反證法基礎(chǔ)知識(shí)講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解反證法的基本概念、步驟和應(yīng)用。

過(guò)程：

講解反證法的定義，包括其主要步驟和應(yīng)用場(chǎng)景。

詳細(xì)介紹反證法的步驟，使用圖表或示意圖幫助學(xué)生理解。

3.反證法案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過(guò)具體案例，讓學(xué)生深入了解反證法的特性和重要性。

過(guò)程：

選擇幾個(gè)典型的反證法案例進(jìn)行分析。

詳細(xì)介紹每個(gè)案例的背景、特點(diǎn)和意義，讓學(xué)生全面了解反證法的多樣性或復(fù)雜性。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)際影響，以及如何運(yùn)用反證法解決實(shí)際問(wèn)題。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問(wèn)題的能力。

過(guò)程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個(gè)與反證法相關(guān)的主題進(jìn)行深入討論。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評(píng)（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時(shí)加深全班對(duì)反證法的認(rèn)識(shí)和理解。

過(guò)程：

各組代表依次上臺(tái)展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學(xué)生和教師對(duì)展示內(nèi)容進(jìn)行提問(wèn)和點(diǎn)評(píng)，促進(jìn)互動(dòng)交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)反證法的重要性和意義。

過(guò)程：

簡(jiǎn)要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括反證法的基本概念、步驟、案例分析等。

強(qiáng)調(diào)反證法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決中的價(jià)值和作用，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用反證法。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生撰寫一篇關(guān)于反證法的短文或報(bào)告，以鞏固學(xué)習(xí)效果。六、拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

《反證法的應(yīng)用與實(shí)踐》：本書詳細(xì)介紹了反證法在數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用，通過(guò)豐富的例子讓學(xué)生更深入地理解反證法的原理和應(yīng)用。

《數(shù)學(xué)思維與反證法》：本書從數(shù)學(xué)思維的角度出發(fā)，探討了反證法在培養(yǎng)邏輯思維和問(wèn)題解決能力方面的重要性。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

（1）讓學(xué)生進(jìn)一步了解反證法在數(shù)學(xué)史上的應(yīng)用和發(fā)展，探尋反證法在數(shù)學(xué)中的重要地位。

（2）引導(dǎo)學(xué)生思考反證法在其他學(xué)科或現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，提高學(xué)生的跨學(xué)科素養(yǎng)。

（3）鼓勵(lì)學(xué)生嘗試解決更多涉及反證法的數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

（4）邀請(qǐng)數(shù)學(xué)專家或?qū)W者進(jìn)行講座，讓學(xué)生更加深入地了解反證法的原理和應(yīng)用。

（5）組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽或反證法相關(guān)的活動(dòng)，提高學(xué)生的實(shí)踐能力和競(jìng)爭(zhēng)力。七、反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.實(shí)例教學(xué)：通過(guò)引入更多生活中的實(shí)際例子，讓學(xué)生更直觀地理解反證法的應(yīng)用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

2.互動(dòng)式教學(xué)：增加課堂上的提問(wèn)和討論環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考和發(fā)表自己的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和問(wèn)題解決能力。

（二）存在主要問(wèn)題

1.學(xué)生理解難度：反證法的步驟較多，部分學(xué)生可能難以理解和掌握。

2.應(yīng)用能力不足：學(xué)生能理解反證法的基本概念，但在實(shí)際應(yīng)用中，靈活運(yùn)用反證法解決問(wèn)題的能力較弱。

（三）改進(jìn)措施

1.針對(duì)學(xué)生理解難度問(wèn)題，我將簡(jiǎn)化反證法的證明過(guò)程，用更通俗易懂的語(yǔ)言解釋，并設(shè)計(jì)一些習(xí)題讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)，加深對(duì)反證法的理解。

2.為了提高學(xué)生的應(yīng)用能力，我將設(shè)計(jì)一些實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生運(yùn)用反證法解決，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考反證法在解決實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)勢(shì)和局限性。

3.增加課堂上的小組討論環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在討論中加深對(duì)反證法的理解，并培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問(wèn)題的能力。

4.及時(shí)進(jìn)行課堂反饋，了解學(xué)生對(duì)反證法的掌握情況，針對(duì)學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)進(jìn)行有針對(duì)性的講解和輔導(dǎo)。

5.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究，讓學(xué)生通過(guò)閱讀相關(guān)書籍、參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽等方式，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。八、內(nèi)容邏輯關(guān)系1.反證法的定義：假設(shè)結(jié)論不成立，通過(guò)推理得出矛盾，從而證明原命題的正確性。

2.反證法的步驟：

①明確命題：首先要明確要證明的命題是什么。

②假設(shè)結(jié)論不成立：假設(shè)命題的結(jié)論不成立。

③推出矛盾：從假設(shè)出發(fā)，通過(guò)推理得出矛盾。

④得出結(jié)論：由矛盾得出原命題的結(jié)論成立。

（二）反證法的應(yīng)用

1.解決實(shí)際問(wèn)題：反證法可以應(yīng)用于解決一些實(shí)際問(wèn)題，例如證明某個(gè)命題的正確性。

2.證明數(shù)學(xué)命題：反證法是數(shù)學(xué)證明中的一種重要方法，可以用來(lái)證明一些數(shù)學(xué)定理和公式。

（三）反證法與直接證明的關(guān)系

1.反證法與直接證明的關(guān)聯(lián)：反證法是一種間接證明方法，與直接證明相互補(bǔ)充。

2.反證法的優(yōu)勢(shì)：在某些情況下，反證法可以簡(jiǎn)化證明過(guò)程，使證明更加簡(jiǎn)潔明了。

板書設(shè)計(jì)：

1.反證法的基本概念和步驟：

-反證法：假設(shè)結(jié)論不成立，推理得出矛盾，證明原命題正確。

-步驟：明確命題、假設(shè)結(jié)論不成立、推出矛盾、得出結(jié)論。

2.反證法的應(yīng)用：

-解決實(shí)際問(wèn)題：證明命題的正確性。

-證明數(shù)學(xué)命題：證明數(shù)學(xué)定理和公式。

3.反證法與直接證明的關(guān)系：

-關(guān)聯(lián)：反證法與直接證明相互補(bǔ)充。

-優(yōu)勢(shì)：簡(jiǎn)化證明過(guò)程，使證明更加簡(jiǎn)潔明了。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)1.課堂小結(jié)

（1）反證法的定義：假設(shè)結(jié)論不成立，通過(guò)推理得出矛盾，從而證明原命題的正確性。

（2）反證法的步驟：明確命題、假設(shè)結(jié)論不成立、推出矛盾、得出結(jié)論。

（3）反證法的應(yīng)用：解決實(shí)際問(wèn)題，證明數(shù)學(xué)命題的正確性。

（4）反證法與直接證明的關(guān)系：反證法是一種間接證明方法，與直接證明相互補(bǔ)充。

2.當(dāng)堂檢測(cè)

（1）請(qǐng)用反證法證明下列命題：

①若a>b，則a2>b2。

②若兩個(gè)整數(shù)的和大于0，則這兩個(gè)整數(shù)都是正數(shù)。

（2）請(qǐng)分析以下命題的正確性，并說(shuō)明理由：

①若a2>b2，則a>b。

②若兩個(gè)整數(shù)的和小于0，則這兩個(gè)整數(shù)都是負(fù)數(shù)。

（3）請(qǐng)用反證法證明下列命題：

①若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為a和b，第三邊長(zhǎng)為c，且a+b>c，則這個(gè)三角形是銳角三角形。

②若一個(gè)四邊形的對(duì)角線相等，則這個(gè)四邊形是矩形。

（4）請(qǐng)分析以下命題的正確性，并說(shuō)明理由：

①若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為a和b，第三邊長(zhǎng)為c，且a+b=c，則這個(gè)三角形是直角三角形。

②若一個(gè)四邊形的對(duì)角線相等，則這個(gè)四邊形是菱形。

（5）請(qǐng)用反證法證明下列命題：

①若一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足|x|>1，則x>1或x<-1。

②若一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足|x|<1，則-1<x<1。

（6）請(qǐng)分析以下命題的正確性，并說(shuō)明理由：

①若一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足|x|>1，則x>1或x<-1。

②若一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足|x|<1，則-1<x<1。

（7）請(qǐng)用反證法證明下列命題：

①若一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足|x|>1，則x>1或x<-1。

②若一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足|x|<1，則-1<x<1。

（8）請(qǐng)分析以下命題的正確性，并說(shuō)明理由：

①若一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足|x|>1，則x>1或x<-1。

②若一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足|x|<1，則-1<x<1。

（9）請(qǐng)用反證法證明下列命題：

①若一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足|x|>1，則x>1或x<-1。

②若一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足|x|<1，則-1<x<1。

（10）請(qǐng)分析以下命題的正確性，并說(shuō)明理由：

①若一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足|x|>1，則x>1或x<-1。

②若一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足|x|<1，則-1<x<1。課后拓展1.拓展內(nèi)容：

（1）閱讀材料：《數(shù)學(xué)之美：反證法的魅力》

（2）視頻資源：《數(shù)學(xué)大師：反證法的應(yīng)用》

2.拓展要求：

（1）閱讀《數(shù)學(xué)之美：反證法的魅力》，了解反證法在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重要地位和應(yīng)用。

（2