浙江省S9聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省S9聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有〖答案〗必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，表示所有被3除余2正整數(shù).所以.故選：C2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由題得，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D.3.若，則（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以.故選：D4.已知正方體的棱長為，則點到面的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，所以，，設(shè)面的法向量為，，所以，令，則，所以，，所以到平面的距離，故選：C.5.已知函數(shù).若，則取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以是上的增函數(shù)，因為所以，解得.故選：B.6.數(shù)列的前項的和滿足，則下列選項中正確的是（）A.數(shù)列是常數(shù)列 B.若，則是遞增數(shù)列C.若，則 D.若，則的最小項的值為〖答案〗D〖解析〗A：當時，；①當時，，作差可得，代入可得，與①可能矛盾，故數(shù)列不一定是常數(shù)列，故A錯誤；B：由可得，且，所以數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列，故B錯誤；C：若，則由以上選項可知，所以當時，的偶數(shù)項為，奇數(shù)項為，而，故C錯誤；D：若，則，，故時，的偶數(shù)項為，奇數(shù)項為，則的最小項的值為，故D正確；故選：D.7.直線，直線與平行，且直線與垂直，則（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗B〖解析〗因為直線與平行，并且直線，所以，.又因為直線與垂直，所以，.所以.故選：B.8.已知雙曲線的左焦點為，漸近線方程為，焦距為8，點的坐標為，點為的右支上的一點，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示由題意知，解得記的右焦點為，即，由雙曲線的定義，得，即所以，當且僅當點在線段上時等號成立,所以的最小值為.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯的0分.9.如圖，已知正方體的棱長為分別為棱的中點，則下列結(jié)論正確的為（）A. B.C. D.不是平面的一個法向量〖答案〗BD〖解析〗由為正方體，以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則?.對于選項，，則，故錯誤；對于選項，，則，故正確；對于選項，，故，故錯誤；對于選項，，故不是平面的一個法向量，故正確.故選：.10.已知正數(shù)滿足，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對于A，由題可得，即，故A正確；對于B，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故B不正確；對于，當且僅當時，等號成立，故正確；對于D，，當且僅當時，等號成立，故D不正確.故選：AC.11.已知函數(shù)，則（）A.直線是曲線的切線B.有兩個極值點C.有三個零點D.存在等差數(shù)列，滿足〖答案〗BCD〖解析〗，A：令，而，由點斜式可知此時切線方程為；，由點斜式可知此時切線方程為；所以直線不是曲線的切線，故A錯誤；B：令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故時取得極大值，取得極小值；故B正確；C：因為，所以由單調(diào)性可知函數(shù)由三個零點，故C正確；D：取，則，故D正確；故選：BCD非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別為，且則__________.〖答案〗〖解析〗因為在中，，所以，又，所以，因為，所以故〖答案〗為：.13.一個盒子中裝有4張卡片，卡片上分別寫有數(shù)字，現(xiàn)從盒子中隨機抽取卡片，若第一次抽取一張卡片，放回后再抽取1張卡片，則兩次抽取的卡片數(shù)字之和不大于6的概率是__________.〖答案〗〖解析〗兩次抽取的試驗的樣本空間:，共16個，兩次抽取的卡片數(shù)字之和大于6的事件，共3個，所以兩次抽取的卡片數(shù)字之和大于6的概率是，則不大于6的概率為.故〖答案〗為：.14.已知圓系，圓過軸上的定點，線段是圓在軸上截得的弦，設(shè).對于下列命題：①不論取何實數(shù)，圓心始終落在曲線上；②不論取何實數(shù)，弦的長為定值1；③式子的取值范圍是.④不論取何實數(shù)，圓系的所有圓都與直線相切；其中真命題的序號是__________.（把所有真命題的序號都填上）〖答案〗②③〖解析〗對于①，由圓的方程知，圓心在曲線上，故①不正確.對于②，由弦長公式得：弦的長為，故②正確.對于③，在圓方程令，可得，或，即由圓方程知，由基本不等式得（當且僅當，即時等號成立），中，由余弦定理得，的面積為，，，即，故③正確.對于④，圓心到直線的距離等于，而半徑為，二者不一定相等，故④不正確.故〖答案〗為：②③.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在中，角所對的邊分別是，在下面三個條件中任選一個作為條件，解答下列問題，三個條件為：①；②；③.（1）求角的大??；（2）若，求的值.解：（1）若選①：因為，由正弦定理可得，且，則，可得，且，所以；若選②：因為，由正弦定理可得，且，則，可得，且，所以；若選③：因為，則，可得且，則，可得，且，所以.（2）由（1）可知：，由余弦定理可得：，又，即，解得.16.如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，.（1）證明：平面.（2）若，求三棱錐體積.解：（1）記，因為四邊形是菱形，所以.因為平面平面，且，所以平面.因為平面，所以.因平面平面，且，所以平面.（2）因為平面，，所以點到平面的距離為，因為，所以點到平面的距離是6，因為四邊形是邊長為8的菱形，且，所以，則四棱錐的體積，三棱錐的體積，三棱錐的體積，故三棱錐的體積.17.設(shè)數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）求數(shù)列的前項和，并證明.解：（1）因為，所以，又，所以數(shù)列是以4為首項，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）得，當時，代入驗證，也成立，所以；（3），所以，所以.18.已知橢圓的離心率為且橢圓經(jīng)過點，為左右焦點.（1）求橢圓方程；（2）P是橢圓上任意一點，求的取值范圍；（3）過橢圓左焦點的直線交橢圓于兩點，求面積的最大值.解：（1）由題意得，解得，橢圓的方程為；（2）設(shè)在橢圓上，，；（3）由（1）得，橢圓的左焦點，右焦點，則直線的斜率存在時方程為：，設(shè)，聯(lián)立，消去，得，顯然，則，所以，點O到直線的距離，則，當且僅當，即不存在時，取“=”，所以當不存在時，面積的最大值為.19.（1）已知，求的最大值與最小值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（3）若關(guān)于的不等式存在唯一的整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，所以，令，解得的變化情況如下表所示.1+0-單調(diào)遞增單調(diào)遞減1所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.當時，有極大值，也是的最大值.又因為，而，所以，所以為的最小值（2）且，當時，在單調(diào)遞減；當單調(diào)遞減，單調(diào)遞增（3）解法一：因為，所以不等式可化為，由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.因為的最大值，，所以時，最大，所以不等式，即存在唯一的整數(shù)解只能為1，所以，所以的取值范圍為；解法二：令