等式與不等式的性質(zhì) 講義（知識點 考點 練習(xí)）人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)必修第一冊

2.1等式與不等式的性質(zhì)

一、不等關(guān)系與不等式

1.兩個實數(shù)a,b,其大小關(guān)系有三種可能，即a>。，a=b,a<b.

a>b^q—b>0.

依據(jù)a=b=a—b=O.

a<b^q—b<0

要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與Q的大

結(jié)論

小

思考f+1與2x兩式都隨龍的變化而變化，其大小關(guān)系并不顯而易見.你能

想個辦法，比較f+1與2x的大小嗎？

2.重要不等式

X/a,b《R,有層+廬三2a0,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時，等號成立.

二、等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

1.等式的基本性質(zhì)

(1)如果那么b=a.

(2)如果a=0,b=c,那么a=c.

(3)如果那么a士c=。土c.

(4)如果那么ac=bc.

nh

(5)如果a=。，HO,那么工=工.

2.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意

1對稱性a>b<^b<a=

2傳遞性a>b,b>c=>a>c不可逆

3可加性+c>b+c可逆

a>b,c>O^ac>bc

4可乘性C的符號

a>b,c<O=>ac<bc

5同向可加性a>b,c>d=>a+c>b+d同向

6同向同正可乘性a>b>0,c>d>O=>ac>bd同向

7可乘方性a>b>O^>an>b'\n^N,瘧2)同正

思考1若a>b,c>d,那么〃+c>b+d成立嗎？a-c>b—dB/B?

思考2若a>b,c>d,那么ac>bd成立嗎？

考點一：等式性質(zhì)

[例1]（2019?全國高一課時練習(xí)）下列變形中錯誤的是（）

A.若彳=兒則x+5=y+5B.若則x=V

aa

C.若—3x=—3y,則x=yD,若％=兒則土='

mm

1.1（2019?全國高一課時練習(xí)）根據(jù)等式的性質(zhì)判斷下列變形正確的是（）

2x3

A.如果2%=3,那么」=三B.如果％=，，那么%—5二5—y

aa

C.如果gx=6,那么x=3D.如果x=y,那么-2x=-2y

考點二：不等式性質(zhì)

【例2】（2020.河北省曲陽縣第一高級中學(xué)高一期末）對于任意實數(shù)a,b,

則下列四個命題：

①若a>b,c。0,則ac>be；

②若a>b,則訛2>北2；

③若0<?>歷2,則°>人；

④若a>b,則工<；

ab

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

2.1（2020.全國高一開學(xué)考試）若。、b、。為實數(shù)，則下列命題正確的是（

A.若a>Z?,則-2>加2B.若a</?<0,則/>">/

C.若a</?<0,則,D.若a</?<0,貝

abab

考點三：比較大小

【例3】（2020.全國高一課時練習(xí)）已知a,》均為正實數(shù)，試?yán)米鞑罘ū容^

/+戶與日+加的大小.

3.1（2020.全國高一課時練習(xí)）比較下列各組中兩個代數(shù)式的大?。?/p>

（1）3/—x+1與2r+尤—1;

（2）當(dāng)a>0,b>OKalb時，廢沙與\。.

考點四：求代數(shù)式的取值范圍

【例4】（2020.山東濟(jì)寧.高一月考）若2<a<5,3<6<10,則a-2b的范圍為

4.1（2019?全國高一課時練習(xí)）已知x—2y=6,x—3y=4,則犬―5盯+6/的值

為.

4.2已知iWa-6W2,2<a+b<4,則4a-25的取值范圍是（）

A.[3,12]B.[5,10]

C.[6,12]D.[3,10]

4.3（2019廣東高考模擬（文））設(shè)°海次，且1是一元二次方程加+於+c=0的

一個實根，則￡的取值范圍為（）

a

A.[—2,0]B.——?0C.-2,-^D.-1,

L2JL2j[2.

考點五：不等式的證明

【例5】（2020?全國高一課時練習(xí)）已知c<0,求證：->y.

ab

5.1（2020?全國高一課時練習(xí)）證明不等式次+爐發(fā)曲〃，bRR）.

廠111

5.2已z知史1,y>l,證明：%+丁~1--V—H---xy

xyxy

課后練習(xí)

1.設(shè)a,bER,a>b,則下列不等式一定成立的是（）

11

22

A.a>bB.a-<-b

C.a2>abD.2a>2b

（高二下?綿陽期中）已知，且

2.2018a,b,c,dERab>0,ab

則下列各式恒成立的是（）

A.be<adB.be>ad

D.3

c.c->-dcd

3.已知一l<a+b<3,2<a-b<4,則2a+3b的范圍是（）

AV，T）B-H，7）

D-（-l，

4.設(shè)a,b為正實數(shù)，則“a<b"是成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2017高一上?上海期中）已知a2>ai>0,b2>bi>0,>ai+a2=bi+b2=l,

記人=2加1+22b2,B=aib2+a2bi,C=1,則按A、B、C從小到大的順

序排列是—.

6.（2019高二下?興寧期中）已知aEa2,bi>b2,貝！Jaibi+a2b2與aib?十

a2bl的大小關(guān)系是.

7.（2016高一下?無錫期末）設(shè)M=5a2-a+l,N=4a2+a-1,則M,N的大小

關(guān)系為—.

24.（2018高三上?東區(qū)期末）不等式1的解集為—.

25.（2020高二上?咸陽期末）設(shè)％CR,M=3/-x+l,=x2+x-

1,則M與N的大小關(guān)系為.

8.（2020高一上?天門月考）已知a>b>0,c<d<0,e<0,比較

—a—c與的b—a大小.

QQ

39.已知a>b>0,c<0,求證：一a〉三b.

9.（2018高一下?六安期末）若a=2x2+1,b=x2+2x,c=-x—

3,比較Q，b，c的大小.

41.(2018高三上?連云港期中)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,函數(shù)F(x)=f(x)

—x的兩個零點為m,n(m<n).

(1)若m=-Ln=2,求不等式F(x)>0的解集；

若且比較與的大小

(2)a>0,0<x<m<n<-a,f(x)m

42.(2020高一上?延壽期中)比較大?。?x+5)(x+7)與(X+6)2.

43.(2021高一下?南充期末)比較N+y+i與2。+了一1)的大小.

精講答案

思考

答案作差：J?+l—2x=(%—1)2>0,所以/+1N2X.

思考1若a>0,c>d,那么a+c>O+d成立嗎？c>。一d呢？

答案a+c>Z?+d成立，。一。>。一1不一定成立，但。一1>。一,成立.

思考2

答案不一定，但當(dāng)a>0>0,0d>0時，一定成立.

[例1]

【答案】D

【解析】根據(jù)等式的性質(zhì)易知A,B,C正確；對于D,當(dāng)加=0時，》=丁兩邊

都除以加無意義，故本選項錯誤.故選:D.

1.1

【答案】D

【解析】對于A,沒有awO的條件，等式的兩邊不能都除以。，故選項A不正

確；對于B,等式的左邊減去5,等式的右邊乘以-1后加上5,等式不成立，

故選項B不正確；對于C,等式的左邊乘以2,等式的右邊除以2,等式不成

立，故選項C不正確；對于D,等式的兩邊都乘以-2,等式成立，故選項D

正確.故選:D.

【例2】

【答案】C

【解析】時，若c<0,則ac<A,①錯誤；

若c=0,則砒2=a2,②錯誤；

22

若ac>be，貝U°?>o,：.a>b,③正確；

a>b,若a〉0>/?,仍然有!④錯誤.

ab

正確的只有1個.故選：C.

2.1

【答案】B

【解析】對于A選項，若c=0,則砒2=左2,故A不成立；

對于B選項，Qa<b<0,在不等式a<b同時乘以。(。<0),得a?>ab，

另一方面在不等式a</?兩邊同時乘以Z?,得ab>。？，皿2>油>及,故B成

立；

對于選項C,在a<b兩邊同時除以"(必>0),可得!<工，所以C不成立；

ba

對于選項D,令a=—2,b=-l,則有色=a=2,~=\,所以D不

b-1a2ab

成立.

故選B.

【例3】

【答案】a3+b3>a2b+ab2

［解析］???〃3+/—+〃")=,3_+僅3_^2)

=〃2(〃一匕)+52s-a)=(a-^)(^a2-b2^=(a-b)2(a+b).

又e。均為正實數(shù)，

當(dāng)a二Z?時，a-b=Q,a3+b3=a2b+ab2；

當(dāng)a】〃時，（a-Z?）2>o,〃+人〉o,

貝1J**+3>crb+ab2-

綜上所述，a3+b3>crb+ab2-

3.1

【答案】⑴貨―九+1>27+%—1；(2)aabb>abba.

【解析】(1)-.-(3X2-X+1)-(2X2+X-1)=X2-2X+2=(X-1)2+1>0,

因止匕，3光2—九+1>2—+九一1；

ab(]y-6/、a-b

nhabbaaba

(2)^-=a-b-=a-

abba

①當(dāng)a>b>0時，即〃一/?>0,/>1時,aabb>abba;

b

/、。一。(、0

②當(dāng)6>a>0時，即a-b<0,0(一<1時，—>—=1,aabb>abba.

b⑴⑴

綜上所述，當(dāng)a>0,Z?>0且球6時，aabb>abba.

【例4】

【答案】（—18,-1）

【解析】依題意可知-20<-28<-6,由于2<a<5,由不等式的性質(zhì)可知

-18<a-2〃<-1.故填：(-18,-1).

4.1

【答案】24

【解析】由題得f—5盯+6/=（%_2?。?-3）0=6*4=24.故答案為：2

4.2已知iWa-6W2,2<a+b<4,則4a-2Z?的取值范圍是（）

【答案】B

,*fx+y=4,

【解析】令4a-2b=x（a-b）+y（a+b）,即《解得：x=3,y=l,即

-x+y=-2

4a-2b=3(a-b)+(a+b).

Vl<a-b<2,2<a+b<4,/.3<3(a-b)<6,/.5<(a-b)+3(a+b)<10

故選：B.

4.3

【答案】C

【解析】又因為1是一元二次方程狽2+桁+c=0的一個實根，

所以有a+Z?+c=O,^.a>b>c,所以a>0,c<0,

c

所以一<0,所以排除A、B兩項，

a

當(dāng)Z?>0時，c=—(a+b),所以同<卜區(qū)2時，此時—249<—1,

c

當(dāng)〃=0時，c=-a,此時—=—1,

a

]c1

當(dāng)/?<0時，c=一(〃+/?),所以]問(卜|<同，此時一1<—<——,

c1

所以一￡-2,--,故選C.

aL2_

【例5】

【答案】證明見解析.

【解析】￡_￡=幺二竺=必二@,

ababab

因為a>Z?>0,c<0,所以/?—a<0,c(b-a)>Q,">0故")〉0,即

ab

、十cc

證：—

ab

5.1

【答案】證明見詳解.

【解析】?.?/+/—2"=(a—5)2NO,.-.a2+b2>2ab，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號

成立.

5.2

【證明】

(―+—+xy)-(x+y+—)=—[(x+y+x2j^2)-(x2^+xy2+1)]

xyxyxy

11

二——[犬9y9-\+x+y-xy(x+y)]^—[(xy+l)(xy-1)-(xy-l)(x+y)]

xyxy

(xy+l-x-)；)(xy-l)=—(x-l)(j；-l)(xy-l)

xyxy

因為xNl,yNl,所以1—GO,1>O,xy>l,所以一(x-1)(-l)(xy-1)>0

孫

故(W孫)一(%+y+,)NO,所以％+y+'vW孫

xyxyxyxy

練習(xí)答案

1.【答案】D

【考點】不等關(guān)系與不等式，不等式比較大小

【解析】本題主要考查不等式的性質(zhì)，在不等式的性質(zhì)中，與乘除相關(guān)的性質(zhì)

中有條件“均為正數(shù)”，否則不等式不一定成立，如本題中當(dāng)a,b都是負(fù)數(shù)時，

A,B,C都不成立，當(dāng)然只能選D,事實上由于函數(shù)y=2x是增函數(shù)，故D是正確

的.

2.【答案】B

【考點】不等式比較大小

【解析】因為ab>0,——<―三,兩邊同時乘以ab,得到—be<—ad,

ab

兩邊再同時乘以-1,變號，即be>ad,

故答案為：B.

【分析】不等式兩邊同乘以正數(shù)，不等號方向不變；不等式兩邊同乘以負(fù)數(shù),

不等號方向要改變。

3.【答案】D

【考點】不等關(guān)系與不等式，不等式比較大小

【解析】由題意將2a+3b用（a+b）和（a-b）分別表示出來，然后根據(jù)-l〈a+bV3

且2<a-b<4,求出2a+3b的取值范圍.

j5

設(shè)2a+3b=x(a+b)+y(a-b),貝U可知J'**"*'*=至

，解得”一

]r-r=i

3

所以《<

-(a+b)<T（a-b）<-L兩式相加可知2a+3b的范圍是（一

9歲），選D.

2

【點評】本題用的方法很重要，不要把a(bǔ),b的范圍分別求出來，那樣就放大了

2a+3b的范圍，這是一個易錯點.

4.【答案】C

【考點】充分條件，必要條件，充要條件，不等式比較大小

【解析】因為a而為正實數(shù)且a,所以工>：,所以」<Y，所以

ababa

b

若a—工<b—9，即上二〈匕二，兩邊同乘以ab,得a2b—b<加一

a,即（a-b）（ab+1）<0因為a,b為正實數(shù)，所以ab+l>0,所以a-b<

0,即a<b

【分析】熟練掌握不等式的性質(zhì)是做本題的前提條件。尤其要注意不等式的兩

邊同乘以（或除以）一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向要改變。

5.【答案】B<C<A

【考點】不等式比較大小

【解析】解：?.,a2>ai>0,b2>bi>0,Mai+a2=bi+b2=l,

不妨令a1=|,a2=|,bi=|,b2=|,

A=aibi+a2b2=-1+-4=5B=aibz+a2bl=-2+-2=4

??1_415

,~2~9

AB<C<A

故答案為：B<C<A.

【分析】特值法，代入比較大小即可.

6.【答案】aib+a2bzWaibz+a2bl

【考點】不等式比較大小

【解析】aibi+a2b2—(aibz+a2bD=(ai—a2)(b〕-b2),因為aEa2,bi>b2,

所以ai—azWO,bi—b2>0,于是⑶一a2)(bi—b2)W0,故aibi+a2bzWaibz+a2bl.

故答案為aibi+a2bzWaibz+a2bl.

【分析】比較大小，首先考慮作差法.由aibi+a2b(aibz+a2bi)=(ai—a2)(bi

—b9,判斷該式的正負(fù)，就可以得出答案.

7.【答案】M>N

【考點】不等式比較大小

【解析】【解答解：M-N=5a2-a+1-(4a2+a-1)=a2-2a+2=(a-1)2+l>l

>0,

AM>N.

故答案為：M>N.

【分析】作差后，利用配方法判斷差的符號，即可比較出大小關(guān)系.

24.【答案】{x\x<0或x>1}

【考點】不等關(guān)系與不等式

【解析】試題分析：—<1=—1<0Q—-<0Q-~->0Q久<0,OYX>

xxx

1,故應(yīng)填：{%|%<0班>1}

【分析】把不等式的右邊的移項到左邊，通分合并后，在不等式兩邊同時除以-

1,不等號方向改變，得到X-1與x的商大0,根據(jù)兩數(shù)相除同號得正、異號得

負(fù)的取符號法則轉(zhuǎn)化為兩個不等式組，分別求出兩不等式組的解集的并集，即

為原不等式的解集.

25.【答案】M>N

【考點】不等式比較大小

【解析】M—N-3x2—x+1—(x2+%—1)

=2x2—2x+2—2(x2—%+1)=2[(x—|)2+|]>0,

：.M>N

故答案為：M>N.

【分析】利用作差法和不等式的性質(zhì)即可得到答案。

O[公:安]解._2____L_e(b-d-a+c)=[(b-a)+(c-d)]e

6.‘口水,腫：a-cb-d一(a-c)(b-d)—(a-c)(b-d)

a>b>0,c<d<0

.,*b—CL[0,b—d)0,a—c>0,c—d<0.又e<0,:?—。

ee

--->---.

ct—cb—d

【考點】不等式比較大小

【解析】對于比較大小常用方法是作差，所以兩個公式作差，通分，再根據(jù)不

等式的性質(zhì)判斷正負(fù)性，從而比較兩個分式大小.

39.【答案】汨bc-ac_c(b-a)

abab

因為a>b>0,c<0,所以b—a<0,c(b—a)>0,ab>0

故會>0,即證：

【考點】不等式比較大小

【解析】利用已知條件結(jié)合作差法和不等式的基本性質(zhì)，從而證出(>(成

立。

9.【答案】解：