中考數學必考特色題型講練(河南專用)專題02與圓有關的計算求陰影部分的面積(原卷版+解析)

專題02與圓有關的計算求陰影部分的面積選題介紹本題型在河南省近五年的中招試卷中考了5次，其中2021年出題方向為求弧長，其余年份均為求陰影部分面積。該題位于填空題的第14題，分值3分。本題計算量大，難度系數中等偏上，得分率較低。本題屬于幾何范疇，一般涉及三角形、四邊形、扇形的面積，多以平移、對稱或旋轉為背景，對組合圖形所形成陰影部分的面積進行計算。若所求陰影部分的圖形是規(guī)則圖形，則直接用公式法計算。若所求陰影部分的圖形是不規(guī)則圖形，則采用轉化思想將不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形。常用的方法有和差法、割補法等積交換法。主要解題思路1、確定弧所對的圓心（找圓心）；連接圓心與弧上的點（找扇形）；3、利用規(guī)則圖形的面積進行加減。真題展現2022年河南中招填空題第14題如圖，將扇形AOB沿OB方向平移，使點O移到OB的中點O'處，得到扇形A'O'B'，若∠O=90°，OA=2，則陰影部分的面積為.2021年河南中招填空題第15題15.如圖,在扇形中,平分交弧于點.點為半徑上一動點若,則陰影部分周長的最小值為．2019年河南中招填空題第14題14.如圖，在扇形AOB中，∠AOB=120°，半徑OC交弦AB于點D，且OC⊥OA。若OA=則陰影部分的面積為.2018年河南中招填空題第15題14.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，將△ABC繞AC的中點D逆時針旋轉90°得到△A'B′C'，其中點B的運動路徑為BB'，則圖中陰影部分的面積為_____．模擬演練1．如圖，在等腰中，，，斜邊的中點為，分別以點，為圓心，以的長為半徑畫弧，分別與、相交，則圖中的陰影部分的面積為（結果保留2.如圖，△ABC為等腰直角三角形，將繞點C順時針旋轉得，此時點B的對應點落在的對稱軸上，若，則線段掃過的陰影面積為________．3.如圖，點B，C在上，連接AD，AB，AC，BC．若，所在的圓的半徑為3，則陰影部分的面積為_________．4.如圖，，，，以為圓心，長為半徑作交于點，則圖中陰影部分的面積為______．5.如圖，一只羊被4米長的繩子拴在長為3米，寬為2米的長方形封閉圍墻的一個頂點上，則這頭羊活動范圍的最大面積是______米．6.有一張矩形紙片，其中，以為直徑的半圓，正好與對邊相切，如圖（甲），將它沿折疊，使點落在上，如圖（乙），這時，半圓還露在外面的部分（陰影部分）的面積是_______．7.如圖，水平地面上有一面積為30πcm2的扇形AOB，半徑OA=6cm，且OA與地面垂直.在沒有滑動的情況下，將扇形向右滾動至OB與地面垂直為止，則O點移動的距離為__________．8.如圖所示，在矩形ABCD中，如圖AB＜BC，以點C為圓心，CB的長為半徑的圓分別交AD邊于點E，交CD邊的延長線于點F．若AE＝DF，弧EF的長為π，則DE的長為_____．9.如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網格中，一條弧經過格點（網格線的交點）A，B，D，點C為弧BD上一點．若，則弧CD的長為__________．10.如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AC＝16，BD＝12，以AB為直徑作一個半圓，則圖中陰影部分的面積為___________.專題02與圓有關的計算求陰影部分的面積選題介紹本題型在河南省近五年的中招試卷中考了5次，其中2021年出題方向為求弧長，其余年份均為求陰影部分面積。該題位于填空題的第14題，分值3分。本題計算量大，難度系數中等偏上，得分率較低。本題屬于幾何范疇，一般涉及三角形、四邊形、扇形的面積，多以平移、對稱或旋轉為背景，對組合圖形所形成陰影部分的面積進行計算。若所求陰影部分的圖形是規(guī)則圖形，則直接用公式法計算。若所求陰影部分的圖形是不規(guī)則圖形，則采用轉化思想將不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形。常用的方法有和差法、割補法等積交換法。主要解題思路1、確定弧所對的圓心（找圓心）；連接圓心與弧上的點（找扇形）；3、利用規(guī)則圖形的面積進行加減。真題展現2022年河南中招填空題第14題如圖，將扇形AOB沿OB方向平移，使點O移到OB的中點O'處，得到扇形A'O'B'，若∠O=90°，OA=2，則陰影部分的面積為.【答案】π3+【解析】本題主要考察了如何利用扇形的面積公式求陰影部分的面積。本題的關鍵在于如何利用規(guī)則圖形的面積進行加減，求不規(guī)則圖形的面積。對于該題，連接用扇形的OT'，構建出扇形，即得陰影部分的面積?！驹斀狻拷猓喝鐖D，設O'A'交AB于點T，連接OT，∵OT=OB，OO'=O'B,∴OT=2OO'.∵∠OO'T=90°，∴∠O'TO=30°，∠TOO'=60°，O'T=OT?cos30°∴S陰影=S扇形O'A'B'-（S扇形OTB-S△OO'T）=90?π?4360—（60?π?4360?1【總結】本題的關鍵在于如何利用規(guī)則圖形的面積進行加減，求不規(guī)則圖形的面積。2021年河南中招填空題第15題15.如圖,在扇形中,平分交弧于點.點為半徑上一動點若,則陰影部分周長的最小值為．【答案】22+【解析】本題考查了弧長公式，動點中的最短距離問題，如何判斷E點位置是解題的關鍵，可以利用找對稱點的方法確定最短距離的點位置，然后用弧長加上兩線段的最短距離即為所求圖形的周長?！驹斀狻拷猓喝鐖D作點D關于OB的對稱點D'，連接D'C交OB于點E，連接E'D、OD'，此時E'C+E'D最小，即：E'C+E'D=D'C由題意得，∠COD=∠DOB=∠BOD'=30°∴∠COD'=90°∴CD'=OC2+OD'2CD的長l=30?π?2∴陰影部分的周長最小值為22+故答案為22+【總結】本題考查了弧長公式，動點中的最短距離問題，如何判斷E點位置是解題的關鍵，可以利用找對稱點的方法確定最短距離的點位置。2019年河南中招填空題第14題120，半徑D，且OA．若

則陰影部分的面積為 ．【答案】π+【分析】根據題意，作出合適的輔助線，然后根據圖形可知陰影部分的面積是△AOD的面積與扇形OBC的面積之和再減去△BDO的面積，本題得以解決．【解答】解：作OE⊥AB于點F，∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半徑OC交弦AB于點D，且OC⊥OA．OA＝2，∴∠AOD＝90°，∠BOC＝90°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴OD＝OA?tan30°＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，∴BD＝2，∴陰影部分的面積是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，故答案為：π+【總結】本題考查扇形面積的計算，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．2018年河南中招填空題第15題14.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，將△ABC繞AC的中點D逆時針旋轉90°得到△A'B′C'，其中點B的運動路徑為BB'，則圖中陰影部分的面積為_____．【答案】【解析】連接DB、DB′，先利用勾股定理求出DB′=，A′B′=，再根據S陰=S扇形BDB′－S△DBC－S△DB′C，計算即可．【詳解】△ABC繞AC的中點D逆時針旋轉90°得到△A'B′C'，此時點A′在斜邊AB上，CA′⊥AB，連接DB、DB′，則DB′=，A′B′=，∴S陰=．故答案為．【總結】本題考查旋轉變換、弧長公式等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．模擬演練1．如圖，在等腰中，，，斜邊的中點為，分別以點，為圓心，以的長為半徑畫弧，分別與、相交，則圖中的陰影部分的面積為（結果保留【答案】【解析】本題主要考察求三角形的面積和扇形的面積公式，利用三角形的面積減去扇形的面積即得陰影部分的面積?！驹斀狻拷猓涸诘妊?，，，，點是斜邊的中點，，陰影部分面積為：．故答案為：．【總結】正確運用扇形的面積公式是解本題的關鍵。2.如圖，△ABC為等腰直角三角形，將繞點C順時針旋轉得，此時點B的對應點落在的對稱軸上，若，則線段掃過的陰影面積為________．【答案】【解析】如圖，根據求解即可．【詳解】解：連接BD，點D在等腰直角三角形ABC的對稱軸上，∴DB=DC，在中，，，由旋轉可得，DC=BC，∴，，=，故答案為：．【總結】本題考查了圖形的旋轉變換，扇形的面積，軸對稱的性質，等腰直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，把不規(guī)則圖形的面積轉化為三角形的面積和扇形的面積問題是解本題的關鍵．3.如圖，點B，C在上，連接AD，AB，AC，BC．若，所在的圓的半徑為3，則陰影部分的面積為_________．【答案】【解析】求弓形面積，利用所在的扇形的面積，再減去三角形的面積，因此構造弓形所屬扇形，用求出問題．【詳解】解：設點O為所在圓的圓心，連接OB，OC，如圖所示，則，∵，∴是等邊三角形，∴．∴．故答案為：．【總結】本題考查弓形面積，利用所在的扇形的面積，再減去三角形的面積，解題關鍵熟記公式、．4.如圖，，，，以為圓心，長為半徑作交于點，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】【解析】根據直角三角形的性質得到，根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】解：在中，，∴由勾股定理得，，陰影部分面積，故答案為：【總結】本題考查了扇形面積的計算，含角的直角三角形的性質，正確地識別圖形是解題的關鍵．5.如圖，一只羊被4米長的繩子拴在長為3米，寬為2米的長方形封閉圍墻的一個頂點上，則這頭羊活動范圍的最大面積是______米．【答案】【解析】根據題意可知，該羊活動的范圍有三部分構成：一是半徑為4、圓心角為270°的扇形區(qū)域，二是半徑為2、圓心角為90°的扇形區(qū)域，三是半徑為1、圓心角為90°的扇形區(qū)域，由扇形的面積公式即可作答．【詳解】根據繩子的長度以及矩形的長和寬的長度，可知羊活動的區(qū)域，如圖所示，則羊活動的范圍為：（平方米），故答案為：．【總結】本題考查了扇形面積的計算公式，解題時關鍵是要根據繩子的長度以及矩形的形狀找到羊可以活動的范圍．6.有一張矩形紙片，其中，以為直徑的半圓，正好與對邊相切，如圖（甲），將它沿折疊，使點落在上，如圖（乙），這時，半圓還露在外面的部分（陰影部分）的面積是_______．【答案】【解析】如圖，露在外面部分的面積可用扇形ODK與△ODK的面積差來求得．在Rt△ADC中，可根據AD即圓的直徑和CD的關系，求出∠DAC的度數，進而得出∠ODA和∠ODK的度數，即可求得△ODK和扇形DOK的面積，由此可求得陰影部分的面積．【詳解】如圖，點O為半圓的圓心，過點O作作OH⊥DK于H，∵以AD為直徑的半圓，正好與對邊BC相切，∴AD=2CD，∵∠C=90o，∴∠DAC=30o，∴∠ODK=30o，∵OD=OK，∴∠DOK=120o，∠ODK=∠OKD=30o∴扇形ODK的面積為，∵∠ODK=∠OKD=30o，OD=2，∴OH=1，DH=KH=，∴DK=∴△ODK的面積為∴半圓還露在外面的部分(陰影部分)的面積是，故答案為：．

【總結】本題考查矩形的性質、折疊問題、扇形面積的計算、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性質、切線的性質，熟練掌握這些知識的運用是解答的關鍵．7.如圖，水平地面上有一面積為30πcm2的扇形AOB，半徑OA=6cm，且OA與地面垂直.在沒有滑動的情況下，將扇形向右滾動至OB與地面垂直為止，則O點移動的距離為__________．【答案】10πcm．【解析】會利用扇形面積公式進行計算；牢記弧長的計算公式．【詳解】試題分析：設優(yōu)弧AB的長是．根據扇形的面積公式，得：（cm）．故答案為10πcm．【總結】考點：1．扇形面積的計算；2．弧長的計算．8.如圖所示，在矩形ABCD中，如圖AB＜BC，以點C為圓心，CB的長為半徑的圓分別交AD邊于點E，交CD邊的延長線于點F．若AE＝DF，弧EF的長為π，則DE的長為_____．【答案】【解析】連接CE，則CB=CE=CF設CB=R，則CE=CF=DA，推出∠DCE=45°，根據弧長公式求出R，然后利用等腰直角三角形求出DE．【詳解】解：連接CE，則CB＝CE＝CF，設CB＝R，∵四邊形ABCD是矩形，∴CE＝CF＝DA，∵AE＝DF，∴DE＝DC，∴∠DCE＝45°，∵的長為π，∴π，解得R＝4，在Rt△DCE中，DE＝CE?sin45°＝4＝2．故答案為：2．【總結】本題考查了矩形的性質，勾股定理，弧長公式等知識點，能根據弧長公式求出BM的長是解此題的關鍵．9.如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網格中，一條弧經過格點（網格線的交點）A，B，D，點C為弧BD上一點．若，則弧CD的長為__________．【答案】【解析】作線段AD和線段AC的垂直平分線交于點O，即格點O為弧AD所在圓的圓心，連接OC、OD，根據題意，結合勾股定理，得出的長，再根據圓周角定理，得出，再根據弧長公式進行計算即可．【詳解】解：如圖，作線段AD和線段AC的垂直平分線交于點O，即格點O為弧AD所在圓的圓心，連接OC、OD，根據題意，可得：，，∴弧CD的長為：．故答案為：【總結】本題考查了線段的垂直平分線、勾股定理、圓周角定理、弧長公式，根據題意并結合圖形添加適當的輔助線是解本題的關鍵．圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半；弧長公式：（為弧所對的圓心角的度數；為半徑）10.如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相