2017屆高考文科數(shù)學(xué)第一輪考點(diǎn)規(guī)范練習(xí)題14

考點(diǎn)規(guī)范練26平面向量的應(yīng)用考點(diǎn)規(guī)范練B冊(cè)第16頁(yè)

基礎(chǔ)鞏固組1.在△ABC所在平面上有一點(diǎn)P,滿足,則△PAB與△ABC的面積之比是()A. B. C. D.答案:A解析:由已知可得=2,∴P是線段AC的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A),易知S△PAB=S△ABC,即S△PAB∶S△ABC=1∶3.2.已知點(diǎn)A(-2,0),B(3,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足=x2-6,則點(diǎn)P的軌跡是()A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線答案:D解析:=(-2-x,-y),=(3-x,-y),∴=(-2-x)(3-x)+y2=x2,∴y2=x.3.在△ABC中,()·=||2,則△ABC的形狀一定是()A.等邊三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案:C解析:由()·=||2,得·()=0,即·()=0,2=0,∴,∴A=90°.又根據(jù)已知條件不能得到||=||,故△ABC一定是直角三角形.4.在銳角三角形ABC中,若BC=2,sinA=,則的最大值為()A. B. C.1 D.3答案:C解析:設(shè)△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc×=4,由基本不等式可得4≥bc,即bc≤3,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),等號(hào)成立.所以=bccosA=bc≤1.5.在△ABC中,=(,-1),=(1,-),則cosB=()A.- B. C. D.0答案:A解析:∵在△ABC中,=(,-1),=(1,-),∴||=2,||=2,=(-,1).∴cosB==-,選A.6.在△ABC中,設(shè)=2,那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過(guò)△ABC的()A.垂心 B.內(nèi)心 C.外心 D.重心?導(dǎo)學(xué)號(hào)32470764?答案:C解析:假設(shè)BC的中點(diǎn)是O,則=()·()=2=2,即()·=0,所以,所以動(dòng)點(diǎn)M在線段BC的垂直平分線上,所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過(guò)△ABC的外心,選C.7.已知M(x0,y0)是雙曲線C:-y2=1上的一點(diǎn),F1,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn).若<0,則y0的取值范圍是()A. B.C. D.?導(dǎo)學(xué)號(hào)32470765?答案:A解析:由條件知F1(-,0),F2(,0),∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),∴-3<0.①又∵=1,∴=2+2.代入①得,∴-<y0<.8.(2015遼寧大連模擬)已知橢圓方程為=1,點(diǎn)A(1,1),M為橢圓上任意一點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)N滿足=2,則N點(diǎn)的軌跡方程為.?導(dǎo)學(xué)號(hào)32470766?

答案:=1解析:設(shè)M(x1,y1),N(x,y),則由已知得(x-1,y-1)=2(x1-1,y1-1),即因?yàn)镸點(diǎn)在橢圓上,故M點(diǎn)坐標(biāo)滿足橢圓方程.所以=1.9.已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),且||=||,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為.

答案:±2解析:如圖所示,以O(shè)A,OB為邊作平行四邊形OACB,則由||=||,得平行四邊形OACB是矩形,.由圖像得,直線y=-x+a在y軸上的截距為±2.10.已知在△ABC中,∠C是直角,CA=CB,D是CB的中點(diǎn),E是AB上一點(diǎn),且AE=2EB,求證:AD⊥CE.證明:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A(a,0),則B(0,a),E(x,y).∵D是BC的中點(diǎn),∴D.又=2,即(x-a,y)=2(-x,a-y),∴解得x=,y=a.∵-(a,0)=,∴=(-a)×a×=-a2+a2=0,∴,即AD⊥CE.11.(2015蘭州診斷)已知△ABC的角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,設(shè)向量p=(a,b),q=(sinB,sinA),n=(b-2,a-2).(1)若p∥q,求證:△ABC為等腰三角形;(2)若p⊥n,邊長(zhǎng)c=2,∠C=,求△ABC的面積.(1)證明:∵p∥q,∴asinA=bsinB,即a·=b·(其中R是△ABC外接圓的半徑).∴a=b,∴△ABC為等腰三角形.(2)解:由p⊥n得p·n=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab.又c=2,∠C=,∴4=a2+b2-2abcos,即有4=(a+b)2-3ab.∴(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(ab=-1舍去).因此,S△ABC=absinC=×4×.能力提升組12.平面上O,A,B三點(diǎn)不共線,設(shè)=a,=b,則△OAB的面積等于()A. B.C. D.答案:C解析:設(shè)∠AOB=θ,那么cosθ=,則sinθ==,那么△OAB的面積S=|a||b|·sinθ=|a||b|·=.13.已知△ABD是等邊三角形,且,||=,那么四邊形ABCD的面積為()A. B. C.3 D.答案:B解析:如圖所示,=,∴,即3=.∵||=||,∴|2-||||cos60°=3.∴||=2.又,∴||=|=1.∴||2+||2=||2.∴BC⊥CD.∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD=×22×sin60°+×1×,故選B.14.(2015太原模擬)已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(,-1),則|2a-b|的最大值與最小值的和為.?導(dǎo)學(xué)號(hào)32470767答案:4解析:由題意可得a·b=cosθ-sinθ=2cos,則|2a-b|=∈[0,4],所以|2a-b|的最大值與最小值的和為15.在△ABC中,過(guò)中線AD的中點(diǎn)E任作一條直線分別交邊AB,AC于M,N兩點(diǎn),設(shè)=x=y(xy≠0),則4x+y的最小值是.

答案:解析:因?yàn)镈是BC的中點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),所以).又,所以.因?yàn)镸,E,N三點(diǎn)共線,所以=1,所以4x+y=(4x+y)=≥.16.(2015四川,文20)如圖,橢圓E:=1(a>b>0)的離心率是,點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上,且=-1.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn).是否存在常數(shù)λ,使得+λ為定值?若存在,求λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)由已知,點(diǎn)C,D的坐標(biāo)分別為(0,-b),(0,b).又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1),且=-1,于是解得a=2,b=.所以橢圓E方程為=1.(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).聯(lián)立得(2k2+1)x2+4kx-2=0.其判別式Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0,所以,x1+x2=-,x1x2=-.從而,+λ=x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1-1)(y2-1)]=(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1==--λ-2.所以,當(dāng)λ=1時(shí),--λ-2=-3.此時(shí),+λ=-3為定值.當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí),直線AB即為直線CD.此時(shí),+λ=-2-1=-3.故存在常數(shù)λ=1,使得+λ為定值-3.?導(dǎo)學(xué)號(hào)32470768?沁園春·雪<毛澤東>北國(guó)風(fēng)光，千里冰封，萬(wàn)里雪飄。望長(zhǎng)城內(nèi)外，惟余莽莽；大河上下，頓失滔滔。山舞銀蛇，原馳蠟象，欲與天公試比高。須