廣東省汕頭市2024屆普通高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省汕頭市2024屆普通高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷選擇題一、選擇題1.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗對(duì)于拋物線，的準(zhǔn)線方程是.故選：B.2.展開(kāi)式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n的值為（）A.8 B.7 C.6 D.5〖答案〗C〖解析〗因?yàn)橹挥幸豁?xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.故選：C3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗因，所以由為真子集，所以“”是“”的必要不充分條件故選：B.4.若實(shí)數(shù)，滿足，且.則下列四個(gè)數(shù)中最大的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題知：，且，所以，，故排除D.因?yàn)?，故排除A.因?yàn)?，故排除C.故選：B5.袋子中有紅、黃、黑、白共四個(gè)小球，有放回地從中任取一個(gè)小球，直到紅、黃兩個(gè)小球都取到才停止，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分別代表紅、黃、黑、白四個(gè)小球，利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：341332341144221132243331112342241244342142431233214344由此可以估計(jì)，恰好抽取三次就停止的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗18組隨機(jī)數(shù)中，滿足條件的有221，132，112，241，142，這5組數(shù)據(jù)滿足條件，所以估計(jì)恰好抽取三次就停止的概率.故選：D6.已知兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，，202及2，8，14，，200，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為（）A.1678 B.1666 C.1472 D.1460〖答案〗B〖解析〗第一個(gè)數(shù)列的公差為4，第二個(gè)數(shù)列的公差為6，故新數(shù)列的公差是4和6的最小公倍數(shù)12，則新數(shù)列的公差為12，首項(xiàng)為2，其通項(xiàng)公式為，令，得，故，則，故選：B.7.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，且，，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，，且，，把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖所示：所以長(zhǎng)方體的外接球即是三棱錐的外接球，因?yàn)?，，可得長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，所以球的表面積為，故選：D．8.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上恒成立，即，令，則，又，所以，所以在為減函數(shù)，所以，所以，即實(shí)數(shù)a的最大值是.故選：C二.選擇題9.某校高三年級(jí)選考生物科的學(xué)生共1000名，現(xiàn)將他們?cè)摽频囊淮慰荚嚪謹(jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級(jí)分，已知等級(jí)分的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為，若等級(jí)分，則（）參考數(shù)據(jù)：；；.A.這次考試等級(jí)分的標(biāo)準(zhǔn)差為25B.這次考試等級(jí)分超過(guò)80分的約有450人C.這次考試等級(jí)分在內(nèi)的人數(shù)約為997D.〖答案〗CD〖解析〗對(duì)于A，由題設(shè)，均值，方差，所以標(biāo)準(zhǔn)差為5，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以人，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則人，故C正確；對(duì)于D，故D正確．故選：CD.10.如圖，函數(shù)的部分圖象與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)、、，且的面積為，則（）A.點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1B.在上單調(diào)遞增C.點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.的圖象可由的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將圖象向左平移個(gè)單位得到〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，由周期可知，，所以，則，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，故A正確；即，且，所以，即，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，，所以點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故C正確；對(duì)于D，將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），得，再將圖象向左平移個(gè)單位得，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11.用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，也即圓錐曲線.探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圓錐軸截面的頂角為時(shí)，若截面與軸所成的角為，則截口曲線的離心率.例如，當(dāng)時(shí)，，由此知截口曲線是拋物線.如圖，圓錐中，、分別為、的中點(diǎn)，、為底面的兩條直徑，且、，.現(xiàn)用平面（不過(guò)圓錐頂點(diǎn)）截該圓錐，則（）A.若，則截口曲線為圓B.若與所成的角為，則截口曲線為橢圓或橢圓的一部分C.若，則截口曲線為拋物線的一部分D.若截口曲線是離心率為的雙曲線的一部分，則〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，由題意知過(guò)MN的平面與底面不平行，則截口曲線不為圓，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，與所成的角為，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，所以平面截該圓錐得的截口曲線為橢圓或橢圓的一部分，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，SOD，所以平面SOD，又因?yàn)槠矫鍿OD，所以又為、的中點(diǎn)，所以，平面MAB，所以平面MAB，所以與SO所成的角為，所以，，故C正確；對(duì)于D，截口曲線是離心率為的雙曲線的一部分，則，所以平面，故平面不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，故D正確．故選：BCD.第Ⅱ卷非選擇題三、填空題12.寫(xiě)出一個(gè)滿足，且的復(fù)數(shù)，________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗設(shè)，，因?yàn)椋?，，由，解得或，則（〖答案〗不唯一）.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.13.已知直線x+y=a與圓交于A?B兩點(diǎn)，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______.〖答案〗〖解析〗因，由向量加法和減法的幾何意義知，以線段OA，OB為一組鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線長(zhǎng)相等，從而這個(gè)平行四邊形是矩形，即，又，則是等腰直角三角形，于是點(diǎn)O到直線AB距離為，所以，即.故〖答案〗為：14.已知數(shù)列：0，2，0，2，0，現(xiàn)按規(guī)則：每個(gè)0都變?yōu)椤?，0，2”，每個(gè)2都變?yōu)椤?，2，0”對(duì)該數(shù)列進(jìn)行變換，得到一個(gè)新數(shù)列，記數(shù)列，，則數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_(kāi)_______，設(shè)的所有項(xiàng)的和為，則________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)楣?項(xiàng)，在f作用下，每個(gè)項(xiàng)都變?yōu)?個(gè)項(xiàng)，所以的項(xiàng)數(shù)是首項(xiàng)為5，公比為3的等比數(shù)列，所以的項(xiàng)數(shù)為根據(jù)變換規(guī)則，若數(shù)列的各項(xiàng)中，與0的個(gè)數(shù)相同，則與之相鄰的下一個(gè)數(shù)列中與0的個(gè)數(shù)也相同；若比0多個(gè)，則與之相鄰的下一個(gè)數(shù)列中比0的個(gè)數(shù)少個(gè)；若比0少個(gè)，則與之相鄰的下一個(gè)數(shù)列中比0的個(gè)數(shù)多個(gè)；因?yàn)橹杏许?xiàng)，其中個(gè)，個(gè)0，比0少個(gè)，所以的項(xiàng)中，比0的個(gè)數(shù)多個(gè)；以此類(lèi)推，若為奇數(shù)，則數(shù)列的各項(xiàng)中比0少個(gè)，若為偶數(shù)，則數(shù)列的各項(xiàng)中比0多個(gè)；所以數(shù)列中2比0多1個(gè)，所以故〖答案〗為：；.四、解答題15.中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、.（1）若，，求的值；（2）求證：（1）解：因?yàn)?，所以，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，整理可得，所?（2）證明：，由正弦定理可得，由余弦定理可得，所以.16.設(shè)是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：①方程有實(shí)根；②在定義域區(qū)間上可導(dǎo)，且滿足.（1）判斷，是否是集合中的元素，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)函數(shù)為集合中的任意一個(gè)元素，證明：對(duì)其定義域區(qū)間中的任意、，都有.解：（1）當(dāng)時(shí)，，滿足條件②；令，則，在上存在零點(diǎn)，即方程有實(shí)數(shù)根，滿足條件①，綜上可知，（2）不妨設(shè)在D上單調(diào)遞增，，即①令則，在D上單調(diào)遞減，，即，②由①②得：17.2023年，我國(guó)新能源汽車(chē)產(chǎn)銷(xiāo)量占全球比重超過(guò)60%，中國(guó)成為世界第一大汽車(chē)出口國(guó).某汽車(chē)城統(tǒng)計(jì)新能源汽車(chē)從某天開(kāi)始連續(xù)的營(yíng)業(yè)天數(shù)與銷(xiāo)售總量（單位：輛），采集了一組共20對(duì)數(shù)據(jù)，并計(jì)算得到回歸方程，且這組數(shù)據(jù)中，連續(xù)的營(yíng)業(yè)天數(shù)的方差，銷(xiāo)售總量的方差.（1）求樣本相關(guān)系數(shù)，并刻畫(huà)與的相關(guān)程度；（2）在這組數(shù)據(jù)中，若連續(xù)的營(yíng)業(yè)天數(shù)滿足，試推算銷(xiāo)售總量的平均數(shù).附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中，.樣本相關(guān)系數(shù)，.解：（1）因?yàn)?，，可以推斷連續(xù)的營(yíng)業(yè)天數(shù)與銷(xiāo)售總量這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng)．（2），（負(fù)值已舍去），而，從而.18.如圖，矩形中，，.、、、分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，設(shè)，.（1）證明：直線與的交點(diǎn)在橢圓：上；（2）已知為過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的弦，直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，若，試判斷、、是否成等比數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）證明：設(shè)，依題意，，，，，則直線的方程為，①直線的方程為，②①×②得：即故直線與的交點(diǎn)M在橢圓上；（2）解：依題意，直線的斜率均不為零，故設(shè)直線PO的方程為，直線MO的方程為由得：由得即成等比數(shù)列.19.日常生活中，較多產(chǎn)品的包裝盒呈正四棱柱狀，比如月餅盒.烘焙店在售賣(mài)月餅時(shí)，為美觀起見(jiàn)，通常會(huì)用彩繩對(duì)月餅盒做一個(gè)捆扎，常見(jiàn)的捆扎方式有兩種，如圖（A）、（B）所示，并配上花結(jié).圖（A）中，正四棱柱的底面是正方形，且，.（1）若，記點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為.（?。┣缶€段的長(zhǎng)；（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.（2）據(jù)烘焙店的店員說(shuō)，圖（A）這樣的捆扎不僅漂亮，而且比圖（B）的十字捆扎更節(jié)省彩繩.你同意這種說(shuō)法嗎？請(qǐng)給出你的理由.（注意，此時(shí)、、、、、、、這8條線段可能長(zhǎng)短不一）解：（1）（?。┤鐖D，以為原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為則有，取得點(diǎn)H到平面的距離，線段的長(zhǎng)為（ⅱ）設(shè)為的中點(diǎn)，則且，由（?。┲?，又為平面ABCD