高中數學：基本初等函數導學案(含答案)

第二章基本初等函數（I）

2.1指數函數

一、根式

1.〃次方根的概念

一般地，如果,那么x叫做a的〃次方根，其中〃>1,neN,.

2."次方根的性質

（1）當"是時，正數的〃次方根是一個正數，負數的〃次方根是一個負數.這

時，。的〃次方根用符號標'表示.

（2）當〃是時，正數。的〃次方根有兩個，這兩個數互為相反數.這時，正

數。的正的〃次方根用符號標表示，負的〃次方根用符號-布表示.正的〃次方根與負的〃

次方根可以合并寫成土加3>0）.負數沒有偶次方根.

（3）0的任何次方根都為0,記作而=0.

3.根式的概念

式子后叫做根式，這里〃叫做根指數，a叫做被開方數.

4.根式的性質

根據〃次方根的意義，可以得到:

(1)即)”=a(〃>l,且〃eN*)；

（2）當"為奇數時，折=a；

a,a>0

（3）當"為偶數時,yfa"=同=<

-a,a<0

二、實數指數塞

1.分數指數幕

（1）我們規(guī)定正數的正分數指數累的意義是加=而（。>0,加,〃€m,且〃>1）.

于是，在條件a>0,機,〃eN,,且〃>1下，根式都可以寫成分數指數基的形式.

（2）正數的負分數指數基的意義與負整數指數幕的意義相仿，我們規(guī)定

1*

an=—(a>O,/77,/7eN\

an且〃>D

(3)0的正分數指數累等于0,0的負分數指數累沒有意義.

2.有理數指數塞

規(guī)定了分數指數累的意義之后，指數的概念就從整數指數幕推廣到了有理數指數.整數指

數累的運算性質對于有理數指數哥也同樣適用，即對于任意有理數r,s,均有下面的運算

性質：

(1)aras=(a>0,r,seQ)；

r

(2)(a)'=(?>0,r,AGQ)；

(3)(ab\=(?>O,b>O,rGQ).

3.無理數指數幕

對于無理數指數毒，我們可以從有理數指數幕來理解，由于無理數是無限不循環(huán)小數，因

此可以取無理數的不足近似值和過剩近似值來無限逼近它，最后我們也可得出無理數指數

累是一個確定的實數.

一般地，無理數指數毒a“(a〉0,a是無理數)是一個確定的實數.有理數指數基的運算性質

同樣適用于無理數指數事.

4.分數指數幕與整數指數塞的區(qū)別與聯(lián)系

m

分數指數累加(。>0,北〃eN*,且〃>1)和整數指數幕/都是有理數指數幕，都可以利用有理

數指數累的運算性質進行運算，這是他們相同的部分.整數指數幕表示的是相同因式的連

乘積，而分數指數基/不可以理解為絲個a相乘.

n

三、指數函數

1.指數函數的概念

一般地，函數叫做指數函數，其中X是自變量，函數的定義域是R.

2.指數函數y=a'(a〉0,且awl)的結構特征

(1)底數：大于零且不等于1的常數；

(2)指數：僅有自變量才；

2

(3)系數：a'的系數是一

四、指數函數的圖象與性質

1.一般地，指數函數>=。'3>0,且。聲1)的圖象和性質如下表所示:

Q<a<\a>l

圖象u.

y=a^\l

o|X

定義域R

值域(0,+oo)

奇偶性非奇非偶函數

對稱性函數片""與尸a'的圖象關于y軸對稱

過定點過定點(0,1)，即x=0時，y=l

單調性在R上是____________函數在R上是____________函數

函數值的當x<0時，y>1；當x〉0時，y>1；

變化情況

當x>0時，0<y<1當x<0時，0<y<l.

2.指數函數y=a\a〉0,且。工1)中的底數對其圖象的影響

指數函數在同一坐標系中的圖象的相對位置與底數大小關系如下圖所示，其中

在y軸右側，圖象從上到下相應的底數由大變小，在y軸左側，圖象從下到上相應的底數由

大變小，即無論在y軸的左側還是右側，底數按逆時針方向.

3

例題講解

1.分數指數幕與根式的轉化

在解決根式與分數指數基互化的問題時，應熟記根式與分數指數幕的轉化公式.當要化簡

的根式為多重根式時，要搞清楚哪個是被開方數，由里向外用分數指數幕依次寫出.

【例1】下列關系式中，根式與分數指數塞的互化正確的是(C)

A.-4二(一九)'(x>0)B.正=y3(y<0)

C.x2y3='?(x>0,y>0)D.x3=0)

2.指數塞的運算

進行指數暴的運算時，一般化負指數為正指數，化根式為分數指數事，化小數為分數，同

時兼顧運算的順序.對于含有字母的化簡求值的結果，一般用分數指數幕的形式表示

【例2】化簡:

I91?_3-2—2—2—2

4X+yXy

⑴加疔+跖;叱；(2)0.001^-(1)°+16+(V2-W;(3)22-2~2.

x3+y3x3-y3

【解】⑴因為它有意義，所以a>0,所以原式期尷.///.涓="+必="。=1.

(2)原式=(10-3戶_1+(2產

=10-1+8+23-32=89.

_2_2_2_2

-222233333333

()X+y-x~-y~=(x)+(y)(x)-(y)

1J1-2222—2222

333333

x+yx-yx33x-y

_2_2_2_2_2_2_2_2_2_2

=[(x§)2-x3?y3+(y^)2]-[(x))2+x§?y?+(y^)2]=-2x.

3.知值求值問題

帶有附加條件的求值問題，一般不求出單個式子或未知數的值，而是利用整體思想，將所

求式子轉化為已知的式子.

1_1

【例3】已知/+〃"=3,求下列各式的值:

(1)(2)a2+a~2.

【解析】(1)將。1+。飛=3兩邊平方，得a+〃T+2=9,即。+〃T=7.

(2)將〃+0-1=7兩邊平方,得4，+4--+2=49>「.才+4~=47?

4

4.指數函數的概念

(1)判斷一個函數是否為指數函數，只需判斷其解析式是否滿足：①優(yōu)的系數是1；②底數

。滿足a>0,且071；③指數是X；④定義域是R.

(2)已知函數類型時，通常設出函數的解析式，利用待定系數法求解.

【例4】已知指數函數/(x)的圖象經過(-2,1~),試求/(-1)和/(2)的值.

16

【解析】設/(X)=a\a>0,且aW1),???函數/(x)的圖象經過(-2,口，，-=J_，解得。=±4,

1616

又a>0,則a=4,/(x)=4r,則/(-1)=4T=L，/(2)=42=16.

4

5.指數函數的圖象

(1)由于指數函數y=a'(a>0,且awl)的圖象過定點(0,1),因此形如

丁=屋罐+。+伙攵工0,?！?,且的函數圖象過定點的問題，可令指數為0,即令x+c=0,

即x=-c,得3；=&+6,從而圖象過定點(-c,R+8).

(2)指數函數在同一平面直角坐標系中的圖象的相對位置與底數大小的關系總結如下：

在y軸右側，圖象從上到下相應的底數由大變??；

在y軸左側，圖象從下到上相應的底數由大變小.

(3)判斷底數大小的方法：過點(1,0)作與y軸平行的直線，則該直線與指數函數圖象交

點的縱坐標即該指數函數的底數.

【例5】如圖中的曲線兄C，%&是指數函數的圖象，已知對應函數的底數。的值可取為應，

431

則相應于曲線G,C,G,G,a依次為(D)

3105

A.，0，

5

]_34

C.，O,D.0

55To3

5

6.與指數函數相關的定義域和值域問題

（1）求與指數函數有關的函數的定義域時，首先觀察函數是丁=優(yōu)型還是>=型，前者

的定義域是R，后者的定義域與f（x）的定義域一致，而求y=77而型函數的定義域時，往

往轉化為解指數不等式（組）.

（2）對于值域問題，一方面要考慮函數的定義域和單調性，另一方面還必須兼顧指數函數的

值域是（0,+8）.

【例6】（1）函數y=g）問的定義域是,值域是.

（2）函數丁=2的的定義域是,值域是.

【解析】（1）顯然函數y=（1）w的定義域是R.

由于|x+l典而所以J有最大值1,即值域為（0,1].

X-1

（2）因為x+lwO,所以xhT,則函數y=2-的定義域是（YO「1）U（-L”）.

因為指數函數的值域是（0,+x）,

x-12—

又——=1-----=1,所以"2,則函數y=2z的值域為（0,2）U（2,+oo）.

x+1x+1

7.指數函數單調性的應用

（1）比較大?。簩χ笖凳奖容^大小時，要看底數與指數是否相同，若底數相同、指數不

同，可直接利用單調性比較；若底數不同、指數相同，可利用指數函數的圖象解決；若底

數不同、指數也不同，可以采用中間量法，中間量常取L

（2）解含指數式的不等式：先將不等式的兩邊化成同底的指數式，再利用指數函數的單

調性去掉底數，轉化為熟悉的不等式求解.

232

【例7】設a=（|j,O=Cj,c=1|J,則a”,c的大小關系是（A）

A.a>c>bB.a>b>cC,c>a>bD.b>c>a

6

32

【解析】對于函數V=(1)\在其定義域上是減函數，?.[>[,二；<：|j,即b<C.

32

在同一平面直角坐標系中畫出函數y=(,)x和函數v=(-)x的圖象，可知即a>c.從

而b<c<a.故A正確.

8.忽略”的范圍導致式子后(aeR)化簡出錯

【例8】化簡：y(i+G)3+y(i一百卜.

【解】1(1+6)3+/1-9=I+G+GT=2百.

9.利用換元法時，遺漏指數函數的值域導致出錯

【例9】求函數y=，)'+(g)'+l的值域.

【解】令，=(')”，Ze(0,+oo),則y=/+/+1=?+!)2+』.

224

因為函數y=(f+；)2+,在/e(0,+00)上單調遞增，

所以y>1,即函數y=(；)'+(fx+1的值域為(l,+oo).

基礎過關

1.函數尸3'(-2Wx〈l)的值域是(B)

A.[3,9]B.[-,9]C.3]D.

3393

2.函數片2小的大致圖象是(A)

3.函數〃x)=(g)修的單調遞增區(qū)間為(B)

A.(1,+8)B.(0,+8)c.(-8,0)D.(-1,1)

4.若a>0,且m，〃為整數，則下列各式中正確的是(D)

7

in

1

A.a"'+a"=a，B.a'"-a"=a""C.a,n"=am+nD.

5.如果a>l,b<-l,那么函數/'(x)=a*+6的圖象在(B)

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第二、三、四象限D.第一'、二、四象限

6.函數的圖象是(B)

(D)

A.2<a<3B.-<a<-C.a>lD.0<a<l

32

8.函數f(x)=(a-1)'在(-8,+8)上是減函數，則實數a的取值范圍是(C)

A.a>lB.a<2C.Ka<2D.aWl

9.若10小=25,則10'的值為(B)

D.」-

AB.-C.,1

-455625

10.函數f(x)=a(a>0,且aWl)對于任意的實數X、y都有(B)

A.f(燈)=f(x),/(y)B.f(x+y)-f(T),/1(/)

C.f(xy)=f(x)+f(y)D.f(x+y)=f(x)+/(y)

11.化簡：(/9)6=xy

2

12.計算(-8)3X

13.函數產2"-1的值域為一1,4-oo)

能力提升

14.已知F(x)=3'+3，若f(a)=4,貝ijf(2a)=(B)

A.4B.14C.16D.18

15.已知函數f(x)=a'+a，且f(l)=3,則/'(0)+3(1)+f(2)的值是(C)

A.14B.13C.12D.11

8

16.已知才0.4°'3,trO.30-4,CFO.3-0%則(A)

A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.水ZKc

17.已知函數/(力二亍擊是奇函數，則/(/的值等于(C)

A.--B.3C.」或3D.，或3

333

3m-n

18.若10%=2,10"二=4,貝HO2=0

19.已知實數x滿足5-10%8*,則尸___________.

4

20.函數尸H*+2(a〉0且的圖象一定過定點―(2,3)

21.若a>0且aWl,則函數尸且1-1的圖象經過定點—(1,0)一

22.計算下列各式的值:

1(-()0+16075+0.01^；(2)(2；戶—(—9.6)°—(，戶+(*-2.

(1)0.0645-

,」-15148

【解析】(1)原式二(04)3—1+164H—=—1+8H—=—；

102105

(2)品9

23.已知函數/'(x)=a—(x20).其中a>0且aWl.

(1)若/'(x)的圖象經過點(2,g)求a的值；(2)求函數片/'(x)(*20)的值域.

【解析】〈D出數圖象過點[2,；],

所以，則a=:；

27

(2)/(x)e(A>O),

由x>Q得x—1>—1f

當0vo<l時，/&r】,所以/(X)的值域為(0,<r]]j

當o>l時，心1次1,所以/(x)的值域為51，y>>.

24.已知函數f(x)=(▲)”,a為常數，且函數的圖象過點(-1,2).

2

9

(1)求a的值；(2)若g(x)=4一'-2,且g(x)=f(x),求滿足條件的x的值.

【解析】(1)由已知得(L)"=2,解得才1.(2)由(1)知f(x)=('),,又g(x)

22

=f(x),則4'-2=(L)即([)*-(!)"-2=0,即[(L)/了-(1)■,-2=0,令(！)

242222

*=3則t2-t-2=0,即(t-2)(Z+1)=0,又t>0,故t=2,即([)'=2,解得A=-1滿足

2

條件的X的值為-1.

真題再現(xiàn)

25.【2018年新課標I卷文】設函數=則滿足/(x+l)</(2x)的x的取值

Lx>0

范圍是(D)

A.(f,-1]B.(0,+oo)C.(-1,0)D.(—,0)

26.(2017?高考新課標I卷理)已知集合4={x|水新,B={x\3x<l},則(A)

A.An8={x|x<0}B.AU8=R

C.AU8={X|X>1}D.AC|8=0

27.(2017?高考北京卷)已知函數/(x)=3'-(；)x,則/(x)=(A)

A.是奇函數，且在R上是增函數B.是偶函數，且在R上是增函數

C.是奇函數，且在R上是減函數D.是偶函數，且在R上是減函數

28.(2017?高考新課標III卷)設函數=f+則滿足/(幻+/*_1)>1的x的取值范

2A,x>0,2

(二+oo)

圍是_4，+0°.(偏難，原考題放在高考考題的16題，初學可否刪掉？)

2.2對數函數

一、對數

1.對數的概念

(1)對數:一般地，如果優(yōu)=N(a>0,且"1),那么數x叫做以a為底A'的對數,記作,

其中a叫做對數的底數，及叫做真數.

(2)常用對數：通常我們將以為底的對數叫做常用對數，并把IO&QN記為lgN.

10

(3)自然對數：在科學技術中常使用以無理數e=2.71828……為底數的對數，以e為底的

對數稱為自然對數，并把log。N記為In兒

2.對數與指數的關系

當a>0,且時，a"=Nob=log,,N.即

a>0aWl

ab=NbTo&N

N>0十

3.對數的性質

根據對數的概念，知對數log,,N(a>0,且aMl)具有以下性質:

(1)負數和零沒有對數，即N>0；

(2)1的對數等于0,即log.1=0；

(3)底數的對數等于1,即log?=l.

二、對數的運算

1.基本性質

若a>0,且"l,N>0,則

(1)a哨'=；

(2)log“〃=.

2.對數的運算性質

如果a>0,且aHl,M>0,N>0,那么:

(1)\oga(M-N)=

(3)logM=(?eR).

三、換底公式及公式的推廣

1.對數的換底公式

11

IngN

logfcN=——(b>0,SJ)*l;c>0,Kc\-,N>0).

log加

【注】速記口訣：

換底公式真神奇，換成新底可任意，

原底加底變分母，真數加底變分子.

2.公式的推廣

(1)log〃6=」一(其中a>0且awl；力0且bHl)；

log,,a

(2)log,/"=log“》(其中a〉0且awl；b>0)；

(3)\og?bm=-\ogb(其中a>0且a關1；?0)；

ana

(4)logjb=-\ogab(其中a>0月.owl；b>0)；

a

(5)log?b-log/7c-logc.d=log;,d(其中a,b,c均大于0且不等于LcZ>0).

四、對數函數

1.對數函數的概念

一般地，我們把函數y=log“x(a>0,且叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義

域是____.

2.對數函數y="(a〉0,且。工1)的結構特征

(1)對數符號前面的系數是1；

(2)對數的底數是不等于1的正實數(常數)；

(3)對數的真數僅有自變量工

五、對數函數的圖象與性質

1.一般地，對數函數y=log“光(。>0,且。工1)的圖象和性質如下表所示：

Ovacla>\

12

對數增減有思路，函數圖象看底數;

底數只能大于0,等于I了可不行;

底數若是大于1,圖象從下往上增;

底數0到1之間，圖象從上往下減;

無論函數增和減，圖象都過(1,0)點.

2.對數函數y=log”x(a>0,且aw1)中的底數對其圖象的影響

在直線尸1的右側，當a>l時，底數越大，圖象越靠近x軸；當時，底數越小，圖

象越靠近x軸，即“底大圖低”.

六、反函數

根據指數與對數的關系，將指數式丁=優(yōu)(?！?,且。/1)(其中》是自變量，且xeR,y是

x的函數，ye(0,+8))化成對數式，即無=log〃y,于是對于任意一個ye(0,+oo),通過式

子x=log〃y都有唯---個xeR與之對應，這樣將y看成自變量，x是y的函數，這時我

們就說x=log”y(ye(0,+oo))是函數y=a*(xGR)的反函數.

13

由于習慣上將X看成自變量，而將y看成因變量，因此，我們將x=log“y中的x,y互換,

寫成y=log“x（尤e（0,+oo））,即對數函數y=log"X（xe（0,+8））是指數函數y=優(yōu)（尤eR）的反

函數，它們的圖象關于直線y=x對稱.

例題講解

1.對數的概念

解決使對數式有意義的參數問題，只要注意滿足底數和真數的條件，然后解不等式（組）

即可.對數的概念是對數式和指數式互化的依據，在互化過程中應注意對數式和指數式之

間的對應關系.

【例1】在對數式log（,T（3-x）中，實數x的取值范圍應該是（D）

A.Kx<3B.x>l且x#2c.x>3D.1<水3且x#2

'3-x>0

【解析】要使對數式log：i）（3-x）有意義，需，x-l>0,解得l<x<3且/2.

x-1

2.對數運算性質的應用

對數的運算性質是進行對數運算和化簡的基礎，所以要熟記對數的運算性質以及對數恒等

式，化簡的原則是：

（1）盡量將真數化為“底數”一致的形式；

（2）將同底的多個對數的和（差）合成積（商）的對數；

（3）將積（商）的對數分成若干個對數的和（差）.運算時要靈活運用對數的相關公式

求解，如log"=l（a>0,且"1）,log“b.log&a=l等.

【例2】計算：(1)log互+&(6-拒)-2*9；(2)(Ig5)2+lg2xlg5+lg2.

【解析】⑴因為logo/（道一正心儂普了

\/3+->/2

2匕丸9==2匕殳抬=后,

所以log方由比_6_炸9=_”出.

(2)(Ig5)2+lg2xlg5+lg2=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg(2x5)=l.

3,換底公式的應用

14

換底公式即將底數不同的對數轉化為底數相同的對數，進而進行化簡、計算或證明.換底

公式應用時究竟換成什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對數或以e

為底的自然對數.

【例3】已知=^,log74=Z?,試用表示log4948.

【解析】vW=」,，。=螞.???1(唱74="...〃=處.

⑺3lg71g7

mJ40lg48lg4lg3,a2b+a

則1(峪4948=-^—=耳+-^=6+—=--------.

49lg49lg721g722

【點睛】在解題的方向還不清楚的情況下，一般統(tǒng)一為常用對數(當然也可以換成其他非

1的正數為底).

4.對數方程的求解

解對數方程時，(1)等號兩邊為底數相同的對數式，則真數相等；(2)化簡后得到關于

簡單對數式的一元二次方程，再由對數式與指數式的互化求解.

【例4】方程log2(91-5)=log?(3,T-2)+2的解為.

x1

【解析】..Tog式產-5)=log2(3--2)+2,

I1I,

.1.log2(9--5)=log2[(3--2)x4],

.-.9I-1-5=4(3I-1-2),即(31)2-12><31+27=0,即(3*-3)(3"-9)=0,解得3*=3或3r=9,

則x=l或x=2.

當x=l時，9z-1-5<0,3網一2<0,故舍去.

從而x=2.

【名師點睛】本題所給方程的底數相同，若底數不同，則還需化為同底數再求解.另外,

解對數方程必須把所求得的解代入原方程進行檢驗，以確保所有的真數都大于零，這是必

不可少的步驟.

5.與對數函數有關的函數的定義域和值域

定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求與對數函數有關的定義域問題時，要注

意對數函數的概念，若自變量在真數上，則必須保證真數大于0；若自變量在底數上，應

保證底數大于0且不等于1.同時還要注意偶次方根的被開方數非負，分母不能為零等.

15

求值域時，一方面要抓住對數函數的定義域和單調性，另一方面，若是復合函數，則要抓

住中間變量的取值范圍.

【例51已知函數f(x)=log3(2-x)+log3(x+6).

(1)求函數/(x)的定義域；(2)求函數/(x)的最大值.

【解析】(1)由題意得廣">°,解得-6<x<2,故函數/(x)的定義域是(-6,2).

x+6>0

=—

(2)f(x)=log3(2—x)4-log3(x4-6)log3(—4-x+12)?xG(-6,2).

令，=一爐一4%+12=—(%+2)2+16,則re(0,I6].又y=log3,在re(0,16]上為增函數，，

/(x)的最大值是/(-2)=log316=41og,2.

【名師點睛】求函數的最值，一定要堅持“定義域優(yōu)先”的原則.由對數函數組成的復合

函數的最值問題，可利用換元法求解，但要注意中間變量的取值范圍

6.對數函數的圖象

對數函數y=log“x(a>0,且axl)的圖象過定點(1,0),所以討論與對數函數有關的函數的

圖象過定點的問題，只需令真數為1,解出相應的x,y,即可得到定點的坐標.

當底數。>1時，對數函數/(x)=log"X是(0,+oo)上的增函數，當1>1時，底數。的值越小，

函數圖象越“陡”，其函數值增長得越快；當底數0<。<1時，對數函數/(x)=log“尤是(0,+oo)

上的減函數，當0<x<l時，底數a的值越大，函數圖象越“陡”，其函數值減小得越快.也

可作直線片1與所給圖象相交，交點的橫坐標即為各個底數，依據在第一象限內，自左向

右，圖象對應的對數函數的底數逐漸變大，可比較底數的大小.

【例6】設。>0,且函數y=2+log.(x+2)的圖象恒過定點尸，則尸點的坐標是(A)

A.(-1,2)B.(2,-1)C.(3,-2)D.(3,2)

【解析】當x+2=l,即x=-l時，y=2+logKx+2)=2恒成立，故函數y=2+log0(x+2)的圖象恒

過定點尸(-L2),故選A.

【名師點睛】本題求定點坐標的依據是對數函數產log“x(a>0,且awl)的圖象過定點(1,0),

不必分a>1和0<a<1兩種情況討論.

16

7.對數函數單調性的應用

(1)比較對數式的大?。喝舯容^同底數的兩個對數式的大小，可直接利用對數函數的單

調性；若比較底數不同、真數相同的兩個對數式的大小，可以先用換底公式化為同底后，

再進行比較，也可以利用順時針方向底數增大畫出對數函數的圖象，再進行比較；若比較

底數與真數都不同的兩個對數式的大小，常借助1,0等中間量進行比較.

(2)解簡單的對數不等式：形如log”x〉log*的不等式，常借助產log〃x的單調性求解，

如果。的取值不確定，需分。>1與0<。<1兩種情況進行討論；形如log.的不等式，

應將人化為以“為底數的對數式的形式，再借助的單調性求解.

_111

【例7】已知a=23,Z?=k)g2-,c=log|-，則(C)

3T3

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>hD.c>h>a

-1.11

【解析】0<a=2-<2W=l,d=log-<iog-,l=0,c=logi—=log、3>log2=1.\c>a>b,

23J325

故選C.

【名師點睛】本題中既有指數式，又有對數式，無法直接比較大小，可借助中間量1,0

來進行比較.

8.對數型復合函數的性質及其應用

(1)對數復合函數的單調性

復合函數尸Hg(x)］是由尸f(x)與度g(x)復合而成，若f(x)與g(x)的單調性

相同，則其復合函數Hg(x)］為增函數；若/'(X)與g(x)的單調性相反，則其復合函

數(X)］為減函數.

對于對數型復合函數片log"(X)來說，函數度log/(X)可看成是片log”與u=f(X)

兩個簡單函數復合而成的，由復合函數單調性''同增異減”的規(guī)律即可判斷.另外，在求

復合函數的單調性時，首先要考慮函數的定義域.

(2)對于形如產log"(x)(a>0,且aWl)的復合函數，其值域的求解步驟如下：

①分解成片log/，u=f(X)兩個函數；

②求f(X)的定義域；

③求U的取值范圍；

④利用尸10g,u的單調性求解.

17

【例8】討論函數/(x)=log“(3x2-2x-l)的單調性.

【解析】由3*-2xT>0,得函數的定義域為{x|x〉l或矛<-'}.①當a〉l時，若x>1,Y￡/=3f

3

-2^-1為增函數，.?.F(x)=log“(3*Vx-l)為增函數.若求-1，?.?史3VVx-l為減函數,

3

:.f3=loga(3系也x-1)為減函數.②當0<a<l時，若*>1,則f(x)=logfl(37-2%-1)

為減函數，若求」，則/'(*)=loga(3/^z-l)為增函數.

3

【名師點睛】求復合函數單調性的具體步驟是：(1)求定義域；(2)拆分函數；(3)分別

求片F(xiàn)(u),(x)的單調性；(4)按“同增異減”得出復合函數的單調性.

9.K易錯——忽略真數大于0

【例9】已知lgx+lgy=21g(2x-3y),求logs—的值.

2y

【錯解】因為Igx+lgy=21g(2x-3y),所以砂=(2%-3?,即4/一13孫+9y?=0,即

QY

(x-y)(4x-9y)=0,解得x=y或x=—y.所以log3—=log31=0或

4-Di

【錯因分析】錯解中，Igx+lgy=21g(2x-3y)與孫=(2x-3y)2對的取值范圍要求是不同

的，即求解過程不等價，因此，得出解后要代入原方程驗證.

Q

【正解】同錯解，得至Ux=y或兀=^^.由lgx+lgy=21g(2x—3y)知，x>(),y>0,2x-3y>0,

當％=丁時，2x-3y<0,止匕時lg(2x—3y)無意義，所以x=y,即log?±=kg1=0應舍去；

”i

2

當X=gy時，log3-=log3=log,(-^)=2.

45y5422

【名師點睛】求解有關對數恒等式或不等式的過程中，經常需要將對數符號“脫掉”，此時

很容易忽略原式中對數的真數大于0這一隱性限制條件，從而導致求出的最終結果中產生增

根或范圍擴大，因此要求我們對于此類題，一定要將求出的結果代入原式中進行檢驗.

10.K易錯——忽略對底數的討論

【例10】不等式log/4-x)>-log〕x的解集是.

18

llE^l-/-log1x=logax,

a

，原不等式等價于log<4-力>logaX，

x>0

當a>l時，-4-x>0,解得(K;r<2.

4-x>x

x>0

當0<a<l時，U-x>0,解得2<x<4.

4—x<x

不等式log14-力〉-loglx的解集為(0,2)U(Z4).

a

【名師點睛】解對數不等式時，要防止定義域擴大，途徑有兩種：一是不同解變形，最后一

定要檢驗；二是解的過程中加上限制條件，如正解，使定義域保持不變，即進行同解變形，

最后通過解不等式組得到原不等式的解，這樣得出的解就不用檢驗了.

基礎過關

1.log?§+k>g26等于(B)

A.1B.2C.5D.6

2.實數(-g)°+lg4+21g5的值為(C)

A.1B.2C.3D.4

3.已知函數f(x)=log2(3+x)+log2(3-x),則/4(1)=(C)

A.1B.log26C.3D.log29

4.若log2〃+log/=2,則有(C)

2

A.a=2bB.b^2aC.a-AbD.4a

5.設〃log2X)=2v(x>0),則f(3)的值是(B)

A.128B.256C.512D.8

6.Iog51+log53等于(A)

3

A.0B.1C.-1D.log,—

3

1231

7.若<3=(一)3左(一)？，(?=log3,則ab,c大小關系是(A)

242

19

A.水伙。B.b<a<cC.b<c<aD.c〈伙a

3

8.若43°”,Z^O.4,c-logo.43,貝ij(D)

A.從水。B.c<.a<bC.a<c<bD.c〈欣a

9.若5"=2}=102且a6c#0,則￡+二=(A)

ab

A.2B.1C.3D.4

10.已知log/vlogib,則下列不等式一定成立的是(A)

22

A.(；)”<(￥B.L>：C.In(a-Z>)>0D.3,,-4<l

11.函數y=Jlg(x+2)的定義域為—(-1,+8).

12.函數尸Igx的反函數是片1（/

13.函數/1(x)=5/1-Inx的定義域為(0,e]

14.設2*5'=加，且!+,=2,則加的值是__M.

xy

15.方程log2(2-x)+log2(3-x)=log212的解A=-1

能力提升

16.已知/'(x)=lg(10+%)+lg(10-%),則/'(x)是(D)

A.fQx）是奇函數，且在（0,10）是增函數

B.f（x）是偶函數，且在（0,10）是增函數

C.f（x）是奇函數，且在（0,10）是減函數

D.f（x）是偶函數，且在（0,10）是減函數

17.設正實數a,6滿足6"=2：則（C）

bbhb

A.0<-<lB.l<-<2C.2<-<3D.3<-<4

aaaa

18.根據有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限"約為3.，而可觀測宇宙中普通物質的原子

總數N為10*則下列各數中與絲最接近的是（D）

N

A.1033B.1053C.10"D.1093

19.若log?(log3a)=log3(log/)=log,t(log2c)=1,貝I]a,b,c的大小關系是(D)

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>d>a

20.若正實數必y滿足log?(戶3y)=logi/+log2(2y),則廣3y的最小值是(D)

20

A.12B.10C.8D.6

21.對任意的正實數x,y,下列等式不成立的是(B)

A.Igy-lgA=lg—B.1g(矛+y)=lgx+lg優(yōu).lgf=31gxD.1g-111r

xInlO

22.設函數尸/'(x)的圖象與尸log?(戶a)的圖象關于直線片-x對稱，且/'(-2)+/'(-

1)=2,則a=(D)

A.3B.1C.2D.4

23.已知函數f(x)=ln(-7-2^-3),則/'(x)的增區(qū)間為(B)

A.(-8,-i)B.(-3,-1)C.[-1,+8)D.[-1,1)

24.已知函數“x)=log1(x2_4x-5),則函數f(x)的減區(qū)間是(C)

2

A.(-8,2)B.(2,+8)C.(5,+°°)D.(-8,-1)

25.已知R上的奇函數F(x)滿足當時，f(x)=log2(1-%),則f(/XI))=(C)

A.-1B.-2C.1D.2

22

26.若實數a,6滿足a>6>l,爐log”(log力)，n=(log?/?),I=logoZ>,則加，n,/的大小

關系為(B)

A.ni>l>nB.7>77>ZZ?C.ri>l>mD.1>ni>n

27.函數f(x)=log“(3-ax)(a>0且aWl)在區(qū)間(a-2,a)上單調遞減，則a的取值

范圍為—{a|l〈aW6}.

28.已知函數/'(x)=a?2'+3-a(aGR)的反函數為尸尸(x),則函數尸尸(x)的圖象

經過的定點的坐標為(3,0).

29.若函數f(x)=log“(X,-ax+l)(a>0且aWl)沒有最小值，則a的取值范圍是—(0,

1)U[2,+8)

on4/27

10gs3S72

30.(1)2log32-log3y+log38-25；(2)log3^y-+lg25+lg4+7'°.

【解析】⑴原式=log：4—log3蓑+log：