山東省青島市2024屆高三第三次適應(yīng)性檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市2024屆高三第三次適應(yīng)性檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A.i B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗由，得，所以，所以，其虛部為.故選：D.2.已知命題，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗命題為全稱量詞命題，則為：.故選：D.3.為了得到的圖象，只要把的圖象上所有的點(diǎn)（）A.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度 B.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度C.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度 D.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度〖答案〗A〖解析〗，由誘導(dǎo)公式可知：又則，即只需把圖象向右平移個(gè)單位.故選：A4.某校高一有學(xué)生980人，在一次模擬考試中這些學(xué)生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，已知，則該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績在110分以上的人數(shù)大約為（）A.784 B.490 C.392 D.294〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，所以，所以，又因?yàn)楦咭挥袑W(xué)生980人，所以該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績在110分以上的人數(shù)大約為．故選：C．5.定義表示不超過的最大整數(shù).例如:，則（）A. B.C.是偶函數(shù) D.是增函數(shù)〖答案〗B〖解析〗A選項(xiàng)，取，則，，顯然，所以A不正確；B選項(xiàng)，設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以，故B正確；C選項(xiàng)，，因?yàn)椋?，所以不是偶函?shù)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，所以，所以不是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.6.在母線長為4，底面直徑為6一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)體積最大的圓錐后，得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗體積最大的圓錐的母線為，則.故選：C.7.已知函數(shù)，則滿足不等式的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以，所以關(guān)于直線成軸對稱，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號，令，，則，，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以，，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)或時(shí)，，所以，且，所以要使得成立，則，解得，故不等式的取值范圍為．故選：B．8.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓左，右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，焦距為，以為直徑的圓與橢圓在第一和第三象限分別交于兩點(diǎn).且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗以

為直徑的圓的方程為，聯(lián)立，解得，所以，又，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去）.所以.故橢圓的離心率為.故選：D.二、選擇題9.某新能源車廠家2015-2023年新能源電車的產(chǎn)量和銷量數(shù)據(jù)如下表所示年份201520162017201820192020202120222023產(chǎn)量（萬臺)3.37.213.114.818.723.736.644.343.0銷量（萬臺)2.35.713.614.915015.627.129.731.6記“產(chǎn)銷率”年新能源電車產(chǎn)量的中位數(shù)為，則（）A.B.2015-2023年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率與年份正相關(guān)C.從2015-2023年中隨機(jī)取1年，新能源電車產(chǎn)銷率大于的概率為D.從2015-2023年中隨機(jī)取2年，在這2年中新能源電車的年產(chǎn)量都大于的條件下，這2年中新能源電車的產(chǎn)銷率都大于的概率為〖答案〗ACD〖解析〗對于A：由中位數(shù)的定義可知，，故A正確；對于B：2015-2023

年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率依次為：所以2015-2023

年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率隨年份的增加，有時(shí)增加，有時(shí)減少，故B錯(cuò)誤；對于C：由B可知，從2015-2023

年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率大于的有2個(gè)年份，所以從2015–2023年中隨機(jī)取1年，新能源電車產(chǎn)銷率大于的概率為，對于D：設(shè)事件A表示“從2015-2023

年中隨機(jī)取2年，這2年中新能源電車的年產(chǎn)量都大于

m”，事件B表示“從2015-2023

年中隨機(jī)取2年，這2年中新能源電車的產(chǎn)銷率大于”，所以所以故D正確.故選：ACD.10.已知?jiǎng)狱c(diǎn)分別在圓和上，動(dòng)點(diǎn)在軸上，則（）A.圓的半徑為3B.圓和圓相離C.的最小值為D.過點(diǎn)做圓的切線，則切線長最短為〖答案〗BD〖解析〗圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，對于A，圓的半徑為，A錯(cuò)誤；對于B，，圓和圓相離，B正確；對于C，圓關(guān)于軸對稱的圓為，，連接交于點(diǎn)，連接，由圓的性質(zhì)得，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合，且是線段分別與圓和圓的交點(diǎn)時(shí)取等號，C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)的圓的切線長，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，D正確.故選：BD11.若有窮整數(shù)數(shù)列滿足：，且，則稱具有性質(zhì).則（）A.存在具有性質(zhì)的B.存在具有性質(zhì)的C.若具有性質(zhì)，則中至少有兩項(xiàng)相同D.存在正整數(shù)，使得對任意具有性質(zhì)的，有中任意兩項(xiàng)均不相同〖答案〗ACD〖解析〗對A：取數(shù)列，易得其滿足題意，此時(shí)該數(shù)列具有性質(zhì)，故A正確；對B：假設(shè)存在數(shù)列具有性質(zhì)，則，且，設(shè)中有個(gè)，則有個(gè)，則有，即，其與為整數(shù)矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，故B錯(cuò)誤；對C：設(shè)，，，，中的最大值為，則存在，使得或，若存在，使，下證：，，，可以取遍到之間所有的整數(shù)，假設(shè)存在正整數(shù)使得，，，中各項(xiàng)均不為，令集合，設(shè)是集合中元素的最大值，則有，這與矛盾，所以，，，可以取遍到之間所有的整數(shù)，若，則，，，，的取值只能為，中的數(shù)，此時(shí)，，，，中必有兩項(xiàng)相同，若，則，，，，的取值只能為，，中的數(shù)，此時(shí)，，，，中必有兩項(xiàng)相同，若，則，，，，中一定有異于和的正整數(shù)，再由，，，可以取遍到之間所有的整數(shù)，所以，，，，中必有兩項(xiàng)相同，當(dāng)，同理可證：，，，可以取遍到之間所有的整數(shù)，從而，，，，中必有兩項(xiàng)相同，故C正確；對D：取數(shù)列，此時(shí)該數(shù)列具有性質(zhì)，且中任意兩項(xiàng)均不相同，即存在，故D正確.故選：ACD.三、填空題12.已知等差數(shù)列的公差，首項(xiàng)，是與的等比中項(xiàng)，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則______.〖答案〗105〖解析〗等差數(shù)列中，，是與的等比中項(xiàng)，設(shè)公差為，所以，即，解得或（不合題意，舍去）；所以．故〖答案〗為：．13.如圖，函數(shù)的部分圖象如圖所示，已知點(diǎn)為的零點(diǎn)，點(diǎn)為的極值點(diǎn)，，則函數(shù)的〖解析〗式為_________.〖答案〗〖解析〗由圖可得，又，則，，，則，，則，化簡得，又，則，則有，解得，又，則，即.

故〖答案〗為：.14.已知長方體中，，點(diǎn)為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，記二面角的平面角為，直線與平面所成的角為，若，則三棱錐體積的最小值為_________.〖答案〗〖解析〗如圖，作平面，垂足為，再作，垂足為，連接，則，，由，則，又、平面，故，，則，由拋物線定義可知，的軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線一部分，所以的軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線一部分，當(dāng)點(diǎn)到線段距離最短時(shí)，三角形面積最小，即三棱錐體積最小，取中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，，則直線的方程為：，即，拋物線的方程為，則，由題意，令，得，代入，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以到直線的最短距離為：，因?yàn)?，所以，所以三棱錐體積的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題15.設(shè)三角形的內(nèi)角、、的對邊分別為、、且．（1）求角的大??；（2）若，邊上的高為，求三角形的周長．解：（1）因?yàn)椋?，為的?nèi)角，所以，因?yàn)椋钥苫癁椋?，即，即，因?yàn)?，解得：，即．?）由三角形面積公式得，代入得：，所以，由余弦定理得：，解得：或舍去，即，所以的周長為.16.為了研究高三年級學(xué)生的性別和身高是否大于的關(guān)聯(lián)性，隨機(jī)調(diào)查了某中學(xué)部分高三年級的學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表（單位:人):性別身高合計(jì)

低于不低于

女14519男81018合計(jì)221537（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與身高有關(guān)聯(lián)?（2）從身高不低于的15名學(xué)生中隨機(jī)抽取三名學(xué)生，設(shè)抽取的三名學(xué)生中女生人數(shù)為，求的分布列及期望.（3）若低于的8名男生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，不低于的10名男生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.請估計(jì)該中學(xué)男生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差.附:.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（1）解：零假設(shè)：該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與身高無關(guān)聯(lián)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得，由此可知根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，零假設(shè)不成立，可以認(rèn)為性別與身高有關(guān)聯(lián)（2）解：由題意，可得隨機(jī)變量的可能取值為，可得所以隨機(jī)變量的分布列為:0123所以，期望為，（3）解：由題意知，18名男生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)，18名男生身高數(shù)據(jù)的方差，所以，該中學(xué)男生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)為174，方差為59.17.如圖所示，多面體，底面是正方形，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，側(cè)面與是全等的等腰梯形，，其余棱長均為2.（1）證明:平面；（2）若點(diǎn)在棱上，直線與平面所成角的正弦值為，求.（1）證明：取中點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)閭?cè)面是等腰梯形，所以，又，所以，和都是邊長為2的等邊三角形，得，所以四邊形為等腰梯形，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，又，平面，，所以平面，平面，所以平面平面，平面平面，平面，，故平?（2）解：在梯形中，，等腰梯形中由勾股定理得，取中點(diǎn)，由（1）知，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，得設(shè)，，設(shè)直線與平面所成角為，所以.解得（負(fù)值舍去)，所以點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以的長為1.18.在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的離心率為2，點(diǎn)為右支上一動(dòng)點(diǎn)，直線與曲線相切于點(diǎn)，且與的漸近線交于兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，直線為的等線.（1）求的方程;（2）若是四邊形的等線，求四邊形的面積;（3）設(shè)，點(diǎn)的軌跡為曲線，證明:在點(diǎn)處的切線為的等線（1）解：由題意知，顯然點(diǎn)在直線的上方，因?yàn)橹本€為的等線，所以，解得，所以的方程為（2）解：設(shè)，切線，代入得:故，該式可以看作關(guān)于的一元二次方程，所以，即方程為當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，也成立漸近線方程為，不妨設(shè)在上方，聯(lián)立得，故，所以是線段的中點(diǎn)，因?yàn)榈竭^的直線距離相等，則過點(diǎn)的等線必定滿足:到該等線距離相等，且分居兩側(cè)，所以該等線必過點(diǎn)，即的方程為，由，解得，故.所以，所以，所以，所以（3）證明：設(shè)，由，所以，故曲線的方程為由（*）知切線為，也為，即，即易知與在的右側(cè)，在的左側(cè)，分別記到的距離為，由（2）知，所以由得因?yàn)?，所以直線為的等線.19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線平行，且兩切線間的距離為，其中.（1）求實(shí)數(shù)的值;（2）若點(diǎn)分別在曲線上，求與之和的最大值;（3）若點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，四邊形為正方形，其面積為，證明:.附:ln2≈0.693.（1）解：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，解得，所以在處的切線方程為:，所以在處的切線方程為:，所以，解得.（2）解：（法一）由（1）知：，記直線的傾斜角分別為，斜率分別為，所以，設(shè)且，所以,令，則，當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以在均單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，最大為.同理，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，且也關(guān)于直線對稱，所以最大為，所以與之和的最大值為.（法二）由（1）知:，點(diǎn)在圓上.下面證明：直線與圓和曲線均相切，因?yàn)閳A的圓心到直線的距離為，所以直線與圓相切，即，除點(diǎn)外，圓上點(diǎn)均在直線下方,又因?yàn)椋瑒t，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即，除點(diǎn)外，曲線上的點(diǎn)均在直線上方.所以