滬教版暑假新九年級(jí)數(shù)學(xué)考點(diǎn)講與練第20講二次函數(shù)中梯形的存在性問(wèn)題(考點(diǎn)講與練)(原卷版+解析)

第20講二次函數(shù)中梯形的存在性問(wèn)題（核心考點(diǎn)講與練）【基礎(chǔ)知識(shí)】類型一：一般梯形1.知識(shí)內(nèi)容：梯形的限制較少，所以可能出現(xiàn)的情況就會(huì)有很多，在處理時(shí)需要想清所有可能情況，再進(jìn)行討論處理。有一種比較常見(jiàn)的情況是：若已知三點(diǎn)ABC，另一點(diǎn)M在某固定直線上，形成的四邊形ABCM為梯形，則會(huì)有兩種情況：①AM//BC；②CM//AB，如圖所示。2.解題思路：根據(jù)題目條件，求出已知3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；分情況進(jìn)行討論；對(duì)可能的各種情況，求出已知邊所在直線的方程；根據(jù)直線方程，求得與其平行的直線的方程，再解出待求點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)題目實(shí)際情況，驗(yàn)證所有可能點(diǎn)是否滿足要求并作答．注：若兩條直線平行，則這兩條直線的斜率相等．類型二：特殊梯形1.知識(shí)內(nèi)容： 特殊梯形主要分成等腰梯形和直角梯形兩種．對(duì)于這兩種情況，只需在之前平行的基礎(chǔ)上，增加考慮直角或腰相等的條件．2.解題思路：直角梯形：根據(jù)題目條件，求出已知3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；尋找已有的直角，進(jìn)而判斷可能的平行直線；對(duì)可能的各種情況，求出已知邊所在直線的方程；根據(jù)直線方程，求得與其平行的直線的方程，再解出待求點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)題目實(shí)際情況，驗(yàn)證所有可能點(diǎn)是否滿足要求并作答．等腰梯形：根據(jù)題目條件，求出已知3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；分情況討論；對(duì)可能的各種情況，求出已知邊所在直線的方程；根據(jù)直線方程，求得與其平行的直線的方程，再解出待求點(diǎn)的坐標(biāo)；驗(yàn)證所有形成的梯形是否等腰，并作答．【考點(diǎn)剖析】1．(2023?浦東新區(qū)模擬）已知拋物線y＝ax2+bx﹣2與y軸相交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)B在第二象限內(nèi)，AP⊥AB，交x軸于點(diǎn)P，tan∠APB＝2，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)m＝2時(shí)，求拋物線的表達(dá)式；（3）如果拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)C，且四邊形ACBP是梯形，求m的值．2．(2023春?松江區(qū)校級(jí)期中）已知拋物線y＝ax2+3x過(guò)點(diǎn)C（4，0），頂點(diǎn)為D，點(diǎn)B在第一象限，BC垂直于x軸，且BC＝2，直線BD交y軸于點(diǎn)A．（1）求拋物線的解析式；（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使四邊形AOMD和四邊形BCMD中，一個(gè)是平行四邊形，另一個(gè)是等腰梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，開(kāi)口向上的拋物線與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B(3，0)，D為拋物線的頂點(diǎn)，直線AC與拋物線交于點(diǎn)C(5，6)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E在x軸上，且和相似，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）若直角坐標(biāo)系平面中的點(diǎn)F和點(diǎn)A、C、D構(gòu)成直角梯形，且面積為16，試求點(diǎn)F的坐標(biāo)．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1．(2023?青浦區(qū)二模）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸是直線x＝1，頂點(diǎn)是點(diǎn)D．（1）求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為該拋物線第三象限上的一點(diǎn)，當(dāng)四邊形PBDC為梯形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)E為x軸正半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)tan（∠PBO+∠PEO）=52時(shí)，求2．(2023秋?閔行區(qū)期末）如圖，已知一個(gè)拋物線經(jīng)過(guò)A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1）三點(diǎn)．（1）求這個(gè)拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)AB、BC、CA，求tan∠ABC的值；（3）如果點(diǎn)E在該拋物線的對(duì)稱軸上，且以點(diǎn)A、B、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，）．（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出其對(duì)稱軸；（2）點(diǎn)E為該拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)F在對(duì)稱軸上，四邊形ACEF為梯形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)D為該拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（t，0），且t>3，如果和的面積相等，求t的值．4.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（2，0）、C(0，12)兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線x=4，設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）如圖1，在直線y=2x上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5.如圖，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，2），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)B作直線BM⊥x軸垂足為點(diǎn)M．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在直線BM上有點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CP和CA，判斷直線CP與直線CA的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)E，使得以A、C、P、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)A（－1，0）、B（3，0）、C（2，3）三點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D．（1）求該拋物線的解析式，并寫出該拋物線的對(duì)稱軸；（2）分別聯(lián)結(jié)AD、DC、CB，直線y=4x＋m與線段DC交于點(diǎn)E，當(dāng)此直線將四邊形ABCD的面積平分時(shí)，求m的值；（3）設(shè)點(diǎn)F為該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)以A、B、C、F為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)．7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)的圖像與y軸交于點(diǎn)A，與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)B，它的橫坐標(biāo)為4．過(guò)點(diǎn)B作直線l//x軸，與該二次函數(shù)圖像交于另一點(diǎn)C，直線AC的截距是．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求直線AC的表達(dá)式；（3）平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，如果不存在，說(shuō)明理由．第20講二次函數(shù)中梯形的存在性問(wèn)題（核心考點(diǎn)講與練）【基礎(chǔ)知識(shí)】類型一：一般梯形1.知識(shí)內(nèi)容：梯形的限制較少，所以可能出現(xiàn)的情況就會(huì)有很多，在處理時(shí)需要想清所有可能情況，再進(jìn)行討論處理。有一種比較常見(jiàn)的情況是：若已知三點(diǎn)ABC，另一點(diǎn)M在某固定直線上，形成的四邊形ABCM為梯形，則會(huì)有兩種情況：①AM//BC；②CM//AB，如圖所示。2.解題思路：根據(jù)題目條件，求出已知3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；分情況進(jìn)行討論；對(duì)可能的各種情況，求出已知邊所在直線的方程；根據(jù)直線方程，求得與其平行的直線的方程，再解出待求點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)題目實(shí)際情況，驗(yàn)證所有可能點(diǎn)是否滿足要求并作答．注：若兩條直線平行，則這兩條直線的斜率相等．類型二：特殊梯形1.知識(shí)內(nèi)容： 特殊梯形主要分成等腰梯形和直角梯形兩種．對(duì)于這兩種情況，只需在之前平行的基礎(chǔ)上，增加考慮直角或腰相等的條件．2.解題思路：直角梯形：根據(jù)題目條件，求出已知3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；尋找已有的直角，進(jìn)而判斷可能的平行直線；對(duì)可能的各種情況，求出已知邊所在直線的方程；根據(jù)直線方程，求得與其平行的直線的方程，再解出待求點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)題目實(shí)際情況，驗(yàn)證所有可能點(diǎn)是否滿足要求并作答．等腰梯形：根據(jù)題目條件，求出已知3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；分情況討論；對(duì)可能的各種情況，求出已知邊所在直線的方程；根據(jù)直線方程，求得與其平行的直線的方程，再解出待求點(diǎn)的坐標(biāo)；驗(yàn)證所有形成的梯形是否等腰，并作答．【考點(diǎn)剖析】1．(2023?浦東新區(qū)模擬）已知拋物線y＝ax2+bx﹣2與y軸相交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)B在第二象限內(nèi)，AP⊥AB，交x軸于點(diǎn)P，tan∠APB＝2，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)m＝2時(shí)，求拋物線的表達(dá)式；（3）如果拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)C，且四邊形ACBP是梯形，求m的值．分析：（1）證明Rt△BMA∽R(shí)t△ANP，則兩個(gè)三角形相似比為2，進(jìn)而求解；（2）用待定系數(shù)法即可求解；（3）四邊形ACBP是梯形，故直線AC∥BP，故設(shè)直線BP的表達(dá)式為y=?12x【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交過(guò)點(diǎn)B與y軸的平行線于點(diǎn)M，交過(guò)點(diǎn)P與y軸的平行線于點(diǎn)N，∵∠BAM+∠PAN＝90°，∠PAN+∠APN＝90°，∴∠BAM＝∠APN，∴Rt△BMA∽R(shí)t△ANP，∵tan∠APB＝2，∴兩個(gè)三角形相似比為2，則BM＝2AN＝2m，AM＝2PN＝2×2＝4，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，2m﹣2）；（2）當(dāng)m＝2時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，2），設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣h）2+2，則y＝a（x+4）2+2，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式得：﹣2＝a（0+4）2+2，解得a=?故拋物線的表達(dá)式為y=?14（x+4）2+2=?1（3）如圖，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4，0）；設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝sx+t，則0=?故直線AC的表達(dá)式為y=?1∵四邊形ACBP是梯形，故直線AC∥BP，故設(shè)直線BP的表達(dá)式為y=?12x將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入上式得，?12m+將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得，2m﹣2=?12解得m=8【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．2．(2023春?松江區(qū)校級(jí)期中）已知拋物線y＝ax2+3x過(guò)點(diǎn)C（4，0），頂點(diǎn)為D，點(diǎn)B在第一象限，BC垂直于x軸，且BC＝2，直線BD交y軸于點(diǎn)A．（1）求拋物線的解析式；（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使四邊形AOMD和四邊形BCMD中，一個(gè)是平行四邊形，另一個(gè)是等腰梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．分析：（1）將C（4，0）代入y＝ax2+3x，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）先利用配方法求出（1）中拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，再由點(diǎn)B在第一象限，BC垂直于x軸，且BC＝2，可知B（4，2），設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，將B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，令x＝0求出y的值，進(jìn)而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）由于點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，所以DM∥BC∥AO．分兩種情況討論：①當(dāng)DM＝BC時(shí)，四邊形BCMD是平行四邊形，再證明四邊形AOMD是等腰梯形；②當(dāng)DM＝AO時(shí)，四邊形AOMD是平行四邊形，再證明四邊形BCMD是等腰梯形．【解答】解：拋物線y＝ax2+3x過(guò)點(diǎn)C（4，0），∴16a+12＝0，解得a=?∴拋物線的解析式為y=?34x2（2）∵y=?34x2+3x=?34（x2﹣4x）∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3）．∵點(diǎn)B在第一象限，BC垂直于x軸，且BC＝2，∴B（4，2）．設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，將B（4，2），D（2，3）代入，得4k+b=22k+b=3，解得k=∴直線BD的解析式為y=?1當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4）；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M，使四邊形AOMD和四邊形BCMD中，一個(gè)是平行四邊形，另一個(gè)是等腰梯形．理由如下：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，y）．由AOMD和BCMD都是四邊形，得y＜3．分兩種情況：①∵DM∥BC，∴當(dāng)DM＝BC時(shí)，四邊形BCMD是平行四邊形．∵D（2，3），DM＝BC，∴3﹣y＝2，解得y＝1，∴當(dāng)M的坐標(biāo)為（2，1）時(shí)，四邊形BCMD是平行四邊形，此時(shí)，∵OM=22+1∴OM＝AD，又∵AO∥DM，AO≠DM，∴四邊形AOMD是等腰梯形；②∵DM∥AO，∴當(dāng)DM＝AO時(shí)，四邊形AOMD是平行四邊形．∵D（2，3），DM＝AO，∴3﹣y＝4，解得y＝﹣1，∴當(dāng)M的坐標(biāo)為（2，﹣1）時(shí)，四邊形AOMD是平行四邊形，此時(shí)，∵CM=(4?2)2+∴CM＝BD，又∵BC∥DM，BC≠DM，∴四邊形BCMD是等腰梯形．綜上可知，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M，使四邊形AOMD和四邊形BCMD中，一個(gè)是平行四邊形，另一個(gè)是等腰梯形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1）或（2，﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰梯形的判定，綜合性較強(qiáng)，難度不大．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論是解題的關(guān)鍵．3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，開(kāi)口向上的拋物線與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B(3，0)，D為拋物線的頂點(diǎn)，直線AC與拋物線交于點(diǎn)C(5，6)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E在x軸上，且和相似，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）若直角坐標(biāo)系平面中的點(diǎn)F和點(diǎn)A、C、D構(gòu)成直角梯形，且面積為16，試求點(diǎn)F的坐標(biāo)．解析：（1）∵拋物線過(guò)點(diǎn)A（-1，0）與點(diǎn)B（3，0）， ∴設(shè)拋物線為，將點(diǎn)C（5，6）代入， 得拋物線解析式為：． ∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，-2）； （2）分別過(guò)C、D作CM、DN⊥x軸于M、N， 計(jì)算可得，AN=DN=2，AM=CM=6． ∴． 又因?yàn)锳E公共邊， ∴此兩角為相似三角形對(duì)應(yīng)角． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴E點(diǎn)坐標(biāo)為或； （3）可得，，，， 分情況討論：當(dāng)DP//AC時(shí)，∵梯形CADF面積為16， ∴此時(shí)DF直線為，且．∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）． ②當(dāng)CF//AD時(shí)， ∴CF為，且， ∴F點(diǎn)標(biāo)為． ③當(dāng)AF//CD時(shí)，此時(shí)不可能． 綜上，F(xiàn)點(diǎn)可能的坐標(biāo)為（3，0）或．【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，考查的知識(shí)點(diǎn)較多，包含了二次函數(shù)的性質(zhì)，相似的性質(zhì)以及梯形的有關(guān)性質(zhì)，解題時(shí)注意分析．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1．(2023?青浦區(qū)二模）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸是直線x＝1，頂點(diǎn)是點(diǎn)D．（1）求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為該拋物線第三象限上的一點(diǎn)，當(dāng)四邊形PBDC為梯形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)E為x軸正半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)tan（∠PBO+∠PEO）=52時(shí)，求分析：（1）把A（﹣1，0）代入拋物線的解析式，再由對(duì)稱軸x=?b2a=1，列方程組求出（2）四邊形PBDC為梯形時(shí)，則PB∥CD；先求CD所在直線的解析式，再根據(jù)兩個(gè)一次函數(shù)一般式中的k值相等求直線PB的解析式且與拋物線的解析式組成方程，解方程組求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，構(gòu)造以P為頂點(diǎn)且一個(gè)銳角的正切值為52的直角三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)求OE【解答】解：（1）根據(jù)題意，得a?b+3=0?∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴該拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．（2）如圖1，由y＝﹣x2+2x+3，得C（0，3），B（3，0）．設(shè)直線CD的解析式為y＝kx+3，則k+3＝4，解得k＝1，∴y＝x+3；當(dāng)四邊形PBDC是梯形時(shí)，則PB∥CD，設(shè)直線PB的解析式為y＝x+m，則3+m＝0，解得m＝﹣3，∴y＝x﹣3．由y=x?3y=?x2∴P（﹣2，﹣5）．（3）如圖2，作PH⊥x軸于點(diǎn)H，在x軸正半軸上取一點(diǎn)F，使HFPH=tan∠HPF=5由（2）得，直線PB的解析式為y＝x﹣3，則G（0，﹣3），∴OB＝OG＝3．∵PH∥OG，∴∠BPH＝∠BGO＝∠PBO＝45°，∴∠HPF＝45°+∠FPB；∵tan（∠PBO+∠PEO）=5∴45°+∠PEO＝45°+∠FPB，∴∠PEO＝∠FPB，又∵∠PBE＝∠FBP（公共角），∴△PBE∽△FBP，∴PBFB=BEPB，BE?BF∵HF=52PH=5∴BF=252?又∵PH＝BH＝5，∴PB2＝52+52＝50，∴152BE解得BE=20∴OE＝3+20【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函的解析式、用解方程組的方法求直線與拋物線的交點(diǎn)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)和方法，解題關(guān)鍵是正確地作出輔助線，構(gòu)造出解題所需的圖形．2．(2023秋?閔行區(qū)期末）如圖，已知一個(gè)拋物線經(jīng)過(guò)A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1）三點(diǎn)．（1）求這個(gè)拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)AB、BC、CA，求tan∠ABC的值；（3）如果點(diǎn)E在該拋物線的對(duì)稱軸上，且以點(diǎn)A、B、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，將A（0，1）、B（1，3）、C（﹣1，1）代入，求a、b、c的值，可得結(jié)果；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于F，延長(zhǎng)CA交BF于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，通過(guò)勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)可求AM和BM的長(zhǎng)，即可求解；（3）分三種情況討論，由梯形的性質(zhì)可求解．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0）．由題意可得：3=a+b+c解得：a=1∴拋物線的解析式為：y＝x2+x+1，∵y＝x2+x+1＝（x+12）2∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（?12，（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于F，延長(zhǎng)CA交BF于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，∴BF＝3，∵A（0，1），C（﹣1，1），∴AC∥x軸，∴CD⊥BF，∴CD＝BD＝2，AD＝1，CA＝1，∴BC＝22，∠BCD＝∠CBD＝45°，∵AM⊥BC，∴∠MAC＝∠MCA＝45°，∴CM＝AM，∴CM＝AM=AC∴BM＝BC﹣CM=3∴tan∠ABC=AM（3）∵A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1），∴直線AC解析式為：y＝1，直線AB解析式為：y＝2x+1，直線BC解析式為：y＝x+2，若BE∥AC，則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為3，且點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，∴點(diǎn)E（?1若CE∥AB，則CE的解析式為；y＝2x+3，∵點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，∴x=?∴y＝2，即點(diǎn)E（?1若AE∥BC，則AE解析式為：y＝x+1，∵點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，∴x=?∴y=1即點(diǎn)E（?12，綜上所述：點(diǎn)E的坐標(biāo)為（?12，3）或（?12，2）或（【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，梯形的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，）．（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出其對(duì)稱軸；（2）點(diǎn)E為該拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)F在對(duì)稱軸上，四邊形ACEF為梯形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)D為該拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（t，0），且t>3，如果和的面積相等，求t的值．解析：（1）將A、C代入拋物線解析式， 解得拋物線解析式為：．對(duì)稱軸為：直線． （2）E點(diǎn)為（1，0），分情況討論： ①AC//EF 直線AC的解析式為． ∴直線EF的解析式為． ∴與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為（1，0），與E點(diǎn)重合（舍）． ②AF//CE 直線CE的解析式為， ∴直線AF的解析式為． ∴與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為（1，4）．∴F點(diǎn)為（1，4）． 綜上，F(xiàn)點(diǎn)為（1，4）． （3）拋物線頂點(diǎn)D為，與x軸另一交點(diǎn)B為（3，0）， 當(dāng)和的面積相等（t>3）時(shí)，有BC//DP． 直線BC的解析式為， ∴直線DP的解析式為． 解得：P點(diǎn)為（5，0），即t的值為5．【總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)函數(shù)背景下的梯形存在性問(wèn)題，注意對(duì)方法的歸納總結(jié)．4.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（2，0）、C(0，12)兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線x=4，設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）如圖1，在直線y=2x上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：解：（1）∵對(duì)稱軸為x=4，且拋物線過(guò)A（2，0）， ∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），設(shè)拋物線為． 將C（0，12）代入，解得拋物線解析式為：， 頂點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，-4）； （2）若存在滿足題意的D點(diǎn)，直線BP解析式為． ∴BP//OD．∴OP=BD． 設(shè)D點(diǎn)為（d，2d）， ∴，． ∴，解得：（此時(shí)為平行四邊形，舍）或， ∴D點(diǎn)為．即當(dāng)D點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，四邊形OPBD為等腰梯形．【總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，求出二次函數(shù)解析式，研究二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)及相關(guān)圖形的特點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．5.如圖，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，2），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)B作直線BM⊥x軸垂足為點(diǎn)M．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在直線BM上有點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CP和CA，判斷直線CP與直線CA的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)E，使得以A、C、P、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形，若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：解：（1）將B(1，2)代入解析式，解得函數(shù)解析式為：． （2）拋物線的對(duì)稱軸為．∴A點(diǎn)為（3，0），C點(diǎn)為（2，2），M點(diǎn)為（1，0）． 連接BC，過(guò)C作CH⊥OA于H，可得，，，． ∴，又∵，∴，∴．∴，CP⊥CA． （3）∵，∴分情況討論 ①E在x軸上時(shí)，當(dāng)PE//AC時(shí)， ∵AC解析式為，∴PE解析式為． ∴E點(diǎn)為．E在y軸上時(shí)，當(dāng)AE//PC時(shí)， ∵PC解析式為，∴AE解析式為． ∴E點(diǎn)為， 綜上，E點(diǎn)坐標(biāo)為或．【總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，注意利用相似判定直線間的位置關(guān)系，第（3）小問(wèn)注意對(duì)點(diǎn)的存在性進(jìn)行分類討論．6.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)A（－1，0）、B（3，0）、C（2，3）三點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D．（1）求該拋物線的解析式，并寫出該拋物線的對(duì)稱軸；（2）分別聯(lián)結(jié)AD、DC、CB，直線y=4x＋m與線段DC交于點(diǎn)E，當(dāng)此直線將四邊形ABCD的面積平分時(shí)，求m的值；（3）設(shè)點(diǎn)F為該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)以A、B、C、F為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條