專題02 特殊平行四邊形中的四種最值問題（原卷版）-2024年常考?jí)狠S題攻略（9年級(jí)上冊(cè)人教版）

專題02特殊平行四邊形中的四種最值問題類型一、將軍飲馬（軸對(duì)稱）型最值問題例1．如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上移動(dòng)，則周長(zhǎng)的最小值是（

）

A． B． C． D．例2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD邊的中點(diǎn)，P，Q為BC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ＝2，當(dāng)四邊形APQE的周長(zhǎng)最小時(shí)，BP的長(zhǎng)為（

）A．0 B．3 C．4 D．6例3．如圖，在矩形中，，O為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊上，且，點(diǎn)Q在邊上，連接與，則的最大值為____________，的最小值為__________．【變式訓(xùn)練1】如圖，正方形的周長(zhǎng)為24，為對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PBC＝S矩形ABCD，則點(diǎn)P到B，C兩點(diǎn)距離之和PB+PC的最小值為（）A． B． C． D．2【變式訓(xùn)練3】如圖，在正方形中，，與交于點(diǎn)O，N是的中點(diǎn)，點(diǎn)M在邊上，且，P為對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最大值為_____________．【變式訓(xùn)練4】如圖，在正方形中，，為邊上一點(diǎn)，．為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過點(diǎn)分別作于點(diǎn)、于點(diǎn)，連接、，則的最小值為______．類型二、翻折型最值問題例1．如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△MN，連接C，則C長(zhǎng)度的最小值是（

）A． B． C． D．例2．如圖，在正方形ABCD中，AB=6，E是CD邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△ECF沿EF所在的直線折疊得到，連接，則的最小值是_______．【變式訓(xùn)練1】如圖，在矩形中，，，在上，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將沿所在的直線折疊得到，連接，則的最小值是（

）A．6 B．4 C． D．類型三、旋轉(zhuǎn)型最值問題例1．如圖，正方形中，，E是邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，連接，，，并將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)M，N分別為點(diǎn)E，F(xiàn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．連接，則線段長(zhǎng)度的最小值為_____________．例2．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，，，E為BC上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，將EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到EG的位置，連接FG和CG，則CG的最小值為______．【變式訓(xùn)練1】如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，，則當(dāng)之和取最小值時(shí)，的周長(zhǎng)為______．（用含a的代數(shù)式表示）

【變式訓(xùn)練2】如圖①．已知是等腰直角三角形，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，作正方形，使點(diǎn)，分別在和上，連接，．

(1)試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你得到的結(jié)論；(2)將正方形繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于，小于或等于），如圖②，通過觀察或測(cè)量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；(3)若，在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中，①當(dāng)為最大值時(shí)，則___________．②當(dāng)為最小值時(shí)，則___________．類型四、PA+KPB型最值問題例．如圖，菱形ABCD中，，邊長(zhǎng)為3，P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．【變式訓(xùn)練1】如圖，長(zhǎng)方形中，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為_____．【變式訓(xùn)練2】如圖，?中，，，為邊上一點(diǎn)，則的最小值為______．課后訓(xùn)練1．如圖，菱形的邊長(zhǎng)為8，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，連接，則長(zhǎng)的最小值是（

）A． B． C． D．2．如圖，在菱形中，E，F(xiàn)分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，G，H分別為，的中點(diǎn)，連接．若，，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．如圖，四邊形ABCD中，AB//CD，∠ABC=60°，，點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足∠AMD=90°，則點(diǎn)M到直線BC的距離的最小值為（

）A． B． C． D．4．如圖，直線平分正方形的面積，直線分別與、交于點(diǎn)、，直線于，連接，若，則長(zhǎng)的最小值為___________．

5．如圖，矩形中，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為________．6．如圖，正方形ABCD，邊長(zhǎng)為7，點(diǎn)E在邊BC上，，點(diǎn)F是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右作等邊，連接CG，線段CG的最小值是___________．7．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，P是線段的中點(diǎn)，，，G，H為垂足，連接．若，，，則的最小值是______．8．如圖，