高數(shù)上冊知識點(diǎn)

高等數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)

一、函數(shù)與極限

(一)函數(shù)

1、函數(shù)定義及性質(zhì)(有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性)；

2、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運(yùn)算；

3、初等函數(shù)：霹函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函

數(shù)、反雙曲函數(shù)；

4、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)；

函數(shù)/(%)在*0連續(xù)^寺〉/(%o)

’第一類：左右極限均存在.

間斷點(diǎn)I可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)

、第二類：左右極限、至少有一個不存在.

無窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)

5、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性與最大值最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定

理及其推論.

(二)極限

1、定義

1)數(shù)列極限

limxn=a<=>Ve>0,3NeN,Vn>N,\xn-a\<￡

8??

2)函數(shù)極限

lim/(%)=AoV￡>0,3J>0,V%,當(dāng)時,|/(A:)-A|<￡

左極限：/(%(；)=皿i/(%)右極限：/(君)=lim/(%)

limf(x)=A存在Of(Xo)=/(%o)

XfXo

2、極限存在準(zhǔn)則

1)夾逼準(zhǔn)則：

1)%(n>n0)]

2)limy”=limz“=alim￡=a:

8n—>CO77—>00J

2)單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限.

3、無窮小(大)量

1)定義：若1血。=°則稱為無窮小量；若Hma=co則稱為無窮大量.

2)無窮小的階：高階無窮小、同階無窮小、等價(jià)無窮小、人階無窮小

Thia?B=B=a+o(a)；

Th2a?優(yōu),月?,，血14存在，則lim幺

=hm,/(無窮小代換)

—aar

4、求極限的方法

1)單調(diào)有界準(zhǔn)則；

2)夾逼準(zhǔn)則；

3)極限運(yùn)算準(zhǔn)則及函數(shù)連續(xù)性；

4)兩個重要極限：

si,n%-1..1

rx

a)lim----=1b)lim(l+x)=lim(1+—

x—>0%尤f0x—>+oo]

5)無窮小代換：(尤-0)

a)x-sinx~tanx-arcsinx-arctanx

b)1-COS%一］1"

c)e'—1~x(優(yōu)-i?］山a)

X

(log(l+x)~

d)ln(l+x)?xaIna)

e)(1+x)a—1~otx

二、導(dǎo)數(shù)與微分

(-)導(dǎo)數(shù)

/(%)一/(%o)

1、定義：八%)=配

x-x0

/(乃一/(九0)

左導(dǎo)數(shù)：￡(%)二,吧

x-x()

/(X)-/(%)

右導(dǎo)數(shù)：小?！喊?/p>

x-xQ

函數(shù)/(x)在玉)點(diǎn)可導(dǎo)=￡(%)=咒(%0)

2、幾何意義：尸(％0)為曲線丁=/(%)在點(diǎn)(%0，/(與))處的切線的斜率.

3、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：/(%)在/點(diǎn)可導(dǎo)n/(x)在/點(diǎn)連續(xù)

4、求導(dǎo)的方法

1)導(dǎo)數(shù)定義；

2)基本公式；

3)四則運(yùn)算；

4)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(鏈?zhǔn)椒▌t);

5)隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；

6)參數(shù)方程求導(dǎo)；

7)對數(shù)求導(dǎo)法.

5、高階導(dǎo)數(shù)

d2y_d(dy'

1)無義：dx1dx\dxy

n

2)Leibniz公式:

k=0

(二)微分

1)定義：△y=F(Xo+Ax)—/(x())=AAx+o(Ax),其中A與Ax無關(guān).

2)可微與可導(dǎo)的關(guān)系：可微O可導(dǎo)，且4y=y'(%o)Ax=7'(%o)d%

三、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(一)中值定理

1、Rolle定理：若函數(shù)/(%)滿足：

1)/(x)GC[a,b\；2)/(x)GD(a,b)；3)f(a)=f(b)；

貝期6(。,勿,使〃C)=0.

2、Lagrange中值定理：若函數(shù)/(%)滿足：

1)/(x)GC[a,b]；2)/(x)eD(a,b)；

則玷￡(a,b\慟S)-f(a)=fg)(b-a).

3、Cauchy中值定理：若函數(shù)/(x),方(%)滿足：

1)/(x),F(x)eC[a,Z?]；2)/(x),F(x)eD(a,Z?)；3)F(x)w。,％￡(〃C)

/3)-/(a)=,/''(4)

貝11mqem力),使

廠(加―尸⑷一F?

(二)洛必達(dá)法則

注意：

1、盡量先化簡（有理化、無窮小代換、分離非零因子）

再用洛必達(dá)蘆則！

1.J］一爐—cosX

如：lim-------------

x-otanx

2、對于某些數(shù)列極限問題，可化為連續(xù)變量的極限，

然后用洛必達(dá)法則！

如：勒一；一

\J

3、洛必達(dá)法則是一種很有效的方法，但不是萬能的！

「x+cos（x2）

如：lim--------------

X—>4-00X

x2cos—1

如：lim——；---—

X-。sinx

（三）Taylor公式

孔階Taylor公式：

⑺心）5+1)

nC)

(X-Xo)4（…。嚴(yán)

nl(72+1)!

4在。與X之間.

當(dāng)%二°時，成為〃階麥克勞林公式:

3+四八…+3]〃+^^”

/(x)=/(0)

1!2!n\5+1)!

4在°與％之間.

常見函數(shù)的麥克勞林公式:

11節(jié)

ex=l+x+-x2+--+~xn+——V用

1)2!川(〃+1)!

J在。與工之間,—GO<X<+CO;

TT

3572"1sinJ+(2m+l)e

人

,,,_|2m+}

2)sinx=x——+————d-----F(-l)------------------F人

3!5!7!(2m-1)!(2/72+1)!

自在0與X之間，一OOVXV+8；

c°V+2"f

2462m-2

人

w2m

3)cosx=l-—+—-—+--.+(-l)-'人

2!4!6!(2*2)!(2m)!

J在。與X之間，-8VXV+8；

234n

XXXx(―1)”尸

4)ln(l+%)=%+…+(-1尸一十

234n(〃+1)(1+4嚴(yán)

J在。與X之間，-1〈龍<1

offer-1)2a(a-Y)(a-2)3a(a-l)…(a—〃+1)

5)(1+%廠=l+a%+-------x+-------------1+…+-----------------%

2!3!〃!

a(a—1)…(a—+zi+1

IX

5+1)!

J在0與X之間，-1<%<1.

(四)單調(diào)性及極值

1、單調(diào)性判別法：/(X)GC[a,b]tf(x)eD(a,b),則若/'(%)>0,則/(%)

單調(diào)增加；則若/'(%)<0,則/(%)單調(diào)減少.

2、極值及其判定定理：

a)必要條件：/(%)在與可導(dǎo)，若％。為了(%)的極值點(diǎn)，則/'(%)=0.

b)第一充分條件：/(%)在％o的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且八%。)=0,則①若當(dāng)了

時，/'(%)>0,當(dāng)%時，f\x)<0,則無。為極大值點(diǎn)；②若當(dāng)x<x°

時，/'(%)<(),當(dāng)—>玉)時，八九)>0,則％°為極小值點(diǎn)；③若在％o的

兩側(cè)/'(X)不變號，則％。不是極值點(diǎn).

C)第二充分條件：/(%)在％0處二階可導(dǎo)，且八%0)=0,/(％)。0,則

①若/〃(%0)<。，則％0為極大值點(diǎn)；②若/〃(%0)>0,則與為極小值點(diǎn).

3、凹凸性及其判斷，拐點(diǎn)

1)/(%)在區(qū)間/上連續(xù)，若\/0%2丘/,/(""I),則稱/(為在

區(qū)間/上的圖形是凹的；若WF，%2G/，〃三產(chǎn))〉；"")，則稱/⑴在

區(qū)間/上的圖形是凸的.

2)判定定理：/(幻在口,句上連續(xù)，在(。,份上有一階、二階導(dǎo)數(shù)，則

a)若V%w(?/?),/〃(％)>0,則f(x)在加上的圖形是凹的；

b)若V%c(。,。)J〃(勸<0,則/(%)在叱句上的圖形是凸的.

3)拐點(diǎn)：設(shè)》=/(%)在區(qū)間/上連續(xù)，/是/(幻的內(nèi)點(diǎn)，如果曲線y=/(x)經(jīng)

過點(diǎn)(％0，F(xiàn)(x()))時，曲線的凹凸性改變了，則稱點(diǎn)(%0，/(%0))為曲線的拐點(diǎn).

(五)不等式證明

1、利用微分中值定理；

2、利用函數(shù)單調(diào)性；

3、利用極值(最值).

(六)方程根的討論

1、連續(xù)函數(shù)的介值定理；

2、Rolle定理;

3、函數(shù)的單調(diào)性；

4、極值、最值；

5、凹凸性.

(七)漸近線

1、鉛直漸近線：lim/(x)=oo則尤=。為一條鉛直漸近線；

x->a

2、水平漸近線：lim/(%)=/?則y=b為一條水平漸近線；

X->QO

3、斜漸近線：吧J二^二%吧"(％)一女加=匕存在，則丁=衣+〃為一條斜

漸近線.

(八)圖形描繪

步驟：

1.確定函數(shù)y=/(x)的定義域，并考察其對稱性及周期性；

2.求((尤)"〃(%)并求出廣(％)及—(％)為零和不存在的點(diǎn)；

3.列表判別函數(shù)的增減及曲線的凹向，求出極值和拐點(diǎn)；

4.求漸近線；

5,確定某些特殊點(diǎn)，描繪函數(shù)圖形.

四、不定積分

(一)概念和性質(zhì)

1、原函數(shù)：在區(qū)間/上，若函數(shù)尸(％)可導(dǎo)，且/'(％)=/(%),則/(%)稱為

/(%)的一個原函數(shù).

2、不定積分：在區(qū)間/上，函數(shù)/(%)的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱為/(%)在

區(qū)間/上的不定積分.

3、基本積分表(P188,13個公式)；

4、性質(zhì)（線性性）.

（二）換元積分法

1、第一類換元法（湊微分）：u=（p（x）

2、第二類換元法（變量代換）：］/（%）公=/〃9。）］”。）由］=一］⑴

（三）分部積分法：\udv=uv-^vdu

（四）有理函數(shù)積分

1、“拆”；

2、變量代換（三角代換、倒代換、根式代換等）.

五、定積分

（-）概念與性質(zhì):

1、定義："（幻公=迎￡/?）州

Z=1

2、性質(zhì)：（7條）

性質(zhì)7（積分中值定理）函數(shù)/（%）在區(qū)間口,切上連續(xù)，則使

a

Mf（x）dx

ff（x）dx=f（^）（b-a）（平均值：/0=七------）

Jab—a

（二）微積分基本公式（N—L公式）

1、變上限積分：設(shè)①（%）=［/?）力，則①'（'）=/（￡）

推廣：-7-r⑺山="初夕（%）-/[。（*）]優(yōu)（九）

辦:J“（x）

a

2、N—L公式：若廠（%）為/（%）的一個原函數(shù)，則Jaf（x）dx=F（b）—F（a）

（三）換元法和分部積分

rb*

1、換元法：\f{x}dx=\

JaJa

2、分部積分法：￡adv=[uvlt-￡vdu

（四）反常積分

1、無窮積分：

(?4-00”

f{x}dx—lim[f{x}dx

Jar—>+coJa

?b

|f(x)dx=lim[f(x)dx

I-8_OQ

r+oorOp+oo

Jf(x)dx=Jf{x}dx+^f(x)dx

2、瑕積分：

rb心

If(x)dx=limIf(x)dxQ為瑕點(diǎn))

Jat-^aJt

]＞（xg=些￡"%）公（〃為瑕點(diǎn)）

兩個重要的反常積分:

+00,p<\

r+°°dx

1)L工二小

p>\

(b-a)i-q

q<1

2)J“(X-Q)g(b~X)q

4-00,qNi

六、定積分的應(yīng)用

（一）平面圖形的面積

A=fL人(%)—力(％)]2%

1、直角坐標(biāo):

2、極坐標(biāo)：人二3口冠。）—。：。）］〃?

（二）體積

1、旋轉(zhuǎn)體體積:

a）曲邊梯形y=/（?￥）"=4,%=〃,X軸，繞了軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積:

匕=

b)曲邊梯形y=fM,x=a,x=),入軸，繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積:

匕=[：2時(尤)公(柱殼法)

2、平行截面面積已知的立體：V=J)(x)dx

(三)弧長

1、直角坐標(biāo)：s=f[+[r(x)]2"

2、參數(shù)方程：s=,+/Q)]，出

3、極坐標(biāo)：S=/J[zX8)]2+[//(〃)]2打，

七、微分方程

(一)概念

1、微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程.

階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).

2、解：使微分方程成為恒等式的函數(shù).

通解：方程的解中含有任意的常數(shù)，且常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.

特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解.

(二)變量可分離的方程

g(y)dy=/(%)公，兩邊積分Jg(y)dy=J/(%)公

(三)齊次型方程

dyy.ydydu

7二夕（一z），設(shè)“=一,貝||7二〃+%??；

axxxaxax

dx..x.xdxdv

或丁二旗一）,設(shè)u=_,則7=u+y?

dyyydydy

（四）一階線性微分方程

罩+P（x）y=Q（x）

dx

用常數(shù)變易法或用公式：＞二JQ(x)C

（五）可降階的高階微分方程

1、、“"=/（%）,兩邊積分〃次；

2、y"=f（x,y）（不顯含有y）,令y'=〃，則y"二p'；

〃dp

3、y=f（y,/）（