專題01 特殊平行四邊形的三種幾何變換問題（解析版）-2024年?？級狠S題攻略（9年級上冊人教版）

專題01特殊平行四邊形的三種幾何變換問題類型一、翻折問題例1．（幾何翻折）實踐操作在矩形中，，，現(xiàn)將紙片折疊，點的對應(yīng)點記為點，折痕為（點、是折痕與矩形的邊的交點），再將紙片還原．初步思考（1）若點落在矩形的邊上（如圖①）．①當點與點重合時，；當點與點重合時，；②當點在上，點在上時（如圖②），求證：四邊形為菱形，并直接寫出當時的菱形的邊長．深入探究（2）若點落在矩形的內(nèi)部（如圖③），且點、分別在、邊上，請直接寫出的最小值．拓展延伸（3）若點與點重合，點在上，射線與射線交于點（如圖④）．在各種不同的折疊位置中，是否存在某一情況，使得線段與線段的長度相等？若存在，請直接寫出線段的長度；若不存在，請說明理由．【答案】（1）①；②邊長是，證明見解析（2）2（3）存在，長度是或【分析】（1）①當點與點重合時，如圖1，畫出圖形可得結(jié)論；當點與點重合時，如圖2，則平分；②證明得，根據(jù)一組對邊平行且相等得：四邊形是平行四邊形，加上對角線互相垂直可得為菱形，當時，設(shè)菱形的邊長為，根據(jù)勾股定理列方程得：，求出的值即可；（2）如圖4，當與重合，點在對角線上時，有最小值，根據(jù)折疊的性質(zhì)求，由勾股定理求，所以；（3）分兩種情況根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答即可．【詳解】（1）①；當點與點重合時，是的中垂線，；當點與點重合時，此時．②設(shè)交于點，四邊形是矩形，點沿折疊后對應(yīng)點為，在和中，四邊形是平行四邊形是菱形當時，菱形的邊長為．設(shè)菱形邊長為，則在中，由勾股定理得：，，．

（2）的最小值為．若點落在矩形的內(nèi)部，且點、分別在、邊上，設(shè)，則，當在一條直線上時，最小，最小值為，所以當最大取時，的最小值為．（3）或．情況一：連接，，設(shè)，則，則，，解得：；情況二：設(shè)，則，則，，則，，，，解得：．綜上所述，的長度為或【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)和判定、勾股定理、折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是關(guān)鍵，本題難度適中，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想．例2．（與函數(shù)結(jié)合）如圖1，將矩形放置于第一象限，使其頂點O位于原點，且點B，C分別位于x軸，y軸上．若滿足．(1)求點A的坐標；(2)取中點M，連接，與關(guān)于所在直線對稱，連接并延長，交x軸于點P．①求的長；②如圖2，點D位于線段上，且．點E為平面內(nèi)一動點，滿足，連接．請你求出線段長度的最大值．【答案】(1)；(2)①；②【分析】（1）由．可得，，即可求解；（2）①證明，得到，可得，即可求解；②取的中點，連接，．當點、、三點共線時，的長度最大，進而求解．【詳解】（1）解：．，，解得，，點的坐標為；（2）①與關(guān)于所在直線對稱，，，，如圖，連接，，，，設(shè)，，在中，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，點為的中點，，∴；②取的中點，連接，．，點是的中點，．，，，由中點坐標可知：點的坐標為，，，，當點、、三點共線時，的長度最大，則的最大值，，，，的最大值．故答案為：．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，平行四邊形的判定，解決本題的關(guān)鍵是得到四邊形是平行四邊形．【變式訓(xùn)練1】綜合與實踐動手操作：第一步：如圖①，將矩形紙片沿過點O的直線折疊，使得點A，點D都落在邊上，此時，點A與點D重合，記為E，折痕分別為、，如圖②；第二步：再沿過點O的直線折疊，使得直線與直線重合，且O、E、C三點在同一條直線上，折痕分別為、，如圖③；第三步：在圖③的基礎(chǔ)上繼續(xù)折疊，使與重合，得到圖④，展開鋪平，連接，交于點N，如圖⑤，圖中的虛線為折痕．問題解決：(1)在圖⑤中，的度數(shù)是；(2)在圖⑤中，請判斷四邊形的形狀，并說明理由；(3)試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(4)若，則的長是．（提示：）【答案】(1)(2)四邊形是菱形，理由見解析(3)；證明見解析(4)【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)得出，，求出，，再求出結(jié)果即可；（2）證明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得出，求出，證明，，得出四邊形是平行四邊形，證明，得出結(jié)論；（3）根據(jù)證明，即可得出結(jié)論；（4）過點F作交于點P，根據(jù)角平分線的定義，設(shè)，得出，根據(jù)，得出，求出x的值即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，，由折疊的性質(zhì)，可知，∴，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形是正方形，，由折疊的性質(zhì)得，，，，；故答案為：．（2）解：四邊形是菱形，理由如下：同（1）可得，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，是等腰直角三角形，同理可證，是等腰直角三角形，，又，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，又，，∴四邊形是菱形；（3）解：，理由如下：由（2）可知，，，∵四邊形是菱形，，由折疊性質(zhì)可知，，，在和中，，；（4）解：過點F作交于點P，如圖所示：，且，，設(shè)，∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∵，，解得：，即．故答案為：．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握正方形和菱形的判定和性質(zhì)．【變式訓(xùn)練2】綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．(1)操作判斷操作一：對折正方形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；操作二：在上選一點H，沿折疊，使點B落在上的點G處，得到折痕，把紙片展平；根據(jù)以上操作，直接寫出圖1中的度數(shù)：______；(2)拓展應(yīng)用小華在以上操作的基礎(chǔ)上，繼續(xù)探究，延長交于點M，連接交于點N（如圖2）．判斷的形狀，并說明理由；(3)遷移探究如圖3，已知正方形的邊長為6cm，當點H是邊的三等分點時，把沿翻折得，延長交于點M，請直接寫出的長．【答案】(1)(2)是等邊三角形，見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)翻折可得：，得到，即可求解；（2）先證明，得到，再根據(jù)平行證明，即可求解；（3）分兩種情況討論：或．【詳解】（1）解：由題意可得：，由翻折性質(zhì)可得：，∴，∴，∵，∴，由翻折性質(zhì)可得：，∵，∴，∴；（2）解：是等邊三角形；由題意可得：，由翻折性質(zhì)可得：，，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，由（1）得：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴是等邊三角形；（3）解：①連接，如圖所示，∵正方形的邊長為6cm，點H是邊的三等分點，∴，，，由翻折性質(zhì)可得：，，，∴，，∵，∴，∴設(shè)，則，由勾股定理得：，解得：，即；②如圖所示，∵正方形的邊長為6cm，點H是邊的三等分點，∴，，，由翻折性質(zhì)可得：，，，∴，，∵，∴，∴設(shè)，則，由勾股定理得：，解得：，即；【點睛】本題考查了幾何問題，涉及到正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較大，正確理解題意和靈活運用所學(xué)的知識是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】綜合與實踐綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．

(1)操作判斷操作一：對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平，連接；操作二：在上選一點P，沿折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接．根據(jù)以上操作，請判斷圖1中是什么特殊三角形？答：＿＿＿＿．(2)遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片按照（1）中的方式操作，并延長交于點Q，連接．①如圖2，當點M在上時，______，______；②改變點P在上的位置（點P不與點A，D重合），如圖3，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展應(yīng)用在（2）的探究中，已知正方形紙片的邊長為，當時，直接寫出的長．【答案】(1)是等邊三角形(2)①15，15；②，理由見解析(3)cm或cm【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得，，進而可得，可知是等邊三角形；（2）①由“”可證，可得；②由“”可證，可得；（3）分兩種情況討論，由折疊的性質(zhì)和勾股定理可求解．【詳解】（1）解：由折疊的性質(zhì)可得，，∴，∴是等邊三角形，故答案為：等邊三角形；（2）解：①∵四邊形是正方形，∴，，由折疊可得：，，∴，，又∵，∴，∴，同（1）可證是等邊三角形，∴，∴，∴，故答案為：，15；②，理由如下：∵四邊形是正方形，∴，，由折疊可得：，，∴，，又∵，∴，∴；（3）解：由折疊的性質(zhì)可得，，∵，∴，如圖，當點Q在線段上時，

∵，∴，，∵，∴，∴，如圖，當點Q在線段上時，

∵，∴，，∵，∴，∴，綜上所述：的長為或．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．類型二、旋轉(zhuǎn)問題例1．（線段旋轉(zhuǎn)）【課本再現(xiàn)】把兩個全等的矩形和矩形拼成如圖1的圖案，則______；【遷移應(yīng)用】如圖2，在正方形中，是邊上一點（不與點，重合），連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，作射線交的延長線于點，求證：；【拓展延伸】在菱形中，，是邊上一點（不與點，重合），連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，作射線交的延長線于點．①線段與的數(shù)量關(guān)系是_____________________．②若，是的三等分點，則的面積為____________________．【答案】【課本再現(xiàn)】90；【遷移應(yīng)用】見解析；【拓展延伸】①；②或【分析】（1）【課本再現(xiàn)】先證明，可得，從而得到，即可；【遷移應(yīng)用】過點F作交于點H，結(jié)合正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，可得，從而得到，進而得到是等腰直角三角形，即可；【拓展延伸】①過點F作，與的延長線交于點H，可證得，從而得到，，進而得到，，繼而得到；②分兩種情況討論，即可．【詳解】∵矩形和矩形是全等矩形，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：90【遷移應(yīng)用】如圖，過點F作交于點H，∵四邊形是正方形，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴；【拓展延伸】①過點F作，與的延長線交于點H，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：②當時，有，由①得：，∴，∵的底邊上的高相等，∴；當時，有，∴綜上所述，的面積為或．故答案為：或【點睛】本題主要考查了四邊形的綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識點，并利用類比思想解答是解題的關(guān)鍵．例2．（圖形旋轉(zhuǎn)）（1）如圖1，正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長都為1，四邊形為兩個正方形重疊部分．正方形可繞點轉(zhuǎn)動．則下列結(jié)論正確的是________________（填序號即可）．①；②；③四邊形的面積總等于；④連接，總有．【類比遷移】（2）如圖2，矩形的中心是矩形的一個頂點，與邊相交于點，與邊相交于點，連接，矩形可繞著點旋轉(zhuǎn)，猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并進行證明；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，，，直角的頂點在邊的中點處，它的兩條邊和分別與直線，相交于點，可繞著點旋轉(zhuǎn)，當時，求線段的長度．【答案】（1）①②③④；（2），理由見解析；（3）或【分析】（1）先證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，逐項判斷即可求解；（2）連接，延長交于點，連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得點是的中點，再證明，可得，再由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，在中，根據(jù)勾股定理，即可求解；（3）設(shè)．分兩種情況討論：①當點在線段上時，②當點在延長線上時，結(jié)合勾股定理，即可求解．【詳解】解：（1）在正方形和正方形中，，∴，∴，故①正確；∴，，故②正確；∴四邊形的面積，四邊形的面積總等于，故③正確；如圖，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故④正確；故答案為：①②③④（2），理由如下：連接，延長交于點，連接，∵是矩形的中心，∴點是的中點．∴，∵在矩形中，，，∴，∴，∴，在矩形中，，∴，在中，∴；（3）設(shè)．①當點在線段上時，∵，∴∵在中，，∴，∴，又由（2）得：，∴∴，解得．∴．②當點在延長線上時，同理可證∴，又在中，．∴解得．∴故的長度為或．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用類比思想解答是解題的關(guān)鍵．類型三、平移問題例1．（線段的平移）已知正方形，點，分別在射線，射線上，，與交于點．(1)如圖1，當點，分別在線段，上時，求證：，且；(2)如圖2，當點在線段延長線上時，將線段沿平移至，連接．①依題意將圖2補全；②用等式表示線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②，證明見解析【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)可得，，進而可證明，依據(jù)全等三角形性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）①按題目要求補全圖形即可；②連接，根據(jù)平移性質(zhì)即可得出四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得，，再由，可得，，進而可得出，，由勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，，，，故，且；（2）解：①補全圖如圖2所示；②理由如下：如圖3，連接，線段沿平移至，四邊形是平行四邊形，，，在和中，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平移的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)定理．例2．（圖形的平移）平行四邊形中，于，且．(1)如圖1，若，求平行四邊形的面積．(2)如圖2，連接，過A作交于，在上截取，連接，點為中點，連接，求證：．(3)如圖3，連接，把沿直線方向平移，得到，若，，請直接寫出平移過程中的最小值．【答案】(1)(2)見解析(3)的最小值為【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，證明，利用勾股定理求出，利用平行四邊形面積公式即可得出結(jié)果；（2）延長交于T，連接，，證明，，即可解決問題；（3）由題意可知四邊形是平行四邊形，推出，推出的最小值的最小值，點在過點A且平行于的定直線上，作點D關(guān)于定直線的對稱點，，則的長度即為的最小值，求出的最小值，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．（2）證明：如圖，延長交于T，連接，，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．（3）解：如圖，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴的最小值的最小值，∵點在過點A且平行于的直線上，∴作點D關(guān)于直線的對稱點，∵，則的長度即為的最小值，過點作于H，交于J，過點A作于T，設(shè)交于K，過點C作于R，∵，∴四邊形是矩形，∴，設(shè)，在中，則有，解得或（舍去），∴，，過點B作交的延長線于Q，則，，，∴，∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，在中，，∵，∴，在中，，∴，∴，∵，在中，，∴的最小值為．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考壓軸題．【變式訓(xùn)練1】（1）如圖1，正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長都為1，四邊形為兩個正方形重疊部分．正方形可繞點轉(zhuǎn)動．則下列結(jié)論正確的是________________（填序號即可）．①；②；③四邊形的面積總等于；④連接，總有．【類比遷移】（2）如圖2，矩形的中心是矩形的一個頂點，與邊相交于點，與邊相交于點，連接，矩形可繞著點旋轉(zhuǎn)，猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并進行證明；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，，，直角的頂點在邊的中點處，它的兩條邊和分別與直線，相交于點，可繞著點旋轉(zhuǎn)，當時，求線段的長度．【答案】（1）①②③④；（2），理由見解析；（3）或【分析】（1）先證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，逐項判斷即可求解；（2）連接，延長交于點，連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得點是的中點，再證明，可得，再由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，在中，根據(jù)勾股定理，即可求解；（3）設(shè)．分兩種情況討論：①當點在線段上時，②當點在延長線上時，結(jié)合勾股定理，即可求解．【詳解】解：（1）在正方形和正方形中，，∴，∴，故①正確；∴，，故②正確；∴四邊形的面積，四邊形的面積總等于，故③正確；如圖，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故④正確；故答案為：①②③④（2），理由如下：連接，延長交于點，連接，∵是矩形的中心，∴點是的中點．∴，∵在矩形中，，，∴，∴，∴，在矩形中，，∴，在中，∴；（3）設(shè)．①當點在線段上時，∵，∴∵在中，，∴，∴，又由（2）得：，∴，∴，解得．∴．②當點在延長線上時，同理可證∴，又在中，．∴，解得．∴故的長度為或．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用類比思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】已知：如圖①，在矩形中，，垂足是.點是點關(guān)于的對稱點，連接．

（1）求和的長；（2）若將沿著射線方向平移，設(shè)平移的距離為(平移距離指點沿方向所經(jīng)過的線段長度)．當點分別平移到線段上時，直接寫出相應(yīng)的的值．（3）如圖②，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)一個角，記旋轉(zhuǎn)中為，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)所在的直線與直線交于點，與直線交于點．是否存在這樣的兩點，使為等腰三角形？若存在，求出此時的長；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）或；（3）存在組符合條件的點、點，使為等腰三角形；的長度分別為或或或．【分析】（1）利用矩形性質(zhì)、勾股定理及三角形面積公式求解；（2）依題意畫出圖形，如圖①-1所示．利用平移性質(zhì)，確定圖形中的等腰三角形，分別求出m的值；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰△DPQ有4種情形，分別畫出圖形，對于各種情形分別進行計算即可．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，由勾股定理得：BD=，∵S△ABDBD?AE=AB?AD，∴AE=，∵點F是點E關(guān)于AB的對稱點，∴AF=AE，BF=BE，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AB=3，AE，由勾股定理得：BE；（2）設(shè)平移中的三角形為△A′B′F′，如圖①-1所示：由對稱點性質(zhì)可知，∠1=∠2．BF=BE，由平移性質(zhì)可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′，①當點F′落在AB上時，∵AB∥A′B′，∴∠3=∠4，根據(jù)平移的性質(zhì)知：∠1=∠4，∴∠3=∠2，∴BB′=B′F′，即；②當點F′落在AD上時，∵AB∥A′B′，AB⊥AD，∴∠6=∠2，A′B′⊥AD，∵∠1=∠2，∠5=∠1，∴∠5=∠6，又知A′B′⊥AD，∴△B′F′D為等腰三角形，∴B′D=B′F′，∴BB′=BD-B′D=5-，即m；（3）存在．理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，∴∠2=∠BAE，∵點F是點E關(guān)于AB的對稱點，∴∠1=∠BAE，∴∠1=∠2，在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰△DPQ依次有以下4種情形：①如圖③-1所示，點Q落在BD延長線上，且PD=DQ，則∠Q=∠DPQ，∴∠2=∠Q+∠DPQ=2∠Q，∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，∴∠3=∠Q，∴A′Q=A′B=3，∴F′Q=F′A′+A′Q=，在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=，∴DQ=BQ-BD=；②如圖③-2所示，點Q落在BD上，且PQ=DQ，則∠2=∠P，∵∠1=∠2，∴∠1=∠P，∴BA′∥PD，則此時點A′落在BC邊上．∵∠3=∠2，∴∠3=∠1，∴BQ=A′Q，∴F′Q=F′A′-A′Q=-BQ，在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，即：，解得：，∴DQ=BD-BQ=5-；③如圖③-3所示，點Q落在BD上，且PD=DQ，則∠3=∠4．∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，∴∠4=90°-∠2．∵∠1=∠2，∴∠4=90°-∠1，∴∠A′QB=∠4=90°-∠1，∴∠A′QB=∠A′BQ，∴A′Q=A′B=3，∴F′Q=A′Q-A′F′=3-，在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=，∴DQ=BQ-BD=；④如圖④-4所示，點Q落在BD上，且PQ=PD，則∠2=∠3．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴BQ=BA′=3，∴DQ=BD-BQ=5-3=2．綜上所述，存在4組符合條件的點P、點Q，使△DPQ為等腰三角形，DQ的長度分別為：或或或．【點睛】本題是四邊形綜合題目，主要考查了矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識點；第（3）問難度很大，解題關(guān)鍵是畫出各種旋轉(zhuǎn)圖形，依題意進行分類討論．課后訓(xùn)練1．(1)操作判斷如圖1，在中，，，點E在上（且不與點A、C重合）在的外部作，使，，連接，過點B作，過點D作，交于點F，連接．根據(jù)以上操作，判斷：四邊形的形狀是；三角形的形狀是；(2)遷移探究明明同學(xué)所在的“認真?堅持”學(xué)習(xí)小組“異想天開”，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖2，當點E落在線段上時，請你：①求證：四邊形的是矩形；②連接若，求的長；(3)拓展應(yīng)用亮亮同學(xué)所在的“感恩?責任”學(xué)習(xí)小組受此啟發(fā)，將繞點C繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，能使四邊形為菱形，若，請你直接寫出線段的長．【答案】(1)平行四邊形；等腰直角三角形(2)①見解析；②(3)或【分析】（1）由得到四邊形是平行四邊形，由得到，則是等腰直角三角形；（2）①得到，點E落在線段上則點D在上，由四邊形是平行四邊形，，得到四邊形是矩形；②連接，四邊形是矩形得，證，得，，則；（3）當點D在的左側(cè)時，如圖，連接延長交于K，設(shè)直線交于H，于N，先證明，得到，則，則垂直平分，得到，則，得到，得到，當點D在的右側(cè)時，連接同理可得．【詳解】（1）解：∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴是等腰直角三角形；故答案為：平行四邊形；等腰直角三角形；（2）①證明：∵，∴，∵點E落在線段上，∴點D在上，∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是矩形；②解：如圖，連接，∵四邊形是矩形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：當點D在的左側(cè)時，如圖，連接延長交于K，設(shè)直線交于H，于N，∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，又∵，