初中數學圖形相似解答題訓練含答案

初中數學圖形相似解答題專題訓練含答案

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一、解答題(共15題)

1、如下列圖形所示，在平面直角坐標系中，一個三角板的直角頂點與原點。重合，在其繞

y=—x2

原點。旋轉的過程中，兩直角邊所在直線分別與拋物線2相交于點A.6(點/在

點B的左側).

4

(1)如圖1,若點/、B的橫坐標分別為-3、3,求線段AB中點P的坐標；

(2)如圖2,若點8的橫坐標為4，求線段AB中點P的坐標；

(3)如圖3,若線段AB中點P的坐標為(無用，求y關于x的函數解析式;

(4)若線段AB中點P的縱坐標為6,求線段AB的長.

圖1圖2圖3

BD=-BC

2、在“比中，NMC=90。，須=公，點Z)在邊BC上,3,將線段DB繞點

。順時針旋轉至DE,記旋轉角為連接BE,CE,以庭為斜邊在其一側制作等腰直

角三角形CSF.連接AF.

(1)如圖1,當&=180。時，請直接寫出線段融與線段物的數量關系;

(2)當0°<a<180。時,

①如圖2,(1)中線段〃'與線段班的數量關系是否仍然成立？請說明理由；

②如圖3,當5,E,尸三點共線時，連接AE,判斷四邊形絲理的形狀，并說明理

由.

3、如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,AC,BD交于點E,過點E作MN〃AD,

分別交AB,CD于點M,N.

(1)求證：△AME-AABC；

1_11

=+

(2)求證：MEADBC;

(3)若AD=5,BC=7,求MN的長.

些-坐-三坐迫

4、如圖，通=的=1,試求而和記的值.

5、已知2x+y2,求r的值.

6、已知x：y=3：5,y：z=2：3,求助一盧》的值.

7、如圖，AC是正方形ABCD的對角線,BE,±AC,EE_LAB,FIE2±AC,E2F2±AB,F2E3±AC.

(1)求AE：,：AB的值.

⑵作ESF3_LAB,F3E4±AC,…,Fn-iE?±AC,

求A&：AB的值.

abc

8、已知a+b+c=60,且345,求a、b、c的值.

9、已知：如圖，1,//12//13,AB=3,BC=5,DF=12.求DE和EF的

長.

10、如圖，ZXABC中,DE//BC,EF//AB.求證:AADE^AEFC.

11、如圖，,dir,CD為兩個建筑物，兩建筑物底部之間的水平地面上有一點麻.從建筑物/張

的頂點*測得,點的俯角為45°,從建筑物8的頂點C測得,點的俯角為75°,測得建

筑物/哥的頂點d的俯角為30°.若已知建筑物上哥的高度為20米，求兩建筑物頂點/、C之

間的距離（結果精確到工蹌，參考數據：W，=L414,君陽1加）

12、我們知道，將一條線段AB分割成大小兩條線段AP、PB,使AP>PB,點P把線段AB分

AP_BPPA

成兩條線段AP和BP,且而一品，點P就是線段AB的黃金分割點，此時AB的值為

（填一個實數）：

如圖，RtaABC中，ZB=90°,AB=2BC,現(xiàn)以C為圓心、CB長為半徑畫弧交邊AC于D,再

以A為圓心、AD長為半徑畫弧交邊AB于E.

求證:點E是線段AB的黃金分割點

13、如圖F為平行四邊形ABCD的AD延長線上一點,BF分別交CD、AC于G、E,若“32.GE8,

求BE。

14、如圖，四邊形48⑦和四邊形甌火相似，求N。、/￡的大小和陰的長度.

15、北京國際數學家大會的會標如圖2716所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小

正方形拼成的一個大正方形.

(1)試說明大正方形與小正方形是否相似？

(2)若大正方形的面積為13,每個直角三角形兩直角邊的和是5,求大正方形與小正方形的相

似比.

=======■——二二二^^二=========二=

一、解答題

_597317

1、(1)(-6,36)；(2)(2,7)；(3)y=—+2；(4)4而

【分析】

4

(1)根據點A、5的橫坐標分別為-3、3,可以先求的點A和5的坐標，平行線分

線段成比例定理可以得到SC=ED,然后即可得到點F的坐標；

(2)根據點5的橫坐標為4，可以求得點5的坐標，然后根據相似三角形的判定與性質，

可以求得點A的坐標，再根據(1)求中點坐標的方法可以求得點尸的坐標；

(3)根據相似三角形的判定與性質，可以求得點A和點5的坐標與點P坐標的關系，從

而可以得到》與x的關系；

(4)將夕=6代入(3)中的函數關系式，可以求得點P的橫坐標的平方，然后根據勾

股定理可以得到。尸的長，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到線段

4的長.

【詳解】

y=-x2—4

解：（1）???點A、B在拋物線,2上，點A、B的橫坐標分別為-3、3,

1/q、21n9

、［/2u-+J=不x(-3)=-x9=—

:當五二一3時，222,

當3時，,2'3，299,

（-3—）,48、

即點A的坐標為'50點B的坐標為k3,9?,

作/C_Lx軸于點C,作m_Lx軸于點D,作用_Lx軸于點E,如圖1所示,

■:點尸為線段期的中點，

PA=PB,

由平行線分線段成比例，可得SC=ED,

設點P的坐標為（P）,

4

…r-(-3)=--x

則3

“4)5

X=--------=

26,

98

2+9_97

同理可得，7廠-拓，

點尸的坐標為(-石，N；

y=—X2

(2)???點5在拋物線2上，點5的橫坐標為4,

y==8

.1點E的縱坐標為：2,

???點B的坐標為《,8),

?.8=4,DB=8,

作A7_Lx軸于點C,作此〃軸于點D,如圖2所示,

圖2

QZAOB=90°,ZACO=90°,Z.ODB=90°,

..ZAOC+ZBOD=90°,ZBOD+^OBD=90Q,^ACO^ZODB,

ZAOC=ZOBD9

MOOyy/^OBD,

AC_CO

：.OD=^B,

設點A的坐標為?*),

AC=-a2

2

-1a2

2___<￡

48,

解得生=°（舍去），的=-1

:點A的坐標為('-1'21),

8+1

-1+4_3

_2=￡

■中盧F的橫坐標為：丁二5,縱坐標為

I/、、、24,

初中點尸的坐標為G,彳）；

二.線段

(3)作』CJ_x軸于點C,作軸于點D,如圖所示,

由(2)知，LAOC^hJDBD,

AC_CO

：.OD=~DB,

1

設點A的坐標為5（a-2a，}，點5的坐標為（‘b’2'

1/

——5

2,

解得，ab=-49

???點F(XJ)是線段力8的中點，

x-"+&=/+亍'=〃=(。+匕)，-2曲

2,y24~

..以+3=2工，

皿_2上)=八2

4,

即V關于x的函數解析式是W/+2；

(4)當丫=6時，6=/+2,

：.x2=4,

???緲=歷了=疝7=2擷，刈。8是直角三角形，點P時斜邊4S的中點，

.-.J1B=2OF=4.y/lO,

即線段43的長是4而.

【點睛】

本題是一道二次函數綜合題目.主要考查平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性

質、直角三角形的性質、中點坐標公式，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的

條件，利用數形結合的思想解答.

2、(1)BE=42AF.(2)①BE:&F成立,理由見解析；②平行四邊形，理由

見解析；

【分析】

FC_AF

(1)如圖1,證明ABHEF,由平行線分線段成比例可得EC=~BE,由45。的余弦值可

得BE=42AF.

里=吟=短

(2)①根據兩邊成比例，夾角相等，證明"83WEC,即可得AF~AC~^；

②如圖3,過A作AM1.BC,連接MF,犯，防交于點N,根據已知條件證明EDIIFM,

根據平行線分線段成比例可得=根據銳角三角函數以及①的結論可得AF=EC,

根據三角形內角和以及“灰SAFEC可得&FE—FEC,進而可得AFIIEC,即可證明四邊

形是平行四邊形.

【詳解】

(1)如圖1,

圖1

ABAC=90°,AB=AC,

ZB=ZC=45°,

仍是以EC為斜邊等腰直角三角形,

..ZF￡C=45°,Z￡FC=90°,

ZB=ZFEC,

AB//EF,

.FC_AF

"~EC~'BE,

cFC反應

*.*cosC=—=cos45=—

EC2,

.拓一-T,

即BE=^2AF；

(2)①=仍然成立，理由如下:

如圖2,

圖2

ABAC=90°,AB=AC,

Z4BC=4CB=45。，

?；AC即是以EC為斜邊等腰直角三角形,

\?FCE45?,Z.EFC=90°,

ZFCE=ZACB,

:.cos乙FCE=cos乙4c8,

FCAC〃。應

----=-----=cos450二—

即ECBC2,

???乙FCE=&CB,

ZUZACE=Z2+ZACE,

/1=/2,

：.AFC^ASCS,

AF_AC_^2.

即BE=^2.AF.

②四邊形々CF是平行四邊形，理由如下：

如圖3,過A作AMLBC,連接MF,AC班交于點N,

圖3

ABAC=90°,AB=AC,

BM=MC=-BC

2,

?：DB=DE,

AEBD=ADEB,

^EDC=2^EBD,

仍是以EC為斜邊等腰直角三角形,

Z￡FC=90°,

-：B,E,尸三點共線，

?：BM=MC,

MF=-BC=BM

2,

..乙FBC=4BFM,

ZFMC=2ZFBC,

4FMC=4EDC,

..EDUFM,

.BE_BD

"~EF~'DM9

BD=^BC

V3,

/.DM=BM-BD=^BC-^BC=-

236,

8口_2

BB-BD-2

~EF~~DM~1,

BE=2EF,

由①可知BE=42AF,

AF=&EF,

?.?AC斯是以EC為斜邊等腰直角三角形,

EF=FC,EC=&EF,

..AF=EC,

???^FCA^ECB,

ZEBC=ZFAC,

?：ABNC=AANF,

AAFN=180°-2FAC-乙ANF/NCB=180°-AFBC-Z5M7

ZAFN=/LNCB,

即4F￡=N/CB=45。，

?;N斤EC=45。，

乙iFE="EC,

AF//EC,

四邊形功理是平行四邊形.

【點睛】

本題考查了等腰三角形性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊，平行線分線段成比例，相

似三角形的性質與判定，平行四邊形的判定，熟練掌握平行線分線段成比例以及相似三角形

的性質與判定是解題的關鍵.

35

3、(1)見詳解；(2)見詳解；(3)不

【分析】

(1)利用相似三角形的判定定理直接證明即可

(2)利用平行線分線段成比例定理，再證明△AMEsa/8C>ADENsaz^C,

△CENSCAD,△&磔saHBC,根據三角形相似的性質即可解答.

(3)結合(2)的結論將AD=5,BC=7,代入即可求得MN的長

【詳解】

(1)vMNHBC

△AMESXABC,

(2)vAf^//AD,AD/fBC

.DE_AE

"'BD~AC

???MN/IBC

..AAMECOAA?CADENGOADBC

AE_MEDE_NE

MENE

■■*

BCBC

:.ME=NE

-MN

E是MN的中點，ME=NE=2

?:ADMBOfMN

..△CgsCAD,△AMES匕ABC

NE__CEME_AE

~AD~~AC,~BC~'AC

NEMECEAEAC.

--+-------卜--=---=1

ADBCACACAC

NEME

7B+lc1

111

■?―

MEADBC

(3)結合(2)的結論,

?：AD=5fBC=l

111

-----------卜一

A/y57

?:ME=NE

MN=ME+NE=—=—

126

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理，解題關鍵是熟練掌握相似

三角形的判定定理，利用比例的等量關系解題.

4,25

9

5、4

31

6、17

7、(1)&：8(2)④：2n

8、【考點】比例的性質.

【專題】計算題.

abc

【分析】設345=k，根據比例性質得a=3k,b=4k,z=5k,再把a=3k,b=4k,z=5k代入a+b+c=60

中得到k的方程，然后解此方程求出k的值，從而可得到a、b、c的值.

abc

【解答】解：設3一4-5=1<,則a=3k,b=4k,z=5k,

a+b+c=60,

，3k+4k+5k=60,解得k=5,

.*.3=15,b=20,c=25.

【點評】本題考查了比例的性質：常用的性質有內項之積等于外項之積；合比性質；分比性

質；合分比性質；等比性質.

9、【考點】平行線分線段成比例.

【分析】根據行線分線段成比例的性質，得3：5=DE：(12-DE),先解出DE的長，就可以

得到EF的長.

【解答】解：

AAB：BC=DE：EF,

VAB=3,BC=5,DF=12,

A3：5=DE：(12-DE)，

/.DE=4.5,

.\EF=12-4.5=7.5.

【點評】主要考查了平行線分線段成比例的性質，要掌握該定理：兩條直線被平行線所截，

對應線段成比例.

10、證明見解析

【解析】

試題分析：根據平行線的性質得到NADE=NC,ZDFC=ZB,ZAED=ZB,等量代換得到

ZAED=ZDFC,于是得到結論.

試題解析：：ED〃BC,DF〃AB,

/.ZADE=ZC,ZDFC=ZB,

ZAED=ZB,

/.ZAED=ZDFC

/.△ADE^ADCF

Ik兩建筑物頂點乂、C之間的距離為35米.

【解析】

如圖（見解析），先根據俯角的定義得出“"Of=75。，ZC4￡=30°,

CFHAEHSD,再根據平行線的性質、角的和差可得尸，4m=45",然后根據

等腰直角三角形的判定與性質可得4酸=20、5，又在乂曲中，解直角三角形可得

/甜=1隊后，最后根據等腰直角三角形的判定與性質即可得.

【詳解】

如圖，過點A作肺于點N

由題意得：G3=廿,^.CAE=3V°,CElfAElfBD

s.ZBMC=lWPZFCM=1Q50,ZAMlf=ZSMCZAMB=W3

ZACF=ZJCAE^(T,Z^CW=ZfC3fZ4OFT5。

VZS=9QP,ZAMB=450；，f=20米

:.也國f是等腰直角三角形

二AM==2CK/5（米）

jwAN.&

,?3fi/A^fii=---------=jan60*=-—■

在中，JM,即如&2

解得./?=1%后（米）

?.?在山“6中，445=45。

二或皿1B是等腰直角三角形

:AC=.^AN=6xlO#=加6陽20x1加=3464附35（米）

答：兩建筑物頂點*、C之間的距離為35米.

a.?a

【點睛】

本