蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講練專題2.5軸對(duì)稱中最短路徑問題(四大模型)(原卷版+解析)

專題2.5軸對(duì)稱中最短路徑問題（四大模型）【教學(xué)目標(biāo)】1、理解并掌握平面內(nèi)一條直線同側(cè)兩個(gè)點(diǎn)到直線上的某一點(diǎn)距離之和為最小值時(shí)點(diǎn)的位置的確定。?2、能利用軸對(duì)稱平移解決實(shí)際問題中路徑最短的問題。【教學(xué)重難點(diǎn)】1、將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用軸對(duì)稱平移解決生活中路徑最短的問題；2、確定出最短路徑的方法。3、探索發(fā)現(xiàn)“最短路徑”的方案，確定最短路徑的作圖及原理。【知識(shí)亮解】知識(shí)點(diǎn)最短路徑問題四大模型一兩定點(diǎn)在直線的異側(cè)問題1作法圖形原理在直線l上找一點(diǎn)P,使得PA+PB的和最小。連接AB，與直線l的交點(diǎn)P即為所求。兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)PA+PB的和最小。二兩定點(diǎn)在直線的同側(cè)問題2：將軍飲馬作法圖形原理在直線l上找一點(diǎn)P,使得PA+PB的和最小。作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C，連AC，與直線l的交點(diǎn)P即為所求。化折為直；兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)PA+PB的和AC最小。三兩動(dòng)點(diǎn)一定點(diǎn)問題問題3：兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)作法圖形原理點(diǎn)P在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OA邊上找一點(diǎn)C,在OB邊上找一點(diǎn)D,,使得PC+PD+CD的和最小。作P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P1，作P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P2，連接P1P2。兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)PC+PD+CD的和最小。四造橋選址問題問題4：造橋選址作法圖形原理直線m∥n，在m，n上分別求點(diǎn)M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。將點(diǎn)A鄉(xiāng)向下平移MN的長(zhǎng)度得A1，連A1B，交n于點(diǎn)N，過N作NM⊥m于M。兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)AM+MN+BN的最小值為A1B+MN。【典例1】如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD，若點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，則牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家，最短距離是（）A．750米 B．1000米 C．1500米 D．2000米【典例2】如圖所示，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)，連接，分別與交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【典例3】如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝8，△ABC的面積為40，BD平分∠ABC，若M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值為_____．【典例4】如圖，有一條筆直的河流，兩岸EFGH，在河岸EF的同側(cè)有一個(gè)管理處A和物資倉(cāng)庫B，管理人員每天需要從管理處A出發(fā)，先到物資倉(cāng)庫B領(lǐng)取物資，接著到達(dá)河岸EF上的C點(diǎn)，乘坐停放在C點(diǎn)的快艇，把物資送到對(duì)岸GH的對(duì)接點(diǎn)D，然后調(diào)頭返回河岸EF上的C點(diǎn)，再返回管理房A．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條線路，使得管理員每天經(jīng)過的路程最短．若用作圖的方式來確定點(diǎn)C和點(diǎn)D，則確定點(diǎn)C和點(diǎn)D的步驟是：_____________．【典例5】如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝10，S△ABC＝30，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)M、N分別是BD和BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是_____．【典例6】如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部一定點(diǎn)（1）若∠AOB＝50°，作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P1，作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P2，連OP1、OP2，則∠P1OP2＝___.（2）若∠AOB＝α，點(diǎn)C、D分別在射線OA、OB上移動(dòng)，當(dāng)△PCD的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠CPD＝___（用α的代數(shù)式表示）.【亮點(diǎn)訓(xùn)練】1、如圖，小河邊有兩個(gè)村莊A，B，要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水．(1)若要使廠部到A，B村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？(2)若要使廠部到A，B兩村的水管最短，應(yīng)建在什么地方？2、如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE＝2，當(dāng)EF＋CF取得最小值時(shí)，則∠ECF的度數(shù)為多少？3、如圖，等腰△ABC底邊BC的長(zhǎng)為4cm，面積是12cm2，腰AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)F，若D為BC邊上的中點(diǎn)，M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△BDM的周長(zhǎng)最小值為________

cm．

4、如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為（）A．130°B．120°C．110°D．100°5、如圖，在四邊形ABCD中，DA⊥AB，DA＝6，∠B＋∠C＝150o，CD與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，A剛好是EB中點(diǎn)，P、Q分別是線段CE、BE上的動(dòng)點(diǎn)，則BP＋PQ最小值是()12 B.15 C.16 D.186、如圖，是等邊三角形，，點(diǎn)、分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)是______.7、如圖，在△ABC中，已知AB＝AC,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB.（1）若∠ABC＝70o，則∠NMA的度數(shù)是度；（2）若AB＝8，△MBC的周長(zhǎng)是14.①求BC的長(zhǎng)度；②若點(diǎn)P為直線MN上一點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出△PBC周長(zhǎng)的最小值。8、如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，使從A到B的路徑AMNB最短的是(假定河的兩岸是平行直線，橋要與河岸垂直)()(BM垂直于a)B．(AM不平行BN)C．(AN垂直于b)D．(AM平行BN)9、五羊大學(xué)建立分校，校本部與分校隔著兩條平行的小河，如圖表示小河甲，表示小河乙，A為校本部大門，B為分校大門。為方便人員往來，要在兩條小河上各建一條橋，橋面垂直于河岸。圖中的尺寸是：甲河寬8米，乙河寬10米，A到甲河的垂直距離為40米，B到乙河的垂直距離為20米，兩河相距100米，A、B兩點(diǎn)的水平距離（與小河平行的方向）為120米。為使A、B兩點(diǎn)間來往的路程最短，兩條橋都按這個(gè)目標(biāo)而建，那么此時(shí)A、B兩點(diǎn)來往的路程是多少米？【培優(yōu)檢測(cè)】1．如圖，直線，相交于點(diǎn)．為這兩直線外一點(diǎn)，且．若點(diǎn)關(guān)于直線，的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)，，則，之間的距離可能是（

）A．5 B．6 C．7 D．82．如圖，等邊，是邊上的高，若，點(diǎn)M，P分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則最小值為（

）A．4 B． C．2 D．3．如圖，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面積9，點(diǎn)D、E、F分別是三邊AB、BC、CA上的動(dòng)點(diǎn)，則△DEF周長(zhǎng)的最小值為（

）A．5 B．6 C．8 D．104．已知，如圖，，點(diǎn)M，N分別是邊OA，OB上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊OB，OA上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)最小時(shí)，則______．5．如圖，在四邊形ABCD中，，，在邊AB，BC上分別找一點(diǎn)E，F(xiàn)使周長(zhǎng)最小，此時(shí)______．6．如圖，在△ABC中，AB=AC=8，AD、CE分別是△ABC的兩條中線，CE=6，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+EP的最小值是____．7．如圖，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，過D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，若點(diǎn)F在AB上，且滿足DF=DE，則∠DFB的度數(shù)為_____．8．要在一條筆直的公路l邊上建一個(gè)快遞配送點(diǎn)，方便為同側(cè)的A，B兩個(gè)居民小區(qū)發(fā)送快件．（1）試確定快遞配送點(diǎn)P的位置，使它分別到A，B的兩個(gè)居民小區(qū)的距離相等，請(qǐng)?jiān)谌鐖D中，畫出點(diǎn)P的大致位置；（2）試確定快遞配送點(diǎn)M的位置，使它到A，B的兩個(gè)居民小區(qū)的距離之和最短．請(qǐng)?jiān)谌鐖D中畫出點(diǎn)M的大致位置；（3）如圖，D是內(nèi)一點(diǎn)，連接．延長(zhǎng)交于點(diǎn)E．∵在中，①，在中，②；∴①＋②得；∴．如果在A，B兩個(gè)居民區(qū)之間規(guī)劃一個(gè)正方形生態(tài)保護(hù)區(qū)，送快件的路線不能穿過該區(qū)域．請(qǐng)同學(xué)們用以上這個(gè)結(jié)論，在圖中畫出快遞配送點(diǎn)Q的大致位置，使得它到兩個(gè)居民小區(qū)路程之和最短．9．如圖，∠ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，在BA、BC邊上各取一點(diǎn)，使△的周長(zhǎng)最?。ㄒ髮懽鞣ǎ?0．如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請(qǐng)畫出最短路徑．11．如圖，在所給的方格圖中，完成下列各題（用直尺畫圖，保留作圖痕跡）（1）畫出格點(diǎn)△ABC關(guān)于直線DE對(duì)稱的△A1B1C1；（2）求△ABC的面積；（3）在DE上面出點(diǎn)P，使PA+PC最?。?2．如圖所示，在直線的同側(cè)，在直線上求一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最小、13．如圖，若∠AOB=30°，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)，且OP=2㎝，分別在OA、OB上找一點(diǎn)E，F(xiàn)使△PEF的周長(zhǎng)最小，并求△PEF的周長(zhǎng)最小值.專題2.5軸對(duì)稱中最短路徑問題（四大模型）【教學(xué)目標(biāo)】1、理解并掌握平面內(nèi)一條直線同側(cè)兩個(gè)點(diǎn)到直線上的某一點(diǎn)距離之和為最小值時(shí)點(diǎn)的位置的確定。?2、能利用軸對(duì)稱平移解決實(shí)際問題中路徑最短的問題?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】1、將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用軸對(duì)稱平移解決生活中路徑最短的問題；2、確定出最短路徑的方法。3、探索發(fā)現(xiàn)“最短路徑”的方案，確定最短路徑的作圖及原理?！局R(shí)亮解】知識(shí)點(diǎn)最短路徑問題四大模型一兩定點(diǎn)在直線的異側(cè)問題1作法圖形原理在直線l上找一點(diǎn)P,使得PA+PB的和最小。連接AB，與直線l的交點(diǎn)P即為所求。兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)PA+PB的和最小。二兩定點(diǎn)在直線的同側(cè)問題2：將軍飲馬作法圖形原理在直線l上找一點(diǎn)P,使得PA+PB的和最小。作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C，連AC，與直線l的交點(diǎn)P即為所求?；蹫橹保粌牲c(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)PA+PB的和AC最小。三兩動(dòng)點(diǎn)一定點(diǎn)問題問題3：兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)作法圖形原理點(diǎn)P在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OA邊上找一點(diǎn)C,在OB邊上找一點(diǎn)D,,使得PC+PD+CD的和最小。作P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P1，作P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P2，連接P1P2。兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)PC+PD+CD的和最小。四造橋選址問題問題4：造橋選址作法圖形原理直線m∥n，在m，n上分別求點(diǎn)M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。將點(diǎn)A鄉(xiāng)向下平移MN的長(zhǎng)度得A1，連A1B，交n于點(diǎn)N，過N作NM⊥m于M。兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)AM+MN+BN的最小值為A1B+MN。【典例1】如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD，若點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，則牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家，最短距離是（）A．750米 B．1000米 C．1500米 D．2000米【答案】B【解析】【詳解】解：作A的對(duì)稱點(diǎn)，連接B交CD于P，，∴AP+PB=，此時(shí)值最小，在中，,，，∵點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，∴B=AP+PB=1000米【典例2】如圖所示，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)，連接，分別與交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得到的值，再根據(jù)對(duì)頂角相等可以求出的值，然后由點(diǎn)P與點(diǎn)、對(duì)稱的特點(diǎn)，求出，進(jìn)而可以求出的值，最后利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出．【詳解】∵∴∵，∴又∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)∴，∴∴∴故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有三角形的內(nèi)角和、軸對(duì)稱的性質(zhì)，運(yùn)用這些性質(zhì)找到相等的角進(jìn)行角的和差的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.【典例3】如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝8，△ABC的面積為40，BD平分∠ABC，若M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值為_____．【答案】10【解析】【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BC于N，則CE即為CM+MN的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長(zhǎng)，即為CM+MN的最小值．【詳解】解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于點(diǎn)E，MN⊥BC于N，∴MN＝ME，∴CE＝CM+ME＝CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面積為40，AB＝8，∴×8×CE＝40，∴CE＝10，故CM+MN的最小值為10．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考常考題型．【典例4】如圖，有一條筆直的河流，兩岸EFGH，在河岸EF的同側(cè)有一個(gè)管理處A和物資倉(cāng)庫B，管理人員每天需要從管理處A出發(fā)，先到物資倉(cāng)庫B領(lǐng)取物資，接著到達(dá)河岸EF上的C點(diǎn)，乘坐停放在C點(diǎn)的快艇，把物資送到對(duì)岸GH的對(duì)接點(diǎn)D，然后調(diào)頭返回河岸EF上的C點(diǎn)，再返回管理房A．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條線路，使得管理員每天經(jīng)過的路程最短．若用作圖的方式來確定點(diǎn)C和點(diǎn)D，則確定點(diǎn)C和點(diǎn)D的步驟是：_____________．【答案】作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)T，連接BT交EF于點(diǎn)C，作CD⊥GH于點(diǎn)D，連接AC，點(diǎn)C，點(diǎn)D即為所求．【解析】【分析】作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)T，連接BT交EF于點(diǎn)C，作CD⊥GH于點(diǎn)D，連接AC，點(diǎn)C，點(diǎn)D即為所求．【詳解】解：如圖，點(diǎn)C，點(diǎn)D即為所求．故答案為：作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)T，連接BT交EF于點(diǎn)C，作CD⊥GH于點(diǎn)D，連接AC，點(diǎn)C，點(diǎn)D即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖?應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決問題，屬于中考?？碱}型．【典例5】如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝10，S△ABC＝30，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)M、N分別是BD和BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是_____．【答案】6【解析】【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M′，過點(diǎn)M′作M′N′⊥BC于N′，則CE即為CM+MN的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長(zhǎng)，即為CM+MN的最小值．【詳解】解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M′，過點(diǎn)M作MN′⊥BC于N′，∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于點(diǎn)E，M′N′⊥BC于N∴M′N′＝M′E，∴CE＝CM′+M′E∴當(dāng)點(diǎn)M與M′重合，點(diǎn)N與N′重合時(shí)，CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面積為30，AB＝10，∴×10×CE＝30，∴CE＝6．即CM+MN的最小值為6．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最短問題，屬于中考?？碱}型．【典例6】如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部一定點(diǎn)（1）若∠AOB＝50°，作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P1，作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P2，連OP1、OP2，則∠P1OP2＝___.（2）若∠AOB＝α，點(diǎn)C、D分別在射線OA、OB上移動(dòng)，當(dāng)△PCD的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠CPD＝___（用α的代數(shù)式表示）.【答案】

100°

180°-2α【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱性證明∠P1OP2=2∠AOB，即可解決問題；（2）如圖，作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P1，作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P2，連P1P2交OA于C，交OB于D，連接PC，PD，此時(shí)△PCD的周長(zhǎng)最?。茫?）中結(jié)論，根據(jù)對(duì)稱性以及三角形內(nèi)角和定理即可解決問題；【詳解】（1）如圖，由對(duì)稱性可知：∠AOP=∠AOP1，∠POB=∠BOP2，∴∠P1OP2=2∠AOB=100°，故答案為100°．（2）如圖，作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P1，作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P2，連P1P2交OA于C，交OB于D，連接PC，PD，此時(shí)△PCD的周長(zhǎng)最小．根據(jù)對(duì)稱性可知：∠OP1C=∠OPC，∠OP2D=∠OPD，∠P1OP2=2∠AOB=2α．∴∠CPD=∠OP1C+∠OP2D=180°-2α．故答案為180°-2α．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-最短問題、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．【亮點(diǎn)訓(xùn)練】1、如圖，小河邊有兩個(gè)村莊A，B，要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水．(1)若要使廠部到A，B村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？(2)若要使廠部到A，B兩村的水管最短，應(yīng)建在什么地方？【解析】如圖1，取線段AB的中點(diǎn)G，過中點(diǎn)G畫AB的垂線，交EF于P，則P到A，B的距離相等．也可分別以A、B為圓心，以大于eq\f(1,2)AB為半徑畫弧，兩弧交于兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)作直線，與EF的交點(diǎn)P即為所求．(2)如圖2，畫出點(diǎn)A關(guān)于河岸EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交EF于P，則P到A，B的距離和最短．2、如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE＝2，當(dāng)EF＋CF取得最小值時(shí)，則∠ECF的度數(shù)為多少？【解析】過E作EM∥BC，交AD于N，如圖所示：∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC邊上的中線，△ABC是等邊三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM＝AE，∴E和M關(guān)于AD對(duì)稱，連接CM交AD于F，連接EF，則此時(shí)EF＋CF的值最小，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60o，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30o.3、如圖，等腰△ABC底邊BC的長(zhǎng)為4cm，面積是12cm2，腰AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)F，若D為BC邊上的中點(diǎn)，M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△BDM的周長(zhǎng)最小值為________

cm．

【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知，點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長(zhǎng)為BM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【解析】連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=12，解得AD=6cm，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴AD的長(zhǎng)為BM+MD的最小值，

∴△BDM的周長(zhǎng)最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8cm。故答案為：8．

4、如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為（）A．130°B．120°C．110°D．100°【解析】考點(diǎn)有軸對(duì)稱（最短路線問題），三角形三邊關(guān)系，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)。根據(jù)要使△AMN的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和ED的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，進(jìn)而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：如圖，作A關(guān)于BC和ED的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長(zhǎng)最小值。作DA延長(zhǎng)線AH。∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°，∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°?！摺螹A′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°。5、如圖，在四邊形ABCD中，DA⊥AB，DA＝6，∠B＋∠C＝150o，CD與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，A剛好是EB中點(diǎn)，P、Q分別是線段CE、BE上的動(dòng)點(diǎn)，則BP＋PQ最小值是()12 B.15 C.16 D.18【解析】如圖，作點(diǎn)B關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)F，連接BF，EF，則EB＝EF，∵∠B＋∠C＝150o，∴∠BEC＝30o，∴∠BEF＝60o，∴△BEF是等邊三角形，連接BP，PF，PQ，則BP＝FP，∴BP＋QP＝FP＋PQ，當(dāng)F，P，Q在同一直線上且FQ⊥EB時(shí)，BP＋PQ的最小值為FQ的長(zhǎng)，此時(shí)，Q為EB的中點(diǎn)，故與A重合，∵DA⊥AB.DA＝6，∴AE＝，∴Rt△QEF中，F(xiàn)Q＝AE＝18，∴BP＋PQ最小值值為18，故選D.6、如圖，是等邊三角形，，點(diǎn)、分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)是______.【解析】先作點(diǎn)D關(guān)于AC和BC的對(duì)稱點(diǎn)G、H，連接GH交AC和BC于點(diǎn)E、F，此時(shí)△DEF的周長(zhǎng)最小，再根據(jù)三角形內(nèi)角和與等腰三角形的性質(zhì)即可求解．如圖，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)G，點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)H，連接GH交AC、BC于E、F，∵D、G關(guān)于AC對(duì)稱，D、H關(guān)于BC對(duì)稱，∴DE=EG，DF=FH，∴的周長(zhǎng)=DE+DF+EF=EG+EF+FH，∴當(dāng)G、E、F、H四個(gè)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，的周長(zhǎng)最小，∵是等邊三角形，∴∠A=∠B=，∵D、G關(guān)于AC對(duì)稱，D、H關(guān)于BC對(duì)稱，∴∠ADG=，∠BDH=，∠EDG=∠DGE，∠FDH=∠DHF，∴∠GDH=，∴∠DGE+∠DHF=，∴∠EDG+∠FDH=，∴∠EDF=.故答案是：.7、如圖，在△ABC中，已知AB＝AC,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB.（1）若∠ABC＝70o，則∠NMA的度數(shù)是度；（2）若AB＝8，△MBC的周長(zhǎng)是14.①求BC的長(zhǎng)度；②若點(diǎn)P為直線MN上一點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出△PBC周長(zhǎng)的最小值?！窘馕觥浚?）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70o，∴∠A＝40o，∵AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，∴∠ANM＝90o，∴∠NMA＝50o；（2）①∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，∴AM＝BM，△MBC的周長(zhǎng)＝BM＋CM＋BC＝AM＋CM＋BC＝AC＋BC，∵AB＝8，△MBC的周長(zhǎng)是14，∴BC＝14－8＝6；②當(dāng)點(diǎn)P與M重合時(shí)，△PBC周長(zhǎng)的值最小，理由：∵PB＋PC＝PA＋PC,PA＋PC≥AC，∴P與M重合時(shí)，PA＋PC＝AC，此時(shí)PB＋PC最小，∴△PBC周長(zhǎng)的最小值＝AC＋BC＝8＋6＝14.8、如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，使從A到B的路徑AMNB最短的是(假定河的兩岸是平行直線，橋要與河岸垂直)()(BM垂直于a)B．(AM不平行BN)C．(AN垂直于b)D．(AM平行BN)【解析】根據(jù)垂線段最短，得出MN是河寬最短，即MN⊥直線a(或直線b)，只要AM＋BN最短就行，如答圖，過A作河的垂線AH，垂足為H，在AH上取一點(diǎn)I，使AI等于河寬．連接IB交河的b邊岸于點(diǎn)N，作MN垂直于河岸交a邊岸于M點(diǎn)，所得MN即為所求．9、五羊大學(xué)建立分校，校本部與分校隔著兩條平行的小河，如圖表示小河甲，表示小河乙，A為校本部大門，B為分校大門。為方便人員往來，要在兩條小河上各建一條橋，橋面垂直于河岸。圖中的尺寸是：甲河寬8米，乙河寬10米，A到甲河的垂直距離為40米，B到乙河的垂直距離為20米，兩河相距100米，A、B兩點(diǎn)的水平距離（與小河平行的方向）為120米。為使A、B兩點(diǎn)間來往的路程最短，兩條橋都按這個(gè)目標(biāo)而建，那么此時(shí)A、B兩點(diǎn)來往的路程是多少米？【解析】作圖，由題意可知路程AMNPQB最短，且AMNPQB＝AD＋DC＋CB又AD＝8米，CB＝10米，由已知條件可得CE＝120米，DE＝40＋20＋100＝160米，所以在Rt△DEC中可求得斜邊CD＝200米，所以AD＋DC＋CB＝8＋200＋10＝218米。【培優(yōu)檢測(cè)】1．如圖，直線，相交于點(diǎn)．為這兩直線外一點(diǎn)，且．若點(diǎn)關(guān)于直線，的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)，，則，之間的距離可能是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】【分析】連接根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接∵P1是P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，∴直線l是PP1的垂直平分線，∴，∵P2是P關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)，∴直線m是PP2的垂直平分線，∴，當(dāng)

P1，O，P2不在同一條直線上時(shí)，即，當(dāng)P1，O，P2在同一條直線上時(shí)，，∴，之間的距離可能是5，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱變換，熟練掌握軸對(duì)稱變換的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2．如圖，等邊，是邊上的高，若，點(diǎn)M，P分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則最小值為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【解析】【分析】過點(diǎn)C作的垂線，垂足為M，交于點(diǎn)P，此時(shí)有最小值，求出BE即可．【詳解】∵是等邊三角形，，由等邊三角形的性質(zhì)可得：點(diǎn)B，C關(guān)于所在直線對(duì)稱，過點(diǎn)C作的垂線，垂足為M，交于點(diǎn)P，此時(shí)有最小值；且，∵，∴，由等邊三角形的性質(zhì)可得：．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．如圖，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面積9，點(diǎn)D、E、F分別是三邊AB、BC、CA上的動(dòng)點(diǎn)，則△DEF周長(zhǎng)的最小值為（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】B【解析】【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，，，當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，最小值為的長(zhǎng)．【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，，，如圖所示：由對(duì)稱性可知，，，的周長(zhǎng)，，，，，，，當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，，的面積9，，的周長(zhǎng)最小值為6，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法，等邊三角形的性質(zhì)，三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．4．已知，如圖，，點(diǎn)M，N分別是邊OA，OB上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊OB，OA上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)最小時(shí)，則______．【答案】60°##60度【解析】【分析】作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和平角的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小，∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+（180°﹣β），∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β），∴β﹣α＝60°，故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)作出輔助線解決問題．5．如圖，在四邊形ABCD中，，，在邊AB，BC上分別找一點(diǎn)E，F(xiàn)使周長(zhǎng)最小，此時(shí)______．【答案】112°##112度【解析】【分析】如圖，作點(diǎn)D關(guān)于BA的對(duì)稱點(diǎn)P，點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接PQ，交AB于E'，交BC于F'，則點(diǎn)即為所求，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)結(jié)合四邊形的內(nèi)角和即可得出答案．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于BA的對(duì)稱點(diǎn)P，點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接PQ，交AB于E'，交BC于F'，則點(diǎn)E'，F(xiàn)'即為所求．∵四邊形ABCD中，

∴，由軸對(duì)稱知，∠ADE'=∠P，∠CDF'=∠Q，在△PDQ中，∠P+∠Q=180°-∠ADC=，∴∠ADE'+∠CDF'=∠P+∠Q=34°，∴故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及四邊形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵．6．如圖，在△ABC中，AB=AC=8，AD、CE分別是△ABC的兩條中線，CE=6，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+EP的最小值是____．【答案】6【解析】【分析】取AC的中點(diǎn)F，連接FP，則可得FP=EP，當(dāng)F、P、B三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，BP+FP最小，從而BP+EP也最小，從而可求得其最小值．【詳解】取AC的中點(diǎn)F，連接FP，BF，如圖∵AB=AC，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)∴AF=AE∵AD是BC邊上的中線∴∠FAP=∠EAP∵AP=AP∴△FAP≌△EAP(SAS)∴FP=EP∴BP+EP=BP+FP≥BF即BP+EP的最小值為線段BF的長(zhǎng)在△ABF和△ACE中∴△ABF≌△ACE(SAS)∴BF=CE=6即BP+EP的最小值為6故答案為：6【點(diǎn)睛】本題是典型的將軍飲馬問題，考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)間線段最短等知識(shí)，關(guān)鍵是取AC的中點(diǎn)F，把BP+EP的最小值轉(zhuǎn)化為BP+FP的最小值，從而根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短解決最小值的問題，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上重要的轉(zhuǎn)化化歸思想．7．如圖，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，過D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，若點(diǎn)F在AB上，且滿足DF=DE，則∠DFB的度數(shù)為_____．【答案】50°或130°．【解析】【分析】由題意可知，點(diǎn)F的位置存在如下圖所示的兩種情況（在點(diǎn)F處或點(diǎn)F′處），根據(jù)圖形結(jié)合“已知條件”利用“角的兩邊關(guān)于角平分線對(duì)稱和等腰三角形的性質(zhì)”進(jìn)行分析解答即可.【詳解】如下圖，∵DE∥AB，∴∠DEC=∠ABC=50°，∴∠DEB=180°-50°=130°，（1）當(dāng)點(diǎn)F在AB邊上的F處時(shí)，由DF=DE和BD平方∠ABC可知，此時(shí)△BDF和△BDE關(guān)于BD對(duì)稱，∴△BDF≌△BDE，∴∠DFB=∠DEB=130°；（2）當(dāng)點(diǎn)F在AB邊上的F′處時(shí)，∵DF′=DE=DF，∴∠DF′B=∠DFF′，又∵∠DFF′=180°-∠DFB=50°，∴∠DF′B=50°；綜上所述，∠DFB=50°或130°.故答案為50°或130°.【點(diǎn)睛】本題的解題要點(diǎn)有以下兩點(diǎn)：（1）知道點(diǎn)F的位置在AB上存在兩種情形，并能畫出對(duì)應(yīng)的圖形；（2）知道當(dāng)點(diǎn)F在AB邊上的F處時(shí)，△DFB和△DEB是關(guān)于∠ABC的角平分線BD對(duì)稱的.8．要在一條筆直的公路l邊上建一個(gè)快遞配送點(diǎn)，方便為同側(cè)的A，B兩個(gè)居民小區(qū)發(fā)送快件．（1）試確定快遞配送點(diǎn)P的位置，使它分別到A，B的兩個(gè)居民小區(qū)的距離相等，請(qǐng)?jiān)谌鐖D中，畫出點(diǎn)P的大致位置；（2）試確定快遞配送點(diǎn)M的位置，使它到A，B的兩個(gè)居民小區(qū)的距離之和最短．請(qǐng)?jiān)谌鐖D中畫出點(diǎn)M的大致位置；（3）如圖，D是內(nèi)一點(diǎn)，連接．延長(zhǎng)交于點(diǎn)E．∵在中，①，在中，②；∴①＋②得；∴．如果在A，B兩個(gè)居民區(qū)之間規(guī)劃一個(gè)正方形生態(tài)保護(hù)區(qū)，送快件的路線不能穿過該區(qū)域．請(qǐng)同學(xué)們用以上這個(gè)結(jié)論，在圖中畫出快遞配送點(diǎn)Q的大致位置，使得它到兩個(gè)居民小區(qū)路程之和最短．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線點(diǎn)性質(zhì)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，作AB的垂直平分線，與l的交點(diǎn)即為所求；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A1，連接BA1與l的交點(diǎn)Q即為所求；（3）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A2，連接DA2，BD，DA2與l交于點(diǎn)Q，由已知可得QE+BE＞QD+BD，可得QD+BD是點(diǎn)B到點(diǎn)Q的最短距離，點(diǎn)Q即為所求．【詳解】（1）如圖，點(diǎn)P即為所求：（2）如圖，點(diǎn)M即為所求：（3）如圖，點(diǎn)Q即為所求：【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱——最短路徑，熟練掌握軸對(duì)稱性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．如圖，∠A